Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulasi. Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak

Bo'shliqda chiziqlar berilgan bo'lsin l Va m. Fazoning qaysidir A nuqtasi orqali biz to'g'ri chiziqlar chizamiz l 1 || l Va m 1 || m(138-rasm).

E'tibor bering, A nuqta o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, xususan, u berilgan chiziqlardan birida yotishi mumkin. To'g'ri bo'lsa l Va m kesishsa, bu chiziqlarning kesishish nuqtasi sifatida A ni olish mumkin ( l 1 =l Va m 1 = m).

Parallel bo'lmagan chiziqlar orasidagi burchak l Va m kesishuvchi toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlgan qoʻshni burchaklarning eng kichigining qiymati l 1 Va m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Parallel chiziqlar orasidagi burchak nolga teng deb qabul qilinadi.

Chiziqlar orasidagi burchak l Va m$\widehat((l;m)) $ bilan belgilanadi. Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar u darajalarda o'lchanadigan bo'lsa, u holda 0 ° < $\widehat((l;m)) $ < 90 °, agar radian bo'lsa, u holda 0 < $\widehat((l;m)) $ < π / 2 .

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubi berilgan (139-rasm).

AB va DC 1 to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

To'g'ri AB va DC 1 kesishuvi. DC chizig'i AB chizig'iga parallel bo'lgani uchun, AB va DC 1 chiziqlar orasidagi burchak, ta'rifga ko'ra, $\widehat(C_(1)DC)$ ga teng.

Demak, $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°.

To'g'ridan-to'g'ri l Va m chaqirdi perpendikulyar, agar $\widehat((l;m)) $ = π / 2. Masalan, kub shaklida

Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash masalasi xuddi tekislikda bo'lgani kabi hal qilinadi. Chiziqlar orasidagi burchakni ph bilan belgilang l 1 Va l 2 , va ps orqali - yo'nalish vektorlari orasidagi burchak lekin Va b bu to'g'ri chiziqlar.

Keyin agar

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (206.6-rasm), keyin ph = 180 ° - ps. Ko'rinib turibdiki, ikkala holatda ham cos ph = |cos ps| tengligi to'g'ri. Formulaga ko'ra (oradagi burchakning kosinasi nolga teng bo'lmagan vektorlar a va b teng nuqta mahsuloti bu vektorlarning uzunliklari ko'paytmasiga bo'lingan) bizda mavjud

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Binobarin,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Va \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Keyin chiziqlar orasidagi burchak ph formula yordamida aniqlanadi

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Agar chiziqlardan biri (yoki ikkalasi) kanonik bo'lmagan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, burchakni hisoblash uchun siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz kerak va keyin (1) formuladan foydalaning.

Vazifa 1. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;va\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Formula (1) bo'yicha topamiz

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 60 ° ga teng.

Vazifa 2. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \begin(holatlar)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(holatlar) va \begin(holatlar)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(holatlar) $$

Qo'llanma vektorining orqasida lekin birinchi to'g'ri chiziqda biz normal vektorlarning vektor mahsulotini olamiz n 1 = (3; 0; -12) va n 2 = (1; 1; -3) bu chiziqni aniqlovchi tekisliklar. Formula bo'yicha $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ ni olamiz

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Xuddi shunday, biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topamiz:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ammo formula (1) kerakli burchakning kosinusini hisoblab chiqadi:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 90 ° ga teng.

Vazifa 3. MAVS uchburchak piramidasida MA, MB va MC qirralari o'zaro perpendikulyar, (207-rasm);

ularning uzunligi mos ravishda 4, 3, 6 ga teng. D nuqtasi o'rta [MA]. CA va DB chiziqlar orasidagi ph burchagini toping.

SA va DB SA va DB chiziqlarning yo‘nalish vektorlari bo‘lsin.

Koordinatalarning boshi sifatida M nuqtani olaylik. Vazifa sharti bo'yicha bizda A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0) mavjud. Shuning uchun $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3). Biz (1) formuladan foydalanamiz:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Kosinuslar jadvaliga ko'ra, biz CA va DB to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak taxminan 72 ° ekanligini aniqlaymiz.

Ko'rsatma

Eslatma

Davr trigonometrik funktsiya tangens 180 gradusga teng, ya'ni to'g'ri chiziqlarning moyillik burchaklari moduli bu qiymatdan oshib keta olmaydi.

Foydali maslahat

Nishab koeffitsientlari bir-biriga teng bo'lsa, bunday chiziqlar orasidagi burchak 0 ga teng, chunki bunday chiziqlar mos keladi yoki parallel.

Kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash uchun ikkala chiziqni (yoki ulardan birini) kesishishga parallel o'tkazish usuli bilan yangi holatga o'tkazish kerak. Shundan so'ng, hosil bo'lgan kesishgan chiziqlar orasidagi burchakni topishingiz kerak.

Sizga kerak bo'ladi

hukmdor, to'g'ri uchburchak, qalam, transportyor.

Ko'rsatma

Demak, vektor V = (a, b, c) va tekislik A x + B y + C z = 0 berilsin, bu erda A, B va C normal N ning koordinatalari. Keyin burchakning kosinuslari. V va N vektorlari orasidagi a: cos a \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Burchakning qiymatini daraja yoki radianlarda hisoblash uchun natijada olingan ifodadan kosinusga teskari funktsiyani hisoblashingiz kerak, ya'ni. arkkosin: a \u003d arskos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Misol: toping in'ektsiya orasida vektor(5, -3, 8) va samolyot, umumiy tenglama bilan berilgan 2 x - 5 y + 3 z = 0. Yechish: N = (2, -5, 3) tekislikning normal vektorining koordinatalarini yozing. Hamma narsani almashtiring ma'lum qiymatlar yuqoridagi formulada: cos a = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → a = 36,87°.

Tegishli videolar

Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq aylanaga tegib turadi. Tangensning yana bir xususiyati shundaki, u doimo aloqa nuqtasiga tortilgan radiusga perpendikulyar bo'ladi, ya'ni tangens va radius to'g'ri chiziq hosil qiladi. in'ektsiya. Agar bir A nuqtadan AB va AC aylanaga ikkita tangens chizilgan bo'lsa, ular doimo bir-biriga teng bo'ladi. Tangenslar orasidagi burchakning ta'rifi ( in'ektsiya ABC) Pifagor teoremasi yordamida ishlab chiqariladi.

Ko'rsatma

Burchakni aniqlash uchun OB va OS aylana radiusini va aylana markazidan tangensning boshlang'ich nuqtasi masofasini bilish kerak - O. Demak, ABO va ACO burchaklari teng, OB radiusi, masalan, 10 sm, AO aylana markazigacha bo'lgan masofa esa 15 sm.Tangens uzunligini Pifagor teoremasiga muvofiq formula bo'yicha aniqlang: AB = Kvadrat ildiz AO2 dan - OB2 yoki 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Ushbu material ikkita kesishgan to'g'ri chiziq orasidagi burchak kabi tushunchaga bag'ishlangan. Birinchi xatboshida biz bu nima ekanligini tushuntiramiz va rasmlarda ko'rsatamiz. Keyin biz ushbu burchakning sinusini, kosinusini va burchakning o'zini qanday topish mumkinligini tahlil qilamiz (tekislik va uch o'lchovli bo'shliq bilan ishlarni alohida ko'rib chiqamiz), biz kerakli formulalarni beramiz va ular qanday aniq qo'llanilishini misollar bilan ko'rsatamiz. amalda.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ikki chiziqning kesishmasida hosil bo'lgan burchak nima ekanligini tushunish uchun biz burchak, perpendikulyarlik va kesishish nuqtasining ta'rifini esga olishimiz kerak.

Ta'rif 1

Ikki chiziqning bitta umumiy nuqtasi bo'lsa, kesishuvchi chiziq deb ataymiz. Bu nuqta ikki chiziqning kesishish nuqtasi deb ataladi.

Har bir chiziq kesishish nuqtasi bilan nurlarga bo'linadi. Bunda ikkala chiziq ham 4 ta burchak hosil qiladi, ulardan ikkitasi vertikal va ikkitasi ulashgan. Agar biz ulardan birining o'lchamini bilsak, qolganlarini aniqlashimiz mumkin.

