Odsječak ravne linije izlomljena linija. Točka, linija, ravna linija, zraka, segment, izlomljena linija

Točka je apstraktni objekt koji nema mjerne karakteristike: bez visine, bez duljine, bez radijusa. U okviru zadatka važno je samo njegovo mjesto

Točka je označena brojem ili velikim (velikim) latiničnim slovom. Nekoliko točaka - različiti brojevi ili različita slova tako da se mogu razlikovati

točka A, točka B, točka C

A B C

točka 1, točka 2, točka 3

1 2 3

Možete nacrtati tri "A" točke na komad papira i pozvati dijete da povuče liniju kroz dvije "A" točke. Ali kako razumjeti kroz koje? A A A

Pravac je skup točaka. Ona mjeri samo dužinu. Nema širinu ni debljinu.

Označeno malim slovima (malo) latiničnim slovima

linija a, linija b, linija c

a b c

Linija bi mogla biti

1. zatvoren ako su njegov početak i kraj u istoj točki,
2. otvoren ako njegov početak i kraj nisu povezani

zatvorene linije

otvorene linije

Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini i vratili se u stan. Koju si liniju dobila? Tako je, zatvoreno. Vratili ste se na početnu točku. Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini, ušli u ulaz i razgovarali sa susjedom. Koju si liniju dobila? Otvorena. Niste se vratili na početnu točku. Izašao si iz stana, kupio kruh u dućanu. Koju si liniju dobila? Otvorena. Niste se vratili na početnu točku.

1. samopresijecajući
2. bez samopresijecanja

linije koje se same sijeku

linije bez samopresijecanja

1. ravno
2. izlomljena linija
3. krivo

ravne linije

isprekidane linije

zakrivljene linije

Prava crta je prava koja ne krivulja, nema ni početak ni kraj, može se produžavati u nedogled u oba smjera

Čak i kad se vidi mala parcela ravno, pretpostavlja se da se nastavlja neograničeno u oba smjera

Označava se malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova - točke koje leže na ravnoj crti

ravna crta a

a

pravac AB

B A

ravne linije mogu biti

1. sijeku ako imaju zajedničku točku. Dvije linije se mogu sijeći samo u jednoj točki.
   • okomito ako se sijeku pod pravim kutom (90°).
2. paralelno, ako se ne sijeku, nemaju zajedničku točku.

paralelne linije

linije koje se sijeku

okomite linije

Zraka je dio ravne linije koja ima početak, ali nema kraj, može se neograničeno produžiti samo u jednom smjeru

Polazna točka za snop svjetlosti na slici je sunce.

Sunce

Točka dijeli pravac na dva dijela - dvije zrake A A

Greda je označena malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo točka od koje zraka počinje, a drugo točka koja leži na zraku

greda a

a

greda AB

B A

Grede se poklapaju ako

1. nalazi na istoj pravoj liniji
2. početi u jednom trenutku
3. usmjerena na jednu stranu

zrake AB i AC se poklapaju

zrake CB i CA se podudaraju

C B A

Odsječak je dio ravne linije koji je omeđen s dvije točke, odnosno ima i početak i kraj, što znači da se njegova duljina može izmjeriti. Duljina segmenta je udaljenost između njegove početne i krajnje točke.

Kroz jednu točku može se povući bilo koji broj linija, uključujući ravne.

Kroz dvije točke - neograničen broj krivulja, ali samo jedna ravna linija

zakrivljene linije koje prolaze kroz dvije točke

B A

pravac AB

B A

Komad je "odsječen" od ravne linije i segment je ostao. Iz gornjeg primjera možete vidjeti da je njegova duljina najkraća udaljenost između dvije točke. ✂ B A ✂

Segment se označava s dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo mjesto od koje segment počinje, a drugo točka od koje segment završava

segment AB

B A

Zadatak: gdje je pravac, zraka, segment, krivulja?

Izlomljena crta je linija koja se sastoji od uzastopno povezanih segmenata koji nisu pod kutom od 180°

Dugi segment je "razbijen" na nekoliko kratkih.

Karike polilinije (slično karikama lanca) su segmenti koji čine poliliniju. Susjedne veze su veze u kojima je kraj jedne veze početak druge. Susjedne veze ne smiju ležati na istoj ravnoj liniji.

Vrhovi polilinije (slično vrhovima planina) su točke od kojih polilinija počinje, točke na kojima su spojeni segmenti koji tvore poliliniju, točka gdje polilinija završava.

Polilinija se označava navođenjem svih njezinih vrhova.

izlomljena linija ABCDE

vrh polilinije A, vrh polilinije B, vrh polilinije C, vrh polilinije D, vrh polilinije E

karika izlomljene linije AB, karika izlomljene linije BC, karika izlomljene linije CD, karika izlomljene linije DE

veza AB i veza BC su susjedne

link BC i link CD su susjedni

link CD i link DE su susjedni

A B C D E 64 62 127 52

Duljina polilinije je zbroj duljina njenih karika: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Zadatak: koja je izlomljena linija duža, ali koji ima više vrhova? U prvom redu sve karike su iste duljine, odnosno 13 cm. Drugi red ima sve karike iste duljine, odnosno 49 cm. Treći red ima sve karike iste duljine, odnosno 41 cm.

Poligon je zatvorena polilinija

Stranice poligona (pomoći će vam zapamtiti izraze: "idi na sve četiri strane", "trči prema kući", "na koju ćeš stranu stola sjesti?") poveznice su isprekidane linije. Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije.

Vrhovi poligona su vrhovi polilinije. Susjedni vrhovi su krajnje točke jedne strane poligona.

Poligon se označava navođenjem svih njegovih vrhova.

zatvoren polilinija bez samopresijecanja, ABCDEF

poligon ABCDEF

poligon vrh A, poligon vrh B, poligon vrh C, poligon vrh D, poligon vrh E, poligon vrh F

vrh A i vrh B su susjedni

vrh B i vrh C su susjedni

vrh C i vrh D su susjedni

vrh D i vrh E su susjedni

vrh E i vrh F su susjedni

vrh F i vrh A su susjedni

strana poligona AB, strana poligona BC, strana poligona CD, strana poligona DE, strana poligona EF

stranica AB i stranica BC su susjedne

strana BC i strana CD su susjedne

strana CD i strana DE su susjedne

strana DE i strana EF su susjedne

strana EF i strana FA su susjedne

A B C D E Ž 120 60 58 122 98 141

Opseg poligona je duljina polilinije: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Mnogokut s tri vrha naziva se trokut, s četiri - četverokut, s pet - peterokut i tako dalje.

U ovom članku ćemo se detaljno zadržati na jednom od primarnih koncepata geometrije - na konceptu ravne linije na ravnini. Prvo, definirajmo osnovne pojmove i oznake. Zatim ćemo raspravljati o relativnom položaju pravca i točke, kao i dva pravca na ravnini, te dati potrebne aksiome. U zaključku ćemo razmotriti načine postavljanja ravne linije na ravninu i dati grafičke ilustracije.

Navigacija po stranici.

Ravna crta na ravnini je pojam.

Prije nego što damo koncept ravne linije na ravnini, treba jasno razumjeti što je ravnina. Reprezentacija aviona omogućuje vam da dobijete, na primjer, ravnu površinu stola ili zida kuće. Međutim, treba imati na umu da su dimenzije tablice ograničene, a ravnina se proteže izvan tih granica u beskonačnost (kao da imamo proizvoljno veliki stol).

Ako uzmemo dobro naoštrenu olovku i dodirnemo njezinu jezgru na površinu "stola", tada ćemo dobiti sliku točke. Tako dobivamo prikaz točke na ravnini.

Sada možete ići na koncept ravne linije na ravnini.

Stavimo na površinu stola (na avion) ​​list čistog papira. Da bismo nacrtali ravnu liniju, trebamo uzeti ravnalo i olovkom povući liniju koliko nam dopuštaju dimenzije ravnala i lista papira. Treba napomenuti da na taj način dobivamo samo dio ravne linije. Ravnu liniju u cijelosti, koja se proteže do beskonačnosti, možemo samo zamisliti.

Međusobni položaj pravca i točke.

Trebali biste početi s aksiomom: postoje točke na svakoj pravoj liniji i u svakoj ravnini.

Točke se obično označavaju velikim latiničnim slovima, na primjer, točke A i F. Zauzvrat, ravne linije su označene malim latiničnim slovima, na primjer, ravne linije a i d.

moguće dvije opcije relativni položaj pravac i točke na ravnini: ili točka leži na pravoj (u ovom slučaju se kaže da pravac također prolazi kroz točku), ili točka ne leži na pravoj (također se kaže da točka ne pripada pravcu, ili pravac ne prolazi kroz točku).

Za označavanje da točka pripada određenoj liniji, koristi se simbol "". Na primjer, ako točka A leži na pravoj a, onda možete pisati. Ako točka A ne pripada pravcu a, zapišite.

Točna je sljedeća tvrdnja: kroz bilo koje dvije točke prolazi samo jedna ravna crta.

