Кои числа са ирационални. Рационални и ирационални числа

Определение на ирационално число

Ирационалните числа са онези числа, които в десетична нотация са безкрайни непериодични десетични дроби.

Например числата, получени чрез вземане на корен квадратен от естествени числа, са ирационални и не са квадрати от естествени числа. Но не всички ирационални числа се получават чрез извличане квадратни корени, защото числото "pi", получено чрез деление, също е ирационално и е малко вероятно да го получите, когато се опитвате да извлечете корен квадратен от естествено число.

Свойства на ирационалните числа

За разлика от числата, записани в безкрайни десетични дроби, само ирационалните числа се записват в непериодични безкрайни десетични дроби.
Сборът от две неотрицателни ирационални числа може в крайна сметка да бъде рационално число.
Ирационални числадефинира секции на Дедекинд в множеството от рационални числа, в по-ниския клас, които нямат Голям брой, а в горния няма по-малък.
Всяко реално трансцендентално число е ирационално.
Всички ирационални числа са или алгебрични, или трансцендентни.
Множеството от ирационални числа на линията са плътно опаковани и между всеки две от неговите числа задължително има ir рационално число.
Множеството от ирационални числа е безкрайно, неизброимо и е множество от 2-ра категория.
При извършване на която и да е аритметична операция върху рационални числа, с изключение на деление на 0, резултатът ще бъде рационално число.
Когато добавяте рационално число към ирационално число, резултатът винаги е ирационално число.
Когато добавяме ирационални числа, в резултат можем да получим рационално число.
Множеството от ирационални числа не е четно.

Числата не са ирационални

Понякога е доста трудно да се отговори на въпроса дали дадено число е ирационално, особено в случаите, когато числото е под формата на десетична дроб или под формата на числов израз, корен или логаритъм.

Следователно няма да е излишно да знаем кои числа не са ирационални. Ако следваме определението за ирационални числа, тогава вече знаем, че рационалните числа не могат да бъдат ирационални.

Ирационалните числа не са:

Първо, всички естествени числа;
Второ, цели числа;
Трето, обикновени фракции;
Четвърто, различни смесени числа;
Пето, това са безкрайни периодични десетични дроби.

В допълнение към всичко по-горе, всяка комбинация от рационални числа, която се изпълнява от знаците на аритметичните операции, като +, -, , :, не може да бъде ирационално число, тъй като в този случай резултатът от две рационални числа също ще бъде рационално число.

Сега нека видим кои от числата са ирационални:

Знаете ли за съществуването на фен клуб, където феновете на този мистериозен математически феномен търсят все повече информация за Пи, опитвайки се да разгадаят неговата мистерия. Всеки човек, който знае наизуст определен брой числа Пи след десетичната запетая, може да стане член на този клуб;

Знаете ли, че в Германия, под закрилата на ЮНЕСКО, се намира дворецът Кастадел Монте, благодарение на чиито пропорции можете да изчислите Пи. На този номер е посветен цял дворец от крал Фридрих II.

Оказва се, че са се опитали да използват числото Пи при изграждането на Вавилонската кула. Но за наше голямо съжаление това доведе до краха на проекта, тъй като по това време точното изчисляване на стойността на Pi не беше достатъчно проучено.

Певицата Кейт Буш в новия си диск записа песен, наречена "Pi", в която прозвучаха сто двадесет и четири числа от известния номер 3, 141 ... ..

Множеството от всички естествени числа се обозначава с буквата N. Естествените числа са числата, които използваме за броене на обекти: 1,2,3,4, ... В някои източници числото 0 се нарича още естествени числа .

Множеството от всички цели числа се обозначава с буквата Z. Целите числа са всички естествени числа, нула и отрицателни числа:

1,-2,-3, -4, …

Сега добавяме към множеството от всички цели числа множеството от всички обикновени дроби: 2/3, 18/17, -4/5 и така нататък. Тогава получаваме множеството от всички рационални числа.

Набор от рационални числа

Множеството от всички рационални числа се обозначава с буквата Q. Множеството от всички рационални числа (Q) е множеството, състоящо се от числа от вида m/n, -m/n и числото 0. В като n,mможе да бъде произволно естествено число. Трябва да се отбележи, че всички рационални числа могат да бъдат представени като крайна или безкрайна ПЕРИОДИЧНА десетична дроб. Обратното също е вярно, че всяка крайна или безкрайна периодична десетична дроб може да бъде записана като рационално число.

Но какво ще кажете например за числото 2.0100100010...? Това е безкрайно НЕПЕРИОДИЧЕН десетичен знак. И това не се отнася за рационалните числа.

В училищния курс по алгебра се изучават само реални (или реални) числа. Много от всички реални числаобозначава се с буквата R. Множеството R се състои от всички рационални и всички ирационални числа.

Концепцията за ирационални числа

Ирационалните числа са всички безкрайни десетични непериодични дроби. Ирационалните числа нямат специално обозначение.

Например всички числа, получени чрез извличане на квадратния корен от естествени числа, които не са квадрати от естествени числа, ще бъдат ирационални. (√2, √3, √5, √6 и т.н.).

Но не мислете, че ирационалните числа се получават само чрез извличане на квадратни корени. Например числото "пи" също е ирационално и се получава чрез деление. И колкото и да се опитвате, не можете да го получите, като вземете корен квадратен от всяко естествено число.

С сегмент с единична дължина древните математици вече са знаели: те са знаели, например, несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.

Ирационални са:

Примери за доказване на ирационалност

Корен от 2

Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като несводима дроб, където и са цели числа. Нека квадратурираме предполагаемото равенство:

.

От това следва, че дори, следователно, дори и . Нека къде е цялото. Тогава

Следователно, дори, следователно, дори и . Получихме това и са четни, което противоречи на неприводимостта на дроба . Следователно, първоначалното предположение е погрешно и е ирационално число.

Двоичен логаритъм на числото 3

Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като дроб, където и са цели числа. Тъй като , и може да се приеме положително. Тогава

Но е ясно, странно е. Получаваме противоречие.

д

История

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр.н.е., когато Манава (около 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) открива, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. н. е.), питагореец, който намери това доказателство чрез изучаване на дължините на страните на пентаграма. По времето на питагорейците се е смятало, че има единична единица дължина, достатъчно малка и неделима, която е цял брой пъти, включена във всеки сегмент. Въпреки това, Хипас твърди, че няма единна единица дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълниксъдържа цял брой единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:

• Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:б, където аи бизбрана като възможно най-малка.
• Според питагоровата теорема: а² = 2 б².
• Като а² дори, атрябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
• Дотолкова доколкото а:бнесводим бтрябва да е странно.
• Като адори, обозначете а = 2г.
• Тогава а² = 4 г² = 2 б².
• б² = 2 г², следователно бтогава е четно бдори.
• Доказано е обаче, че бстранно Противоречие.

Гръцките математици наричат ​​това съотношение на несъизмерими величини alogos(неизразимо), но според легендите на Хипас не се отдава дължимото уважение. Има легенда, че Хипас е направил откритието по време на морско пътуване и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „за създаването на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните съотношения. " Откриването на Хипас постави пред питагорейската математика сериозен проблем, разрушавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно цяло и неразделни.

Вижте също

Бележки

Числени системи
Броене комплекти	Естествени числа () Цели числа ()

Рационалното число е число, което може да бъде представено като дроб, където . Q е множеството от всички рационални числа.

Рационалните числа се делят на: положителни, отрицателни и нула.

Всяко рационално число може да бъде свързано с една точка на координатната права. Отношението "вляво" за точките съответства на отношението "по-малко от" за координатите на тези точки. Може да се види, че всяко отрицателно число е по-малко от нула и всяко положително число; от две отрицателни числа, това, чийто модул е ​​по-голям, е по-малко. И така, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Всяко рационално число може да бъде представено като десетична периодична дроб. Например, .

Алгоритмите за операции с рационални числа следват от правилата на знаците за съответните операции върху нула и положителни дроби. Q извършва делене, различно от деление на нула.

Всякакви линейно уравнение, т.е. уравнение от вида ax+b=0, където , е разрешимо на множеството Q, но не и всяко квадратно уравнениемил , е разрешима в рационални числа. Не всяка точка на координатна права има рационална точка. Още в края на 6 век пр.н.е. н. д в школата на Питагор е доказано, че диагоналът на квадрата не е съизмерим с неговата височина, което е равносилно на твърдението: „Уравнението няма рационални корени“. Всичко по-горе доведе до необходимостта от разширяване на множеството Q, въведена беше концепцията за ирационално число. Означете множеството от ирационални числа с буквата Дж .

На координатна права всички точки, които нямат рационални координати, имат ирационални координати. , където r са набори от реални числа. по универсален начинприсвояването на реални числа са десетични. Периодичните десетични знаци определят рационалните числа, а непериодичните десетични знаци определят ирационалните числа. И така, 2,03 (52) е рационално число, 2,03003000300003 ... (периодът на всяка следваща цифра „3“ се записва с една нула повече) е ирационално число.

Множествата Q и R имат свойствата на положителност: между всякакви две рационални числа има рационално число, например ecoi a

За всяко ирационално число α може да се посочи рационално приближение както с недостатък, така и с излишък с всякаква точност: a< α

Операцията по извличане на корен от някои рационални числа води до ирационални числа. Извличането на корен от естествена степен е алгебрична операция, т.е. въвеждането му е свързано с решението на алгебрично уравнение от вида . Ако n е нечетно, т.е. n=2k+1, където , тогава уравнението има един корен. Ако n е четно, n=2k, където , тогава за a=0 уравнението има един корен x=0, за a<0 корней нет, при a>0 има два корена, които са противоположни един на друг. Извличането на корен е обратната операция на издигането до естествена степен.

Аритметичният корен (за краткост, коренът) от n-та степен на неотрицателно число a е неотрицателно число b, което е коренът на уравнението. Коренът от n-та степен от числото a се обозначава със символа. За n=2 степента на корен 2 не е посочена: .

Например, , защото 2 2 =4 и 2>0; , защото 3 3 =27 и 3>0; не съществува, защото -4<0.

За n=2k и a>0, корените на уравнение (1) се записват като и . Например, корените на уравнението x 2 \u003d 4 са 2 и -2.

За n нечетно, уравнение (1) има един корен за произволно . Ако a≥0, тогава - коренът на това уравнение. Ако<0, то –а>0 и - коренът на уравнението. И така, уравнението x 3 \u003d 27 има корен.

Какво представляват ирационалните числа? Защо се наричат ​​така? Къде се използват и какви са те? Малцина могат да отговорят на тези въпроси без колебание. Но всъщност отговорите на тях са доста прости, въпреки че не всеки има нужда от тях и в много редки ситуации.

Същност и обозначение

Ирационалните числа са безкрайни непериодични. Необходимостта от въвеждане на това понятие се дължи на факта, че за решаване на нови възникващи проблеми съществуващите по-рано понятия за реални или реални, цели, естествени и рационални числа вече не бяха достатъчни. Например, за да изчислите какво представлява квадратът от 2, трябва да използвате неповтарящи се безкрайни десетични знаци. Освен това много от най-простите уравнения също нямат решение без да се въведе концепцията за ирационално число.

Това множество се обозначава като I. И, както вече е ясно, тези стойности не могат да бъдат представени като обикновена дроб, в числителя на която ще има цяло число, а в знаменателя -

За първи път, по един или друг начин, индийските математици се сблъскват с това явление през 7 век, когато е открито, че квадратните корени на някои величини не могат да бъдат изрично посочени. И първото доказателство за съществуването на такива числа се приписва на питагорейския Хипас, който направи това в процеса на изучаване на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Сериозен принос за изследването на този набор имат някои други учени, живели преди нашата ера. Въвеждането на концепцията за ирационалните числа доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, поради което те са толкова важни.

произход на името

Ако съотношението на латински е "фракция", "отношение", тогава префиксът "ir"
дава на думата противоположно значение. По този начин името на множеството от тези числа показва, че те не могат да бъдат свързани с цяло число или дробно число, те имат отделно място. Това следва от тяхната природа.

Място в генералното класиране

Ирационалните числа, заедно с рационалните числа, принадлежат към групата на реалните или реалните числа, които от своя страна са комплексни. Няма подмножества, но има алгебрични и трансцендентални разновидности, които ще бъдат обсъдени по-долу.

Имоти

Тъй като ирационалните числа са част от множеството от реални числа, всички техни свойства, които се изучават в аритметиката (те се наричат ​​още основни алгебрични закони) се отнасят за тях.

a + b = b + a (комутативност);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоциативност);

a + (-a) = 0 (съществуването на противоположното число);

ab = ba (закон за изместване);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивност);

a(b+c) = ab + ac (разпределителен закон);

a x 1/a = 1 (наличието на обратно число);

Сравнението също се извършва в съответствие с общите закони и принципи:

Ако a > b и b > c, тогава a > c (транзитивност на релацията) и. и т.н.

Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат трансформирани с помощта на основното аритметични операции. Няма специални правила за това.

Освен това действието на аксиомата на Архимед се простира до ирационалните числа. Той казва, че за всякакви две величини a и b е вярно твърдението, че като вземем a като член достатъчно пъти, е възможно да се надмине b.

Използване

Въпреки факта, че в обикновен животне толкова често се налага да се справяте с тях, ирационалните числа не са преброими. Има много, но са почти невидими. Навсякъде сме заобиколени от ирационални числа. Примери, познати на всички, са pi, което е 3,1415926... или e, което по същество е основата естествен логаритъм, 2.718281828... В алгебрата, тригонометрията и геометрията трябва да ги използвате постоянно. Между другото, известното значение на "златното сечение", тоест съотношението както на по-голямата част към по-малката, така и обратно, също

принадлежи към този набор. По-малко известното "сребро" - също.

На числовата права те са разположени много плътно, така че между всякакви две величини, свързани с множеството от рационални, със сигурност ще се появи ирационална.

Все още има много нерешени проблеми, свързани с този комплект. Има такива критерии като мярка за ирационалност и нормалност на число. Математиците продължават да разглеждат най-значимите примери за принадлежността им към една или друга група. Например, счита се, че e е нормално число, тоест вероятността различните цифри да се появят в неговото вписване е една и съща. Що се отнася до пи, все още се провеждат изследвания по отношение на него. Мярка за ирационалност е стойност, която показва колко добре определено число може да бъде аппроксимирано от рационални числа.

Алгебрични и трансцендентални

Както вече споменахме, ирационалните числа се разделят условно на алгебрични и трансцендентални. Условно, тъй като, строго погледнато, тази класификация се използва за разделяне на множеството C.

Под това обозначение са скрити комплексни числа, които включват реални или реални числа.

И така, алгебрична стойност е стойност, която е корен на полином, който не е идентично равен на нула. Например корен квадратен от 2 би бил в тази категория, защото е решението на уравнението x 2 - 2 = 0.

Всички други реални числа, които не отговарят на това условие, се наричат ​​трансцендентални. Това разнообразие включва и най-известните и вече споменати примери - числото pi и основата на естествения логаритъм e.

Интересното е, че нито едното, нито второто са били първоначално изведени от математиците в това качество, тяхната ирационалност и трансцендентност са доказани много години след откриването им. За пи доказателството е дадено през 1882 г. и опростено през 1894 г., което сложи край на 2500-годишния спор за проблема с квадратурата на окръжността. Все още не е напълно разбрано, така че съвременните математици имат над какво да работят. Между другото, първото достатъчно точно изчисление на тази стойност е извършено от Архимед. Преди него всички изчисления бяха твърде приблизителни.

За e (числото на Ойлер или Напие) през 1873 г. е намерено доказателство за неговата трансцендентност. Използва се при решаване на логаритмични уравнения.

Други примери включват стойности на синус, косинус и тангенс за всякакви алгебрични стойности, различни от нула.