Turli xil ildizlarni yotqiz. Ildizlarni ayirish qoidalari

Raqamning kvadrat ildizi X raqam chaqirdi A, bu o'z-o'zidan ko'payish jarayonida ( A*A) raqam berishi mumkin X.
Bular. A * A = A 2 = X, Va √X = A.

Kvadrat ildizlar ustida ( √x), boshqa raqamlarda bo'lgani kabi, ayirish va qo'shish kabi arifmetik amallarni bajarishingiz mumkin. Ildizlarni ayirish va qo'shish uchun ular ushbu harakatlarga mos keladigan belgilar yordamida ulanishi kerak (masalan √x- √y ).
Va keyin ularga ildizlarni olib keling eng oddiy shakl- agar ular orasida o'xshashlar bo'lsa, gips qilish kerak. Bu shunga o'xshash atamalarning koeffitsientlari mos keladigan atamalar belgilari bilan olinadi, keyin ular qavslar ichiga olinadi va umumiy ildiz ko'paytiruvchi qavslar tashqarisida ko'rsatiladi. Biz olgan koeffitsient odatiy qoidalarga muvofiq soddalashtirilgan.

Qadam 1. Kvadrat ildizlarni chiqarish

Birinchidan, kvadrat ildizlarni qo'shish uchun birinchi navbatda bu ildizlarni chiqarib olishingiz kerak. Agar ildiz belgisi ostidagi raqamlar mukammal kvadratlar bo'lsa, buni qilish mumkin. Masalan, berilgan ifodani oling √4 + √9 . Birinchi raqam 4 sonning kvadratidir 2 . Ikkinchi raqam 9 sonning kvadratidir 3 . Shunday qilib, quyidagi tenglikni olish mumkin: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Hamma narsa, misol hal qilindi. Lekin bu har doim ham shunday bo'lavermaydi.

Qadam 2. Ildiz ostidan sonning ko'paytuvchisini chiqarish

Agar ildiz belgisi ostida to'liq kvadratchalar bo'lmasa, siz raqamning ko'paytiruvchisini ildiz belgisi ostidan chiqarishga harakat qilishingiz mumkin. Misol uchun, ifodani oling √24 + √54 .

Raqamlarni faktorlarga ajratamiz:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ro'yxatda 24 bizda multiplikator bor 4 , u kvadrat ildiz belgisi ostidan chiqarilishi mumkin. Ro'yxatda 54 bizda multiplikator bor 9 .

Biz tenglikni olamiz:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ushbu misolni ko'rib chiqsak, biz omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlashni olamiz va shu bilan berilgan ifodani soddalashtiramiz.

Qadam 3. Maxrajni qisqartirish

Quyidagi vaziyatni ko'rib chiqing: ikkita kvadrat ildizning yig'indisi kasrning maxrajidir, masalan, A / (√a + √b).
Endi oldimizda “maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish” vazifasi turibdi.
Keling, quyidagi usuldan foydalanamiz: kasrning soni va maxrajini ifoda bilan ko'paytiramiz √a - √b.

Endi biz maxrajdagi qisqartirilgan ko'paytirish formulasini olamiz:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Xuddi shunday, agar maxrajda ildizlar farqi bo'lsa: √a - √b, kasrning soni va maxraji ifodaga ko'paytiriladi √a + √b.

Misol tariqasida kasrni olaylik:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Kompleks maxrajni qisqartirishga misol

Endi yetarlicha ko'rib chiqaylik murakkab misol maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish.

Misol tariqasida kasrni olaylik: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Uning soni va maxrajini olib, ifoda bilan ko'paytirish kerak √2 + √3 - √5 .

Biz olamiz:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Qadam 4. Kalkulyatorda taxminiy qiymatni hisoblang

Agar sizga faqat taxminiy qiymat kerak bo'lsa, bu kvadrat ildizlarning qiymatini hisoblash orqali kalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin. Alohida-alohida, har bir raqam uchun qiymat o'nli kasrlar soni bilan belgilanadigan kerakli aniqlik bilan hisoblab chiqiladi va qayd etiladi. Bundan tashqari, oddiy raqamlarda bo'lgani kabi, barcha kerakli operatsiyalar bajariladi.

Taxminiy hisoblash misoli

Bu ifodaning taxminiy qiymatini hisoblash kerak √7 + √5 .

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

E'tibor bering: hech qanday holatda kvadrat ildizlarni tub sonlar sifatida qo'shmaslik kerak, bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Ya'ni, agar biz qo'shsak Kvadrat ildiz beshdan va uchtadan sakkizning kvadrat ildizini ololmaymiz.

Foydali maslahat: agar siz raqamni faktorlarga ajratishga qaror qilsangiz, ildiz belgisi ostidan kvadrat hosil qilish uchun siz teskari tekshirishni amalga oshirishingiz kerak, ya'ni hisob-kitoblar natijasida yuzaga kelgan barcha omillarni va buning yakuniy natijasini ko'paytirishingiz kerak. matematik hisob bizga dastlab berilgan raqam bo'lishi kerak.

Matematikada ildizlar kvadrat, kub yoki boshqa ko'rsatkichga (kuchga) ega bo'lishi mumkin, ular ildiz belgisining chap tomonida yoziladi. Ildiz belgisi ostidagi ifoda ildiz ifodasi deyiladi. Ildiz qo'shish atama qo'shishga o'xshaydi. algebraik ifoda, ya'ni o'xshash ildizlarning ta'rifini talab qiladi.

Qadamlar

2-qism 1: Ildizlarni topish

Ildiz belgilash. Ildiz belgisi () ostidagi ifoda bu ifodadan ma'lum darajadagi ildizni ajratib olish zarurligini bildiradi.

Ildiz belgi bilan belgilanadi.
Ildizning indeksi (darajasi) ildiz belgisining chap tomonida yoziladi. Masalan, 27 ning kub ildizi quyidagicha yoziladi: (27)
Agar ildizning ko'rsatkichi (darajasi) bo'lmasa, u holda ko'rsatkich 2 ga teng deb hisoblanadi, ya'ni u kvadrat ildiz (yoki ikkinchi darajali ildiz).
Ildiz belgisidan oldin yozilgan son ko'paytma deb ataladi (ya'ni bu raqam ildizga ko'paytiriladi), masalan 5 (2)
Agar ildiz oldida hech qanday omil bo'lmasa, u 1 ga teng bo'ladi (esda tutingki, har qanday raqam 1 ga ko'paytiriladi).
Agar siz ildizlar bilan birinchi marta ishlayotgan bo'lsangiz, chalkashmaslik va ularning maqsadini yaxshiroq tushunish uchun ildizning ko'paytmasi va ko'rsatkichiga tegishli eslatmalarni yozing.

Qaysi ildizlarni yig'ish mumkin va qaysi biri mumkin emasligini unutmang. 2a + 2b 4ab kabi iboraning turli shartlarini qo'sha olmaganingizdek, siz ham turli ildizlarni qo'sha olmaysiz.

Siz turli xil ildiz ifodalari bilan ildiz qo'sha olmaysiz, masalan, (2) + (3) (5). Ammo siz bir xil ildiz ostida raqamlarni qo'shishingiz mumkin, masalan, (2 + 3) = (5) (2 ning kvadrat ildizi taxminan 1,414, 3 ning kvadrat ildizi taxminan 1,732 va 5 ning kvadrat ildizi taxminan 2,236 ni tashkil qiladi. ).

Siz bir xil ildiz ifodalari bilan ildizlarni qo'sha olmaysiz, lekin turli ko'rsatkichlar, masalan, (64) + (64) (bu yig'indi (64) ga teng emas, chunki 64 ning kvadrat ildizi 8 ga teng, 64 ning kub ildizi 4, 8 + 4 = 12, bu 64 ning beshinchi ildizidan ancha katta, bu taxminan 2,297).

2-qism 2: Ildizlarni soddalashtirish va qo'shish

O'xshash ildizlarni aniqlang va guruhlang. O'xshash ildizlar bir xil darajali va bir xil ildiz ifodalariga ega bo'lgan ildizlardir. Misol uchun, ifodani ko'rib chiqing:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Birinchidan, bir xil ko'rsatkichli ildizlar ketma-ket bo'lishi uchun ifodani qayta yozing.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Keyin ifodani shunday yozingki, bir xil darajali va bir xil ildiz ifodali ildizlar ketma-ket bo'ladi.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Ildizlaringizni soddalashtiring. Buning uchun (iloji bo'lsa) radikal iboralarni ikkita omilga ajrating, ulardan biri ildiz ostidan chiqariladi. Bunday holda, ko'rsatilgan raqam va ildiz omili ko'paytiriladi.

Yuqoridagi misolda 2*25 ga 50 sonini va 2*16 ga 32 sonini koʻpaytiring. 25 va 16 dan kvadrat ildizlarni ajratib olishingiz mumkin (mos ravishda 5 va 4) va ildiz ostidan 5 va 4 ni mos ravishda 2 va 1 omillarga ko'paytirishingiz mumkin. Shunday qilib, siz soddalashtirilgan ifodani olasiz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

81 raqamini 3 * 27 soniga ko'paytirish mumkin, 3 ning kub ildizini esa 27 raqamidan olish mumkin. Bu 3 raqamini ildiz ostidan chiqarish mumkin. Shunday qilib, siz yanada soddalashtirilgan ifodaga ega bo'lasiz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

O'xshash ildizlarning omillarini qo'shing. Bizning misolimizda 2 ning o'xshash kvadrat ildizlari (ularni qo'shish mumkin) va 3 ning o'xshash kvadrat ildizlari mavjud (ular ham qo'shilishi mumkin). Da kub ildizi 3 tadan bunday ildizlar yo'q.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Yakuniy soddalashtirilgan ifoda: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Ifodada ildizlarni yozish tartibining umumiy qabul qilingan qoidalari yo'q. Shuning uchun siz ildizlarni ko'rsatkichlarining o'sish tartibida va radikal ifodalarning o'sish tartibida yozishingiz mumkin.

Diqqat, faqat BUGUN!

Hammasi qiziq

Ildiz belgisi ostida bo'lgan raqam ko'pincha tenglamaning yechimiga xalaqit beradi, u bilan ishlash noqulay. Agar u kasr darajasiga ko'tarilgan bo'lsa yoki ma'lum darajada butun son sifatida ko'rsatilmasa ham, uni ...

X sonining ildizi - bu ildiz darajasiga ko'tarilganda, x ga teng bo'ladigan son. Ko'paytiruvchi ko'paytirilayotgan sondir. Ya'ni, x*ª-&radic-y kabi ifodada siz ildiz ostiga x qo'shishingiz kerak. Ko'rsatma 1 Darajani aniqlang ...

Agar ildiz ifodasi o'zgaruvchilar bilan matematik amallar to'plamini o'z ichiga olgan bo'lsa, unda ba'zan uni soddalashtirish natijasida nisbatan oddiy qiymatni olish mumkin, uning bir qismini ildiz ostidan olish mumkin. Ushbu soddalashtirish foydalidir ...

Turli darajadagi ildizlarga ega bo'lgan arifmetik amallar fizika va texnologiyada hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirishi va ularni aniqroq qilishi mumkin. Ko'paytirish va bo'lishda har bir omil yoki dividend va bo'luvchidan ildizni ajratib olmaslik qulayroqdir, lekin birinchi navbatda ...

X sonining kvadrat ildizi a soni bo'lib, u o'ziga ko'paytirilganda x sonini beradi: a * a = a^2 = x, x = a. Har qanday sonda bo'lgani kabi, kvadrat ildizlarda ham qo'shish va ayirishning arifmetik amallarini bajarishingiz mumkin. Ko'rsatma...

Matematikada ildiz ikki ma'noga ega bo'lishi mumkin: bu arifmetik amal va tenglamaning har bir yechimi, algebraik, parametrik, differentsial yoki boshqa har qanday. 1-ko'rsatma a sonining n-darajali ildizi shunday sonki, ...

Har xil ishlarni bajarayotganda arifmetik amallar ildizlar bilan, ko'pincha radikal iboralarni o'zgartirish imkoniyatiga ega bo'lish kerak. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun omilni radikal belgisidan olib tashlash yoki uning ostiga qo'yish kerak bo'lishi mumkin. Bu harakat mumkin ...

Ildiz ifodalovchi belgidir matematik operatsiya ildiz belgisidan oldin ko'rsatilgan quvvatga to'g'ri keladigan bunday raqamni topish, aynan shu belgi ostida ko'rsatilgan raqamni berishi kerak. Ko'pincha, mavjud muammolarni hal qilish uchun ...

Matematik fanlarda ildiz belgisi deyiladi ramzi ildizlar uchun. Ildiz belgisi ostidagi songa radikal ifoda deyiladi. Ko'rsatkich bo'lmasa, ildiz kvadratdir, aks holda bu raqam ...

arifmetik ildiz n-daraja haqiqiy sondan a shunday manfiy bo'lmagan son x deb ataladi, n-chi kuch a soniga teng. Bular. (n) a = x, x^n = a. Mavjud turli yo'llar bilan qo'shimchalar arifmetik ildiz va ratsional son ...

Haqiqiy a sonining n-chi ildizi b^n = a tengligi to‘g‘ri bo‘lgan b sondir. Manfiy va musbat sonlar uchun toq ildizlar, hattoki ildizlar esa faqat musbat raqamlar uchun mavjud.…

Raqamning kvadrat ildizi X raqam chaqirdi A, bu o'z-o'zidan ko'payish jarayonida ( A*A) raqam berishi mumkin X.
Bular. A * A = A 2 = X, Va √X = A.

Kvadrat ildizlar ustida ( √x), boshqa raqamlarda bo'lgani kabi, ayirish va qo'shish kabi arifmetik amallarni bajarishingiz mumkin. Ildizlarni ayirish va qo'shish uchun ular ushbu harakatlarga mos keladigan belgilar yordamida ulanishi kerak (masalan √x - √y ).
Va keyin ildizlarni eng oddiy shaklga keltiring - agar ular orasida o'xshashlar bo'lsa, siz gips qilishingiz kerak. Bu shunga o'xshash atamalarning koeffitsientlari mos keladigan atamalar belgilari bilan olinadi, keyin ular qavslar ichiga olinadi va umumiy ildiz ko'paytiruvchi qavslar tashqarisida ko'rsatiladi. Biz olgan koeffitsient odatiy qoidalarga muvofiq soddalashtirilgan.

Qadam 1. Kvadrat ildizlarni chiqarish

Qadam 2. Ildiz ostidan sonning ko'paytuvchisini chiqarish

Agar ildiz belgisi ostida to'liq kvadratchalar bo'lmasa, siz raqamning ko'paytiruvchisini ildiz belgisi ostidan chiqarishga harakat qilishingiz mumkin. Misol uchun, ifodani oling √24 + √54 .

Raqamlarni faktorlarga ajratamiz:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ro'yxatda 24 bizda multiplikator bor 4 , u kvadrat ildiz belgisi ostidan chiqarilishi mumkin. Ro'yxatda 54 bizda multiplikator bor 9 .

Biz tenglikni olamiz:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ushbu misolni ko'rib chiqsak, biz omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlashni olamiz va shu bilan berilgan ifodani soddalashtiramiz.

Qadam 3. Maxrajni qisqartirish

Endi biz maxrajdagi qisqartirilgan ko'paytirish formulasini olamiz:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Xuddi shunday, agar maxrajda ildizlar farqi bo'lsa: √a - √b, kasrning soni va maxraji ifodaga ko'paytiriladi √a + √b.

Misol tariqasida kasrni olaylik:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Kompleks maxrajni qisqartirishga misol

Endi biz maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishning ancha murakkab misolini ko'rib chiqamiz.

Misol tariqasida kasrni olaylik: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Uning soni va maxrajini olib, ifoda bilan ko'paytirish kerak √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Qadam 4. Kalkulyatorda taxminiy qiymatni hisoblang

Taxminiy hisoblash misoli

Bu ifodaning taxminiy qiymatini hisoblash kerak √7 + √5 .

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

E'tibor bering: hech qanday holatda kvadrat ildizlarni tub sonlar sifatida qo'shmaslik kerak, bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Ya'ni, agar siz besh va uchta kvadrat ildizni qo'shsangiz, sakkizning kvadrat ildizini ololmaymiz.

Ildizlarni ayirish qoidalari

1. Manfiy bo'lmagan sonlar ko'paytmasidan daraja ildizi omillardan bir xil darajadagi ildizlarning ko'paytmasiga teng: bu erda (ko'paytmadan ildizni olish qoidasi).

2. Agar , u holda y (kasrdan ildizni ajratib olish qoidasi).

3. Agar u holda (ildizni ildizdan ajratib olish qoidasi).

4. Agar u holda ildizni kuchga ko'tarish qoidasi).

5. Agar u holda qaerda, ya'ni ildiz indeksi va radikal ifoda indeksini bir xil raqamga ko'paytirish mumkin.

6. Agar u holda 0 bo'lsa, ya'ni kattaroq ijobiy radikal ifoda ildizning kattaroq qiymatiga mos keladi.

7. Yuqoridagi barcha formulalar tez-tez ishlatiladi teskari tartib(ya'ni o'ngdan chapga). Misol uchun,

(ildizlarni ko'paytirish qoidasi);

(ildizlarni ajratish qoidasi);

8. Ko`paytuvchini ildiz belgisi ostidan chiqarish qoidasi. Da

9. Teskari masala - ildiz belgisi ostidagi omilni kiritish. Misol uchun,

10. Kasrning maxrajidagi irratsionallikni yo'q qilish.

Keling, ba'zi odatiy holatlarni ko'rib chiqaylik.

So`zning ma`nosi So`zlarning ma`nosini izohlang: qonun, sudxo`r, qarzdor-qul. so`zlarning ma`nosini izohlang: qonun, sudxo`r, qarzdor qul. Mazali Qulupnay (Mehmon) Mavzu bo'yicha maktab savollari 1. 3 xili qanday [...]
Sizga avtomashinada ratsionga ruxsat kerakmi? qayerda o'qish kerak? Siz baribir radiostansiyangizni ro'yxatdan o'tkazishingiz kerak. 462 MGts chastotada ishlaydigan telsizlar, agar siz Ichki ishlar vazirligi vakili bo'lmasangiz, [...]
Yagona soliq stavkasi – 2018-yil Birinchi va ikkinchi guruhdagi jismoniy shaxslar – tadbirkorlar uchun 2018-yilgi yagona soliq stavkasi 01-yanvarda belgilangan yashash minimumi va eng kam ish haqiga nisbatan foizlarda […]
Avito sug'urta QONUNIYLIK KAFOLATI. OSAGO elektron pochta manzilini mustaqil ravishda berishga qaror qildingizmi, lekin siz uchun hech narsa ishlamayaptimi? Vahima qilmang! !!Men siz uchun barcha kerakli ma'lumotlarni elektron arizaga kiritaman [...]
Aktsiz solig'ini hisoblash va to'lash tartibi Aktsiz solig'i tovar va xizmatlarga to'lanadigan bilvosita soliqlardan biri bo'lib, ularning tannarxiga kiritiladi. Aktsiz solig'i QQSdan farq qiladi, chunki u […]
Ilova. Rostov-na-Donu shahridan foydalanish va uni rivojlantirish qoidalari Shahar Dumasining 2008 yil 17 iyundagi 405-son qaroriga ilova Rostov-na-Donu shahridan yerdan foydalanish va rivojlantirish qoidalari. ]

Misol uchun,

11. Arifmetik ildizlar bilan bajariladigan amallarga qisqartirilgan ko‘paytirish identifikatorlarini qo‘llash:

12. Ildiz oldidagi omil uning koeffitsienti deyiladi. Masalan, bu erda 3 omil hisoblanadi.

13. Ildizlar (radikallar) bir xil ildiz darajalari va bir xil radikal ifodalarga ega bo'lsa, lekin faqat koeffitsienti bilan farq qilsa, o'xshash deyiladi. Bu ildizlar (radikallar) o'xshash yoki yo'qligini aniqlash uchun ularni eng oddiy shaklga qisqartirishingiz kerak.

Masalan, va shunga o'xshash, chunki

ECHIMLARI BILAN MASHQLAR

1. Ifodalarni soddalashtiring:

Yechim. 1) Ildiz ifodasini ko'paytirishning ma'nosi yo'q, chunki omillarning har biri butun sonning kvadratini ifodalaydi. Keling, mahsulotdan ildizni ajratib olish qoidasidan foydalanamiz:

Kelajakda bunday harakatlar og'zaki ravishda amalga oshiriladi.

2) Iloji bo'lsa, radikal ifodani har biri butun sonning kubi bo'lgan omillar ko'paytmasi sifatida tasvirlashga harakat qilaylik va hosilaning ildizi haqidagi qoidani qo'llaymiz:

2. Ifodaning qiymatini toping:

Yechim. 1) Kasrdan ildizni ajratib olish qoidasiga ko'ra, bizda:

3) Biz radikal iboralarni o'zgartiramiz va ildizni chiqaramiz:

3. Qachonni soddalashtiring

Yechim. Ildizdan ildiz olishda ildizlarning indekslari ko'paytiriladi va ildiz ifodasi o'zgarishsiz qoladi.

Agar ildiz ostida ildiz oldidan koeffitsient mavjud bo'lsa, u holda ildizni ajratib olish operatsiyasini bajarishdan oldin, bu koeffitsient uning oldida turgan radikal belgisi ostida kiritiladi.

Yuqoridagi qoidalarga asoslanib, biz oxirgi ikkita ildizni chiqaramiz:

4. Quvvatni oshiring:

Yechim. Ildizni darajaga ko'tarishda ildiz darajasi o'zgarishsiz qoladi va radikal ifoda ko'rsatkichlari ko'rsatkichga ko'paytiriladi.

(chunki u aniqlangan, keyin );

Agar berilgan ildiz koeffitsientga ega, keyin bu koeffitsient alohida quvvatga ko'tariladi va natija ildizda koeffitsient sifatida yoziladi.

Bu erda biz ildiz indeksi va radikal ifoda indeksini bir xil raqamga ko'paytirish qoidasidan foydalandik (biz ko'paytirdik, ya'ni 2 ga bo'lingan).

Masalan, yoki

4) Ikki xil radikallar yig‘indisini ifodalovchi qavs ichidagi ifoda kub shaklida va soddalashtiriladi:

Chunki bizda:

5. maxrajdagi mantiqsizlikni bartaraf qiling:

Yechim. Kasrning maxrajidagi irratsionallikni yo'q qilish (yo'q qilish) uchun siz maxrajli ko'paytmada berilgan eng oddiy iboralarni topishingiz kerak. ratsional ifodalash, va bu kasrning sonini va maxrajini topilgan koeffitsientga ko'paytiring.

Masalan, kasrning maxrajida binomi bo'lsa, kasrning soni va maxrajini maxrajga qo'shilgan ifodaga ko'paytirish kerak, ya'ni yig'indini mos keladigan ayirmaga va aksincha ko'paytirish kerak.

Ko'proq qiyin holatlar mantiqsizlikni darhol emas, balki bir necha bosqichda yo'q qiling.

1) ifoda o'z ichiga olishi kerak

Kasrning soni va maxrajini ko'paytirsak, biz quyidagilarga erishamiz:

2) Kasrning soni va maxrajini yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirsak, biz quyidagilarga erishamiz:

3) Kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz:

Bu misolni yechishda shuni yodda tutishimiz kerakki, har bir kasrning ma’nosi bor, ya’ni har bir kasrning maxraji noldan farq qiladi. Bundan tashqari,

Radikallarni o'z ichiga olgan iboralarni konvertatsiya qilishda ko'pincha xatolarga yo'l qo'yiladi. Ular arifmetik ildiz va mutlaq qiymat tushunchasini (ta'rifini) to'g'ri qo'llay olmaslikdan kelib chiqadi.

Ildizlarni ayirish qoidalari

Ifoda qiymatini hisoblash

Yechim.

Tushuntirish.
Ildiz ifodasini yopish uchun uning ildiz ifodasidagi ikkinchi omilda 31 sonini 15+16 yig‘indisi sifatida ifodalaymiz. (2-qator)

Transformatsiyadan so'ng, ikkinchi radikal ifodadagi yig'indini qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida yig'indining kvadrati sifatida ifodalash mumkinligini ko'rish mumkin. (3-qator)

Endi berilgan mahsulotdan har bir ildizni daraja sifatida ifodalaymiz. (4-qator)

Ifodani soddalashtiring (5-qator)

Mahsulotning kuchi har bir omillarning kuchlari mahsulotiga teng bo'lganligi sababli, biz buni mos ravishda ifodalaymiz (6-qator)

Ko'rib turganingizdek, qisqartirilgan ko'paytirish formulalariga ko'ra, biz ikkita raqamning kvadratlari farqiga egamiz. Ifodaning qiymatini qaerdan va hisoblang (7-qator)

Ifodaning qiymatini hisoblang.

Yechim.

Tushuntirish.

Ildizning xususiyatlaridan foydalanamiz, ya'ni xususiy sonlarning ixtiyoriy kuchining ildizi bu raqamlarning ildizlarining xususiy qismiga teng (2-qator)

Xuddi shu darajadagi sonning ixtiyoriy darajasining ildizi shu raqamga teng (3-qator)

Birinchi multiplikator qavsdan minusni olib tashlaymiz. Bunday holda, qavs ichidagi barcha belgilar teskari bo'ladi (4-qator)

Kasrni kamaytiramiz (5-qator)

729 sonni 27 sonining kvadrati, 27 sonini 3 sonining kubi sifatida tasvirlaymiz. Radikal ifodaning qiymatini qaerdan olamiz.

Kvadrat ildiz. Birinchi daraja.

O'z kuchingizni sinab ko'rishni va Yagona davlat imtihoniga yoki OGEga qanchalik tayyor ekanligingiz natijasini bilmoqchimisiz?

1. Arifmetik kvadrat ildiz tushunchasi bilan tanishtirish

Manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi (arifmetik kvadrat ildiz) kvadrati teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.
.

Ildiz belgisi ostidagi raqam yoki ifoda manfiy bo'lmasligi kerak

2. Kvadratchalar jadvali

3. Arifmetik kvadrat ildizning xossalari

Arifmetik kvadrat ildiz tushunchasi bilan tanishtirish

Keling, "ildiz" qanday tushuncha ekanligini va "nima bilan iste'mol qilinishini" aniqlashga harakat qilaylik. Buni amalga oshirish uchun siz allaqachon darslarda duch kelgan misollarni ko'rib chiqing (yaxshi, yoki shunchaki bunga duch kelishingiz kerak).

Masalan, bizda tenglama bor. Yechim nima berilgan tenglama? Qanday raqamlarni kvadratga aylantirish va bir vaqtning o'zida olish mumkin? Ko'paytirish jadvalini eslab, siz osongina javob berishingiz mumkin: va (chunki ikkita manfiy sonni ko'paytirganda siz ijobiy raqam olasiz)! Soddalashtirish uchun matematiklar kvadrat ildizning maxsus tushunchasini kiritdilar va unga maxsus belgi qo'ydilar.

Keling, arifmetik kvadrat ildizni aniqlaymiz.

Nima uchun raqam manfiy bo'lmasligi kerak? Masalan, nimaga teng? Mayli, buni tushunishga harakat qilaylik. Balki uchta? Keling, tekshiramiz: va yo'q. Balki, ? Yana tekshiring: Xo'sh, u tanlanmaganmi? Buni kutish kerak - chunki kvadratga aylantirilganda manfiy raqam beradigan raqamlar yo'q!

Biroq, ta'rifda "sonning kvadrat ildizining yechimi kvadrati teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son" ekanligi aytilganini allaqachon payqagansiz. Va boshida biz misolni tahlil qildik, kvadratga aylantirilishi va bir vaqtning o'zida olinishi mumkin bo'lgan raqamlarni tanladik, javob va bu erda qandaydir "salbiy bo'lmagan son" haqida gap ketmoqda! Bunday izoh juda o'rinli. Bu erda oddiygina kvadrat tenglamalar va sonning arifmetik kvadrat ildizi tushunchalarini farqlash kerak. Masalan, u ifodaga teng emas.

Va shundan kelib chiqadi.

Albatta, bu juda chalkash, lekin shuni esda tutish kerakki, belgilar tenglamani yechish natijasidir, chunki tenglamani yechishda biz dastlabki tenglamaga almashtirilganda to'g'ri keladigan barcha x larni yozishimiz kerak. natija. Bizning kvadrat tenglamamizda ikkala va ham mos keladi.

Lekin, Agar biror narsaning kvadrat ildizini olsangiz, unda siz doimo bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishasiz.

Endi bu tenglamani yechishga harakat qiling. Hamma narsa juda oddiy va silliq emas, shunday emasmi? Raqamlarni saralashga harakat qiling, ehtimol biror narsa yonib ketadimi?

Eng boshidan boshlaylik - noldan: - mos kelmaydi, davom eting; - uchdan kam, biz ham chetga suramiz, lekin nima bo'lsa? Keling, tekshiramiz: - ham mos kelmaydi, chunki uchdan ortiq. Salbiy raqamlar bilan bir xil voqea sodir bo'ladi. Va endi nima qilish kerak? Qidiruv bizga hech narsa bermadimi? Hechqisi yo'q, endi biz aniq bilamizki, javob va orasida, shuningdek va orasida qandaydir son bo'ladi. Bundan tashqari, yechimlar butun son bo'lmasligi aniq. Bundan tashqari, ular mantiqiy emas. Va undan keyin nima? Funksiya grafigini tuzamiz va undagi yechimlarni belgilaymiz.

Keling, tizimni aldashga va kalkulyator yordamida javob olishga harakat qilaylik! Keling, biznesning ildizidan chiqaylik! Oh-oh-oh, ma'lum bo'ldiki, bunday raqam hech qachon tugamaydi. Buni qanday eslay olasiz, chunki imtihonda kalkulyator bo'lmaydi!? Hammasi juda oddiy, uni eslab qolishning hojati yo'q, taxminiy qiymatni eslab qolish (yoki tezda baholay olish) kerak. va javoblarning o'zi. Bunday raqamlar irratsional deb nomlanadi va aynan shunday raqamlarning yozuvini soddalashtirish uchun kvadrat ildiz tushunchasi kiritilgan.
Yana bir misolni mustahkamlash uchun ko'rib chiqaylik. Keling, quyidagi masalani tahlil qilaylik: tomoni km bo'lgan kvadrat maydonni diagonal bo'ylab kesib o'tish kerak, necha km yurish kerak?

Bu erda eng aniq narsa uchburchakni alohida ko'rib chiqish va Pifagor teoremasidan foydalanishdir:. Shunday qilib, . Xo'sh, bu erda kerakli masofa qancha? Shubhasiz, masofa salbiy bo'lishi mumkin emas, biz buni tushunamiz. Ikkining ildizi taxminan tengdir, lekin yuqorida aytib o'tganimizdek, allaqachon to'liq javob.

Ildizni qazib olish

Misollarni ildizlar bilan hal qilish muammoga olib kelmasligi uchun siz ularni ko'rishingiz va tanib olishingiz kerak. Buning uchun siz hech bo'lmaganda dan gacha bo'lgan raqamlarning kvadratlarini bilishingiz kerak, shuningdek ularni taniy olishingiz kerak.

Ya'ni, nima kvadrat ekanligini bilishingiz kerak, shuningdek, aksincha, nima kvadrat. Avvaliga ushbu jadval ildizni ajratib olishda sizga yordam beradi.

Etarli miqdordagi misollarni hal qilishingiz bilanoq, unga bo'lgan ehtiyoj avtomatik ravishda yo'qoladi.
Quyidagi iboralardagi kvadrat ildizni o'zingiz chiqarib olishga harakat qiling:

Xo'sh, bu qanday ishladi? Endi bu misollarni ko'rib chiqamiz:

Arifmetik kvadrat ildizning xossalari

Endi siz ildizlarni qanday chiqarishni bilasiz va arifmetik kvadrat ildizning xususiyatlarini o'rganish vaqti keldi. Ulardan faqat 3 tasi bor:

ko'paytirish;
bo'linish;
eksponentsiya.

Xo'sh, ularni ushbu jadval va, albatta, o'qitish yordamida eslab qolish juda oson:

Qanday qaror qilish kerak
kvadrat tenglamalar

Oldingi darslarda “Chiziqli tenglamalarni yechish usullari”, ya’ni birinchi darajali tenglamalarni tahlil qilgan edik. Ushbu darsda biz o'rganamiz kvadrat tenglama nima va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama nima

Tenglamaning darajasi noma'lumning eng yuqori darajasi bilan belgilanadi.

Agar noma'lumning maksimal darajasi "2" bo'lsa, sizda kvadrat tenglama mavjud.

Kvadrat tenglamalarga misollar

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

"A", "b" va "c" ni topish uchun siz o'zingizning tenglamangizni "ax 2 + bx + c = 0" kvadrat tenglamaning umumiy shakli bilan solishtirishingiz kerak.

Kvadrat tenglamalarda “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlashni mashq qilaylik.

a=5
b = -14
c = 17

a = -7
b = -13
c = 8

a = -1
b = 1

a = 1
b = 0,25
c = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Undan farqli o'laroq chiziqli tenglamalar kvadrat tenglamalarni yechish uchun maxsus ildizlarni topish formulasi.

Kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

kvadrat tenglamani keltiring umumiy ko'rinish"ax 2 + bx + c = 0". Ya'ni, o'ng tomonda faqat "0" qolishi kerak;
ildizlar uchun formuladan foydalaning:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formulani qanday qo'llashni aniqlash uchun misoldan foydalanamiz. Kvadrat tenglamani yechamiz.

"x 2 - 3x - 4 = 0" tenglamasi allaqachon "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishiga qisqartirilgan va qo'shimcha soddalashtirishlarni talab qilmaydi. Buni hal qilish uchun biz faqat murojaat qilishimiz kerak kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Bu tenglama uchun “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlaymiz.

a = 1
b = -3
c = -4

Ularni formulada almashtiring va ildizlarni toping.

Ildizlarni topish formulasini yodlaganingizga ishonch hosil qiling.

Uning yordami bilan har qanday kvadrat tenglama yechiladi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqing.

Ushbu shaklda "a", "b" va "c" koeffitsientlarini aniqlash juda qiyin. Avval tenglamani "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishga keltiramiz.

Endi siz ildizlar uchun formuladan foydalanishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarda ildiz bo'lmagan holatlar mavjud. Bu holat ildiz ostidagi formulada manfiy raqam paydo bo'lganda yuzaga keladi.

Kvadrat ildizning ta'rifidan biz manfiy sonning kvadrat ildizini ololmasligimizni eslaymiz.

Ildizlari bo'lmagan kvadrat tenglamaning misolini ko'rib chiqing.

Shunday qilib, bizda ildiz ostida salbiy raqam mavjud bo'lgan vaziyat mavjud. Bu tenglamada ildiz yo'qligini anglatadi. Shuning uchun, javob sifatida biz "Haqiqiy ildizlar yo'q" deb yozdik.

"Haqiqiy ildizlar yo'q" so'zlari nimani anglatadi? Nega shunchaki "ildiz yo'q" deb yozolmaysiz?

Aslida, bunday hollarda ildizlar bor, lekin doirasida maktab o'quv dasturi ular o'tkazilmaydi, shuning uchun javob sifatida biz buni orasida yozamiz haqiqiy raqamlar ildizlari yo'q. Boshqacha qilib aytganda, "haqiqiy ildizlar yo'q".

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Ba'zida "b" va/yoki "c" aniq koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar mavjud. Masalan, ushbu tenglamada:

Bunday tenglamalar to'liqsiz deb ataladi. kvadrat tenglamalar. Ularni yechish usullari “To‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalar” darsida muhokama qilinadi.

Raqamning kvadrat ildizini chiqarish bu matematik hodisa bilan bajarilishi mumkin bo'lgan yagona operatsiya emas. Oddiy raqamlar singari, kvadrat ildizlarni ham qo'shish va ayirish mumkin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrat ildizlarni qo'shish va ayirish qoidalari

Ta'rif 1

Kvadrat ildizni qo‘shish va ayirish kabi amallar faqat ildiz ifodasi bir xil bo‘lsagina amalga oshiriladi.

1-misol

Siz ifodalarni qo'shishingiz yoki ayirishingiz mumkin 2 3 va 6 3, lekin 5 6 emas Va 9 4 . Agar ifodani soddalashtirish va uni bir xil ildiz raqami bilan ildizlarga olib kelish mumkin bo'lsa, soddalashtiring va keyin qo'shing yoki ayiring.

Ildiz harakatlar: asoslar

2-misol

6 50 - 2 8 + 5 12

Harakat algoritmi:

Ildiz ifodasini soddalashtiring. Buning uchun ildiz ifodasini 2 ta omilga ajratish kerak, ulardan biri kvadrat son (butun kvadrat ildiz olinadigan raqam, masalan, 25 yoki 9).
Keyin ildizni ajratib olishingiz kerak kvadrat raqami va olingan qiymatni ildiz belgisi oldiga yozing. E'tibor bering, ikkinchi omil ildiz belgisi ostida kiritiladi.
Soddalashtirish jarayonidan so'ng, bir xil ildiz ifodalari bilan ildizlarning tagiga chizish kerak - faqat ularni qo'shish va ayirish mumkin.
Bir xil radikal ifodalarga ega bo'lgan ildizlar uchun ildiz belgisidan oldingi omillarni qo'shish yoki ayirish kerak. Ildiz ifodasi o'zgarishsiz qoladi. Ildiz raqamlarini qo'shmang yoki ayiratmang!

Maslahat 1

Agar sizda misol bo'lsa katta miqdor bir xil radikal iboralar, so'ngra hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun bunday iboralarni bitta, qo'sh va uch qatorlar bilan chizing.

3-misol

Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Avval siz 50 ni 25 va 2 faktorlarga ajratishingiz kerak, so'ngra 25 ning ildizini oling, ya'ni 5 va ildiz ostidan 5 ni oling. Shundan so'ng, siz 5 ni 6 ga ko'paytirishingiz kerak (ildizdagi ko'paytma) va 30 2 ni olishingiz kerak.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Birinchidan, siz 8 ni 2 omilga ajratishingiz kerak: 4 va 2. Keyin, 4 dan, 2 ga teng bo'lgan ildizni ajratib oling va ildiz ostidan 2 ni oling. Shundan so'ng siz 2 ni 2 ga ko'paytirishingiz kerak (ildizdagi omil) va 4 2 ni olishingiz kerak.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Birinchidan, siz 12 ni 2 omilga ajratishingiz kerak: 4 va 3. Keyin 4 dan ildizni ajratib oling, ya'ni 2, va uni ildiz ostidan chiqarib oling. Shundan so'ng, siz 2 ni 5 ga ko'paytirishingiz kerak (ildizdagi omil) va 10 3 ni olishingiz kerak.

Soddalashtirish natijasi: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Natijada biz qancha bir xil radikal iboralar mavjudligini ko'rdik bu misol. Endi boshqa misollar bilan mashq qilaylik.

4-misol

Soddalashtiring (45). 45 ni faktorlarga ajratamiz: (45) = (9 × 5) ;
Biz ildiz ostidan 3 tasini chiqaramiz (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Biz omillarni ildizlarga qo'shamiz: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

5-misol

6 40 - 3 10 + 5:

6 40 soddalashtirish. Biz 40 ni faktorlarga ajratamiz: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Biz ildiz ostidan 2 tasini chiqaramiz (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Ildiz oldida turgan omillarni ko'paytiramiz: 12 10;
Biz ifodani soddalashtirilgan shaklda yozamiz: 12 10 - 3 10 + 5;
Birinchi ikkita atama bir xil ildiz raqamlariga ega bo'lganligi sababli, biz ularni ayirishimiz mumkin: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

6-misol

Ko'rib turganimizdek, radikal sonlarni soddalashtirish mumkin emas, shuning uchun biz misolda bir xil radikal sonlarga ega bo'lgan a'zolarni qidiramiz, matematik amallarni bajaramiz (qo'shish, ayirish va hokazo) va natijani yozamiz:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Maslahat:

Qo'shish yoki ayirishdan oldin, radikal iboralarni (agar iloji bo'lsa) soddalashtirish kerak.
Turli xil ildiz ifodalari bilan ildizlarni qo'shish va ayirish qat'iyan man etiladi.
Butun son yoki kvadrat ildizni qo'shmang yoki ayiratmang: 3 + (2 x) 1/2 .
Kasrlar bilan amallarni bajarishda siz har bir maxrajga to'liq bo'linadigan sonni topishingiz kerak, so'ngra kasrlarni umumiy maxrajga keltiring, so'ngra sonlarni qo'shing va maxrajlarni o'zgarishsiz qoldiring.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing