Trigonometriyaning asosiy formulalari. Asosiy trigonometrik identifikatsiya
Qaytarilish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdan `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) burchaklari bilan oʻtish imkonini beruvchi nisbatlardir. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` birlik doirasining birinchi choragida joylashgan `\alpha` burchagining bir xil funktsiyalariga. Shunday qilib, qisqartirish formulalari bizni 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga "etaklaydi", bu juda qulay.
Hammasi birgalikda 32 ta qisqartirish formulalari mavjud. Ular, shubhasiz, imtihonda, imtihonlarda, testlarda foydali bo'ladi. Lekin biz ularni eslab qolishning hojati yo'qligini darhol ogohlantiramiz! Siz bir oz vaqt sarflashingiz va ularni qo'llash algoritmini tushunishingiz kerak, keyin kerakli vaqtda kerakli tenglikni olish siz uchun qiyin bo'lmaydi.
Birinchidan, barcha qisqartirish formulalarini yozamiz:
Burchak uchun (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Burchak uchun (`\pi \pm \alpha`) yoki (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Burchak uchun (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Burchak uchun (`2\pi \pm \alpha`) yoki (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Tez-tez qisqartirish formulalarini jadval shaklida topishingiz mumkin, bu erda burchaklar radianlarda yoziladi:
Undan foydalanish uchun bizga kerakli funksiyaga ega qatorni va kerakli argumentga ega ustunni tanlash kerak. Masalan, ` sin(\pi + \alpha)` nima bo`lishini jadval yordamida bilish uchun javobni ` sin \beta` qator va ` \pi + \ ustuni kesishmasidan topish kifoya. alfa`. Biz `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha` ni olamiz.
Va ikkinchi, shunga o'xshash jadval, bu erda burchaklar darajalarda yozilgan:
Formulalarni quyishning mnemonik qoidasi yoki ularni qanday eslab qolish
Yuqorida aytib o'tganimizdek, yuqoridagi barcha nisbatlarni yodlash shart emas. Agar siz ularga diqqat bilan qarasangiz, ehtimol siz ba'zi naqshlarni ko'rgansiz. Ular bizga mnemonik qoidani shakllantirishga imkon beradi (mnemonika - esda tuting), uning yordamida siz istalgan qisqartirish formulalarini osongina olishingiz mumkin.
Darhol shuni ta'kidlaymizki, ushbu qoidani qo'llash uchun birlik doirasining turli choraklarida trigonometrik funktsiyalarning belgilarini yaxshi aniqlash (yoki eslash) kerak. 
Graftning o'zi 3 bosqichni o'z ichiga oladi:
- Funktsiya argumenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi shaklida bo`lishi kerak. \ pm \alpha`, bu erda `\alpha` har doim o'tkir burchak (0 dan 90 darajagacha).
- Argumentlar uchun `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrik funktsiya aylantirilgan ifoda kofunktsiyaga, ya'ni teskarisiga o'zgaradi (sinus kosinusga, tangens kotangentga va aksincha). `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` argumentlari uchun funksiya o`zgarmaydi.
- Asl funktsiyaning belgisi aniqlanadi. O'ng tomonda hosil bo'lgan funksiya bir xil belgiga ega bo'ladi.
Ushbu qoidani amalda qanday qo'llash mumkinligini ko'rish uchun keling, bir nechta iboralarni o'zgartiramiz:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Funktsiya teskari emas. ` \pi + \alpha` burchagi uchinchi kvadrantda, bu kvadrantdagi kosinus "-" belgisiga ega, shuning uchun aylantirilgan funksiya ham "-" belgisiga ega bo'ladi.
Javob: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Ga binoan mnemonik qoida funktsiya teskari bo'ladi. `\frac (3\pi)2 - \alpha` burchagi uchinchi kvadrantda, bu yerdagi sinus "-" belgisiga ega, shuning uchun natija ham "-" belgisi bilan bo'ladi.
Javob: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alfa)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))`. Keling, `3\pi`ni `2\pi+\pi` shaklida ifodalaylik. `2\pi` - funksiyaning davri.
Muhim: `cos \alpha` va `sin \alpha` funksiyalari `2\pi` yoki `360^\circ` davriga ega, agar argument bu qiymatlarga oshirilsa yoki kamaytirilsa, ularning qiymatlari o`zgarmaydi.
Bunga asoslanib, ifodamizni quyidagicha yozish mumkin: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Mnemonik qoidani ikki marta qo'llagan holda, biz: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Javob: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
ot qoidasi
Yuqoridagi mnemonik qoidaning ikkinchi nuqtasi reduksiya formulalarining ot qoidasi ham deyiladi. Qiziq, nega otlar?
Shunday qilib, bizda `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm argumentlari bilan funksiyalar mavjud. \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` nuqtalar asosiy nuqtalar bo`lib, ular koordinata o`qlarida joylashgan. `\pi` va `2\pi` gorizontal x o`qida, `\frac (\pi)2` va `\frac (3\pi)2` esa vertikal y o`qida joylashgan.
Biz o'zimizga savol beramiz: "Funksiya kofunktsiyaga aylanadimi?". Bu savolga javob berish uchun boshingizni asosiy nuqta joylashgan o'q bo'ylab harakatlantirishingiz kerak.
Ya'ni, gorizontal o'qda joylashgan asosiy fikrlarga ega bo'lgan argumentlar uchun biz boshimizni yon tomonlarga silkitib, "yo'q" deb javob beramiz. Va vertikal o'qda joylashgan asosiy nuqtalari bo'lgan burchaklar uchun biz ot kabi boshimizni yuqoridan pastga silkitib, "ha" deb javob beramiz 🙂
Video darsini ko'rishni tavsiya qilamiz, unda muallif qisqarish formulalarini yodlamasdan qanday qilib eslab qolishni batafsil tushuntiradi.
Kasting formulalaridan foydalanishning amaliy misollari
Qisqartirish formulalaridan foydalanish 9-10-sinflardan boshlanadi. Ulardan foydalanish bo'yicha ko'plab topshiriqlar imtihonga topshiriladi. Ushbu formulalarni qo'llash uchun sizga kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:
- to'g'ri burchakli uchburchakni yechish uchun topshiriqlar;
- sonli va alifboli trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish, ularning qiymatlarini hisoblash;
- stereometrik muammolar.
1-misol. a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ` ni hisoblash uchun kamaytirish formulalaridan foydalaning.
Yechish: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
2-misol. Qaytarilish formulalari yordamida kosinusni sinus orqali ifodalab, raqamlarni solishtiring: 1) `sin \frac (9\pi)8` va `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` va `cos \frac (3\pi)10`.
Yechish: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Avval `\frac (\pi)2 + \alpha` argumentining sinus va kosinuslari uchun ikkita formulani isbotlaymiz: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` va ` cos (\ frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Qolganlari ulardan olingan. Birlik aylana oling va uning ustida koordinatalari (1,0) bo'lgan A nuqtani oling. Yoqilgandan keyin ruxsat bering Tangens va kotangentning ta'rifidan biz ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) ni olamiz. )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` va ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, bu qisqarishni isbotlaydi. `\frac (\pi)2 + \alpha` burchakning tangensi va kotangensi uchun formulalar. Formulalarni `\frac (\pi)2 - \alpha` argumenti bilan isbotlash uchun uni `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` shaklida ifodalash va yuqoridagi yo`ldan borish kifoya. Masalan, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. `\pi + \alpha` va `\pi - \alpha` burchaklari `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` va `\frac (\pi) shaklida ifodalanishi mumkin. ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` mos ravishda. Va `\frac (3\pi)2 + \alpha` va `\frac (3\pi)2 - \alpha` sifatida `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` va `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Ushbu maqolada biz har tomonlama ko'rib chiqamiz. Asosiy trigonometrik o'ziga xosliklar - bu bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnatadigan va ma'lum bo'lgan boshqasi orqali ushbu trigonometrik funktsiyalardan istalgan birini topishga imkon beruvchi tengliklar. Biz darhol ushbu maqolada tahlil qiladigan asosiy trigonometrik identifikatsiyalarni sanab o'tamiz. Biz ularni jadvalga yozamiz va quyida bu formulalarning hosilasini keltiramiz va kerakli tushuntirishlarni beramiz. Sahifani navigatsiya qilish. Ba'zan ular yuqoridagi jadvalda keltirilgan asosiy trigonometrik identifikatsiyalar haqida emas, balki bitta bitta haqida gapirishadi asosiy trigonometrik identifikatsiya mehribon Ya'ni, asosiy trigonometrik o'ziga xoslik nomi berilgan tenglik alohida qiziqish uyg'otadi. Asosiy trigonometrik o'ziga xoslikni isbotlashdan oldin, biz uning formulasini beramiz: bir burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bir xil tarzda birga teng. Endi buni isbotlaylik. Asosiy trigonometrik identifikatsiya juda tez-tez ishlatiladi trigonometrik ifodalarni o'zgartirish. Bu bitta burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirishga imkon beradi. Ko'pincha, asosiy trigonometrik identifikatsiya teskari tartibda qo'llaniladi: birlik har qanday burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bilan almashtiriladi. Shaklning bir burchagining sinusi va kosinuslari bilan tangens va kotangensni bog'lovchi o'ziga xosliklar va Shaxslarning bu ravshanligi tufayli va Ushbu bo'limni yakunlash uchun shuni ta'kidlash kerakki, shaxs va Oldingi ikkitadan ko'ra aniqroq trigonometrik o'ziga xoslik bu shaklning bir burchagining tangensi va kotangensini bog'laydigan o'ziga xoslikdir. Formulaning isboti Demak, ular mantiqiy bo'lgan bir burchakning tangensi va kotangensi bo'ladi. Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi nisbatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini ham tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - ko'p burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalash va hokazo. Ushbu maqolada biz trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni tartib bilan sanab o'tamiz. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlariga ko'ra guruhlarga ajratamiz va jadvallarga kiritamiz. Sahifani navigatsiya qilish. Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnating. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bir trigonometrik funktsiyani boshqasi orqali ifodalash imkonini beradi. Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang. Shakllangan formulalar sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, berilgan burchakka siljish xossalarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 darajagacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi. Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin. Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni chiqarish uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi. Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak. Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funktsiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi. Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin. Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar trigonometrik funktsiyalarning tabiiy kuchlaridan birinchi darajali sinuslar va kosinuslarga o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi. asosiy manzil trigonometrik funksiyalar uchun yig‘indi va ayirma formulalari funksiyalar mahsulotiga o'tishdan iborat bo'lib, bu trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali. Bu formulalar trigonometrik tenglamalarni yechishda ham keng qo'llaniladi, chunki ular sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish imkonini beradi. Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinuslar ko`paytmasi formulalari orqali amalga oshiriladi. Aqlli talabalar tomonidan mualliflik huquqi Barcha huquqlar himoyalangan. Trigonometrik identifikatsiyalar Bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi oʻrtasida bogʻlanishni oʻrnatuvchi tengliklar, bu funksiyalardan istalgan birini topishga imkon beradi, agar boshqasi maʼlum boʻlsa. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 Bu o'ziga xoslik shuni aytadiki, bir burchak sinusining kvadrati va bir burchakning kosinus kvadrati yig'indisi birga teng, bu amalda bir burchakning sinusini uning kosinasi ma'lum bo'lganda va aksincha hisoblash imkonini beradi. . Trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilishda bu o'ziga xoslik juda tez-tez ishlatiladi, bu sizga bir burchakning kosinus va sinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirishga, shuningdek, teskari tartibda almashtirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Bu o'ziga xosliklar sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan hosil bo'ladi. Axir, agar qarasangiz, ta'rifga ko'ra, y ning ordinatasi sinus, x ning abssissasi esa kosinusdir. Keyin tangens nisbatga teng bo'ladi \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), va nisbati \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangent bo'ladi. Qo'shamizki, faqat shunday burchaklar uchun trigonometrik funksiyalar ma'noga ega bo'lgan \alpha uchun identifikatsiyalar amalga oshiriladi, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Misol uchun: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) dan farq qiluvchi \alfa burchaklar uchun amal qiladi \frac(\pi)(2)+\pi z, lekin ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z dan boshqa \alpha burchak uchun z butun sondir. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Bu identifikatsiya faqat dan farq qiladigan \alpha burchaklar uchun amal qiladi \frac(\pi)(2) z. Aks holda, kotangens yoki tangens aniqlanmaydi. Yuqoridagi fikrlarga asoslanib, biz buni olamiz tg \alpha = \frac(y)(x), lekin ctg\alpha=\frac(x)(y). Demak, bundan kelib chiqadi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir burchakning tangensi va kotangensi o'zaro o'zaro sonlardir. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alpha va 1 burchak tangensi kvadratining yig'indisi bu burchak kosinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiyadan boshqa barcha \alpha uchun amal qiladi \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- 1 ning yig'indisi va burchak kotangentining kvadrati \alpha , berilgan burchak sinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiya \pi z dan boshqa har qanday \alpha uchun amal qiladi. \sin \alpha va tg \alpha if ni toping \cos \alpha=-\frac12 Va \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Yechimni ko'rsatish Yechim \sin \alpha va \cos \alpha funktsiyalari formula bilan bog'langan \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Ushbu formulani almashtirish \cos \alpha = -\ frac12, biz olamiz: \sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \o'ng)^2 = 1 Bu tenglamaning 2 ta yechimi bor: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) Shart bo'yicha \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Ikkinchi chorakda sinus ijobiy, shuning uchun \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). tg \alpha ni topish uchun formuladan foydalanamiz tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Agar va boʻlsa, \cos \alpha va ctg \alpha ni toping \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Yechimni ko'rsatish Yechim Formulaga almashtirish \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 shartli raqam \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), olamiz \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Bu tenglama ikkita yechimga ega \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. Shart bo'yicha \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Ikkinchi chorakda kosinus salbiy, shuning uchun \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. ctg \alpha ni topish uchun formuladan foydalanamiz ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Biz tegishli qiymatlarni bilamiz. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3). Bu B11 muammolarini hal qilish uchun zarur bo'lgan oxirgi va eng muhim dars. Biz burchaklarni radian o'lchovidan gradus o'lchoviga qanday aylantirishni allaqachon bilamiz (" Radian va burchakning daraja o'lchovi" darsiga qarang), shuningdek, koordinata choraklariga e'tibor qaratgan holda trigonometrik funktsiyaning belgisini qanday aniqlashni bilamiz (" Belgilar" darsiga qarang. trigonometrik funktsiyalar"). Muammo kichikligicha qolmoqda: funktsiyaning o'zi qiymatini hisoblash - javobda yozilgan son. Bu erda asosiy trigonometrik identifikatsiya yordamga keladi. Asosiy trigonometrik identifikatsiya. Har qanday a burchagi uchun bu gap to'g'ri bo'ladi: sin 2 a + cos 2 a = 1. Bu formula bir burchakning sinusi va kosinusini bog'laydi. Endi sinusni bilib, biz kosinusni osongina topishimiz mumkin - va aksincha. Kvadrat ildizni olish kifoya: Ildizlar oldidagi "±" belgisiga e'tibor bering. Gap shundaki, asosiy trigonometrik identifikatsiyadan asl sinus va kosinus nima ekanligi aniq emas: ijobiy yoki salbiy. Axir, kvadratlashtirish - bu barcha minuslarni (agar mavjud bo'lsa) "yoqib yuboradigan" teng funktsiyadir. Shuning uchun matematikada USEda mavjud bo'lgan barcha B11 vazifalarida belgilar bilan noaniqlikdan xalos bo'lishga yordam beradigan qo'shimcha shartlar mavjud. Odatda bu belgini aniqlash mumkin bo'lgan koordinatali chorakning ko'rsatkichidir. Diqqatli o'quvchi shubhasiz: "Tangens va kotangens haqida nima deyish mumkin?" Yuqoridagi formulalar bo'yicha bu funktsiyalarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash mumkin emas. Biroq, asosiy trigonometrik identifikatsiyadan allaqachon tangens va kotangentlarni o'z ichiga olgan muhim xulosalar mavjud. Aynan: Muhim xulosa: har qanday a burchagi uchun asosiy trigonometrik identifikatsiyani quyidagicha qayta yozish mumkin: Ushbu tenglamalar asosiy o'ziga xoslikdan osongina chiqariladi - ikkala tomonni cos 2 a (tangens olish uchun) yoki sin 2 a (kotangent uchun) ga bo'lish kifoya. Bularning barchasini aniq misollar bilan ko'rib chiqaylik. Quyida 2012-yilgi Matematik USE sinovlaridan olingan dolzarb B11 muammolari keltirilgan. Biz kosinusni bilamiz, lekin sinusni bilmaymiz. Asosiy trigonometrik identifikatsiya ("sof" shaklida) faqat ushbu funktsiyalarni bog'laydi, shuning uchun biz u bilan ishlaymiz. Bizda ... bor: sin 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ sin 2 a + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 a = 1/100 ⇒ sin a = ±1/10 = ±0,1. Muammoni hal qilish uchun sinusning belgisini topish qoladi. Burchak a ∈ (p /2; p ) bo'lgani uchun gradus o'lchovida u quyidagicha yoziladi: a ∈ (90°; 180°). Shuning uchun a burchak II koordinata choragida yotadi - u yerdagi barcha sinuslar musbat. Shuning uchun sin a = 0,1. Demak, biz sinusni bilamiz, lekin kosinusni topishimiz kerak. Bu ikkala funktsiya asosiy trigonometrik identifikatsiyada. Biz almashtiramiz: sin 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 a = 1 ⇒ cos 2 a = 1/4 ⇒ cos a = ±1/2 = ±0,5. Kasr oldidagi belgi bilan shug'ullanish qoladi. Nima tanlash kerak: ortiqcha yoki minus? Shartga ko'ra, a burchak oraliq (p 3p /2) ga tegishli. Burchaklarni radian o'lchovidan gradus o'lchoviga aylantiramiz - biz quyidagilarga ega bo'lamiz: a ∈ (180 °; 270 °). Shubhasiz, bu III koordinatali chorak, bu erda barcha kosinuslar manfiy. Shuning uchun kosa = -0,5. Vazifa. Quyidagilarni bilsangiz, tg a ni toping: Tangent va kosinus asosiy trigonometrik identifikatsiyadan kelib chiqadigan tenglama bilan bog'lanadi: Biz olamiz: tg a = ±3. Tangensning belgisi a burchak bilan aniqlanadi. Ma'lumki, a ∈ (3p /2; 2p ). Burchaklarni radian o'lchovidan daraja o'lchoviga aylantiramiz - a ∈ (270°; 360°) ni olamiz. Shubhasiz, bu IV koordinatali chorak, bu erda barcha tangenslar manfiy. Shuning uchun tga = -3. Vazifa. Agar siz quyidagilarni bilsangiz cos a ni toping: Shunga qaramay, sinus ma'lum va kosinus noma'lum. Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani yozamiz: sin 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 a = 1 ⇒ cos 2 a = 0,36 ⇒ cos a = ±0,6. Belgisi burchak bilan belgilanadi. Bizda: a ∈ (3p /2; 2p ). Burchaklarni gradusdan radianga aylantiramiz: a ∈ (270°; 360°) IV koordinata choragi, u yerda kosinuslar musbat. Shuning uchun cos a = 0,6. Vazifa. Agar quyidagilarni bilsangiz, gunoh a toping: Keling, asosiy trigonometrik o'ziga xoslikdan kelib chiqadigan va sinus va kotangentni to'g'ridan-to'g'ri bog'laydigan formulani yozamiz: Bu erdan biz gunoh 2 a = 1/25 ni olamiz, ya'ni. sin a = ± 1/5 = ± 0,2. Ma'lumki, burchak a ∈ (0; p /2). Darajada bu quyidagicha yoziladi: a ∈ (0°; 90°) - I chorakni koordinatali. Shunday qilib, burchak I koordinatali chorakda - barcha trigonometrik funktsiyalar u erda ijobiy, shuning uchun sin a \u003d 0,2.
`\alpha` burchagida u `A_1(x, y)` nuqtaga o`tadi va `\frac (\pi)2 + \alpha` burchagi bo`ylab `A_2(-y,x)` nuqtaga burilgandan keyin. . Bu nuqtalardan OX chiziqqa perpendikulyarlarni tushirsak, `OA_1H_1` va `OA_2H_2` uchburchaklar teng ekanligini ko`ramiz, chunki ularning gipotenuzalari va qo`shni burchaklari teng. Keyin, sinus va kosinus ta'riflariga asoslanib, biz `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos yozishimiz mumkin. (\ frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Qayerdan yozish mumkinki, ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` va ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, bu isbotlaydi. `\frac (\pi)2 + \alpha` burchakning sinusi va kosinusini kamaytirish formulalari.Bir burchakning sinusi va kosinusu o'rtasidagi bog'liqlik
. Bu haqiqatni tushuntirish juda oddiy: tengliklar asosiy trigonometrik identifikatsiyadan uning ikkala qismini mos ravishda va tengliklarga bo'lishdan keyin olinadi. 
Va 
sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqing. Buni keyingi paragraflarda batafsil muhokama qilamiz.Sinus va kosinus orqali tangens va kotangens
darhol sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqadi. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, sinus - y ning ordinatasi, kosinus - x ning abssissasi, tangens - ordinataning abssissaga nisbati, ya'ni. 
, kotangens esa abtsissaning ordinataga nisbati, ya’ni 
.ko'pincha tangens va kotangensning ta'riflari abscissa va ordinataning nisbati orqali emas, balki sinus va kosinus nisbati orqali beriladi. Demak, burchakning tangensi sinusning bu burchakning kosinusiga nisbati, kotangens esa kosinusning sinusga nisbatidir.Ulardagi trigonometrik funktsiyalar mantiqiy bo'lgan barcha burchaklar uchun ushlab turing. Shunday qilib, formuladan boshqa har qanday formula uchun amal qiladi (aks holda maxraj nolga teng bo'ladi va biz nolga bo'linishni aniqlamadik) va formula - hamma uchun , dan farq qiladi, bu erda z har qanday.Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik
. dan boshqa har qanday burchaklar uchun sodir bo'lishi aniq, aks holda tangens yoki kotangens aniqlanmaydi.juda onson. Ta'rifi bo'yicha va qaerdan 
. Tasdiqlash biroz boshqacha tarzda amalga oshirilishi mumkin edi. O'shandan beri va , keyin 
.Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar
Shakllangan formulalar
Qo'shimcha formulalar
Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak
Yarim burchak formulalari
Qisqartirish formulalari
Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari
Sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo'yicha ko'paytmasi uchun formulalar
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. www.saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.Sinus va kosinus orqali tangens va kotangensni topish
Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik
Tangens va kosinus, kotangens va sinus o'rtasidagi munosabatlar
Trigonometrik identifikatorlardan foydalangan holda muammolarni hal qilish misollari
1-misol
2-misol
Yuklanmoqda...