Kvadrat tenglamalarni yechish va yechish. Kvadrat tenglamalar

"Tenglamalarni echish" mavzusini davom ettirishda ushbu maqoladagi material sizni kvadrat tenglamalar bilan tanishtiradi.

Keling, hamma narsani batafsil ko'rib chiqaylik: kvadrat tenglamaning mohiyati va yozuvi, tegishli shartlarni o'rnating, to'liq bo'lmagan va to'liq tenglamalarni echish sxemasini tahlil qiling, ildizlar va diskriminant formulasi bilan tanishing, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi bog'lanishlarni o'rnating va, albatta, amaliy misollarning vizual yechimini beramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrat tenglama, uning turlari

Ta'rif 1

Kvadrat tenglama tenglama quyidagicha yoziladi a x 2 + b x + c = 0, qayerda x– o‘zgaruvchi, a, b va c ba'zi raqamlar, esa a nolga teng emas.

Ko'pincha kvadrat tenglamalar ikkinchi darajali tenglamalar deb ham ataladi, chunki aslida kvadrat tenglama ikkinchi darajali algebraik tenglamadir.

Berilgan taʼrifni koʻrsatish uchun misol keltiramiz: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 va boshqalar. kvadrat tenglamalardir.

Ta'rif 2

a, b va raqamlari c kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c = 0, koeffitsient bo'lganda a birinchi yoki katta, yoki x 2 da koeffitsient, b - ikkinchi koeffitsient yoki koeffitsient deb ataladi. x, a c bepul a'zo deb ataladi.

Masalan, kvadrat tenglamada 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 eng yuqori koeffitsient 6 , ikkinchi koeffitsient − 2 , va erkin muddat ga teng − 11 . Keling, koeffitsientlar qachon ekanligiga e'tibor qaratamiz b va/yoki c manfiy bo‘lsa, stenografiya shakli ishlatiladi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, lekin emas 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Keling, bu jihatni ham aniqlaylik: agar koeffitsientlar a va/yoki b teng 1 yoki − 1 , keyin ular kvadrat tenglamani yozishda aniq ishtirok etmasligi mumkin, bu ko'rsatilgan sonli koeffitsientlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan izohlanadi. Masalan, kvadrat tenglamada y 2 - y + 7 = 0 katta koeffitsient 1, ikkinchi koeffitsient − 1 .

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Birinchi koeffitsientning qiymatiga ko'ra kvadrat tenglamalar qisqartirilgan va kamaytirilmaganlarga bo'linadi.

Ta'rif 3

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama. Etakchi koeffitsientning boshqa qiymatlari uchun kvadrat tenglama kamaytirilmaydi.

Mana bir nechta misollar: kvadrat tenglamalar x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0, ularning har birida etakchi koeffitsient 1 ga teng.

9 x 2 - x - 2 = 0- qisqartirilmagan kvadrat tenglama, bu erda birinchi koeffitsient boshqacha 1 .

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamani uning ikkala qismini ham birinchi koeffitsientga (ekvivalent o'zgartirish) bo'lish orqali qisqartirilgan tenglamaga aylantirish mumkin. O'zgartirilgan tenglama berilgan kamaytirilmagan tenglama bilan bir xil ildizlarga ega bo'ladi yoki umuman ildizga ega bo'lmaydi.

Muayyan misolni ko'rib chiqish bizga qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilganga o'tishni aniq ko'rsatishga imkon beradi.

1-misol

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 tenglamasi berilgan . Dastlabki tenglamani qisqartirilgan shaklga aylantirish kerak.

Qaror

Yuqoridagi sxema bo'yicha biz dastlabki tenglamaning ikkala qismini etakchi koeffitsient 6 ga ajratamiz. Keyin biz olamiz: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, va bu xuddi shunday: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 va yana: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Bu yerdan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Shunday qilib, berilganga ekvivalent tenglama olinadi.

Javob: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Keling, kvadrat tenglamaning ta'rifiga murojaat qilaylik. Unda biz buni aniqlab berdik a ≠ 0. Xuddi shunday shart tenglama uchun ham zarur a x 2 + b x + c = 0 aniq kvadrat edi, chunki a = 0 u mohiyatan chiziqli tenglamaga aylanadi b x + c = 0.

Koeffitsientlar bo'lgan holatda b va c nolga teng bo'lsa (bu alohida va birgalikda mumkin), kvadrat tenglama to'liq emas deb ataladi.

Ta'rif 4

Tugallanmagan kvadrat tenglama kvadrat tenglamadir a x 2 + b x + c \u003d 0, bu erda koeffitsientlardan kamida bittasi b va c(yoki ikkalasi) nolga teng.

To‘liq kvadrat tenglama barcha sonli koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglamadir.

Keling, nima uchun kvadrat tenglamalar turlariga aynan shunday nomlar berilganligini muhokama qilaylik.

b = 0 uchun kvadrat tenglama shaklni oladi a x 2 + 0 x + c = 0, bu bilan bir xil a x 2 + c = 0. Da c = 0 kvadrat tenglama quyidagicha yoziladi a x 2 + b x + 0 = 0, bu ekvivalent a x 2 + b x = 0. Da b = 0 va c = 0 tenglama shaklini oladi a x 2 = 0. Biz olgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi bir vaqtning oʻzida mavjud emas. Aslida, bu fakt ushbu turdagi tenglamalarga nom berdi - to'liq emas.

Masalan, x 2 + 3 x + 4 = 0 va - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 to'liq kvadrat tenglamalar; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 x = 0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Yuqorida keltirilgan ta'rif to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning quyidagi turlarini ajratish imkonini beradi:

• a x 2 = 0, koeffitsientlar bunday tenglamaga mos keladi b = 0 va c = 0;
• b \u003d 0 uchun a x 2 + c \u003d 0;
• c = 0 uchun a x 2 + b x = 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning har bir turining yechimini ketma-ket ko'rib chiqing.

a x 2 \u003d 0 tenglamaning yechimi

Yuqorida aytib o'tilganidek, bunday tenglama koeffitsientlarga mos keladi b va c, nolga teng. Tenglama a x 2 = 0 ekvivalent tenglamaga aylantirilishi mumkin x2 = 0, biz dastlabki tenglamaning ikkala tomonini songa bo'lish orqali olamiz a, nolga teng emas. Ko'rinib turibdiki, tenglamaning ildizi x2 = 0 nolga teng, chunki 0 2 = 0 . Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu darajaning xususiyatlari bilan izohlanadi: har qanday raqam uchun p , nolga teng emas, tengsizlik to'g'ri p2 > 0, undan qachon degani kelib chiqadi p ≠ 0 tenglik p2 = 0 hech qachon erishilmaydi.

Ta'rif 5

Shunday qilib, a x 2 = 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama uchun yagona ildiz mavjud. x=0.

2-misol

Masalan, to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani yechamiz − 3 x 2 = 0. Bu tenglamaga teng x2 = 0, uning yagona ildizi x=0, keyin asl tenglama bitta ildizga ega - nolga teng.

Yechim quyidagicha umumlashtiriladi:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0 tenglamaning yechimi

Keyingi qatorda to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning yechimi joylashgan, bu erda b \u003d 0, c ≠ 0, ya'ni shakldagi tenglamalar a x 2 + c = 0. Keling, atamani tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o'tkazish, ishorani qarama-qarshi tomonga o'zgartirish va tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish orqali ushbu tenglamani o'zgartiramiz:

• chidamoq c o'ng tomonga, bu tenglamani beradi a x 2 = - c;
• tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling a, natijada x = - c a olamiz.

Bizning o'zgartirishlarimiz mos ravishda ekvivalentdir, natijada olingan tenglama ham asl tenglamaga ekvivalentdir va bu fakt tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi. Qadriyatlar nimadan a va c ifodaning qiymatiga bog'liq - c a: u minus belgisiga ega bo'lishi mumkin (masalan, agar a = 1 va c = 2, keyin - c a = - 2 1 = - 2) yoki ortiqcha belgisi (masalan, agar a = -2 va c=6, keyin - c a = - 6 - 2 = 3); u nolga teng emas, chunki c ≠ 0. Keling, vaziyatlarda batafsilroq to'xtalib o'tamiz - c a< 0 и - c a > 0 .

Bunday holatda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p tenglik p 2 = - c a to'g'ri bo'lishi mumkin emas.

- c a > 0 bo'lganda hamma narsa boshqacha bo'ladi: kvadrat ildizni eslang va x 2 \u003d - c a tenglamaning ildizi - c a soni bo'lishi aniq bo'ladi, chunki - c a 2 \u003d - c a. - - c a - soni ham x 2 = - c a tenglamaning ildizi ekanligini tushunish oson: haqiqatdan ham, - - c a 2 = - c a .

Tenglamaning boshqa ildizlari bo'lmaydi. Buni qarama-qarshi usul yordamida ko'rsatishimiz mumkin. Birinchidan, yuqorida topilgan ildizlarning belgisini o'rnatamiz x 1 va − x 1. Faraz qilaylik, x 2 = - c a tenglamaning ham ildizi bor x2, bu ildizlardan farq qiladi x 1 va − x 1. Biz buni tenglamaga o'rniga qo'yish orqali bilamiz x uning ildizlari, biz tenglamani adolatli sonli tenglikka aylantiramiz.

Uchun x 1 va − x 1 yozing: x 1 2 = - c a , va uchun x2- x 2 2 \u003d - c a. Raqamli tengliklarning xususiyatlariga asoslanib, biz bir haqiqiy tenglikni boshqa atamadan atama bo'yicha ayiramiz, bu bizga beradi: x 1 2 − x 2 2 = 0. Oxirgi tenglikni quyidagicha qayta yozish uchun son amallarining xususiyatlaridan foydalaning (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Ma'lumki, agar raqamlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ikkita raqamning ko'paytmasi nolga teng. Aytilganlardan shunday xulosa kelib chiqadi x1 − x2 = 0 va/yoki x1 + x2 = 0, bu bir xil x2 = x1 va/yoki x 2 = − x 1. Aniq qarama-qarshilik paydo bo'ldi, chunki dastlab tenglamaning ildizi kelishilgan edi x2 dan farq qiladi x 1 va − x 1. Demak, tenglamaning x = - c a va x = - - c a dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotladik.

Biz yuqoridagi barcha dalillarni umumlashtiramiz.

Ta'rif 6

Tugallanmagan kvadrat tenglama a x 2 + c = 0 x 2 = - c a tenglamasiga ekvivalentdir, bu:

• - c a da ildizlari bo'lmaydi< 0 ;
• ikkita ildizga ega bo'ladi x = - c a va x = - - c a qachon - c a > 0 .

Keling, tenglamalarni echishga misollar keltiraylik a x 2 + c = 0.

3-misol

Kvadrat tenglama berilgan 9 x 2 + 7 = 0. Buning yechimini topish kerak.

Qaror

Biz erkin atamani tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglama shaklni oladi 9 x 2 \u003d - 7.
Olingan tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 9 , biz x 2 = - 7 9 ga kelamiz. O'ng tomonda biz minus belgisi bo'lgan raqamni ko'ramiz, ya'ni: berilgan tenglamaning ildizlari yo'q. Keyin asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama 9 x 2 + 7 = 0 ildizlari bo'lmaydi.

Javob: tenglama 9 x 2 + 7 = 0 ildizlari yo'q.

4-misol

Tenglamani yechish kerak − x2 + 36 = 0.

Qaror

Keling, 36 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: − x 2 = − 36.
Keling, ikkala qismni ham ajratamiz − 1 , olamiz x2 = 36. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, shundan xulosa qilishimiz mumkin x = 36 yoki x = - 36.
Biz ildizni chiqaramiz va yakuniy natijani yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama − x2 + 36 = 0 ikkita ildizga ega x=6 yoki x = -6.

Javob: x=6 yoki x = -6.

a x 2 +b x=0 tenglamaning yechimi

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uchinchi turini tahlil qilaylik, qachon c = 0. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning yechimini topish a x 2 + b x = 0, biz faktorizatsiya usulidan foydalanamiz. Qavs ichidan umumiy omilni olib, tenglamaning chap tomonidagi polinomni faktorlarga ajratamiz. x. Ushbu qadam asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani uning ekvivalentiga aylantirish imkonini beradi x (a x + b) = 0. Va bu tenglama, o'z navbatida, tenglamalar to'plamiga ekvivalentdir x=0 va a x + b = 0. Tenglama a x + b = 0 chiziqli va uning ildizi: x = - b a.

Ta'rif 7

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 + b x = 0 ikkita ildizga ega bo'ladi x=0 va x = - b a.

Keling, materialni misol bilan birlashtiramiz.

5-misol

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 tenglamaning yechimini topish kerak.

Qaror

Keling, chiqaramiz x qavslar tashqarisida va x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 tenglamasini oling. Bu tenglama tenglamalarga teng x=0 va 2 3 x - 2 2 7 = 0. Endi siz olingan chiziqli tenglamani yechishingiz kerak: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Qisqacha aytganda, tenglamaning yechimini quyidagicha yozamiz:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 yoki 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 yoki x = 3 3 7

Javob: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalar yechimini topish uchun ildiz formulasi mavjud:

Ta'rif 8

x = - b ± D 2 a, bu erda D = b 2 - 4 a c kvadrat tenglamaning diskriminanti deb ataladi.

X \u003d - b ± D 2 a ni yozish asosan x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a degan ma'noni anglatadi.

Ko'rsatilgan formula qanday olinganligini va uni qanday qo'llashni tushunish foydali bo'ladi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

Faraz qilaylik, oldimizda kvadrat tenglamani yechish vazifasi turibdi a x 2 + b x + c = 0. Keling, bir qator ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• tenglamaning ikkala tomonini songa bo'ling a, noldan farq qilib, qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni tanlang:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Shundan so'ng, tenglama quyidagi shaklni oladi: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• endi oxirgi ikki atamani ishorani teskari tomonga o'zgartirib, o'ng tomonga o'tkazish mumkin, shundan so'ng biz quyidagilarni olamiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• nihoyat, oxirgi tenglikning o'ng tomonida yozilgan ifodani o'zgartiramiz:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Shunday qilib, biz dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'lgan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 tenglamasiga keldik. a x 2 + b x + c = 0.

Bunday tenglamalarni yechish yo‘lini oldingi paragraflarda (to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalarni yechish) muhokama qilgan edik. Olingan tajriba x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 uchun< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 uchun tenglama x + b 2 · a 2 = 0, keyin x + b 2 · a = 0 ko'rinishga ega.

Bu yerdan yagona ildiz x = - b 2 · a aniq;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 uchun to'g'risi: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 yoki x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, ya'ni bir xil x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 yoki x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, ya'ni. tenglama ikkita ildizga ega.

X + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (demak, dastlabki tenglama) ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi b 2 - 4 a c ifoda belgisiga bog'liq degan xulosaga kelish mumkin. 4 · o'ng tomonda 2 yozilgan. Va bu iboraning belgisi hisoblovchining belgisi bilan beriladi, (maxraj 4 a 2 har doim ijobiy bo'ladi), ya'ni ifoda belgisi b 2 − 4 a c. Bu ifoda b 2 − 4 a c nom berilgan - kvadrat tenglamaning diskriminanti va uning belgisi sifatida D harfi aniqlanadi. Bu erda siz diskriminantning mohiyatini yozishingiz mumkin - uning qiymati va belgisi bo'yicha ular kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'ladimi yoki yo'qmi degan xulosaga kelishadi, agar shunday bo'lsa, nechta ildiz - bitta yoki ikkita.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 tenglamasiga qaytaylik. Uni diskriminant belgisi yordamida qayta yozamiz: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Keling, xulosalarni takrorlaymiz:

Ta'rif 9

• da D< 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q;
• da D=0 tenglama bitta ildizga ega x = - b 2 · a ;
• da D > 0 tenglamaning ikkita ildizi bor: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 yoki x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallarning xususiyatlariga asoslanib, bu ildizlarni quyidagicha yozish mumkin: x \u003d - b 2 a + D 2 a yoki - b 2 a - D 2 a. Va biz modullarni ochganimizda va kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirganimizda, biz quyidagilarni olamiz: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Shunday qilib, bizning fikrlashimiz natijasi kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani olish edi:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D formula bo'yicha hisoblanadi D = b 2 - 4 a c.

Ushbu formulalar diskriminant noldan katta bo'lganda ikkala haqiqiy ildizni aniqlashga imkon beradi. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formulani qo'llash kvadrat tenglamaning yagona yechimi bilan bir xil ildizni beradi. Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat ildiz formulasidan foydalanishga harakat qilsak, biz manfiy sonning kvadrat ildizini olish zarurati bilan duch kelamiz, bu bizni haqiqiy sonlardan tashqariga olib chiqadi. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, lekin biz olgan bir xil ildiz formulalari bilan aniqlangan bir juft murakkab konjugat ildizlar mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Kvadrat tenglamani darhol ildiz formulasidan foydalanib yechish mumkin, lekin asosan bu murakkab ildizlarni topish zarur bo'lganda amalga oshiriladi.

Ko'pgina hollarda, qidiruv odatda kompleks uchun emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari uchun mo'ljallangan. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishdan oldin, avvalo diskriminantni aniqlash va uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish optimal bo'ladi (aks holda biz tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelamiz), so'ngra hisoblashni davom ettiramiz. ildizlarning qiymati.

Yuqoridagi mulohazalar kvadrat tenglamani yechish algoritmini shakllantirish imkonini beradi.

Ta'rif 10

Kvadrat tenglamani yechish uchun a x 2 + b x + c = 0, zarur:

• formula bo'yicha D = b 2 - 4 a c diskriminantning qiymatini toping;
• da D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 uchun x = - b 2 · a formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini toping;
• D > 0 uchun kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini x = - b ± D 2 · a formula bilan aniqlang.

E'tibor bering, diskriminant nolga teng bo'lganda, siz x = - b ± D 2 · a formulasidan foydalanishingiz mumkin, u x = - b 2 · a formulasi bilan bir xil natijani beradi.

Misollarni ko'rib chiqing.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Biz diskriminantning turli qiymatlari uchun misollar yechimini taqdim etamiz.

6-misol

Tenglamaning ildizlarini topish kerak x 2 + 2 x - 6 = 0.

Qaror

Biz kvadrat tenglamaning raqamli koeffitsientlarini yozamiz: a \u003d 1, b \u003d 2 va c = - 6. Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz, ya'ni. Diskriminantni hisoblashni boshlaylik, buning uchun a , b koeffitsientlarini almashtiramiz. va c diskriminant formulasiga: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Shunday qilib, biz D > 0 ni oldik, ya'ni dastlabki tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi.
Ularni topish uchun biz x \u003d - b ± D 2 · a ildiz formulasidan foydalanamiz va tegishli qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ildiz belgisidan koeffitsientni olib, kasrni kamaytirish orqali hosil bo'lgan ifodani soddalashtiramiz:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 yoki x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 yoki x = - 1 - 7

Javob: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

7-misol

Kvadrat tenglamani yechish kerak − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Qaror

Diskriminantni aniqlaymiz: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantning ushbu qiymati bilan dastlabki tenglama x = - b 2 · a formulasi bilan aniqlangan faqat bitta ildizga ega bo'ladi.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Javob: x = 3, 5.

8-misol

Tenglamani yechish kerak 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Qaror

Ushbu tenglamaning raqamli koeffitsientlari quyidagicha bo'ladi: a = 5 , b = 6 va c = 2 . Diskriminantni topish uchun biz ushbu qiymatlardan foydalanamiz: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Hisoblangan diskriminant manfiy, shuning uchun dastlabki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar vazifa murakkab ildizlarni ko'rsatish bo'lsa, biz murakkab raqamlar bilan operatsiyalarni bajarish orqali ildiz formulasini qo'llaymiz:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 yoki x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i yoki x = - 3 5 - 1 5 i.

Javob: haqiqiy ildizlar yo'q; murakkab ildizlar: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i.

Maktab o'quv dasturida, standart sifatida, murakkab ildizlarni izlash talabi yo'q, shuning uchun agar yechim davomida diskriminant salbiy deb aniqlansa, darhol haqiqiy ildizlar yo'q degan javob qayd etiladi.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Ildiz formulasi x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a c) boshqa ixcham formulani olish imkonini beradi, bu sizga x da teng koeffitsientli (yoki koeffitsientli) kvadrat tenglamalarning echimlarini topishga imkon beradi. shaklning 2 a n, masalan, 2 3 yoki 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Keling, ushbu formula qanday olinganligini ko'rsatamiz.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 kvadrat tenglamaning yechimini topish vazifasini ko'ramiz. Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) diskriminantni aniqlaymiz va keyin ildiz formulasidan foydalanamiz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

n 2 − a c ifodasi D 1 deb belgilansin (ba’zan u D “ deb ham belgilanadi). Shunda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

x \u003d - n ± D 1 a, bu erda D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D 1 yoki D 1 = D 4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtdan bir qismidir. Shubhasiz, D 1 belgisi D ning belgisi bilan bir xil, ya'ni D 1 belgisi kvadrat tenglama ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligining ko'rsatkichi ham bo'lishi mumkin.

Ta'rif 11

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamaning yechimini topish uchun quyidagilar zarur:

• D 1 = n 2 - a c ni toping;
• D 1 da< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 uchun x = - n a formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini aniqlang;
• D 1 > 0 uchun x = - n ± D 1 a formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni aniqlang.

9-misol

5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 kvadrat tenglamani yechish kerak.

Qaror

Berilgan tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2 · (− 3) shaklida ifodalanishi mumkin. Keyin berilgan kvadrat tenglamani 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 shaklida qayta yozamiz, bu erda a = 5 , n = - 3 va c = - 32 .

Diskriminantning to'rtinchi qismini hisoblaymiz: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169 . Olingan qiymat musbat, ya'ni tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni ildizlarning tegishli formulasi bilan aniqlaymiz:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 yoki x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 yoki x = - 2

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalangan holda hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin edi, ammo bu holda yechim qiyinroq bo'ladi.

Javob: x = 3 1 5 yoki x = - 2.

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan asl tenglamaning shaklini optimallashtirish mumkin, bu esa ildizlarni hisoblash jarayonini soddalashtiradi.

Masalan, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 kvadrat tenglama 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 ga qaraganda echish uchun qulayroqdir.

Ko'pincha kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala qismini ham ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish orqali amalga oshiriladi. Masalan, yuqorida biz uning ikkala qismini 100 ga bo'lish natijasida olingan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 tenglamasining soddalashtirilgan tasvirini ko'rsatdik.

Bunday o'zgartirish kvadrat tenglamaning koeffitsientlari nisbatan tub sonlar bo'lmaganda mumkin. Keyin, odatda, tenglamaning ikkala qismi uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining eng katta umumiy bo'linuvchisiga bo'linadi.

Misol tariqasida biz 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 kvadrat tenglamadan foydalanamiz. Uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining gcd ni aniqlaymiz: gcd (12 , 42 , 48) = gcd (gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala qismini 6 ga bo‘lib, 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 ekvivalent kvadrat tenglamani olamiz.

Kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish orqali kasr koeffitsientlari odatda yo'q qilinadi. Bunday holda, uning koeffitsientlarining maxrajlarining eng kichik umumiy karrali bilan ko'paytiriladi. Masalan, agar kvadrat tenglamaning har bir qismi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 LCM (6, 3, 1) \u003d 6 bilan ko'paytirilsa, u oddiyroq shaklda yoziladi x 2 + 4 x - 18 = 0.

Va nihoyat, shuni ta'kidlaymizki, kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsientidagi minusdan deyarli har doim xalos bo'ling, tenglamaning har bir a'zosining belgilarini o'zgartiring, bu ikkala qismni - 1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali erishiladi. Masalan, kvadrat tenglamadan - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, siz uning soddalashtirilgan versiyasiga o'tishingiz mumkin 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamalarning ildizlari uchun allaqachon ma'lum bo'lgan formula x = - b ± D 2 · a tenglamaning ildizlarini uning sonli koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ushbu formulaga asoslanib, biz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasida boshqa bog'liqliklarni o'rnatish imkoniyatiga egamiz.

Eng mashhur va qo'llaniladigan Viet teoremasining formulalari:

x 1 + x 2 \u003d - b a va x 2 \u003d c a.

Jumladan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig’indisi qarama-qarshi ishorali ikkinchi koeffitsient bo’lib, ildizlarning ko’paytmasi erkin hadga teng bo’ladi. Masalan, 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 kvadrat tenglama ko'rinishida darhol uning ildizlari yig'indisi 7 3, ildizlarning mahsuloti esa 22 3 ekanligini aniqlash mumkin.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa bir qancha munosabatlarni ham topishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini koeffitsientlar bilan ifodalash mumkin:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz tenglamalar yechimi". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishgan edik va endi biz bilan tanishamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, u umumiy shaklda qanday yozilishini muhokama qilamiz va tegishli ta'riflarni beramiz. Shundan so'ng, misollar yordamida biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tahlil qilamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida gapirishni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, unga tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va kamaytirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x o'zgaruvchi, a , b va c ba'zi sonlar, a esa noldan farq qiladi.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Olingan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. kvadrat tenglamalardir.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 +b x + c=0 va a koeffitsienti birinchi yoki katta yoki x 2 da koeffitsient, b ikkinchi koeffitsient yoki x da koeffitsient, c esa erkin a'zo deb ataladi.

Masalan, 5 x 2 −2 x−3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5, ikkinchi koeffitsient −2, erkin had −3 ga teng. E'tibor bering, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, 5 x 2 +(− emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamaning qisqa shakli qo'llaniladi. 2 )x+(−3)=0 .

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamaning yozuvida aniq mavjud emas, bu esa bunday belgilarning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y da koeffitsienti −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab, qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama. Aks holda, kvadrat tenglama bo'ladi kamaytirilmagan.

Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 va hokazo. - qisqartirilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. Va 5 x 2 −x−1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama asl kamaytirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday bajarilishini misol qilib olaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Qaror.

Bizga dastlabki tenglamaning ikkala qismini yetakchi koeffitsient 3 ga bo'linishini bajarish kifoya, u nolga teng emas, shuning uchun biz ushbu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ga teng, bu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 va hokazo (3) :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , qaerdan. Shunday qilib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamani belgilashda a≠0 sharti mavjud. Bu shart a x 2 +b x+c=0 tenglama toʻliq kvadrat boʻlishi uchun zarur, chunki a=0 bilan u haqiqatda b x+c=0 koʻrinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar koeffitsientlardan kamida bittasi b , c nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bu nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamadan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a x 2 +0 x+c=0 ko'rinishini oladi va u a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a x 2 +b x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni x 2 +b x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud uch xil to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar:

• a x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
• b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
• va c=0 bo'lganda x 2 +b x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda tahlil qilaylik.

a x 2 \u003d 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama asl nusxadan uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish yo'li bilan olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 \u003d 0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu tushuntiriladi, albatta, har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik sodir bo'ladi, bu esa p≠0 uchun p 2 =0 tengligiga hech qachon erishilmasligini bildiradi.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 \u003d 0 bitta ildizga ega x \u003d 0.

Misol tariqasida −4·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini keltiramiz. Bu x 2 \u003d 0 tenglamasiga teng, uning yagona ildizi x \u003d 0, shuning uchun asl tenglama bitta nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha chiqarilishi mumkin:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar va c≠0, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqing. Bizga ma'lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirish mumkin:

• c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
• va uning ikkala qismini a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifoda qiymati manfiy (masalan, agar a=1 va c=2 bo'lsa, u holda ) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. , keyin ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Biz holatlarni alohida tahlil qilamiz va .

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar biz eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Qani buni bajaraylik.

Tenglamaning oddiy tovushli ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Faraz qilaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli boshqa x 2 ildizi bor. Ma’lumki, tenglamaga uning ildizlari o‘rniga x o‘rniga qo‘yish tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari bizga haqiqiy sonli tengliklarni davr bo‘yicha ayirishni amalga oshirish imkonini beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 − x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, olingan tenglikdan kelib chiqadiki, x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0 , bu bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 = −x 1 . Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi, deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'lib, u

• ildizlari yo'q, agar,
• ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liq bo`lmagan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqing.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9·x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomonda manfiy son olinganligi sababli, bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7=0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana bitta to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz -x 2 +9=0. Biz to'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: -x 2 \u003d -9. Endi ikkala qismni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, biz bu yoki degan xulosaga kelamiz. Yakuniy javobni yozganimizdan so'ng: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 +b x=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 koʻrinishdagi ekvivalent tenglamaga oʻtish imkonini beradi. Va bu tenglama ikkita x=0 va a x+b=0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, oxirgisi chiziqli va x=−b/a ildiziga ega.

Demak, a x 2 +b x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Qaror.

Qavsdan x ni chiqaramiz, bu tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni oddiy kasrga bo‘lgach, ni topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni olgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Belgilanish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, bu bilan shug'ullanamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• Bu tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz.
• Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
• Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bizda .
• Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamaga erishamiz.

Biz tahlil qilganimizda, oldingi paragraflarda o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qildik. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

• bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
• bo'lsa, tenglama uning yagona ildizi ko'rinadigan , demak, , ko'rinishga ega bo'ladi;
• agar , u holda yoki , yoki bilan bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi, demak, dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4 a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4 a c ifodaning belgisi. Bu b 2 −4 a c ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga ko'ra kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga egami yoki yo'qmi, agar mavjud bo'lsa, ularning soni qancha - bir yoki ikkita.

Biz tenglamaga qaytamiz, uni diskriminantning yozuvidan foydalanib qayta yozamiz: . Va xulosa qilamiz:

• agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
• nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki , uni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni umumiy maxrajga kengaytirib, kamaytirgandan so'ng, biz .

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular ga o'xshaydi, bu erda D diskriminant D=b 2 -4 a c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga urinayotganda, bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sondan kvadrat ildizni chiqarishga duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, ularni biz olgan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamani yechishda siz darhol ularning qiymatlarini hisoblash uchun ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Biroq, maktab algebrasi kursida biz odatda kompleks haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gapiramiz. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin, birinchi navbatda diskriminantni topish, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va undan keyin. ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozish imkonini beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• diskriminant formulasi yordamida D=b 2 −4 a c uning qiymatini hisoblang;
• agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
• formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0 bo'lsa;
• diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda biz faqat diskriminant nolga teng bo'lsa, formuladan ham foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz, u bilan bir xil qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmini qo‘llash misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqing. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Boshlaylik.

Misol.

x 2 +2 x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Qaror.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1 , b=2 va c=−6 . Algoritmga ko'ra, siz avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildizlar formulasi bilan topamiz, olamiz, bu erda bajarib olingan ifodalarni soddalashtirishimiz mumkin. ildiz belgisini faktoring keyin kasrni kamaytirish:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar yechimini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5 y 2 +6 y+2=0 tenglamani yeching.

Qaror.

Bu erda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5 , b=6 va c=2 . Ushbu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtirsak, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktab odatda darhol javobni yozadi, unda ular haqiqiy ildizlar yo'qligini ko'rsatadilar va ular murakkab ildizlarni topmaydilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4 a c kvadrat tenglamalarni x da teng koeffitsientli (yoki oddiygina 2 n ga o'xshash koeffitsient bilan) yechish imkonini beruvchi ixchamroq formulani olish imkonini beradi. , masalan, yoki 14 ln5=2 7 ln5 ). Keling, uni olib chiqaylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x + c=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Bizga ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 − a c ifodasini D 1 deb belgilang (ba’zan u D “ deb ham belgilanadi). Keyin ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi shaklni oladi. , bu erda D 1 =n 2 -a c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglama ildizlarining bor yoki yo'qligini ko'rsatadigan ko'rsatkichdir.

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamani echish uchun sizga kerak bo'ladi

• D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
• Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
• Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolning echimini ko'rib chiqing.

Misol.

5 x 2 −6 x−32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya'ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , bu erda a=5 , n=−3 va c=−32 ko'rinishida qayta yozishingiz va 4-qismning to'rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi" degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x −6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini qandaydir songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Misol uchun, oldingi paragrafda biz har ikki tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100 x 2 -400 x -600=0 tenglamasini soddalashtirishga erishdik.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala qismi odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo‘lsak, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala qismini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bo'yicha amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala qismi LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq ko'rinishga ega bo'ladi x 2 +4 x−18=0 .

Ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'ling, bu ikkala qismni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2·x 2 −3·x+7=0 kvadrat tenglamadan 2·x 2 +3·x−7=0 yechimga o‘tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ildizlarning formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Shaklning Vyeta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va . Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga teng, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin haddir. Masalan, 3 x 2 −7 x+22=0 kvadrat tenglama ko‘rinishida darhol uning ildizlari yig‘indisi 7/3, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22/3 ekanligini aytish mumkin.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa bir qator munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari bilan ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

”, ya’ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz o'rganamiz kvadrat tenglama nima va uni qanday hal qilish kerak.

Kvadrat tenglama nima

Muhim!

Tenglamaning darajasi noma'lumning eng yuqori darajasi bilan belgilanadi.

Agar noma'lumning maksimal darajasi "2" bo'lsa, sizda kvadrat tenglama mavjud.

Kvadrat tenglamalarga misollar

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy shakli quyidagicha ko'rinadi:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" va "c" - berilgan raqamlar.

• "a" - birinchi yoki katta koeffitsient;
• "b" - ikkinchi koeffitsient;
• "c" bepul a'zo.

"A", "b" va "c" ni topish uchun siz o'zingizning tenglamangizni "ax 2 + bx + c \u003d 0" kvadrat tenglamasining umumiy shakli bilan solishtirishingiz kerak.

Kvadrat tenglamalarda “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlashni mashq qilaylik.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Tenglama	Imkoniyatlar
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun chiziqli tenglamalardan farqli ravishda maxsus tenglamadan foydalaniladi. ildizlarni topish formulasi.

Eslab qoling!

Kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• kvadrat tenglamani "ax 2 + bx + c \u003d 0" umumiy ko'rinishiga keltiring. Ya'ni, o'ng tomonda faqat "0" qolishi kerak;
• ildizlar uchun formuladan foydalaning:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formulani qanday qo'llashni aniqlash uchun misoldan foydalanamiz. Kvadrat tenglamani yechamiz.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" tenglamasi allaqachon "ax 2 + bx + c = 0" umumiy ko'rinishiga qisqartirilgan va qo'shimcha soddalashtirishlarni talab qilmaydi. Buni hal qilish uchun biz faqat murojaat qilishimiz kerak kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Bu tenglama uchun “a”, “b” va “c” koeffitsientlarini aniqlaymiz.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uning yordami bilan har qanday kvadrat tenglama yechiladi.

"x 1; 2 \u003d" formulasida ildiz ifodasi ko'pincha almashtiriladi
"b 2 - 4ac" "D" harfigacha va diskriminant deb ataladi. Diskriminant tushunchasi "Diskriminant nima" darsida batafsilroq muhokama qilinadi.

Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqing.

x 2 + 9 + x = 7x

Ushbu shaklda "a", "b" va "c" koeffitsientlarini aniqlash juda qiyin. Avval tenglamani "ax 2 + bx + c \u003d 0" umumiy ko'rinishiga keltiramiz.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Endi siz ildizlar uchun formuladan foydalanishingiz mumkin.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Javob: x = 3

Kvadrat tenglamalarda ildiz bo'lmagan holatlar mavjud. Bu holat ildiz ostidagi formulada manfiy raqam paydo bo'lganda yuzaga keladi.

Shunchaki. Formulalar va aniq oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda

berilgan tenglamani standart shaklga keltirish kerak, ya'ni. ko'rinishga:

Agar tenglama sizga ushbu shaklda allaqachon berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas. Eng muhimi to'g'ri

barcha koeffitsientlarni aniqlang a, b va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant . Ko'rib turganingizdek, x topish uchun biz

foydalanish faqat a, b va c. Bular. dan farqlar kvadrat tenglama. Faqat ehtiyotkorlik bilan kiriting

qiymatlar a, b va c ushbu formulaga kiriting va hisoblang. bilan almashtiring ularning belgilar!

misol uchun, tenglamada:

a =1; b = 3; c = -4.

Qiymatlarni almashtiring va yozing:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Eng keng tarqalgan xatolar qadriyatlar belgilari bilan chalkashlikdir a, b va bilan. Aksincha, almashtirish bilan

manfiy qiymatlarni ildizlarni hisoblash formulasiga kiriting. Bu erda batafsil formula saqlaydi

aniq raqamlar bilan. Agar hisob-kitoblar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, buni bajaring!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; c = -1

Biz hamma narsani batafsil, ehtiyotkorlik bilan, barcha belgilar va qavslar bilan o'tkazib yubormasdan bo'yab turamiz:

Ko'pincha kvadrat tenglamalar biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering.

Birinchi qabul. Oldin dangasa bo'lmang kvadrat tenglamani yechish uni standart shaklga keltiring.

Bu nimani anglatadi?

Faraz qilaylik, har qanday o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildizlarning formulasini yozishga shoshilmang! Siz ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c.

Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, x kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin bepul a'zo. Mana bunday:

Minusdan xalos bo'ling. Qanday? Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Va endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni to'ldirishingiz mumkin.

O'zingiz qaror qiling. Siz 2 va -1 ildizlari bilan yakunlashingiz kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlaringizni tekshiring! tomonidan Vyeta teoremasi.

Berilgan kvadrat tenglamalarni yechish uchun, ya'ni. koeffitsienti bo'lsa

x2+bx+c=0,

keyinx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

To'liq kvadrat tenglama uchun a≠1:

x 2 +bx+c=0,

butun tenglamani ga bo'ling a:

→ →

qayerda x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari.

Uchinchi qabul. Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! Ko'paytiring

umumiy maxraj uchun tenglama.

Xulosa. Amaliy maslahatlar:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, tuzamiz to'g'ri.

2. Agar kvadratdagi x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni hamma narsani ko'paytirish orqali yo'q qilamiz

-1 uchun tenglamalar.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

omil.

4. Agar x kvadrat sof bo'lsa, uning koeffitsienti birga teng bo'lsa, yechimni osongina tekshirish mumkin.

Oddiyroq tarzda. Buning uchun qavs ichidan z ni oling. Siz olasiz: z(az + b) = 0. Omillarni yozish mumkin: z=0 va az + b = 0, chunki ikkalasi ham nolga olib kelishi mumkin. Az + b = 0 yozuvida ikkinchisini boshqa belgi bilan o'ngga siljitamiz. Bu yerdan z1 = 0 va z2 = -b/a ni olamiz. Bu asl nusxaning ildizlari.

Agar az² + c \u003d 0 ko'rinishidagi to'liq bo'lmagan tenglama mavjud bo'lsa, bu holda ular erkin atamani tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazish orqali topiladi. Shuningdek, uning belgisini o'zgartiring. Siz az² \u003d -s rekordini olasiz. Ekspress z² = -c/a. Ildizni oling va ikkita yechimni yozing - kvadrat ildizning ijobiy va salbiy qiymati.

Eslatma

Agar tenglamada kasr koeffitsientlari mavjud bo'lsa, kasrlardan xalos bo'lish uchun butun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytiring.

Kvadrat tenglamalarni qanday echishni bilish maktab o'quvchilari uchun ham, talabalar uchun ham zarur, ba'zida bu kundalik hayotda kattalarga yordam berishi mumkin. Bir nechta maxsus qaror usullari mavjud.

Kvadrat tenglamalarni yechish

a*x^2+b*x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglama. Koeffitsient x - kerakli o'zgaruvchi, a, b, c - raqamli koeffitsientlar. Esda tutingki, "+" belgisi "-" belgisiga o'zgarishi mumkin.

Bu tenglamani yechish uchun Vieta teoremasidan foydalanish yoki diskriminantni topish kerak. Eng keng tarqalgan usul diskriminantni topishdir, chunki a, b, c ning ba'zi qiymatlari uchun Viet teoremasidan foydalanish mumkin emas.

Diskriminantni (D) topish uchun D=b^2 - 4*a*c formulasini yozish kerak. D qiymati noldan katta, kichik yoki teng bo'lishi mumkin. Agar D noldan katta yoki kichik bo'lsa, u holda ikkita ildiz bo'ladi, agar D = 0 bo'lsa, unda faqat bitta ildiz qoladi, aniqrog'i, bu holda D ning ikkita ekvivalent ildizi borligini aytishimiz mumkin. Formulaga ma'lum a, b, c koeffitsientlarni almashtiring va qiymatni hisoblang.

Diskriminantni topgandan so'ng, x topish uchun formulalardan foydalaning: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a bu yerda sqrt berilgan sonning kvadrat ildizini olish funksiyasi. Ushbu ifodalarni hisoblab chiqqandan so'ng, siz tenglamangizning ikkita ildizini topasiz, shundan so'ng tenglama yechilgan hisoblanadi.

Agar D noldan kichik bo'lsa, u hali ham ildizlarga ega. Maktabda bu bo'lim amalda o'rganilmaydi. Universitet talabalari ildiz ostida salbiy raqam paydo bo'lishini bilishlari kerak. Biz xayoliy qismni ajratib, undan xalos bo'lamiz, ya'ni ildiz ostidagi -1 har doim bir xil musbat son bilan ildizga ko'paytiriladigan "i" xayoliy elementga teng bo'ladi. Masalan, agar D=sqrt(-20) bo'lsa, transformatsiyadan keyin D=sqrt(20)*i olinadi. Ushbu transformatsiyadan so'ng, tenglamaning yechimi yuqorida aytib o'tilganidek, ildizlarning bir xil topilmasiga keltiriladi.

Vyeta teoremasi x(1) va x(2) qiymatlarni tanlashdan iborat. Ikkita bir xil tenglamalardan foydalaniladi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Bundan tashqari, juda muhim nuqta b koeffitsienti oldidagi belgidir, bu belgi tenglamadagiga qarama-qarshi ekanligini unutmang. Bir qarashda, x(1) va x(2) ni hisoblash juda oddiydek tuyuladi, ammo yechishda siz raqamlarni aniq tanlash kerakligiga duch kelasiz.

Kvadrat tenglamalarni yechish elementlari

Matematikaning qoidalariga ko'ra, ba'zilarini koeffitsientlash mumkin: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, agar siz ushbu kvadrat tenglamani matematik formulalar yordamida shu tarzda o'zgartirishga muvaffaq bo'lsangiz, bemalol javobni yozing. x(1) va x(2) qavs ichidagi qo'shni koeffitsientlarga teng bo'ladi, lekin teskari belgi bilan.

Shuningdek, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar haqida unutmang. Siz ba'zi shartlarni etishmayotgan bo'lishingiz mumkin, agar shunday bo'lsa, unda uning barcha koeffitsientlari nolga teng. Agar x^2 yoki x dan oldin hech narsa bo'lmasa, a va b koeffitsientlari 1 ga teng.