Aytaylik, burchaklardan biri a ga teng ekanligini bilamiz. Bunday holda, unga vertikal bo'lgan burchak ham a ga teng bo'ladi. Qolgan burchaklarni topish uchun biz farqni hisoblashimiz kerak 180 ° - a . Agar a 90 gradusga teng bo'lsa, barcha burchaklar to'g'ri bo'ladi. To'g'ri burchak ostida kesishgan chiziqlar perpendikulyar deb ataladi (perpendikulyarlik tushunchasiga alohida maqola bag'ishlangan).

Rasmga qarang:

Keling, asosiy ta'rifni shakllantirishga o'tamiz.

Ta'rif 2

Ikkita kesishuvchi chiziq hosil qilgan burchak bu ikki chiziqni tashkil etuvchi 4 ta burchakdan kichigining oʻlchovidir.

Ta'rifdan buni qilish kerak muhim xulosa: bu holda burchakning o'lchami har qanday bilan ifodalanadi haqiqiy raqam oralig'ida (0 , 90 ]. Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, u holda ular orasidagi burchak har qanday holatda 90 gradusga teng bo'ladi.

Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchakning o'lchamini topish qobiliyati ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun foydalidir. Yechim usuli bir nechta variantlardan tanlanishi mumkin.

Yangi boshlanuvchilar uchun geometrik usullarni olishimiz mumkin. Agar biz qo'shimcha burchaklar haqida biror narsa bilsak, ularni teng yoki o'xshash shakllarning xususiyatlaridan foydalanib, kerakli burchakka ulashimiz mumkin. Misol uchun, agar biz uchburchakning tomonlarini bilsak va bu tomonlar joylashgan chiziqlar orasidagi burchakni hisoblashimiz kerak bo'lsa, u holda kosinus teoremasi echish uchun mos keladi. Agar bizda to'g'ri burchakli uchburchak mavjud bo'lsa, unda hisob-kitoblar uchun biz burchakning sinusini, kosinusini va tangensini ham bilishimiz kerak bo'ladi.

Koordinata usuli bu turdagi masalalarni yechishda ham juda qulaydir. Keling, uni qanday qilib to'g'ri ishlatishni tushuntiramiz.

Bizda ikkita to'g'ri chiziqli to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalar tizimi O x y mavjud. Ularni a va b harflari bilan belgilaymiz. Bunday holda, to'g'ri chiziqlarni har qanday tenglamalar yordamida tasvirlash mumkin. Asl chiziqlar M kesishish nuqtasiga ega. Bu chiziqlar orasidagi kerakli burchakni (uni a deb belgilaymiz) qanday aniqlash mumkin?

Keling, berilgan sharoitlarda burchakni topishning asosiy tamoyilini shakllantirishdan boshlaylik.

Yo‘naltiruvchi va normal vektor kabi tushunchalar to‘g‘ri chiziq tushunchasi bilan chambarchas bog‘liqligini bilamiz. Agar bizda qandaydir to'g'ri chiziq tenglamasi bo'lsa, undan bu vektorlarning koordinatalarini olishimiz mumkin. Buni bir vaqtning o'zida ikkita kesishgan chiziq uchun qilishimiz mumkin.

Ikki kesishuvchi chiziqdan hosil bo'lgan burchakni quyidagi yordamida topish mumkin:

yo'nalish vektorlari orasidagi burchak;
normal vektorlar orasidagi burchak;
bir chiziqning normal vektori bilan ikkinchisining yo'nalishi vektori orasidagi burchak.

Endi har bir usulni alohida ko'rib chiqamiz.

1. Faraz qilaylik, yo‘nalish vektori a → = (a x , a y) bo‘lgan a chiziq va yo‘nalish vektori b → (b x , b y) bo‘lgan b chiziq bo‘lsin. Endi kesishgan nuqtadan ikkita a → va b → vektorlarini chetga qo'yamiz. Shundan so'ng, ularning har biri o'z chizig'ida joylashishini ko'ramiz. Keyin bizda ular uchun to'rtta variant bor nisbiy pozitsiya. Rasmga qarang:

Agar ikkita vektor orasidagi burchak to'g'ri bo'lmasa, u holda biz kesishgan a va b chiziqlar orasidagi burchakka kerakli burchak bo'ladi. Agar u o'tmas bo'lsa, u holda kerakli burchak burchakka ulashgan burchakka teng bo'ladi a → , b → ^ . Shunday qilib, a = a →, b → ^ agar a → bo'lsa, b → ^ ≤ 90 ° , va a = 180 ° - a → , b → ^ a → bo'lsa, b → ^ > 90 ° .

Teng burchakli kosinuslar teng ekanligiga asoslanib, hosil bo lgan tengliklarni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin: cos a = cos a → , b → ^ agar a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos a = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^ agar a →, b → ^ > 90 °.

Ikkinchi holda, kamaytirish formulalari ishlatilgan. Shunday qilib,

cos a cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Oxirgi formulani so'z bilan yozamiz:

Ta'rif 3

Ikki kesishuvchi chiziq hosil qilgan burchakning kosinusu uning yo'nalishi vektorlari orasidagi burchak kosinusining moduliga teng bo'ladi.

Ikki a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) vektorlari orasidagi burchak kosinusining formulasining umumiy shakli quyidagicha ko'rinadi:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Undan berilgan ikkita chiziq orasidagi burchakning kosinus formulasini olishimiz mumkin:

cos a = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Keyin burchakning o'zini quyidagi formuladan foydalanib topish mumkin:

a = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Bu yerda a → = (a x , a y) va b → = (b x , b y) berilgan chiziqlarning yo‘nalish vektorlari.

Keling, muammoni hal qilishga misol keltiraylik.

1-misol

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasida tekislikda kesishuvchi ikkita a va b to'g'ri chiziq berilgan. Ular x = 1 + 4 · l y = 2 + l l ∈ R va x 5 = y - 6 - 3 parametrik tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin. Ushbu chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang.

Yechim

Shartda bizda parametrik tenglama mavjud, ya'ni bu chiziq uchun biz darhol uning yo'nalishi vektorining koordinatalarini yozishimiz mumkin. Buning uchun parametr bo'yicha koeffitsientlarning qiymatlarini olishimiz kerak, ya'ni. x = 1 + 4 l y = 2 + l l ∈ R chizig'i a → = (4 , 1) yo'nalish vektoriga ega bo'ladi.

Ikkinchi to'g'ri chiziq x 5 = y - 6 - 3 kanonik tenglama yordamida tasvirlangan. Bu erda biz maxrajlardan koordinatalarni olishimiz mumkin. Shunday qilib, bu chiziq yo'nalish vektoriga ega b → = (5 , - 3) .

Keyinchalik, biz to'g'ridan-to'g'ri burchakni topishga o'tamiz. Buning uchun ikkita vektorning mavjud koordinatalarini yuqoridagi formulaga a = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 ga almashtiring. Biz quyidagilarni olamiz:

a = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Javob: Bu chiziqlar 45 graduslik burchak hosil qiladi.

Xuddi shunday masalani oddiy vektorlar orasidagi burchakni topish orqali hal qilishimiz mumkin. Agar normal vektorli na → = (nax , nay) bo‘lgan a chiziq va normal vektorli nb → = (nbx , nby) bo‘lgan b chiziq bo‘lsa, ular orasidagi burchak na → va orasidagi burchakka teng bo‘ladi. nb → yoki na → , nb → ^ ga ulashgan burchak. Ushbu usul rasmda ko'rsatilgan:

Oddiy vektorlarning koordinatalari yordamida kesishgan chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini va bu burchakning o'zini hisoblash formulalari quyidagicha ko'rinadi:

cos a = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Bu yerda n a → va n b → berilgan ikkita chiziqning normal vektorlarini bildiradi.

2-misol

3 x + 5 y - 30 = 0 va x + 4 y - 17 = 0 tenglamalari yordamida to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ikkita to'g'ri chiziq berilgan. Ular orasidagi burchakning sinusini, kosinusini va shu burchakning kattaligini toping.

