Dokaz sinusnog teorema. Sinusni teorem i kosinusni teorem

Trigonometrija se široko koristi ne samo u dijelu algebre - početak analize, već iu geometriji. U tom smislu, razumno je pretpostaviti postojanje teorema i njihovih dokaza vezanih uz trigonometrijske funkcije. Doista, kosinusni i sinusni teoremi izvode vrlo zanimljive, i što je najvažnije, korisne odnose između stranica i kutova trokuta.

Koristeći ovu formulu, možete izvesti bilo koju od stranica trokuta:

Dokaz tvrdnje izveden je na temelju Pitagorinog teorema: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.

Razmotrimo proizvoljan trokut ABC. Od vrha C spuštamo visinu h do baze figure, u ovom slučaju njezina duljina apsolutno nije važna. Sada, ako uzmemo u obzir proizvoljni trokut ACB, tada možemo izraziti koordinate točke C kroz trigonometrijski cos funkcije i grijeh.

Prisjetimo se definicije kosinusa i napiši omjer stranica trokuta ACD: cos α = AD/AC | pomnožimo obje strane jednakosti s AC; AD = AC * cos α.

Uzmimo duljinu AC kao b i dobijemo izraz za prvu koordinatu točke C:
x = b * cos⁡α. Slično, nalazimo vrijednost ordinate C: y = b * sin α. Zatim primjenjujemo Pitagorin teorem i izražavamo h naizmjenično za trokut ACD i DCB:

Očito su oba izraza (1) i (2) međusobno jednaka. Izjednačavamo desne strane i dajemo slične:

Na praksi zadanu formulu omogućuje vam da pronađete duljinu nepoznate stranice trokuta po zadane kutove. Kosinusni teorem ima tri posljedice: za pravi, oštar i tupi kut trokuta.

Zamijenimo vrijednost cos α uobičajenom varijablom x, a zatim za oštar kut trokuta ABC dobivamo:

Ako se kut pokaže ispravnim, tada će 2bx nestati iz izraza, budući da je cos 90 ° \u003d 0. Grafički se druga posljedica može prikazati na sljedeći način:

U slučaju tupog kuta, znak "-" ispred dvostrukog argumenta u formuli promijenit će se u "+":

Kao što možete vidjeti iz objašnjenja, u omjerima nema ništa komplicirano. Kosinusni teorem nije ništa drugo nego raspored Pitagorinog teorema u trigonometrijskim količinama.

Praktična primjena teorema

Vježba 1. Zadan je trokut ABC sa stranicom BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm i cos α = ½. Odredite duljinu stranice AB.

Da biste ispravno izračunali, morate odrediti kut α. Da biste to učinili, pogledajte tablicu vrijednosti za trigonometrijske funkcije, prema kojem je arc kosinus 1/2 za kut od 60°. Na temelju toga koristimo formulu prve posljedice teorema:

Zadatak 2. Za trokut ABC poznate su sve strane: AB =4√2,BC=5,AC=7. Potrebno je pronaći sve kutove figure.

U ovom slučaju ne možete bez crteža uvjeta problema.

Budući da vrijednosti kutova ostaju nepoznate, treba ih koristiti puna formula za akutni kut.

Analogno, nije teško formulirati i izračunati vrijednosti drugih kutova:

Sveukupno, tri kuta trokuta trebala bi biti 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, dakle, rješenje je pronađeno.

Teorem sinusa

Teorem kaže da su sve strane proizvoljnog trokuta proporcionalne sinusima suprotnih kutova. Omjeri su zapisani u obliku trostruke jednakosti:

Klasični dokaz tvrdnje provodi se na primjeru lika upisanog u krug.

Da bismo provjerili istinitost tvrdnje na primjeru trokuta ABC na slici, potrebno je potvrditi činjenicu da je 2R = BC / sin A. Zatim dokazati da i ostale stranice odgovaraju sinusima suprotnim kutovima, poput 2R ili D krugova.

