Formule za zbrajanje sinusa i kosinusa. Formule zbrajanja: dokaz, primjeri

Neću te uvjeravati da ne pišeš varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su cheat sheets potrebne i kako su cheat sheets korisne. A ovdje - informacije o tome kako ne naučiti, već zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule za zbrajanje:

kosinus uvijek "ide u paru": kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Oni “sve nije u redu”, pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "miks": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek "ide u paru". Dodavanjem dva kosinusa - "buns", dobivamo par kosinusa - "koloboks". I oduzimanjem, definitivno nećemo dobiti koloboke. Dobivamo par sinusa. I dalje s minusom ispred.

Sinusi - "miks" :

3. Formule za pretvaranje proizvoda u zbroj i razliku.

Kada ćemo dobiti par kosinusa? Prilikom zbrajanja kosinusa. Tako

Kada ćemo dobiti par sinusa? Pri oduzimanju kosinusa. Odavde:

"Mješanje" se dobiva i zbrajanjem i oduzimanjem sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, preklopi. A za formulu uzmite zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli u zagradama - iznos. Od prestrojavanja mjesta pojmova zbroj se ne mijenja. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da se ne bismo zabunili, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prvim zagradama uzimamo razliku

i drugo, zbroj

Plahte za dječji krevetić u džepu pružaju mir: ako zaboravite formulu, možete je otpisati. I daju povjerenje: ako ne upotrijebite cheat sheet, formule se mogu lako zapamtiti.

Nastavljamo razgovor o najčešće korištenim formulama u trigonometriji. Najvažnije od njih su formule zbrajanja.

Definicija 1

Formule za zbrajanje omogućuju izražavanje funkcija razlike ili zbroja dvaju kutova pomoću trigonometrijskih funkcija tih kutova.

Za početak ćemo predstaviti cijeli popis formule zbrajanja, onda ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne formule zbrajanja u trigonometriji

Postoji osam osnovnih formula: sinus zbroja i sinus razlike dvaju kutova, kosinus zbroja i razlike, tangenti i kotangensi zbroja i razlike. U nastavku su njihove standardne formulacije i izračuni.

1. Sinus zbroja dvaju kutova može se dobiti na sljedeći način:

Izračunavamo umnožak sinusa prvog kuta s kosinusom drugog;

Pomnožite kosinus prvog kuta sa sinusom prvog;

Zbrojite dobivene vrijednosti.

Grafički zapis formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sinus razlike izračunava se na gotovo isti način, samo se dobiveni proizvodi ne smiju zbrajati, već oduzimati jedan od drugog. Tako izračunamo umnožake sinusa prvog kuta po kosinsu drugog i kosinusa prvog kuta po sinusu drugog i pronađemo njihovu razliku. Formula je napisana ovako: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosinus zbroja. Za njega pronalazimo umnožake kosinusa prvog kuta kosinusom drugog i sinusom prvog kuta sinusom drugog, odnosno njihovu razliku: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Kosinusna razlika: izračunavamo produkte sinusa i kosinusa zadanih kutova, kao i prije, i zbrajamo ih. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangenta zbroja. Ova formula se izražava kao razlomak u čijem je brojniku zbroj tangenta željenih kutova, a u nazivniku jedinica od koje se oduzima umnožak tangenta željenih kutova. Sve je jasno iz njezine grafičke oznake: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangenta razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i umnožaka tangenta ovih kutova i postupamo s njima na sličan način. U nazivniku dodajemo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens zbroja. Za izračune koji koriste ovu formulu potreban nam je umnožak i zbroj kotangensa ovih kutova, s kojima postupimo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali u brojniku i nazivniku - minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Vjerojatno ste primijetili da su ove formule u paru slične. Koristeći znakove ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus), možemo ih grupirati radi lakšeg označavanja:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ g t g α β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Sukladno tome, imamo jednu formulu snimanja za zbroj i razliku svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom - na donji.

Definicija 2

Možemo uzeti bilo koje kutove α i β, a formule zbrajanja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangenta i kotangensa ovih kutova, tada će i za njih vrijediti formule zbrajanja za tangentu i kotangens.

Kao i većina koncepata u algebri, formule za zbrajanje mogu se dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Iz toga možete lako zaključiti ostatak dokaza.

Pojasnimo osnovne pojmove. Trebamo jedinični krug. Ispostavit će se ako uzmemo određenu točku A i zakrenemo oko središta (točke O) kutove α i β. Tada će kut između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π z ili 2 π - (α - β) + 2 π z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori tvore kut koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β) , ili se može razlikovati od ovih vrijednosti cijelim brojem kompletnih okretaja. Pogledajte sliku:

Koristili smo formule redukcije i dobili sljedeće rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Zaključak: kosinus kuta između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu kuta α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Prisjetimo se definicija sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta jednaka omjeru kraka suprotnog kuta i hipotenuze, kosinus je sinus dodatnog kuta. Dakle, bodovi A 1 i A2 imaju koordinate (cos α , sin α) i (cos β , sin β) .

Dobivamo sljedeće:

O A 1 → = (cos α , sin α) i O A 2 → = (cos β , sin β)

Ako nije jasno, pogledajte koordinate točaka koje se nalaze na početku i na kraju vektora.

Duljine vektora jednake su 1, jer imamo jedan krug.

Analizirajmo sada skalarni proizvod vektori O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Iz ovoga možemo izvesti jednakost:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Dakle, formula za kosinus razlike je dokazana.

Sada ćemo dokazati sljedeću formulu - kosinus zbroja. To je lakše jer možemo koristiti prethodne izračune. Uzmimo prikaz α + β = α - (- β) . Imamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ovo je dokaz formule za kosinus zbroja. Posljednji red koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnim kutovima.

Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu redukcije za ovo:

oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Tako
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A evo i dokaza formule za sinus razlike:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na korištenje svojstava sinusa i kosinusa suprotnih kutova u posljednjem izračunu.

Zatim su nam potrebni dokazi formula za zbrajanje za tangentu i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangenta je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens obrnuto) i uzmimo formule koje smo već izveli unaprijed. Uspjeli smo:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojnik i nazivnik s cos α cos β , s obzirom da su cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0 , dobivamo:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos αβ cos β - sin α sin β cos α cos β

Sada smanjujemo razlomke i dobivamo formulu sljedećeg oblika: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Ovo je dokaz formule zbrajanja tangenta.

Sljedeća formula koju ćemo dokazati je formula tangente razlike. Sve je jasno prikazano u izračunima:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formule za kotangens dokazuju se na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Unaprijediti:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g