Ova izjava je aksiom i treba je prihvatiti kao činjenicu. Osim toga, to je sasvim očito: označavamo dvije točke na papiru, nanosimo ravnalo na njih i crtamo ravnu liniju. Pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke (npr. kroz točke A i B) može se označiti s ova dva slova (u našem slučaju ravna crta AB ili BA).

Treba razumjeti da na ravnoj liniji dana na ravnini postoji beskonačno mnogo različitih točaka, a sve te točke leže u istoj ravnini. Ovu tvrdnju utvrđuje aksiom: ako dvije točke pravca leže u određenoj ravnini, tada sve točke ovog pravca leže u ovoj ravnini.

Skup svih točaka smještenih između dviju točaka danih na ravnoj liniji, zajedno s tim točkama, naziva se ravna crta ili jednostavno segment. Točke koje omeđuju segment nazivaju se krajevima segmenta. Segment se označava s dva slova koja odgovaraju točkama krajeva segmenta. Na primjer, neka su točke A i B krajevi segmenta, tada se ovaj segment može označiti AB ili BA. Imajte na umu da je ova oznaka segmenta ista kao i oznaka ravne linije. Kako biste izbjegli zabunu, preporučamo da oznaci dodate riječ "segment" ili "ravno".

Za kratku evidenciju pripadnosti i nepripadanja određene točke određenom segmentu koriste se svi isti simboli i. Da bi se pokazalo da segment leži ili ne leži na ravnoj crti, koriste se simboli i. Na primjer, ako segment AB pripada liniji a, možete ukratko zapisati.

Trebamo se zadržati i na slučaju kada tri različite točke pripadaju istoj liniji. U ovom slučaju, jedna i samo jedna točka leži između druge dvije. Ova izjava je još jedan aksiom. Neka točke A, B i C leže na istoj pravoj liniji, a točka B leži između točaka A i C. Tada možemo reći da su točke A i C na suprotnim stranama točke B. Također možete reći da točke B i C leže na istoj strani točke A, a točke A i B leže na istoj strani točke C.

Da bismo upotpunili sliku, napominjemo da bilo koja točka ravne linije dijeli ovu ravnu liniju na dva dijela - dva greda. Za ovaj slučaj, dan je aksiom: proizvoljna točka O, koja pripada pravcu, dijeli ovu liniju na dvije zrake, a bilo koje dvije točke jedne zrake leže na istoj strani točke O, a bilo koje dvije točke različitih zraka leže na suprotnim stranama točke O.

Međusobni raspored ravnih linija na ravnini.

A sada odgovorimo na pitanje: "Kako se dva pravca mogu nalaziti na ravnini jedna u odnosu na drugu"?

Prvo, dvije linije u ravnini mogu podudaraju.

To je moguće kada linije imaju najmanje dvije zajedničke točke. Doista, na temelju aksioma izrečenog u prethodnom odlomku, jedna ravna crta prolazi kroz dvije točke. Drugim riječima, ako dva pravca prolaze kroz dvije zadane točke, one se poklapaju.

Drugo, dvije ravne crte u ravnini mogu križ.

U ovom slučaju, pravci imaju jednu zajedničku točku, koja se naziva točkom presjeka linija. Sjecište linija označeno je simbolom "", na primjer, zapis znači da se linije a i b sijeku u točki M. Prave koje se sijeku vode nas do pojma kuta između linija koje se sijeku. Zasebno, vrijedi razmotriti položaj ravnih linija na ravnini kada je kut između njih devedeset stupnjeva. U ovom slučaju, linije se pozivaju okomito(preporučamo članak okomite linije, okomitost pravaca). Ako je pravac a okomit na pravac b, tada se može koristiti kratki zapis.

Treće, dva pravca u ravnini mogu biti paralelna.

S praktične točke gledišta, prikladno je razmotriti ravnu liniju na ravnini zajedno s vektorima. Od posebne su važnosti vektori različiti od nule koji leže na zadanoj liniji ili na nekom od paralelnih pravaca, nazivaju se vektori smjera ravne linije. Članak usmjeravajući vektor ravne linije na ravnini daje primjere usmjeravajućih vektora i prikazuje mogućnosti njihove uporabe u rješavanju problema.

Također biste trebali obratiti pozornost na vektore koji nisu nula koji leže na bilo kojoj od linija okomitih na zadanu. Takvi vektori se nazivaju normalni vektori linije. Korištenje normalnih vektora ravne crte opisano je u članku normalni vektor ravne crte na ravnini.

Kada se na ravnini daju tri ili više ravnih linija, tada nastaje skup razne opcije njihov relativni položaj. Svi pravci mogu biti paralelni, inače se neki ili svi sijeku. U ovom slučaju, sve se prave mogu sijeći u jednoj točki (vidi članak olovka od pravaca), ili mogu imati razne točke raskrižja.

Nećemo se detaljnije zadržavati na tome, ali ćemo navesti nekoliko izvanrednih i vrlo često korištenih činjenica bez dokaza:

• ako su dva pravca paralelna s trećom linijom, onda su međusobno paralelna;
• ako su dvije linije okomite na treći pravac, tada su međusobno paralelne;
• ako u ravnini pravac siječe jedan od dva paralelna pravca, tada siječe i drugi pravac.

Metode postavljanja ravne linije na ravnini.

Sada ćemo navesti glavne načine na koje možete definirati određenu liniju u ravnini. Ovo znanje je vrlo korisno s praktične točke gledišta, budući da se na njemu temelji rješavanje tolikih primjera i problema.

Prvo, pravac se može definirati navođenjem dvije točke na ravnini.

Doista, iz aksioma razmatranog u prvom odlomku ovog članka, znamo da ravna crta prolazi kroz dvije točke, i štoviše, samo jednu.

Ako su koordinate dviju nepodudarnih točaka označene u pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini, tada je moguće zapisati jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke.

Drugo, pravac se može odrediti specificiranjem točke kroz koju prolazi i pravca s kojim je paralelna. Ova metoda vrijedi jer jedna ravna crta prolazi kroz danu točku ravnine, paralelno s danom ravnom crtom. Dokaz ove činjenice proveden je na nastavi geometrije u srednjoj školi.

Ako se ravna crta na ravnini postavi na ovaj način u odnosu na uvedeni pravokutni kartezijanski koordinatni sustav, tada je moguće sastaviti njegovu jednadžbu. To je u članku zapisano kao jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku paralelno s danom ravnom crtom.

Treće, pravac se može definirati navođenjem točke kroz koju prolazi i njenog vektora smjera.

Ako je ravna crta zadana u pravokutnom koordinatnom sustavu na ovaj način, tada je lako sastaviti njezinu kanonsku jednadžbu ravne crte na ravnini i parametarske jednadžbe ravne na ravnini.

Četvrti način za određivanje pravca je navođenje točke kroz koju prolazi i pravca na koju je okomita. Doista, kroz zadanu točku U ravnini je samo jedan pravac koji je okomit na zadanu liniju. Ostavimo ovu činjenicu bez dokaza.

Konačno, pravac u ravnini može se odrediti specificiranjem točke kroz koju prolazi i vektora normale pravca.

Ako su poznate koordinate točke koja leži na danom pravcu i koordinate vektora normale pravca, tada je moguće zapisati opću jednadžbu pravca.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. viša matematika. Prvi svezak: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.website, uključujući unutarnji materijali I vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Razmotrit ćemo svaku od tema, a na kraju će biti i testovi o temama.

Poenta u matematici

Što je točka u matematici? Matematička točka nema dimenzije i označava se velikim latiničnim slovima: A, B, C, D, F, itd.

Na slici možete vidjeti sliku točaka A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment u matematici

Što je segment u matematici? Na satovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima duljinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih točaka koje leže na ravnoj liniji između krajeva segmenta. Krajevi segmenta su dvije granične točke.

Na slici vidimo sljedeće: segmente ,,,, i , kao i dvije točke B i S.

Ravne linije u matematici

Što je ravna crta u matematici? Definicija ravne u matematici: ravna crta nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera do beskonačnosti. Ravnu liniju u matematici označavaju bilo koje dvije točke na ravnoj crti. Da bismo učeniku objasnili pojam ravne, možemo reći da je pravac odsječak koji nema dva kraja.

Na slici su prikazane dvije ravne crte: CD i EF.

Ray u matematici

Što je zraka? Definicija zraka u matematici: Zraka je dio pravca koji ima početak i nema kraj. Naziv snopa sadrži dva slova, na primjer, DC. Štoviše, prvo slovo uvijek označava točku početka grede, tako da ne možete zamijeniti slova.

Na slici su prikazane grede: DC, KC, EF, MT, MS. Grede KC i KD - jedna greda, jer imaju zajedničko porijeklo.

Brojevna linija u matematici

Definicija brojevnog pravca u matematici: Pravac čije točke označavaju brojeve naziva se brojevni pravac.

Na slici je prikazan brojevni pravac, kao i zraka OD i ED