Méthodes de résolution d'équations quadratiques. Équations du second degré

Le problème est bien connu des mathématiques. Les données initiales ici sont les coefficients a, b, c. La solution dans le cas général sont deux racines x 1 et x 2, qui sont calculées par les formules :

Toutes les valeurs utilisées dans ce programme sont de type réel.

algue racines d'une équation quadratique

chose un, b, c, x1, x2, ré

tôt entrée a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

sortie x1, x2

La faiblesse d'un tel algorithme est visible à l'œil nu. Il ne possède la propriété la plus importante appliqué aux algorithmes qualitatifs : universalité par rapport aux données initiales. Quelles que soient les valeurs des données initiales, l'algorithme doit aboutir à un certain résultat et arriver au bout. Le résultat peut être une réponse numérique, mais il peut également s'agir d'un message indiquant qu'avec de telles données, le problème n'a pas de solution. Les arrêts au milieu de l'algorithme en raison de l'impossibilité d'effectuer certaines opérations ne sont pas autorisés. La même propriété dans la littérature sur la programmation est appelée l'efficacité de l'algorithme (dans tous les cas, un résultat doit être obtenu).

Afin de construire un algorithme universel, il est d'abord nécessaire d'analyser soigneusement le contenu mathématique du problème.

La solution de l'équation dépend des valeurs des coefficients a, b, c. Voici une analyse de ce problème (nous nous limitons uniquement à trouver de vraies racines):

si a=0, b=0, c=0, alors tout x est une solution de l'équation ;

si a=0, b=0, c¹0, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si a=0, b¹0, alors ce équation linéaire, qui admet une solution : x=–c/b ;

si a¹0 et d=b 2 -4ac³0, alors l'équation a deux racines réelles (les formules sont données ci-dessus) ;

si a¹0 et d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Schéma fonctionnel de l'algorithme :

Le même algorithme en langage algorithmique :

algue racines d'une équation quadratique

chose un, b, c, ré, x1, x2

tôt entrée a, b, c

si un=0

puis si b=0

puis si c=0

alors sortie "tout x est une solution"

Par ailleurs sortie "pas de solutions"

Par ailleurs x:= -c/b

Par ailleurs ré:=b2–4ac

si et d<0

alors sortie "pas de vraies racines"

Par ailleurs e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

sortie "x1=",x1, "x2="",x2

Cet algorithme réutilise commande de structure de branche. La vue générale de la commande branch dans les organigrammes et dans le langage algorithmique est la suivante :

Tout d'abord, la "condition" est vérifiée (la relation, l'expression logique est calculée). Si la condition est vraie, alors la "série 1" est exécutée - la séquence de commandes indiquée par la flèche avec l'inscription "oui" (branche positive). Sinon, la "série 2" (branche négative) est exécutée. Dans EL, la condition est écrite après le mot de service "si", la branche positive - après le mot "alors", la branche négative - après le mot "autrement". Les lettres "kv" indiquent la fin de la branche.

Si les branches d'une branche contiennent d'autres branches, alors un tel algorithme a la structure branches imbriquées. C'est cette structure que possède l'algorithme "racines d'une équation quadratique". Dans celui-ci, par souci de brièveté, au lieu des mots "oui" et "non", respectivement, "+" et "-" sont utilisés.

Considérons le problème suivant : étant donné un entier positif n. Il faut calculer n! (n-factorielle). Rappelons la définition de factorielle.

Vous trouverez ci-dessous un schéma fonctionnel de l'algorithme. Il utilise trois variables de type entier : n est un argument ; i est une variable intermédiaire ; F est le résultat. Une table de trace a été construite pour vérifier l'exactitude de l'algorithme. Dans un tel tableau, pour des valeurs spécifiques des données initiales, les modifications des variables incluses dans l'algorithme sont tracées par étapes. Ce tableau est compilé pour le cas n=3.

La trace prouve la justesse de l'algorithme. Écrivons maintenant cet algorithme en langage algorithmique.

algue Factorielle

ensemble n, je, F

tôt entrée n

F==1 ; je :=1

au revoir moi, répéter

NC F:=F´i

Cet algorithme a une structure cyclique. L'algorithme utilise la commande structurelle "loop-while" ou "loop with precondition". La vue générale de la commande « loop-bye » dans les organigrammes et dans EL est la suivante :

L'exécution d'une série de commandes (corps de la boucle) est répétée tant que la condition de la boucle est vraie. Lorsque la condition devient fausse, la boucle se termine. Les mots de service « nts » et « kts » désignent respectivement le début du cycle et la fin du cycle.

Une boucle avec une précondition est la forme principale, mais pas la seule, d'organisation des algorithmes cycliques. Une autre option est boucle avec postcondition. Revenons à l'algorithme de résolution d'une équation quadratique. Elle peut être approchée à partir de cette position : si a=0, alors ce n'est plus une équation quadratique et elle peut être ignorée. Dans ce cas, nous supposerons que l'utilisateur a fait une erreur lors de la saisie des données et devrait être invité à répéter la saisie. En d'autres termes, l'algorithme assurera le contrôle de la fiabilité des données initiales, offrant à l'utilisateur la possibilité de corriger l'erreur. La présence d'un tel contrôle est un autre signe de bonne qualité des programmes.

En général, la commande structurelle « loop with postcondition » ou « loop-before » est représentée comme suit :

C'est là que la condition de terminaison de boucle est utilisée. Lorsqu'il devient vrai, la boucle se termine.

Composons un algorithme pour résoudre le problème suivant : étant donné deux nombres naturels M et N. Il est nécessaire de calculer leur plus grand diviseur commun - pgcd(M,N).

Ce problème est résolu à l'aide d'une méthode connue sous le nom de Algorithme d'Euclide. Son idée est basée sur la propriété que si M>N, alors pgcd(M

1) si les nombres sont égaux, alors prenez leur valeur totale comme réponse ; sinon, continuer l'exécution de l'algorithme ;

2) déterminer le plus grand des nombres ;

3) remplacer le plus grand nombre par la différence entre les valeurs les plus grandes et les plus petites ;

4) revenir à la mise en œuvre du paragraphe 1.

Le schéma fonctionnel et l'algorithme dans AL seront les suivants :

L'algorithme a une structure en boucle avec des branchements imbriqués. Faites votre propre traçage de cet algorithme pour le cas M=18, N=12. Le résultat est pgcd=6, ce qui est évidemment vrai.

Description bibliographique : Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Solutions équations du second degré// Jeune scientifique. - 2016. - N° 6.1. - S. 17-20..04.2019).

Notre projet est dédié aux façons de résoudre des équations quadratiques. Le but du projet : apprendre à résoudre des équations quadratiques d'une manière qui n'est pas incluse dans le programme scolaire. Tâche : trouvez toutes les façons possibles de résoudre des équations quadratiques et apprenez à les utiliser vous-même et initiez vos camarades de classe à ces méthodes.

Que sont les "équations quadratiques" ?

Équation quadratique- équation de la forme hache2 + bx + c = 0, où un, b, c- quelques chiffres ( un ≠ 0), X- inconnue.

Les nombres a, b, c sont appelés les coefficients de l'équation quadratique.

a est appelé le premier coefficient ;
b est appelé le second coefficient ;
c - membre gratuit.

Et qui a été le premier à "inventer" des équations quadratiques ?

Certaines techniques algébriques pour résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4000 ans dans l'ancienne Babylone. Les anciennes tablettes d'argile babyloniennes trouvées, datées quelque part entre 1800 et 1600 avant JC, sont les premières preuves de l'étude des équations quadratiques. Les mêmes tablettes contiennent des méthodes pour résoudre certains types d'équations quadratiques.

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du second degré dans l'Antiquité était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones de terrain et de terrassements de nature militaire, ainsi qu'au développement de l'astronomie et mathématiques elles-mêmes.

La règle de résolution de ces équations, énoncée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens en sont venus à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne donnent que des problèmes avec des solutions énoncées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la façon dont elles ont été trouvées. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

Les mathématiciens babyloniens du IVe siècle av. utilisé la méthode du complément au carré pour résoudre des équations à racines positives. Vers 300 av. Euclid a proposé une méthode de résolution géométrique plus générale. Le premier mathématicien qui a trouvé des solutions à une équation à racines négatives sous la forme d'une formule algébrique était un scientifique indien. Brahmagupta(Inde, 7ème siècle après JC).

Brahmagupta a énoncé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ax2 + bx = c, a>0

Dans cette équation, les coefficients peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta coïncide essentiellement avec la nôtre.

En Inde, les concours publics de résolution de problèmes difficiles étaient courants. Dans l'un des vieux livres indiens, ce qui suit est dit à propos de ces compétitions: "Comme le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi une personne savante éclipsera la gloire dans les réunions publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques." Les tâches étaient souvent habillées sous une forme poétique.

Dans un traité d'algèbre Al-Khwarizmi une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur énumère 6 types d'équations, en les exprimant comme suit :

1) "Les carrés sont égaux aux racines", c'est-à-dire ax2 = bx.

2) "Les carrés sont égaux au nombre", c'est-à-dire ax2 = c.

3) "Les racines sont égales au nombre", c'est-à-dire ax2 = c.

4) "Les carrés et les nombres sont égaux aux racines", c'est-à-dire ax2 + c = bx.

5) "Les carrés et les racines sont égaux au nombre", c'est-à-dire ax2 + bx = c.

6) "Les racines et les nombres sont égaux aux carrés", c'est-à-dire bx + c == ax2.

Pour Al-Khwarizmi, qui a évité l'utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustractions. Dans ce cas, les équations qui n'ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur décrit les méthodes de résolution de ces équations, en utilisant les méthodes d'al-jabr et d'al-muqabala. Sa décision, bien sûr, ne coïncide pas complètement avec la nôtre. Sans parler du fait qu'elle est purement rhétorique, il convient de noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, Al-Khwarizmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne tient pas compte du zéro solution, probablement parce que dans des tâches pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, Al-Khwarizmi énonce les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis leurs preuves géométriques.

Les formes de résolution d'équations quadratiques sur le modèle d'Al-Khwarizmi en Europe ont été décrites pour la première fois dans le "Livre de l'Abacus", écrit en 1202. mathématicien italien Léonard Fibonacci. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction des nombres négatifs.

Ce livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreuses tâches de ce livre ont été transférées à presque tous les manuels européens des XIVe-XVIIe siècles. La règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2 + bx = c avec toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c, a été formulée en Europe en 1544. M. Stiefel.

Vieta a une dérivation générale de la formule pour résoudre une équation quadratique, mais Vieta n'a reconnu que des racines positives. mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli parmi les premiers au XVIe siècle. prendre en compte, en plus des racines positives, et négatives. Seulement au XVIIe siècle. grâce au travail Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la manière de résoudre les équations quadratiques prend une forme moderne.

Envisagez plusieurs façons de résoudre des équations quadratiques.

Méthodes standard pour résoudre des équations quadratiques du programme scolaire :

Factorisation du côté gauche de l'équation.
Méthode de sélection par carré complet.
Solution d'équations quadratiques par formule.
Solution graphique d'une équation quadratique.
Solution d'équations à l'aide du théorème de Vieta.

Arrêtons-nous plus en détail sur la solution des équations quadratiques réduites et non réduites à l'aide du théorème de Vieta.

Rappelons que pour résoudre les équations quadratiques ci-dessus, il suffit de trouver deux nombres tels que le produit soit égal au terme libre, et la somme soit égale au second coefficient de signe opposé.

Exemple.X 2 -5x+6=0

Vous devez trouver des nombres dont le produit est 6 et la somme est 5. Ces nombres seront 3 et 2.

Réponse : x 1 =2,x 2 =3.

Mais vous pouvez utiliser cette méthode pour les équations dont le premier coefficient n'est pas égal à un.

Exemple.3x 2 +2x-5=0

On prend le premier coefficient et on le multiplie par le terme libre : x 2 +2x-15=0

Les racines de cette équation seront des nombres dont le produit est - 15 et la somme est - 2. Ces nombres sont 5 et 3. Pour trouver les racines de l'équation d'origine, nous divisons les racines obtenues par le premier coefficient.

Réponse : x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solution des équations par la méthode du "transfert".

Considérons l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, où a≠0.

En multipliant ses deux parties par a, on obtient l'équation a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y/a ; alors on arrive à l'équation y 2 + by + ac = 0, qui est équivalente à celle donnée. On trouve ses racines en 1 et en 2 à l'aide du théorème de Vieta.

Finalement nous obtenons x 1 = y 1 /a et x 2 = y 2 /a.

Avec cette méthode, le coefficient a est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était "transféré", c'est pourquoi on l'appelle la méthode de "transfert". Cette méthode est utilisée lorsqu'il est facile de trouver les racines d'une équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Transférons" le coefficient 2 au terme libre et en faisant le remplacement, nous obtenons l'équation y 2 - 11y + 30 = 0.

D'après le théorème inverse de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 ; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Réponse : x 1 =2,5 ; X 2 = 3.

7. Propriétés des coefficients d'une équation quadratique.

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 soit donnée.

1. Si a + b + c \u003d 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients de l'équation est nulle), alors x 1 \u003d 1.

2. Si a - b + c \u003d 0, ou b \u003d a + c, alors x 1 \u003d - 1.

Exemple.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Depuis a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), alors x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Réponse : x 1 =1 ; X 2 = -208/345 .

Exemple.132x 2 + 247x + 115 = 0

Car a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), puis x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Réponse : x 1 = - 1 ; X 2 =- 115/132

Il existe d'autres propriétés des coefficients d'une équation quadratique. mais leur utilisation est plus compliquée.

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Fig 1. Nomogramme

Il s'agit d'une méthode ancienne et actuellement oubliée pour résoudre des équations quadratiques, placée à la page 83 de la collection : Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.

Tableau XXII. Nomogramme pour la résolution d'équations z2 + pz + q = 0. Ce nomogramme permet, sans résoudre l'équation quadratique, de déterminer les racines de l'équation par ses coefficients.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 1):

En supposant OS = p, ED = q, OE = a(tout en cm), de la Fig. 1 similarité des triangles SAN et CDF on obtient la proportion

d'où, après substitutions et simplifications, l'équation suit z 2 + pz + q = 0, et la lettre z signifie l'étiquette de n'importe quel point sur l'échelle courbe.

Riz. 2 Résolution d'une équation quadratique à l'aide d'un nomogramme

Exemples.

1) Pour l'équation z 2 - 9z + 8 = 0 le nomogramme donne les racines z 1 = 8,0 et z 2 = 1,0

Réponse : 8,0 ; 1.0.

2) Résoudre l'équation à l'aide du nomogramme

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divisez les coefficients de cette équation par 2, nous obtenons l'équation z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Le nomogramme donne les racines z 1 = 4 et z 2 = 0,5.

Réponse : 4 ; 0,5.

9. Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques.

Exemple.X 2 + 10x = 39.

Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : "Le carré et les racines dix sont égaux à 39."

Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de sorte que l'autre côté de chacun d'eux soit de 2,5, par conséquent, l'aire de la plage est de 2,5x. La figure résultante est ensuite complétée par un nouveau carré ABCD, complétant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25

Riz. 3 Manière graphique de résoudre l'équation x 2 + 10x = 39

L'aire S du carré ABCD peut être représentée comme la somme des aires : le carré d'origine x 2, quatre rectangles (4∙2,5x = 10x) et quatre carrés attachés (6,25∙4 = 25), c'est-à-dire S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. En remplaçant x 2 + 10x par le nombre 39, on obtient que S \u003d 39 + 25 \u003d 64, ce qui implique que le côté du carré ABCD, c'est-à-dire segment AB \u003d 8. Pour le côté x souhaité du carré d'origine, on obtient

10. Résolution d'équations à l'aide du théorème de Bézout.

Théorème de Bézout. Le reste après avoir divisé le polynôme P(x) par le binôme x - α est égal à P(α) (c'est-à-dire la valeur de P(x) à x = α).

Si le nombre α est la racine du polynôme P(x), alors ce polynôme est divisible par x -α sans reste.

Exemple.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α : ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Diviser P(x) par (x-1) : (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0 ; x=1, ou x-3=0, x=3 ; Réponse : x1 =2,x2 =3.

Conclusion: La capacité de résoudre rapidement et rationnellement des équations quadratiques est simplement nécessaire pour résoudre des équations plus complexes, par exemple, des équations rationnelles fractionnaires, des équations de puissances supérieures, des équations biquadratiques et, au lycée, des équations trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. Après avoir étudié toutes les méthodes trouvées pour résoudre les équations quadratiques, nous pouvons conseiller aux camarades de classe, en plus des méthodes standard, de résoudre par la méthode de transfert (6) et de résoudre les équations par la propriété des coefficients (7), car elles sont plus accessibles pour la compréhension .

Littérature:

Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.
Algèbre 8e année : manuel pour la 8e année. enseignement général institutions Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. éd. S. A. Telyakovsky 15e éd., révisée. - M. : Lumières, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer GI Histoire des mathématiques à l'école. Un guide pour les enseignants. / Éd. V.N. Plus jeune. - M. : Lumières, 1964.

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Cycle d'équations quadratiques des leçons d'algèbre en 8e année selon le manuel de A.G. Mordkovitch

Enseignant de l'école secondaire MBOU Grushevskaya Kireeva T.A.

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Objectifs : introduire les notions d'équation quadratique, racine d'une équation quadratique ; montrer des solutions d'équations quadratiques; former la capacité de résoudre des équations quadratiques; montrer un moyen de résoudre des équations quadratiques complètes en utilisant la formule des racines d'une équation quadratique.

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Un peu d'histoire Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone. La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du second degré, même dans l'Antiquité, a été causée par la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones de terres et de terrassements de nature militaire, ainsi qu'au développement de l'astronomie et les mathématiques elles-mêmes. Les Babyloniens savaient comment résoudre des équations quadratiques environ 2000 ans avant notre foi. En appliquant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes, il y a, en plus des textes incomplets, comme, par exemple, des équations quadratiques complètes.

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La règle pour résoudre ces équations, énoncée dans les textes babyloniens, coïncide avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne donnent que des problèmes avec des solutions énoncées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la façon dont elles ont été trouvées. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre en Babylonie, le concept de nombre négatif et les méthodes générales de résolution des équations quadratiques sont absents des textes cunéiformes.

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Définition 1. Une équation quadratique est une équation de la forme où les coefficients a, b, c sont des nombres réels quelconques, et le polynôme est appelé un trinôme carré. a est le premier coefficient ou le plus élevé b est le deuxième coefficient c est un terme libre

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Définition 2. Une équation quadratique est dite réduite si son coefficient directeur est égal à 1 ; une équation quadratique est dite non réduite si le coefficient directeur est différent de 1. Exemple. 2 - 5 + 3 = 0 - équation quadratique non réduite - équation quadratique réduite

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Définition 3. Une équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle les trois termes sont présents. a + in + c \u003d 0 Une équation quadratique incomplète est une équation dans laquelle les trois termes ne sont pas présents; est une équation dont au moins un des coefficients dans, avec zéro.

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Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes.

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Résolvez les tâches n° 24.16 (a, b) Résolvez l'équation : ou Répondez. ou Répondre.

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Définition 4 La racine d'une équation quadratique est toute valeur de la variable x à laquelle le trinôme carré s'annule ; une telle valeur de la variable x est aussi appelée racine d'un trinôme carré Résoudre une équation quadratique revient à trouver toutes ses racines ou à constater qu'il n'y a pas de racines.

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Le discriminant d'une équation quadratique D 0 D=0 L'équation n'a pas de racines L'équation a deux racines L'équation a une racine Formules pour les racines d'une équation quadratique

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D>0 l'équation quadratique a deux racines, qui sont trouvées par les formules Exemple. Résolvez l'équation Solution. un \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Réponse : 1 ; -3

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Algorithme de résolution d'une équation quadratique 1. Calculer le discriminant D à l'aide de la formule D = 2. Si D 0, alors l'équation quadratique a deux racines.

Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. La capacité à les résoudre est essentielle.

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a , b et c sont des nombres arbitraires, et a ≠ 0.

Avant d'étudier des méthodes spécifiques de résolution, notons que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :

N'ayez pas de racines;
Ils ont exactement une racine;
Ils ont deux racines différentes.

C'est une différence importante entre les équations quadratiques et linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d'une équation ? Il y a une chose merveilleuse pour cela - discriminant.

Discriminant

Soit donnée l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac .

Cette formule doit être connue par cœur. D'où il vient n'est pas important maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, il y a exactement une racine ;
Si D > 0, il y aura deux racines.

Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme pour une raison quelconque, beaucoup de gens le pensent. Regardez les exemples et vous comprendrez tout vous-même :

Une tâche. Combien de racines les équations quadratiques ont-elles :

x2 - 8x + 12 = 0 ;

5x2 + 3x + 7 = 0 ;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Nous écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
a = 1, b = −8, c = 12 ;
ré = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Donc, le discriminant est positif, donc l'équation a deux racines différentes. Nous analysons la seconde équation de la même manière :
un = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. La dernière équation reste :
un = 1 ; b = -6 ; c = 9 ;
ré = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Le discriminant est zéro - la racine sera un.

Notez que des coefficients ont été écrits pour chaque équation. Oui, c'est long, oui, c'est fastidieux - mais vous ne mélangerez pas les chances et ne ferez pas d'erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.

Au fait, si vous "remplissez votre main", après un certain temps, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à le faire quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tellement.

Les racines d'une équation quadratique

Passons maintenant à la solution. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :

La formule de base pour les racines d'une équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtenez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x2 - 2x - 3 = 0 ;

15 - 2x - x2 = 0 ;

x2 + 12x + 36 = 0.

Première équation :
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = -2 ; c = -3 ;
ré = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Retrouvons-les :

Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = -2 ; c = 15 ;
ré = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5 ; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(aligner)\]

Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
ré = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N'importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :

Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lorsque des coefficients négatifs sont substitués dans la formule. Ici encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera: regardez la formule littéralement, peignez chaque étape - et éliminez très rapidement les erreurs.

Équations quadratiques incomplètes

Il arrive que l'équation quadratique soit quelque peu différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:

x2 + 9x = 0 ;
x2 − 16 = 0.

Il est facile de voir qu'il manque un des termes dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standard : elles n'ont même pas besoin de calculer le discriminant. Introduisons donc un nouveau concept :

L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.

Bien sûr, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro: b \u003d c \u003d 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 \u003d 0. Évidemment, une telle équation a un seul racine : x \u003d 0.

Considérons d'autres cas. Soit b \u003d 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c \u003d 0. Transformons-la légèrement :

Parce que l'arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir d'un nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a ) ≥ 0. Conclusion :

Si une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 satisfait l'inégalité (−c / a ) ≥ 0, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus;
Si (−c / a )< 0, корней нет.

Comme vous pouvez le voir, le discriminant n'était pas nécessaire - il n'y a aucun calcul complexe dans les équations quadratiques incomplètes. En fait, il n'est même pas nécessaire de retenir l'inégalité (−c/a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur de x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S'il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S'il est négatif, il n'y aura pas de racines du tout.

Traitons maintenant des équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :

Sortir le facteur commun de la parenthèse

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, nous analyserons plusieurs de ces équations :