Yechim

Asl to'g'ri chiziqlar A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi normal to'g'ri chiziq tenglamalari yordamida berilgan. Normal vektorni belgilang n → = (A , B) . Bitta to'g'ri chiziq uchun birinchi normal vektorning koordinatalarini topamiz va ularni yozamiz: n a → = (3 , 5) . Ikkinchi chiziq uchun x + 4 y - 17 = 0 normal vektor koordinatalariga ega bo'ladi n b → = (1 , 4) . Endi olingan qiymatlarni formulaga qo'shing va jami hisoblang:

cos a = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Agar biz burchakning kosinusini bilsak, uning sinusini asosiy yordamida hisoblashimiz mumkin trigonometrik identifikatsiya. To'g'ri chiziqlardan hosil bo'lgan a burchak to'liq bo'lmaganligi sababli, sin a \u003d 1 - cos 2 a \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Bunda a = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Javob: cos a = 23 2 34 , sin a = 7 2 34 , a = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Keling, oxirgi holatni tahlil qilaylik - agar biz bir chiziqning yo'nalishi vektorining koordinatalarini va ikkinchisining normal vektorini bilsak, chiziqlar orasidagi burchakni topish.

Faraz qilaylik, a chiziq yo‘nalish vektori a → = (a x, a y) , b chiziq esa normal vektor n b → = (n b x, n b y) bo‘lsin. Ushbu vektorlarni kesishish nuqtasidan keyinga qoldirib, ularning nisbiy pozitsiyasi uchun barcha variantlarni ko'rib chiqishimiz kerak. Rasmga qarang:

Agar berilgan vektorlar orasidagi burchak 90 darajadan oshmasa, u a va b orasidagi burchakni to'g'ri burchakka to'ldirishi ma'lum bo'ladi.

a →, n b → ^ = 90 ° - a agar a →, n b → ^ ≤ 90 ° bo'lsa.

Agar u 90 darajadan past bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:

a → , n b → ^ > 90 ° , keyin a → , n b → ^ = 90 ° + a

Teng burchakli kosinuslarning tenglik qoidasidan foydalanib, biz yozamiz:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - a) = sin a uchun a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + a = - sin a da a →, n b → ^ > 90 °.

Shunday qilib,

sin a = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin a = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Keling, xulosa chiqaramiz.

Ta'rif 4

Tekislikda kesishgan ikkita chiziq orasidagi burchakning sinusini topish uchun birinchi chiziqning yo'nalish vektori bilan ikkinchisining normal vektori orasidagi burchak kosinusining modulini hisoblash kerak.

Keling, kerakli formulalarni yozamiz. Burchakning sinusini topish:

sin a = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Burchakning o'zini topish:

a = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Bu yerda a → birinchi qatorning yo‘nalish vektori, n b → ikkinchisining normal vektori.

3-misol

Ikkita kesishuvchi chiziq x - 5 = y - 6 3 va x + 4 y - 17 = 0 tenglamalari bilan berilgan. Kesishish burchagini toping.

Yechim

Berilgan tenglamalardan yo'naltiruvchi va normal vektorning koordinatalarini olamiz. Bu chiqadi a → = (- 5 , 3) va n → b = (1 , 4) . Biz a \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 formulasini olamiz va quyidagilarni hisobga olamiz:

a = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

E'tibor bering, biz oldingi masaladagi tenglamalarni oldik va aynan bir xil natijaga erishdik, ammo boshqacha yo'l bilan.

Javob: a = a r c sin 7 2 34

Berilgan chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari yordamida kerakli burchakni topishning yana bir usuli.

Bizda y = k 1 · x + b 1 tenglamasi yordamida to'rtburchaklar koordinatalar tizimida aniqlangan a chiziq va y = k 2 · x + b 2 sifatida aniqlangan b chiziq mavjud. Bular qiyalikli chiziqlar tenglamalari. Kesishish burchagini topish uchun quyidagi formuladan foydalaning:

a = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, bu yerda k 1 va k 2 Nishab omillari berilgan chiziqlar. Ushbu yozuvni olish uchun normal vektorlarning koordinatalari orqali burchakni aniqlash formulalari ishlatilgan.

4-misol

Tekislikda ikkita toʻgʻri chiziq kesishadi, tenglamalar bilan berilgan y = - 3 5 x + 6 va y = - 1 4 x + 17 4. Kesishish burchagini hisoblang.

Yechim

Chiziqlarimiz qiyaliklari k 1 = - 3 5 va k 2 = - 1 4 ga teng. Ularni a = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 formulasiga qo‘shamiz va hisoblaymiz:

a = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Javob: a = a r c cos 23 2 34

Ushbu bandning xulosalarida shuni ta'kidlash kerakki, bu erda keltirilgan burchakni topish formulalarini yoddan o'rganish shart emas. Buning uchun berilgan to‘g‘ri chiziqning yo‘nalishlari va/yoki normal vektorlarining koordinatalarini bilish va ularni quyidagicha aniqlay olish kifoya. turli xil turlari tenglamalar. Ammo burchakning kosinusini hisoblash uchun formulalarni eslab qolish yoki yozib olish yaxshiroqdir.

Kosmosdagi kesishgan chiziqlar orasidagi burchakni qanday hisoblash mumkin

Bunday burchakni hisoblash yo'nalish vektorlarining koordinatalarini hisoblash va bu vektorlar tomonidan yaratilgan burchakning kattaligini aniqlashga qisqartirilishi mumkin. Bunday misollar uchun biz ilgari keltirgan mulohazalardan foydalanamiz.

Aytaylik, bizda 3D fazoda joylashgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. U kesishish nuqtasi M bo'lgan ikkita a va b chiziqni o'z ichiga oladi. Yo'nalish vektorlarining koordinatalarini hisoblash uchun biz ushbu chiziqlar tenglamalarini bilishimiz kerak. a → = (a x, a y, a z) va b → = (b x, b y, b z) yo‘nalish vektorlarini belgilang. Ularning orasidagi burchakning kosinusini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

cos a = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Burchakning o'zini topish uchun bizga quyidagi formula kerak bo'ladi:

a = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5-misol

Bizda x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 tenglamasi yordamida 3D fazoda aniqlangan to'g'ri chiziq mavjud. Ma'lumki, u O z o'qi bilan kesishadi. Kesishish burchagi va bu burchakning kosinusini hisoblang.

Yechim

Hisoblanadigan burchakni a harfi bilan belgilaymiz. Birinchi to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektorining koordinatalarini yozamiz - a → = (1 , - 3 , - 2) . Ilova o'qi uchun biz koordinata vektori k → = (0 , 0 , 1) ni ko'rsatma sifatida olishimiz mumkin. Biz kerakli ma'lumotlarni oldik va uni kerakli formulaga qo'shishimiz mumkin:

cos a = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Natijada, bizga kerak bo'lgan burchak a r c cos 1 2 = 45 ° ga teng bo'lishini oldik.

Javob: cos a = 1 2, a = 45 °.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Matematikadan imtihonga tayyorlanayotgan har bir talaba uchun “Chiziqlar orasidagi burchakni topish” mavzusini takrorlash foydali bo‘ladi. Statistik ma'lumotlarga ko'ra, sertifikatlash testidan o'tishda stereometriyaning ushbu bo'limidagi vazifalar qiyinchilik tug'diradi. katta raqam talabalar. Shu bilan birga, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topishni talab qiladigan vazifalar USEda ham asosiy, ham profil darajasida topilgan. Bu har bir kishi ularni hal qila olishi kerakligini anglatadi.

Asosiy daqiqalar

Kosmosda chiziqlarning o'zaro joylashishining 4 turi mavjud. Ular mos kelishi, kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin. Ularning orasidagi burchak o'tkir yoki tekis bo'lishi mumkin.

Yagona davlat imtihonida yoki masalan, yechimda chiziqlar orasidagi burchakni topish uchun Moskva va boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari stereometriyaning ushbu bo'limidagi muammolarni hal qilishning bir nechta usullaridan foydalanishlari mumkin. Vazifani klassik konstruktsiyalar bilan bajarishingiz mumkin. Buning uchun stereometriyaning asosiy aksiomalari va teoremalarini o'rganishga arziydi. O‘quvchi topshiriqni planimetrik masalaga keltirish uchun mantiqiy fikr yurita olishi va chizmalar tuza olishi kerak.

Siz oddiy formulalar, qoidalar va algoritmlardan foydalangan holda vektor-koordinata usulidan ham foydalanishingiz mumkin. Bu holatda asosiy narsa barcha hisob-kitoblarni to'g'ri bajarishdir. Bu sizga stereometriya va maktab kursining boshqa bo'limlari bo'yicha muammolarni hal qilishda o'z mahoratingizni oshirishga yordam beradi. ta'lim loyihasi"Shkolkovo".

lekin. Ikki chiziq berilgan bo'lsin.Bu chiziqlar, 1-bobda ta'kidlanganidek, turli xil musbat va manfiy burchaklarni hosil qiladi, bu holda ular ham o'tkir, ham o'tkir bo'lishi mumkin. Ushbu burchaklardan birini bilib, boshqasini osongina topishimiz mumkin.

Aytgancha, bu barcha burchaklar uchun tangensning raqamli qiymati bir xil, farq faqat belgida bo'lishi mumkin.

Chiziqlar tenglamalari. Raqamlar birinchi va ikkinchi chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining proyeksiyalaridir.Bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchaklardan biriga teng. Shuning uchun, muammo vektorlar orasidagi burchakni aniqlash uchun kamayadi, Biz olamiz

Oddiylik uchun o'tkir musbat burchakni tushunish uchun ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakka rozi bo'lishimiz mumkin (masalan, 53-rasmda).

Keyin bu burchakning tangensi doimo ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, agar (1) formulaning o'ng tomonida minus belgisi olingan bo'lsa, unda biz uni tashlab qo'yishimiz kerak, ya'ni faqat mutlaq qiymatni saqlashimiz kerak.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang

Formula (1) bo'yicha bizda mavjud

dan. Agar burchakning qaysi tomonlari uning boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ko'rsatilgan bo'lsa, har doim burchak yo'nalishini soat miliga teskari hisoblab, formulalardan (1) ko'proq narsani olishimiz mumkin. Rasmdan ko'rish oson. 53 (1) formulaning o'ng tomonida olingan belgi qaysi biri - o'tkir yoki o'tmas - burchak birinchi bilan ikkinchi chiziqni tashkil etishini ko'rsatadi.

(Haqiqatan ham, 53-rasmdan biz birinchi va ikkinchi yo'nalish vektorlari orasidagi burchak chiziqlar orasidagi kerakli burchakka teng ekanligini yoki undan ±180 ° ga farq qilishini ko'ramiz.)

d. Agar chiziqlar parallel bo'lsa, ularning yo'naltiruvchi vektorlari ham parallel bo'ladi.Ikki vektorning parallellik shartini qo'llasak, hosil bo'ladi!

Bu ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartdir.

Misol. To'g'ridan-to'g'ri

parallel, chunki

e. Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari ham perpendikulyar bo'ladi. Ikki vektorning perpendikulyarlik shartini qo'llagan holda, biz ikkita chiziqning perpendikulyarlik shartini olamiz, ya'ni

Misol. To'g'ridan-to'g'ri

perpendikulyar, chunki

Parallellik va perpendikulyarlik shartlari bilan bog`liq holda quyidagi ikkita masalani yechamiz.

f. Nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel chiziq chizamiz

Qaror shunday qabul qilinadi. Kerakli chiziq berilgan chiziqqa parallel bo'lganligi sababli, uning yo'naltiruvchi vektori uchun biz berilgan chiziq bilan bir xilni, ya'ni A va B proyeksiyali vektorni olishimiz mumkin. Keyin kerakli chiziq tenglamasi yoziladi. shaklda (§ 1)

Misol. To'g'ri chiziqqa parallel (1; 3) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

keyingi bo'ladi!

g. Berilgan chiziqqa perpendikulyar nuqta orqali chiziq torting

Bu erda endi A proyeksiyalari bo'lgan vektorni yo'naltiruvchi vektor sifatida qabul qilish mos emas, lekin unga perpendikulyar vektorni ochish kerak. Shuning uchun bu vektorning proyeksiyalari ikkala vektorning perpendikulyar bo'lishi shartiga ko'ra, ya'ni shartga muvofiq tanlanishi kerak.

Bu shartni cheksiz ko'p yo'llar bilan bajarish mumkin, chunki bu erda ikkita noma'lumli bitta tenglama mavjud.Lekin eng oson yo'li uni olishdir.Unda kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishda yoziladi.

Misol. Perpendikulyar chiziqdagi (-7; 2) nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

quyidagicha bo'ladi (ikkinchi formula bo'yicha)!

h. Chiziqlar shakldagi tenglamalar bilan berilgan taqdirda