Da bismo to učinili, izvlačimo promjer kružnice iz vrha B. Iz svojstava kutova upisanih u kružnicu, ∠GCB je ravna crta, a ∠CGB je ili jednak ∠CAB ili (π - ∠CAB). U slučaju sinusa, potonja okolnost nije značajna, jer sin (π -α) \u003d sin α. Na temelju gore navedenih zaključaka, može se tvrditi da:

sin ∠CGB = BC/BG ili sin A = BC/2R,

Ako uzmemo u obzir druge kutove slike, dobivamo proširenu formulu sinusnog teorema:

Tipični zadaci za uvježbavanje znanja o sinusnom teoremu svode se na pronalaženje nepoznate stranice ili kuta trokuta.

Kao što se može vidjeti iz primjera, rješenje takvih problema ne uzrokuje poteškoće i sastoji se u provođenju matematičkih izračuna.

Prilikom proučavanja trokuta nehotice se postavlja pitanje izračunavanja odnosa između njihovih stranica i kutova. Geometrija i sinusi daju najpotpuniji odgovor za rješavanje ovog problema. U obilju raznih matematičkih izraza i formula, zakona, teorema i pravila nalaze se oni koji se odlikuju izvanrednim skladom, jezgrovitošću i jednostavnošću prikaza značenja sadržanog u njima. Teorem sinusa je izvrstan primjer takve matematičke formulacije. Ako u verbalnom tumačenju postoji i određena prepreka u razumijevanju ovog matematičkog pravila, onda kada se pogleda matematička formula, sve odmah dolazi na svoje mjesto.

Prve informacije o ovom teoremu pronađene su u obliku njegovog dokaza u okviru matematičkog djela Nasir ad-Din At-Tusija, datiranog u trinaesto stoljeće.

Približavajući se razmatranju omjera strana i kutova u bilo kojem trokutu, vrijedno je napomenuti da vam sinusni teorem omogućuje rješavanje puno matematičkih problema, dok ovaj zakon geometrije nalazi svoju primjenu u različite vrste ljudska praktična djelatnost.

Sam teorem o sinusima kaže da svaki trokut karakterizira proporcionalnost stranica prema sinusima suprotnih kutova. Postoji i drugi dio ovog teorema, prema kojem je omjer bilo koje stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta jednak onome opisanom u blizini dotičnog trokuta.

U obliku formule, ovaj izraz izgleda

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Ima dokaz sinusnog teorema, koji u razne opcije udžbenici se nude u velikom broju verzija.

Kao primjer, razmotrite jedan od dokaza koji objašnjava prvi dio teorema. Da bismo to učinili, postavili smo si cilj dokazati ispravnost izraza asinC= csinA.

U proizvoljnom trokutu ABC konstruiramo visinu BH. U jednoj od mogućnosti konstrukcije H će ležati na segmentu AC, au drugoj izvan njega, ovisno o veličini kutova na vrhovima trokuta. U prvom slučaju, visina se može izraziti kroz kutove i stranice trokuta kao BH = a sinC i BH = c sinA, što je traženi dokaz.

U slučaju kada je točka H izvan segmenta AC, možemo dobiti sljedeća rješenja:

HV = a sinC i HV = c sin(180-A)= c sinA;

ili VN = a sin(180-C) = a sinC i VN = c sinA.

Kao što vidite, bez obzira na mogućnosti izgradnje, dolazimo do željenog rezultata.

Dokaz drugog dijela teorema zahtijevat će od nas da opišemo kružnicu oko trokuta. Kroz jednu od visina trokuta, na primjer B, konstruiramo promjer kružnice. Rezultirajuću točku na kružnici D povezujemo s jednom od visina trokuta, neka to bude točka A trokuta.

Ako uzmemo u obzir dobivene trokute ABD i ABC, onda možemo uočiti jednakost kutova C i D (oslanjaju se na jedan luk). A s obzirom da je kut A devedeset stupnjeva, onda je sin D = c / 2R, ili sin C = c / 2R, što je trebalo dokazati.

Teorem sinusa polazište je za rješavanje širokog spektra različitih problema. Posebna privlačnost leži u njegovoj praktičnoj primjeni, kao posljedica teorema, dobivamo priliku da povežemo vrijednosti stranica trokuta, suprotnih kutova i polumjera (promjera) opisane kružnice oko trokuta . Jednostavnost i pristupačnost formule koja opisuje ovaj matematički izraz omogućila je široku primjenu ovog teorema za rješavanje problema pomoću raznih mehaničkih uređaja za brojanje (stolova i sl.), ali čak ni dolazak moćnih računalnih uređaja u službu osobe nije učinio smanjiti relevantnost ovog teorema.

Ovaj teorem nije uključen samo u traženi tečaj geometrije Srednja škola, ali i daljnju primjenu u nekim granama praktične djelatnosti.

Prvi dio teorema: stranice proizvoljnog trokuta proporcionalne sinusima suprotnih kutova, tj.:

Drugi dio teorema: svaki razlomak jednak je promjeru kružnice opisane oko zadanog trokuta, odnosno: .

Komentar nastavnika matematike: korištenje drugog dijela sinusnog teorema nalazi se u gotovo svakom drugom natjecateljskom zadatku za krug. Zašto? Činjenica je da vam jednakost omogućuje da pronađete polumjer kružnice koja ima samo dva elementa trokuta. To vrlo često koriste sastavljači jakih problema, koji posebno odabiru uvjet na način da se uopće ne nalaze drugi elementi trokuta (i cijela slika)! "Slika" će plutati. Ova okolnost uvelike otežava rad na ispitu, jer ne omogućuje zaobići inherentno svojstvo.

Dokaz teorema sinusa:

prema Atanasjanovom udžbeniku
Dokažimo da je za bilo koji trokut sa stranicama a, b, c i suprotnim kutovima A, B i C tačna jednakost: .
Nacrtajte visinu BH iz vrha B. Moguća su dva slučaja:
1) Točka H leži na strani AC (to je moguće kada su i akutni).
Po definiciji sinusa oštrog kuta u pravokutni trokut ABH pišemo

Slično, u trokutu CBH imamo . Izjednačavajući izraze za BH jedan s drugim, dobivamo:
2)Neka H leži na produžetku stranice AC (na primjer, lijevo od A). To će se dogoditi ako - glup. Slično, prema definiciji sinusa oštrog kuta A u trokutu ABH, pišemo jednakost , ali budući da su sinusi susjednih kutova jednaki, zamjenjujući ovu jednakost s , dobivamo kao u prvom slučaju. Dakle, bez obzira na kutove A i C, jednakost je istinita.
Nakon što oba njegova dijela podijelimo s dobivamo . Jednakost drugog para razlomaka dokazuje se slično

Dokaz teorema sinusa prema Pogorelovljevom udžbeniku:

Primijenite formulu površine trokuta za dva kuta A i C:


Nakon izjednačavanja pravih dijelova i svođenja na dobivamo istu jednakost kao u dokazu prvom metodom. Iz nje, na isti način, dobivamo jednakost razlomaka.

Dokaz drugog dijela sinusnog teorema:

Opišimo kružnicu oko zadanog trokuta i povučemo njegov promjer BD kroz B. Budući da se kutovi D i C temelje na istom luku, oni su jednaki (posljedica teorema o upisanim kutovima). Zatim . Primijenimo definiciju sinusa kuta D u trokutu ABD: To je ono što je trebalo dokazati.

Zadaci za drugi dio sinusnog teorema:
1) Trapez je upisan u krug polumjera 15. Duljine dijagonale i visine trapeza su 20 odnosno 6. Nađite stranicu.
2) Polumjer opisane kružnice oko trapeza je 25, a kosinus njegovog tupog kuta je -0,28 (minus!!!). Dijagonala trapeza tvori kut s bazom. Pronađite visinu trapeza.
3) Trapez je upisan u krug polumjera 10. Duljine dijagonale i srednje linije trapeza su 15, odnosno 12. Nađite duljinu bočne strane trapeza.
4) Olimpijske igre u Financijska akademija 2009 Tetive kružnice sijeku se u točki Q. Poznato je da je polumjer kružnice 4cm. Odredite duljinu tetive PN. Olimpijada na Financijskoj akademiji 2009
5) U trokutu PST . Krug polumjera 8 cm opisan je oko točke presjeka njegovih simetrala i vrhova P i T. Pronađite polumjer kružnice opisane oko trokuta PST (autorski problem).

Učitelj matematike uvijek će vam pomoći da detaljno analizirate sinusni teorem i steknete potrebnu praksu korištenja u zadacima. Planirani školski studij odvija se u kolegiju geometrije 9. razreda na temu rješavanja trokuta (za sve programe). Ako se trebate pripremiti za ispit iz matematike da biste položili ispit s najmanje 70 bodova, morat ćete se osposobiti za rješavanje jakih planimetrijskih zadataka iz C4 brojeva. U njima se teorem sinusa često primjenjuje na upisane trokute s obzirom na relaciju. Zapamtite ovo!

S poštovanjem, Kolpakov Alexander Nikolaevich,
nastavnik matematike

Maturanti koji se pripremaju za polaganje ispita iz matematike i žele dobiti prilično visoke ocjene moraju svakako ovladati principom rješavanja zadataka pomoću teorema sinusa i kosinusa. Dugogodišnja praksa pokazuje da su takvi zadaci iz rubrike "Geometrija na ravnini" obvezni dio programa certifikacijskog ispitivanja. Stoga, ako jedan od vaših slabosti su zadaci na teorem kosinusa i sinusa, preporučamo da svakako ponovite osnovnu teoriju na ovu temu.

Pripremite se za ispit uz obrazovni portal "Shkolkovo"

Sustizanje prije polaganje ispita, mnogi diplomanti suočeni su s problemom pronalaženja osnovne teorije potrebne za rješavanje praktičnih problema o primjeni teorema sinusa i kosinusa.

Udžbenik nije uvijek pri ruci u pravo vrijeme. A pronalaženje potrebnih formula ponekad je prilično problematično čak i na internetu.

Priprema za certifikacijski test sa edukativni portalŠkolkovo će biti najviše kvalitete i učinkovitosti. Kako bismo olakšali zadatke na teoremu sinusa i kosinusa, preporučamo osvježiti sjećanje na cijelu teoriju na ovu temu. Naši stručnjaci pripremili su ovaj materijal na temelju bogatog iskustva i prezentirali ga u razumljivom obliku. Možete ga pronaći u odjeljku "Teorijska referenca".

Poznavanje osnovnih teorema i definicija pola je uspjeha pri polaganju certifikacijskog testa. Odgovarajuće vježbe omogućuju vam da usavršite vještinu rješavanja primjera. Da biste ih pronašli, samo idite na odjeljak Katalog na obrazovnoj web stranici Shkolkovo. Postoji veliki popis zadataka. različite razine složenosti, koja se stalno nadopunjuje i ažurira.

Zadatke o teoremima sinusa i kosinusa, slične onima koji se nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, učenici mogu izvoditi online, dok su u Moskvi ili bilo kojem drugom ruskom gradu.

Ako je potrebno, bilo koja vježba, na primjer, može se spremiti u odjeljak "Favoriti". To će vam omogućiti da mu se vratite u budućnosti kako biste još jednom analizirali algoritam za pronalaženje točnog odgovora i razgovarali o njemu s učiteljem u školi ili tutorom.