Kasrni kubga ko'tarish. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish

O'zingiz bilan tanishish vaqti keldi erektsiya algebraik kasr darajaga qadar. Algebraik kasrlar bilan bu harakat daraja jihatidan ko'paytirishga kamayadi bir xil kasrlar. Ushbu maqolada biz tegishli qoidani beramiz va algebraik kasrlarni tabiiy kuchlarga ko'tarish misollarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti

Algebraik kasrni kuchga ko'tarish haqida gapirishdan oldin, darajaning asosida turgan bir xil omillarning mahsuloti nima ekanligini eslash zarar qilmaydi va ularning soni indikator bilan belgilanadi. Masalan, 2 3 =2 2 2=8 .

Va endi oddiy kasrning kuchiga ko'tarish qoidasini eslaylik - buning uchun siz hisoblagichni ko'rsatilgan quvvatga va alohida maxrajga ko'tarishingiz kerak. Masalan, . Bu qoida algebraik kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun amal qiladi.

Algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarish yangi kasrni beradi, uning numeratorida bosh kasr sonining ko'rsatilgan darajasi, maxrajida esa - maxrajning darajasi. To'g'ridan-to'g'ri shaklda bu qoida tenglikka mos keladi , bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar (ayniqsa, monomlar yoki raqamlar), b esa nolga teng bo'lmagan ko'phad, n esa .

Algebraik kasrni darajaga ko'tarishning ovozli qoidasining isboti tabiiy ko'rsatkichli darajani aniqlashga va algebraik kasrlarni ko'paytirishni qanday aniqlaganimizga asoslanadi: .

Misollar, yechimlar

Oldingi paragrafda olingan qoida algebraik kasrni bir darajaga ko'tarishni asl kasrning hisoblagichi va maxrajini ushbu darajaga ko'tarish uchun kamaytiradi. Va asl algebraik kasrning numeratori va maxraji polinomlar bo'lganligi sababli (muayyan holatda, monomlar yoki raqamlar), asl vazifa polinomlarni bir darajaga ko'tarishdan iborat. Ushbu amalni bajargandan so'ng, asl algebraik kasrning belgilangan darajasiga teng bo'lgan yangi algebraik kasr olinadi.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Algebraik kasrning kvadrati.

Qaror.

Keling, darajani yozamiz. Endi biz algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasiga murojaat qilamiz, bu bizga tenglikni beradi . Olingan kasrni monomiallarni bir darajaga ko'tarish orqali algebraik kasr shakliga aylantirish qoladi. Shunday qilib .

Odatda, algebraik kasrni darajaga ko‘tarishda yechimning borishi tushuntirilmaydi, yechim qisqacha yoziladi. Bizning misolimiz rekordga mos keladi .

Javob:

.

Polinomlar, ayniqsa binomiallar algebraik kasrning soni va / yoki maxrajida bo'lsa, uni bir darajaga ko'tarishda mos keladigan qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish tavsiya etiladi.

Misol.

Algebraik kasrni ko'taring ikkinchi darajaga.

Qaror.

Kasrni kuchga ko'tarish qoidasiga ko'ra, biz bor .

Olingan ifodani numeratorga aylantirish uchun biz foydalanamiz Farq kvadrat formulasi, va maxrajda - uchta hadning yig'indisi kvadratining formulasi:

Javob:

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar biz qaytarilmas algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarsak, natijada ham qaytarilmas kasr bo'ladi. Agar dastlabki kasr bekor qilinadigan bo'lsa, uni bir darajaga ko'tarishdan oldin, kuchga ko'tarilgandan keyin qisqartirishni amalga oshirmaslik uchun algebraik kasrni kamaytirish tavsiya etiladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Aqlli talabalar tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Www.website hech qanday qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz hech qanday shaklda ko'paytirilishi yoki foydalanilishi mumkin emas.

Raqamning darajasi haqidagi suhbatni davom ettirishda daraja qiymatini topish bilan shug'ullanish mantiqan to'g'ri keladi. Bu jarayon shunday nomlandi eksponentsiya. Ushbu maqolada biz faqat eksponentsiya qanday bajarilishini o'rganamiz, shu bilan birga barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalamiz - natural, butun, ratsional va irratsional. Va an'anaga ko'ra, biz raqamlarni turli darajalarga ko'tarish misollarining echimlarini batafsil ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

"Eksponentatsiya" nimani anglatadi?

