Xuddi shunday tenglik nimani anglatadi? Bir xil teng iboralar: ta'rif, misollar

Algebrani o‘rganish jarayonida biz ko‘pnom (masalan ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ va boshqalar) va algebraik kasr (masalan, $\frac(x+5)(x) tushunchalariga duch keldik. )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ va h.k.) Bu tushunchalarning oʻxshashligi shundaki, koʻpnomlarda ham, algebraik kasrlarda ham o'zgaruvchilar va raqamli qiymatlar, arifmetik amallar: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, darajaga chiqarish. Bu tushunchalarning farqi shundaki, o‘zgaruvchiga bo‘linish ko‘phadda bajarilmaydi, o‘zgaruvchiga bo‘linish esa algebraik kasrlarda amalga oshirilishi mumkin.

Matematikada polinom va algebraik kasrlar ratsional algebraik ifodalar deyiladi. Lekin polinomlar butun sonli ratsional ifodalar, algebraik kasrlar esa kasr jihatdan oqilona ifodalar.

Kasr-ratsional ifodadan butun sonni olishingiz mumkin algebraik ifoda bir xil transformatsiyadan foydalanish, bu holda kasrning asosiy xususiyati bo'ladi - kasrlarni kamaytirish. Keling, buni amalda ko'rib chiqaylik:

1-misol

O'zgartirish:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Qaror: Berilgan aylantirish kasrli ratsional tenglama asosiy xususiyatdan foydalanish mumkin kasrlar - qisqartmalar, ya'ni. numerator va maxrajni $0$ dan boshqa bir xil son yoki ifodaga bo'lish.

Bu kasrni zudlik bilan kamaytirish mumkin emas, hisoblagichni aylantirish kerak.

Biz ifodani kasrning numeratoriga aylantiramiz, buning uchun biz farq kvadrati formulasidan foydalanamiz: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Kasr shakliga ega

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\o'ng)(x-2))(x-2)\]

Endi biz hisoblagich va maxrajda umumiy omil mavjudligini ko'ramiz - bu $x-2$ ifodasi bo'lib, biz kasrni kamaytiramiz.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\o'ng)(x-2))(x-2)=x-2\]

Qisqartirilgandan so'ng, biz asl nusxani olamiz kasrli ratsional ifoda$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ $x-2$ polinomiga aylandi, ya'ni. butun mantiqiy.

Endi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ va $x-2\ $ iboralarini o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun emas, balki bir xil deb hisoblash mumkinligiga e'tibor qaratamiz, chunki kasr-ratsional ifoda mavjud bo'lishi va $x-2$ ko'phad bilan qisqartirish mumkin bo'lishi uchun kasrning maxraji $0$ ga teng bo'lmasligi kerak (shuningdek biz kamaytiruvchi omil. In. In). bu misol maxraj va ko'paytuvchi bir xil, lekin bu har doim ham shunday emas).

Algebraik kasr mavjud bo'lgan o'zgaruvchan qiymatlar haqiqiy o'zgaruvchan qiymatlar deb ataladi.

Kasrning maxrajiga shart qo'yamiz: $x-2≠0$, keyin $x≠2$.

Shunday qilib, $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ va $x-2$ iboralari $2$ dan tashqari oʻzgaruvchining barcha qiymatlari uchun bir xil.

Ta'rif 1

bir xilda teng Ifodalar o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun teng bo'lgan ifodalardir.

Bir xil o'zgartirish - bu asl ifodani bir xil teng ifoda bilan almashtirishdir.Bunday o'zgartirishlar quyidagi amallarni o'z ichiga oladi: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, qavslar, algebraik kasrlar umumiy maxrajga, algebraik kasrlarni qisqartirish, o'xshash atamalarni qisqartirish va hokazo. Shuni hisobga olish kerakki, o'xshash atamalarni qisqartirish, qisqartirish kabi bir qator o'zgarishlar o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlarini o'zgartirishi mumkin.

Shaxslarni isbotlash uchun ishlatiladigan usullar

Identifikatsiya o'zgarishlaridan foydalanib, identifikatsiyaning chap tomonini o'ng tomonga yoki aksincha o'zgartiring

Bir xil o'zgarishlardan foydalanib, ikkala qismni bir xil ifodaga qisqartiring

Ifodaning bir qismidagi ifodalarni boshqasiga o'tkazing va natijada farq $0$ ga teng ekanligini isbotlang

Yuqoridagi usullardan qaysi biri ma'lum shaxsni isbotlash uchun ishlatilishi asl shaxsga bog'liq.

2-misol

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$ shaxsini isbotlang

Qaror: Ushbu o'ziga xoslikni isbotlash uchun biz yuqoridagi usullarning birinchisidan foydalanamiz, ya'ni o'ng tomoniga teng bo'lguncha identifikatsiyaning chap tomonini o'zgartiramiz.

Identifikatsiyaning chap tomonini ko'rib chiqaylik: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- bu ikki ko'phadning farqi. Bunda birinchi ko’phad uchta had yig’indisining kvadrati bo’ladi.Bir necha hadlar yig’indisining kvadrati uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Buning uchun sonni ko‘phadga ko‘paytirishimiz kerak.Eslatib o‘tamiz, buning uchun qavslar tashqarisidagi umumiy ko‘paytmani qavs ichidagi ko‘phadning har bir a’zosiga ko‘paytirish kerak.Shundan keyin:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Endi asl polinomga qaytsak, u quyidagi shaklni oladi:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

E'tibor bering, qavs oldida "-" belgisi mavjud, ya'ni qavslar ochilganda, qavslardagi barcha belgilar teskari bo'ladi.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Agar shunga o'xshash shartlarni keltirsak, $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ va ​​$-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ monomiallari bir-birini bekor qiladi, ya'ni. ularning summasi $0$ ga teng.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Shunday qilib, bir xil o'zgarishlar orqali biz asl identifikatsiyaning chap tomonidagi bir xil ifodani oldik.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

E'tibor bering, natijada olingan ifoda asl identifikatsiyaning haqiqiyligini ko'rsatadi.

Esda tutingki, asl identifikatsiyada o'zgaruvchining barcha qiymatlariga ruxsat beriladi, ya'ni biz bir xil o'zgartirishlar yordamida identifikatsiyani isbotladik va bu o'zgaruvchining barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri.

Asl ifodani tashkil etuvchi raqamlar va iboralar o'rniga ularga bir xil teng iboralar qo'yilishi mumkin. Asl iboraning bunday o'zgarishi unga xuddi shunday teng bo'lgan ifodaga olib keladi.

Misol uchun, 3+x ifodasida 3 raqamini 1+2 yig'indisi bilan almashtirish mumkin, buning natijasida (1+2)+x ifodasi paydo bo'ladi, bu esa dastlabki ifodaga bir xil tengdir. Yana bir misol: 1+a 5 ifodasida a 5 ning darajasini unga teng, masalan, a·a 4 ko'rinishdagi ko'paytma bilan almashtirish mumkin. Bu bizga 1+a·a 4 ifodasini beradi.

Bu o'zgarish, shubhasiz, sun'iydir va odatda keyingi o'zgarishlarga tayyorgarlikdir. Masalan, 4·x 3 +2·x 2 yig‘indisida daraja xossalarini hisobga olgan holda 4·x 3 atamasini 2·x 2 ·2·x ko‘paytma sifatida ko‘rsatish mumkin. Bunday transformatsiyadan so'ng asl ifoda 2·x 2 ·2·x+2·x 2 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, hosil bo'lgan yig'indidagi atamalar umumiy koeffitsient 2 x 2 ga ega, shuning uchun biz quyidagi transformatsiyani amalga oshirishimiz mumkin - qavslar. Undan keyin quyidagi ifodaga kelamiz: 2 x 2 (2 x+1) .

Xuddi shu sonni qo'shish va ayirish

Ifodaning yana bir sun'iy o'zgarishi bir xil son yoki ifodani bir vaqtning o'zida qo'shish va ayirishdir. Bunday o'zgartirish bir xil, chunki u aslida nolni qo'shishga teng va nol qo'shilishi qiymatni o'zgartirmaydi.

Bir misolni ko'rib chiqing. x 2 +2 x ifodasini olaylik. Agar unga bittasi qo'shilsa va bittasi olib tashlansa, bu kelajakda yana bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishga imkon beradi - binomning kvadratini tanlang: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 7 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 17-nashr, qo'shimcha. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 b.: kasal. ISBN 978-5-346-02432-3.

Sonlarni qo`shish va ko`paytirishning asosiy xossalari.

Qo'shishning almashinish xususiyati: shartlar qayta tartiblanganda yig'indining qiymati o'zgarmaydi. Har qanday a va b raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Qo'shishning assotsiativ xossasi: ikkita sonning yig'indisiga uchinchi sonni qo'shish uchun birinchi raqamga ikkinchi va uchinchi sonlarni qo'shish mumkin. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri

Ko'paytirishning almashinish xususiyati: omillarni almashtirish mahsulot qiymatini o'zgartirmaydi. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Ko'paytirishning assotsiativ xususiyati: ikkita raqamning ko'paytmasini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun birinchi raqamni ikkinchi va uchinchi raqamga ko'paytirish mumkin.

Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Tarqatish xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun siz bu sonni har bir a'zoga ko'paytirishingiz va natijalarni qo'shishingiz mumkin. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri

Qo'shishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlaridan kelib chiqadiki, har qanday yig'indida siz atamalarni xohlaganingizcha o'zgartirishingiz va ularni ixtiyoriy ravishda guruhlarga birlashtirishingiz mumkin.

1-misol 1,23+13,5+4,27 yig‘indisini hisoblaymiz.

Buning uchun birinchi atamani uchinchi bilan birlashtirish qulay. Biz olamiz:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Bu ko'paytirishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlaridan kelib chiqadi: har qanday mahsulotda siz omillarni istalgan tarzda qayta tartibga solishingiz va ularni o'zboshimchalik bilan guruhlarga birlashtirishingiz mumkin.

2-misol 1,8 0,25 64 0,5 ko’paytmaning qiymati topilsin.

Birinchi omilni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan birlashtirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Tarqatish xususiyati raqam uch yoki undan ortiq shartlar yig'indisiga ko'paytirilganda ham amal qiladi.

Masalan, har qanday a, b, c va d sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Biz bilamizki, ayirishni qo'shish bilan almashtirilishi mumkin bo'lgan minuendga ayirilayotgan raqamga qarama-qarshi sonni qo'shish mumkin:

Bu raqamli ifodaga imkon beradi a-b turi a va -b sonlar yig'indisini ko'rib chiqamiz, a + b-c-d ko'rinishidagi sonli ifodani a, b, -c, -d va hokazo sonlar yig'indisi sifatida ko'rib chiqamiz.Harakatlarning ko'rib chiqilayotgan xossalari bunday yig'indilar uchun ham amal qiladi.

3-misol 3,27-6,5-2,5+1,73 ifodaning qiymati topilsin.

Bu ifoda 3.27, -6.5, -2.5 va 1.73 sonlarining yigʻindisidir. Qo‘shish xossalarini qo‘llagan holda quyidagilarga erishamiz: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4-misol 36·() hosilani hisoblaymiz.

Ko'paytirgichni sonlar yig'indisi va - deb hisoblash mumkin. Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

36()=36-36=9-10=-1.

Identifikatsiyalar

Ta'rif. O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun mos keladigan qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deyiladi.

Ta'rif. O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik identifikatsiya deb ataladi.

x=5, y=4 uchun 3(x+y) va 3x+3y ifodalarning qiymatlarini topamiz:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Xuddi shunday natijaga erishdik. Distribyutorlik xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda, o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun 3(x+y) va 3x+3y ifodalarining mos qiymatlari tengdir.

Endi 2x+y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqing. x=1, y=2 uchun ular teng qiymatlarni oladi:

Biroq, bu ifodalarning qiymatlari teng bo'lmasligi uchun x va y qiymatlarini belgilashingiz mumkin. Masalan, agar x=3, y=4 bo'lsa, u holda

3(x+y) va 3x+3y ifodalar bir xil darajada teng, lekin 2x+y va 2xy ifodalari bir xil darajada teng emas.

3(x+y)=x+3y tengligi, x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri, o'ziga xoslikdir.

Haqiqiy son tengliklari ham identifikatsiya hisoblanadi.

Demak, identifikatsiyalar raqamlardagi harakatlarning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi tenglikdir:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Identifikatsiyaning boshqa misollarini keltirish mumkin:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Ifodalarning identifikator transformatsiyalari

Bir iborani boshqasiga, xuddi shunga teng bo'lgan ifoda bilan almashtirish deyiladi identifikatsiyani o'zgartirish yoki oddiygina ifodani aylantirish orqali.

O'zgaruvchilari bo'lgan ifodalarni bir xil o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalari asosida amalga oshiriladi.

X, y, z qiymatlari berilgan xy-xz ifoda qiymatini topish uchun siz uchta qadamni bajarishingiz kerak. Masalan, x=2,3, y=0,8, z=0,2 bo‘lganda biz quyidagilarga erishamiz:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Bu natijani faqat ikki bosqichda, xy-xz ifodasiga teng bo'lgan x(y-z) ifodasi yordamida olish mumkin:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Biz xy-xz ifodasini bir xil bilan almashtirib, hisob-kitoblarni soddalashtirdik teng ifoda x(y-z).

Ifodalar qiymatlarini hisoblash va boshqa muammolarni hal qilishda iboralarning o'ziga xos o'zgarishi keng qo'llaniladi. Ba'zi bir xil o'zgarishlar allaqachon amalga oshirilgan, masalan, o'xshash atamalarni qisqartirish, qavslarni ochish. Ushbu o'zgarishlarni amalga oshirish qoidalarini eslang:

o'xshash shartlarni keltirish uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani umumiy harf qismiga ko'paytirishingiz kerak;

qavslar oldida ortiqcha belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini saqlab qolgan holda, qavslar qoldirilishi mumkin;

qavslar oldidan minus belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qavslarni olib tashlash mumkin.

1-misol 5x+2x-3x yig‘indisiga o‘xshash sonlarni qo‘shamiz.

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartirish uchun qoidadan foydalanamiz:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Bu transformatsiya ko‘paytirishning distributiv xususiyatiga asoslanadi.

2-misol 2a+(b-3c) ifodadagi qavslarni kengaytiramiz.

Oldindan ortiqcha belgisi bo'lgan qavslarni ochish qoidasini qo'llash:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Amalga oshirilgan o'zgartirish qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslanadi.

3-misol a-(4b-c) ifodadagi qavslarni kengaytiramiz.

Oldinda minus belgisi qo'yilgan qavslarni kengaytirish qoidasidan foydalanamiz:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Amalga oshirilgan o'zgartirish ko'paytirishning taqsimlanish xususiyatiga va qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslanadi. Keling, ko'rsataylik. Bu ifodadagi -(4b-c) ikkinchi hadini (-1)(4b-c) ko‘paytma sifatida ifodalaymiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Harakatlarning ushbu xususiyatlarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. O'ziga xoslik ifodalari, o'ziga xoslik. Ifodaning identifikator transformatsiyasi. Shaxsni tasdiqlovchi hujjatlar

x o'zgaruvchining berilgan qiymatlari uchun 2(x - 1) 2x - 2 ifodalarning qiymatlarini topamiz. Natijalarni jadvalga yozamiz:

Xulosa qilish mumkinki, 2(x - 1) 2x - 2 ifodalarning qiymatlari har biri uchun berilgan qiymat x o'zgaruvchisi bir-biriga teng. 2(x - 1) = 2x - 2 ayirishga nisbatan ko'paytirishning distributiv xususiyatiga ko'ra. Demak, x o'zgaruvchining boshqa har qanday qiymati uchun 2(x - 1) 2x - 2 ifodaning qiymati ham bo'ladi. bir-biriga teng. Bunday iboralar bir xil teng deb ataladi.

Masalan, 2x + 3x va 5x iboralari sinonimdir, chunki x o'zgaruvchining har bir qiymati uchun bu iboralar olinadi. bir xil qiymatlar(bu qo'shishga nisbatan ko'paytirishning distributiv xususiyatidan kelib chiqadi, chunki 2x + 3x = 5x).

Endi 3x + 2y va 5xy ifodalarini ko'rib chiqing. Agar x \u003d 1 va b \u003d 1 bo'lsa, bu ifodalarning tegishli qiymatlari bir-biriga teng:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Biroq, siz x va y qiymatlarini belgilashingiz mumkin, ular uchun bu ifodalarning qiymatlari bir-biriga teng bo'lmaydi. Masalan, agar x = 2; y = 0, keyin

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Demak, o'zgaruvchilarning shunday qiymatlari mavjudki, ular uchun 3x + 2y va 5xy ifodalarining tegishli qiymatlari bir-biriga teng emas. Demak, 3x + 2y va 5xy ifodalari bir xil darajada teng emas.

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, identifikatsiyalar, xususan, tenglikdir: 2(x - 1) = 2x - 2 va 2x + 3x = 5x.

O'ziga xoslik - bu yozilgan har bir tenglik ma'lum xususiyatlar raqamlar bo'yicha harakatlar. Misol uchun,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Identifikatsiya kabi tengliklar ham mavjud:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Agar -5x + 2x - 9 ifodasidagi o'xshash atamalarni kamaytirsak, 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9 ni olamiz. Bu holda ular 5x + 2x - 9 ifodasi 7x - ifodasi bilan almashtirilganligini aytishadi. 9, bu unga o'xshash.

O'zgaruvchilar bilan ifodalarni bir xil o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalarini qo'llash orqali amalga oshiriladi. Xususan, qavslar ochilishi bilan bir xil o'zgarishlar, o'xshash atamalarning tuzilishi va boshqalar.

Ifodani soddalashtirganda, ya'ni ba'zi ifodani unga teng bo'lgan, qisqaroq bo'lishi kerak bo'lgan ifoda bilan almashtirishda bir xil transformatsiyalar bajarilishi kerak.

Misol 1. Ifodani soddalashtiring:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Tenglikning o'ziga xoslik ekanligini isbotlash uchun (boshqacha qilib aytganda, o'ziga xoslikni isbotlash uchun iboralarning o'ziga xos o'zgarishlaridan foydalaniladi.

Siz shaxsingizni quyidagi usullardan biri bilan isbotlashingiz mumkin:

• uning chap tomonining bir xil o'zgarishlarini amalga oshiring va shu bilan uni o'ng tomon shakliga keltiring;
• uning o'ng tomonining bir xil o'zgarishlarini amalga oshiring va shu bilan uni chap tomon shakliga keltiring;
• uning ikkala qismini bir xil o'zgartirishlarni amalga oshiring va shu bilan ikkala qismni bir xil ifodalarga ko'taring.

2-misol. Shaxsni isbotlang:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Rivojlanish

1) Keling, bu tenglikning chap tomonini o'zgartiramiz:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Bir xil o'zgarishlar bilan tenglikning chap tomonidagi ifoda o'ng tomon shakliga keltirildi va shu bilan bu tenglikning o'ziga xoslik ekanligini isbotladi.

2) Keling, bu tenglikning o'ng tomonini o'zgartiramiz:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Bir xil o'zgarishlar bilan tenglikning o'ng tomoni chap tomon shakliga keltirildi va shu bilan bu tenglikning o'ziga xoslik ekanligini isbotladi.

3) Bunday holda, tenglikning chap va o'ng qismlarini soddalashtirish va natijalarni solishtirish qulay:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Bir xil o'zgarishlar bilan tenglikning chap va o'ng qismlari bir xil ko'rinishga keltirildi: 26x - 44. Demak, bu tenglik o'ziga xoslikdir.

Qanday iboralar bir xil deyiladi? Bir xil iboralarga misol keltiring. Qanday tenglik o'ziga xoslik deb ataladi? Shaxsga misol keltiring. Ifodaning o'ziga xos o'zgarishi nima deyiladi? Shaxsni qanday isbotlash mumkin?

1. (Og'zaki) Yoki bir xil teng iboralar mavjud:

1) 2a + a va 3a;

2) 7x + 6 va 6 + 7x;

3) x + x + x va x 3;

4) 2(x - 2) va 2x - 4;

5) m - n va n - m;

6) 2a ∙ r va 2p ∙ a?

1. Ifodalar bir xil tengmi:

1) 7x - 2x va 5x;

2) 5a - 4 va 4 - 5a;

3) 4m + n va n + 4m;

4) a + a va a 2;

5) 3(a - 4) va 3a - 12;

6) 5m ∙ n va 5m + n?

1. (Og'zaki) Tenglikning o'ziga xosligi:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Qavsni ochish:

1. Qavsni ochish:

1. O'xshash shartlarni qisqartiring:

1. 2a + 3a ifodalari bilan bir xil bo'lgan bir nechta iboralarni ayting.
2. Ko'paytirishning almashinish va kon'yunktiv xususiyatlaridan foydalangan holda ifodani soddalashtiring:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Ifodani soddalashtiring:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Og'zaki) Ifodani soddalashtiring:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. O'xshash shartlarni qisqartiring:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni qisqartiring:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) agar x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, agar a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), agar m = -3,7 bo'lsa;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, agar x = -1, y = 1 bo'lsa.

1. Ifodani soddalashtiring va uning qiymatini toping:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), agar x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, agar v \u003d 20 bo'lsa;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), agar a = -1 bo'lsa;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, agar m = 1,8 bo'lsa; n = -0,9.

1. Shaxsni isbotlang:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

1. Shaxsni isbotlang:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Uchburchakning bir tomonining uzunligi sm, qolgan ikki tomonining uzunligi esa undan 2 sm katta. Uchburchakning perimetrini ifoda sifatida yozing va ifodani soddalashtiring.
2. To'rtburchakning kengligi x sm, uzunligi esa kengligidan 3 sm ko'proq. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini ifoda sifatida yozing va ifodani soddalashtiring.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Qavslarni kengaytiring va ifodani soddalashtiring:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

1. Shaxsni isbotlang:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Shaxsni isbotlang:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Ifodaning qiymati ekanligini isbotlang

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) o'zgaruvchining qiymatiga bog'liq emas.

1. O'zgaruvchining istalgan qiymati uchun ifoda qiymati ekanligini isbotlang

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

bir xil raqam.

1. Ketma-ket kelgan uchta juft sonlar yig‘indisi 6 ga bo‘linishini isbotlang.
2. Agar n natural son bo'lsa, -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) ifodaning qiymati juft son ekanligini isbotlang.

Takrorlash uchun mashqlar

1. 1,6 kg og'irlikdagi qotishma tarkibida 15% mis mavjud. Ushbu qotishma tarkibida necha kg mis bor?
2. Uning 20 soni necha foizni tashkil qiladi:

1) kvadrat;

1. Sayyoh 2 soat piyoda, 3 soat velosipedda yurdi. Hammasi bo'lib sayyoh 56 km masofani bosib o'tdi. Sayyoh velosipedda yurgan tezligidan 12 km/soat ko‘p bo‘lsa, uning tezligini toping.

Dangasa talabalar uchun qiziqarli topshiriqlar

1. Futbol bo‘yicha shahar chempionatida 11 ta jamoa ishtirok etmoqda. Har bir jamoa qolganlari bilan bitta o'yin o'tkazadi. Musobaqaning istalgan vaqtida juft sonda o'yin o'tkazgan yoki hali o'ynamagan jamoa borligini isbotlang.