Keling, eksponentsiya deb ataladigan narsani tushuntirishdan boshlaylik. Bu erda tegishli ta'rif.

Ta'rif.

Koʻrsatkich koʻtarish sonning kuchining qiymatini topishdir.

Shunday qilib, a ning darajali qiymatini r ko'rsatkichi bilan topish va a sonini r darajasiga ko'tarish bir xil narsadir. Masalan, agar vazifa "kuchning (0,5) 5 qiymatini hisoblash" bo'lsa, uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: "0,5 raqamini 5 ga ko'taring".

Endi siz to'g'ridan-to'g'ri eksponentsiya bajariladigan qoidalarga o'tishingiz mumkin.

Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish

Amalda, ga asoslangan tenglik odatda shaklda qo'llaniladi. Ya'ni, a soni m / n kasr darajasiga ko'tarilganda, birinchi navbatda a sonidan n-darajali ildiz chiqariladi, shundan so'ng natija m butun son darajasiga ko'tariladi.

Kasr kuchiga ko'tarish misollari yechimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Darajaning qiymatini hisoblang.

Qaror.

Biz ikkita yechimni ko'rsatamiz.

Birinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichi bilan daraja ta'rifi bo'yicha. Ildiz belgisi ostida daraja qiymatini hisoblaymiz, shundan so'ng biz chiqarib tashlaymiz kub ildizi: .

Ikkinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash va ildizlarning xususiyatlariga ko'ra, tengliklar to'g'ri bo'ladi. . Endi ildizni ajratib oling Nihoyat, biz butun son darajaga ko'taramiz .

Shubhasiz, kasr quvvatiga ko'tarish natijasida olingan natijalar mos keladi.

Javob:

Esda tutingki, kasr ko'rsatkichi o'nli kasr yoki aralash son sifatida yozilishi mumkin, bu hollarda uni mos keladigan oddiy kasr bilan almashtirish kerak, keyin esa ko'rsatkichni oshirish kerak.

Misol.

(44,89) 2,5 ni hisoblang.

Qaror.

Ko'rsatkichni oddiy kasr shaklida yozamiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): . Endi biz kasr darajasiga ko'taramiz:

Javob:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Shuni ham aytish kerakki, raqamlarni ratsional darajalarga ko'tarish juda mashaqqatli jarayondir (ayniqsa, kasr ko'rsatkichining soni va maxrajida etarli miqdorda bo'lsa. katta raqamlar), odatda kompyuter texnologiyalari yordamida amalga oshiriladi.

Ushbu bandni yakunlab, biz nol sonidan kasr darajasiga to'xtalib o'tamiz. Shaklning nolning kasr darajasiga quyidagi ma'noni berdik: chunki bizda , m/n quvvatga nol esa aniqlanmagan. Shunday qilib, noldan musbat kasr kuchiga nol, Misol uchun, . Va kasrli manfiy quvvatdagi nol mantiqiy emas, masalan, ifodalar va 0 -4,3 mantiqiy emas.

Mantiqsiz kuchga ko'tarilish

Ba'zan irratsional ko'rsatkichli sonning daraja qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Bunday holda, amaliy maqsadlar uchun, odatda, ma'lum bir belgigacha bo'lgan daraja qiymatini olish kifoya qiladi. Darhol shuni ta'kidlaymizki, bu qiymat amalda elektron hisoblash texnologiyasidan foydalangan holda hisoblab chiqiladi, chunki ir ga ko'tariladi ratsional daraja qo'lda talab qiladi katta raqam noqulay hisob-kitoblar. Biroq, biz tasvirlab beramiz umumiy ma'noda harakatning mohiyati.

a bilan kuchining taxminiy qiymatini olish uchun irratsional ko'rsatkich, ko'rsatkichning ba'zi o'nli yaqinlashuvi olinadi va ko'rsatkichning qiymati hisoblanadi. Bu qiymat irratsional ko'rsatkichli a sonining darajasining taxminiy qiymatidir. Raqamning o'nli yaqinlashuvi dastlab qanchalik aniq bo'lsa, shuncha ko'p aniq qiymat oxirida diplom olinadi.

Misol tariqasida, 2 1,174367... quvvatining taxminiy qiymatini hisoblab chiqamiz. Irratsional ko'rsatkichning quyidagi o'nli yaqinlashuvini olaylik: . Endi biz 2 ni 1,17 ning ratsional kuchiga ko'taramiz (biz oldingi xatboshida bu jarayonning mohiyatini tasvirlab berdik), biz 2 1,17 ≈ 2,250116 ni olamiz. Shunday qilib, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Agar biz irratsional ko'rsatkichni aniqroq o'nli yaqinlashuvini olsak, masalan, , u holda biz asl darajaning aniqroq qiymatini olamiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 hujayralar uchun matematika Zh darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Darsda kasrlarni ko'paytirishning yanada umumlashtirilgan versiyasi ko'rib chiqiladi - bu eksponentatsiya. Avvalo, kasrning tabiiy darajasi va kasrlar bilan o'xshash harakatlarni ko'rsatadigan misollar haqida gapiramiz. Dars boshida biz butun sonli ifodalarning tabiiy kuchiga oshirishni takrorlaymiz va bu keyingi misollarni echish uchun qanchalik foydali ekanligini ko'rib chiqamiz.

Mavzu: Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars: Algebraik kasrni darajaga ko‘tarish

1. Kasr va butun son ifodalarini elementar misollar bilan natural darajaga ko‘tarish qoidalari

Oddiy va algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish qoidasi:

Siz butun son ifodasi darajasi bilan o'xshashlik chizishingiz va uni bir darajaga ko'tarish nimani anglatishini eslab qolishingiz mumkin:

1-misol .

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrni kuchga ko'tarish maxsus holat oldingi darsda o'rganilgan kasrlarni ko'paytirish.

2-misol. a), b) - minus yo'qoladi, chunki biz ifodani teng kuchga oshirdik.

Darajalar bilan ishlash qulayligi uchun biz tabiiy quvvatni oshirishning asosiy qoidalarini eslaymiz:

- darajalar mahsuloti;

- darajalarni taqsimlash;

Bir darajani kuchga ko'tarish;

Ishning darajasi.

3-misol. - bu bizga “Bits sonli ifodalar kuchiga ko'tarish” mavzusidan beri ma'lum, bir holat bundan mustasno: u mavjud emas.

2. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun eng oddiy misollar

Misol 4. Kasrni darajaga ko'taring.

Qaror. Bir tekis quvvatga ko'tarilganda, minus yo'qoladi:

Misol 5. Kasrni darajaga ko'taring.

Qaror. Endi biz alohida jadvalsiz darhol darajani darajaga ko'tarish qoidalaridan foydalanamiz:

.

Endi kasrlarni bir darajaga ko'tarish, ularni ko'paytirish va bo'lish kerak bo'lgan birlashtirilgan vazifalarni ko'rib chiqing.

6-misol: Harakatlarni bajaring.

Qaror. . Keyinchalik, siz kamaytirishni amalga oshirishingiz kerak. Biz buni qanday qilishimizni bir marta batafsil tasvirlab beramiz va keyin natijani darhol analogiya bilan ko'rsatamiz:. Xuddi shunday (yoki darajalarni bo'lish qoidasiga ko'ra). Bizda ... bor: .

7-misol: Harakatlarni bajaring.

Qaror. . Qisqartirish yuqorida muhokama qilingan misolga o'xshash tarzda amalga oshiriladi.

8-misol: Harakatlarni bajaring.

Qaror. . DA bu misol biz yana bir bor bu usulni birlashtirish uchun kasrlarda vakolatlarni kamaytirish jarayonini batafsil tasvirlab berdik.

3. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun murakkabroq misollar (belgilarni hisobga olgan holda va qavs ichidagi atamalar bilan)

9-misol: Harakatlarni bajaring .

Qaror. Ushbu misolda biz kasrlarni alohida ko'paytirishni o'tkazib yuboramiz va darhol ularni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz va uni bitta maxraj ostida yozamiz. Shu bilan birga, biz belgilarga amal qilamiz - bu holda, kasrlar teng kuchlarga ko'tariladi, shuning uchun minuslar yo'qoladi. Oxirida qisqartirishni qilaylik.

10-misol: Harakatlarni bajaring .

Qaror. Ushbu misolda kasrlarning bo'linishi mavjud, esda tutingki, bu holda birinchi kasr ikkinchisiga ko'paytiriladi, lekin teskari.

Mavzu bir xil kasrlarni ko'paytirishimiz kerakligi bilan bog'liq. Ushbu maqola sizga algebraik kasrlarni tabiiy kuchlarga to'g'ri ko'tarish uchun qanday qoidadan foydalanish kerakligini aytib beradi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti

Kuchga ko'tarilishni boshlashdan oldin, siz tabiiy ko'rsatkichli daraja haqidagi maqola yordamida bilimingizni chuqurlashtirishingiz kerak, bu erda daraja asosini tashkil etadigan bir xil omillar mahsuloti mavjud va ularning soni. indikator bilan aniqlanadi. Masalan, 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 raqami.

Quvvatni ko'tarishda biz ko'pincha qoidadan foydalanamiz. Buni amalga oshirish uchun hisoblagich va maxrajni alohida ko'taring. 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 misolini ko'rib chiqing. Qoida kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun qo'llaniladi.

Da algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarish biz yangisini olamiz, bu erda hisoblagich asl kasr darajasiga ega, maxraj esa maxraj darajasiga ega. Bularning barchasi a b n = a n b n ko'rinishdir, bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar, b nolga teng emas, n esa natural sondir.

Ushbu qoidaning isboti tabiiy ko'rsatkich bilan ta'rifning o'ziga asoslanib, bir kuchga ko'tarilishi kerak bo'lgan kasr sifatida yoziladi. Keyin a b n = a b · a b · ko'rinishdagi kasrlarni ko'paytirishni olamiz. . . · a b = a · a · . . . · a b · b ·. . . b = a n b n

Misollar, yechimlar

Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasi ketma-ket bajariladi: birinchi navbatda hisob, keyin maxraj. Numerator va maxrajda ko'phad mavjud bo'lganda, vazifaning o'zi berilgan ko'phadni bir darajaga ko'tarishga qisqartiriladi. Shundan so'ng, asl qismga teng bo'lgan yangi kasr ko'rsatiladi.

1-misol

x 2 3 y z 3 kasrni kvadratiga solish

Qaror

X 2 3 · y · z 3 2 darajasini tuzatish kerak. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasiga ko'ra, x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 ko'rinishdagi tenglikni olamiz. Endi hosil bo'lgan kasrni darajaga ko'tarish yo'li bilan algebraik ko'rinishga o'tkazish kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Eksponentsiyaning barcha holatlari batafsil tushuntirishni talab qilmaydi, shuning uchun yechimning o'zi qisqa rekordga ega. Ya'ni, biz buni tushunamiz

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Javob: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6.

Agar pay va maxrajning ko'phadlari bo'lsa, unda butun kasrni bir darajaga ko'tarish kerak, so'ngra uni soddalashtirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash kerak.

2-misol

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y kasrni kvadratga aylantiring.

Qaror

Qoidaga ko'ra, bizda shunday

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Ifodani o'zgartirish uchun siz maxrajdagi uchta haddan iborat yig'indining kvadrati formulasidan, hisoblagichda esa - farqning kvadratidan foydalanishingiz kerak, bu ifodani soddalashtiradi. Biz olamiz:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y) ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Javob: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

E'tibor bering, biz tabiiy kuchga keltira olmaydigan kasrni ko'targanda, biz kamaytirilmaydigan kasrni ham olamiz. Bu keyingi hal qilishni osonlashtirmaydi. Berilgan kasrni kamaytirish mumkin bo'lganida, darajaga ko'tarilganda, kuchga ko'tarilgandan keyin qisqartirishni amalga oshirmaslik uchun algebraik kasrni kamaytirishni amalga oshirish zarurligini topamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Biz raqamning darajasi qanday ekanligini aniqladik. Endi biz uni qanday qilib to'g'ri hisoblashni tushunishimiz kerak, ya'ni. raqamlarni kuchga ko'taring. Ushbu materialda biz butun son, natural, kasr, ratsional va irratsional ko'rsatkich holatida darajani hisoblashning asosiy qoidalarini tahlil qilamiz. Barcha ta'riflar misollar bilan tasvirlanadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentsiya tushunchasi

Keling, asosiy ta'riflarni shakllantirishdan boshlaylik.

Ta'rif 1

Koʻrsatkich koʻtarish qandaydir sonning quvvati qiymatini hisoblashdir.

Ya'ni, "darajaning qiymatini hisoblash" va "ko'rsatkich" so'zlari bir xil ma'noni anglatadi. Shunday qilib, agar vazifa "0 , 5 raqamini beshinchi darajaga ko'taring" bo'lsa, buni "kuchning qiymatini hisoblang (0 , 5) 5" deb tushunish kerak.

Endi biz bunday hisob-kitoblarda bajarilishi kerak bo'lgan asosiy qoidalarni beramiz.

Tabiiy ko'rsatkichli sonning kuchi nima ekanligini eslang. Bazasi a va ko‘rsatkichi n bo‘lgan daraja uchun bu omillarning har biri a ga teng bo‘lgan n-sonli ko‘paytmasi bo‘ladi. Buni shunday yozish mumkin:

Darajaning qiymatini hisoblash uchun siz ko'paytirish amalini bajarishingiz kerak, ya'ni darajaning asoslarini belgilangan necha marta ko'paytirishingiz kerak. Tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasining o'zi tezda ko'payish qobiliyatiga asoslangan. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol

Shart: - 2 ni 4 ning kuchiga ko'taring.

Qaror

Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Keyinchalik, biz faqat ushbu bosqichlarni bajarishimiz va 16 ni olishimiz kerak.

Keling, murakkabroq misolni olaylik.

2-misol

3 2 7 2 qiymatini hisoblang

Qaror

Ushbu yozuvni 3 2 7 · 3 2 7 sifatida qayta yozish mumkin. Oldinroq biz shartda aytib o'tilgan aralash raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ko'rib chiqdik.

Ushbu amallarni bajaring va javobni oling: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Agar topshiriq irratsional sonlarni tabiiy kuchga ko'tarish zarurligini ko'rsatsa, biz birinchi navbatda ularning asoslarini kerakli aniqlikdagi javobni olishimizga imkon beradigan raqamga yaxlitlashimiz kerak. Keling, bir misol keltiraylik.

3-misol

p sonining kvadratini bajaring.

Qaror

Avval uni yuzdan biriga yaxlitlaymiz. Keyin p 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Agar p ≈ 3 bo'lsa. 14159, keyin biz aniqroq natijaga erishamiz: p 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

E'tibor bering, amalda irratsional sonlarning kuchlarini hisoblash zarurati nisbatan kamdan-kam hollarda paydo bo'ladi. Keyin javobni quvvatning o'zi (ln 6) 3 sifatida yozishimiz yoki iloji bo'lsa o'zgartirishimiz mumkin: 5 7 = 125 5 .

Alohida-alohida, raqamning birinchi kuchi nima ekanligini ko'rsatish kerak. Bu erda siz birinchi darajaga ko'tarilgan har qanday raqam o'z-o'zidan qolishini yodda tutishingiz mumkin:

Bu yozuvdan aniq. .

Bu daraja asosiga bog'liq emas.

4-misol

Demak, (− 9) 1 = − 9 va birinchi darajaga ko‘tarilgan 7 3 7 3 ga teng bo‘lib qoladi.

Qulaylik uchun biz uchta holatni alohida tahlil qilamiz: ko'rsatkich musbat butun son bo'lsa, nol bo'lsa va manfiy butun son bo'lsa.

Birinchi holda, bu tabiiy kuchga ko'tarilish bilan bir xil: axir, musbat butun sonlar natural sonlar to'plamiga tegishli. Biz yuqorida bunday darajalar bilan qanday ishlashni tasvirlab berdik.

Keling, nol quvvatga qanday qilib to'g'ri ko'tarish kerakligini ko'rib chiqaylik. Nolga teng bo'lmagan baza bilan bu hisob har doim 1 ga teng natijani beradi. Biz avvalroq a ning 0-darajasi har qanday uchun aniqlanishi mumkinligini tushuntirgan edik haqiqiy raqam, 0 ga teng emas va a 0 = 1.

5-misol

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - aniqlanmagan.

Bizda faqat manfiy butun ko'rsatkichli daraja holati qoladi. Bunday darajalarni 1 a z kasr shaklida yozish mumkinligini yuqorida muhokama qildik, bu erda a har qanday son, z esa manfiy butun sondir. Bu kasrning maxraji boshqa hech narsa emasligini ko'ramiz oddiy daraja musbat butun son bilan va biz uni qanday hisoblashni allaqachon bilib oldik. Keling, topshiriqlarga misollar keltiraylik.

6-misol

3 ni -2 quvvatga ko'taring.

Qaror

Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: 2 - 3 = 1 2 3

Biz ushbu kasrning maxrajini hisoblaymiz va 8 ni olamiz: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Keyin javob: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7-misol

1, 43 ni -2 quvvatga ko'taring.

Qaror

Qayta shakllantirish: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kvadratni denominatorda hisoblaymiz: 1,43 1,43. O'nlik kasrlarni shu tarzda ko'paytirish mumkin:

Natijada (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 ni oldik. Biz uchun bu natijani oddiy kasr shaklida yozish qoladi, buning uchun uni 10 mingga ko'paytirish kerak (kasrlarni konvertatsiya qilish bo'yicha materialga qarang).

Javob: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Alohida holat raqamni minus birinchi darajaga ko'tarishdir. Bunday darajaning qiymati bazaning asl qiymatiga qarama-qarshi bo'lgan raqamga teng: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8-misol

Misol: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Raqamni kasr darajasiga qanday oshirish mumkin

Bunday operatsiyani bajarish uchun biz kasr ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifini esga olishimiz kerak: a m n \u003d a m n har qanday musbat a, butun m va tabiiy n uchun.

Ta'rif 2

Shunday qilib, kasr darajani hisoblash ikki bosqichda bajarilishi kerak: butun son darajasiga ko'tarish va n daraja ildizini topish.

Bizda a m n = a m n tengligi mavjud bo‘lib, u ildizlarning xossalarini hisobga olgan holda odatda a m n = a n m ko‘rinishidagi masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Bu shuni anglatadiki, agar biz a sonini kasr darajasi m / n ga ko'tarsak, unda a dan avval n-darajali ildizni chiqaramiz, keyin natijani m butun ko'rsatkichli darajaga ko'taramiz.

Keling, misol bilan tushuntirib beraylik.

9-misol

8 - 2 3 ni hisoblang.

Qaror

1-usul. Asosiy ta'rifga ko'ra, biz buni quyidagicha ifodalashimiz mumkin: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Endi ildiz ostidagi darajani hisoblab chiqamiz va natijadan uchinchi ildizni chiqaramiz: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2-usul. Asosiy tenglikni o'zgartiramiz: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Shundan so'ng biz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ildizni chiqaramiz va natijani kvadratga aylantiramiz: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Biz yechimlar bir xil ekanligini ko'ramiz. Siz xohlagan tarzda foydalanishingiz mumkin.

Daraja aralash raqam yoki o'nlik kasr sifatida ifodalangan ko'rsatkichga ega bo'lgan holatlar mavjud. Hisoblash qulayligi uchun uni oddiy kasr bilan almashtirish va yuqorida ko'rsatilganidek hisoblash yaxshiroqdir.

10-misol

44,89 ni 2,5 ga ko'taring.

Qaror

Ko'rsatkich qiymatini ga aylantiring oddiy kasr - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Va endi biz yuqorida ko'rsatilgan barcha amallarni tartibda bajaramiz: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1010 13 501, 25107

Javob: 13501, 25107.

Agar kasr ko'rsatkichining numeratori va maxrajida katta sonlar bo'lsa, unda bunday ko'rsatkichlarni ratsional darajalar bilan hisoblash juda qiyin ishdir. Bu odatda kompyuter texnologiyasini talab qiladi.

Alohida, biz nol asos va kasr ko'rsatkichi bilan darajaga to'xtalamiz. 0 m n ko'rinishdagi ifodaga quyidagi ma'no berilishi mumkin: agar m n > 0 bo'lsa, u holda 0 m n = 0 m n = 0 ; agar m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Raqamni irratsional kuchga qanday oshirish mumkin

Ko'rsatkichda irratsional son mavjud bo'lgan daraja qiymatini hisoblash zarurati tez-tez paydo bo'lmaydi. Amalda, vazifa odatda taxminiy qiymatni hisoblash bilan cheklanadi (ma'lum miqdordagi o'nli kasrlargacha). Bu odatda bunday hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli kompyuterda hisoblab chiqiladi, shuning uchun biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz, biz faqat asosiy qoidalarni ko'rsatamiz.

Agar a irratsional ko'rsatkichi bilan a daraja qiymatini hisoblash kerak bo'lsa, u holda ko'rsatkichning o'nli yaqinligini olamiz va undan hisoblaymiz. Natijada taxminiy javob bo'ladi. Qanchalik aniq o'nlik yaqinlik qabul qilingan bo'lsa, javob shunchalik aniq bo'ladi. Keling, misol bilan ko'rsatamiz:

11-misol

21 ning taxminiy qiymatini hisoblang, 174367 ....

Qaror

Biz o'zimizni o'nlik taxminan a n = 1, 17 bilan cheklaymiz. Keling, ushbu raqam yordamida hisob-kitoblarni bajaramiz: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Agar, masalan, a n = 1, 1743 ga yaqinligini olsak, javob biroz aniqroq bo'ladi: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing