Qanday qilib ifodani bir xil tengga aylantirish mumkin. Shaxslar, ta'rif, belgi, misollar

Mavzu "Shaxsni tasdiqlovchi hujjatlar» 7-sinf (KRO)

Darslik Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Dars maqsadlari

Tarbiyaviy:

“bir xil teng iboralar”, “bir xillik”, “bir xil transformatsiyalar” tushunchalari bilan tanishish va dastlab mustahkamlash;

shaxsni isbotlash usullarini ko'rib chiqish, shaxsni isbotlash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish;

o`tilgan materialni o`quvchilarda o`zlashtirganligini tekshirish, o`rganilganlarni yangini idrok etish uchun qo`llash malakalarini shakllantirish.

Rivojlanayotgan:

Talabalarning malakali matematik nutqini rivojlantirish (boyitish va murakkablashtirish so'z boyligi maxsus matematik atamalardan foydalanganda),

fikrlashni rivojlantirish,

Tarbiyaviy: tirishqoqlik, aniqlik, mashqlar yechimini yozishda to'g'ri yozishni tarbiyalash.

Dars turi: yangi materialni o'rganish

Darslar davomida

1 . Tashkiliy vaqt.

Uy vazifasini tekshirish.

Uy vazifasi bo'yicha savollar.

Doskada brifing.

Matematika kerak
Usiz bu mumkin emas
Biz o'rgatamiz, o'rgatamiz, do'stlar,
Ertalab nimani eslaymiz?

2 . Keling, mashq qilaylik.

Qo'shish natijasi. (sum)

Siz nechta raqamni bilasiz? (O'nta)

Raqamning yuzdan bir qismi. (foiz)

bo'linish natijasi? (Shaxsiy)

Eng kichik natural son? (bir)

Bo'lish paytida mumkinmi natural sonlar nol olasizmi? (Yo'q)

Eng katta manfiy butun son nima. (-bir)

Qaysi songa bo'linmaydi? (0)

Ko'paytirish natijasi? (ish)

Ayirish natijasi. (farq)

Qo'shishning almashinish xususiyati. (Shartlar joylarini qayta joylashtirishdan yig'indi o'zgarmaydi)

Ko'paytirishning almashinish xususiyati. (Mahsulot omillar o'rnini almashtirishdan o'zgarmaydi)

O'qish yangi mavzu(daftarda eslatma bilan ta'rif)

x=5 va y=4 da ifodalarning qiymatini toping

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Xuddi shunday natijaga erishdik. Distribyutorlik xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda, o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun 3(x + y) va 3x + 3y ifodalarining qiymatlari tengdir.

Endi 2x + y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqing. x=1 va y=2 uchun ular teng qiymatlarni oladi:

Biroq, bu ifodalarning qiymatlari teng bo'lmasligi uchun x va y qiymatlarini belgilashingiz mumkin. Masalan, agar x=3, y=4 bo'lsa, u holda

Ta'rif: O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deyiladi.

3(x+y) va 3x+3y ifodalari bir xil, lekin 2x+y va 2xy ifodalari bir xil darajada teng emas.

3(x + y) va 3x + 3y tengligi x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri keladi. Bunday tengliklar identifikatsiya deb ataladi.

Ta'rif: O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik identifikatsiya deb ataladi.

Haqiqiy son tengliklari ham identifikatsiya hisoblanadi. Biz allaqachon identifikatsiyalar bilan uchrashganmiz. Shaxslar - bu raqamlardagi harakatlarning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi tenglik (Talabalar har bir xususiyatni talaffuz qilish orqali sharhlaydilar).

a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Identifikatsiyaga boshqa misollar keltiring

Ta'rif: Bir iboraning boshqasiga, xuddi shunga teng boʻlgan oʻrniga qoʻyilishi bir xil oʻzgartirish yoki oddiygina ifodani oʻzgartirish deyiladi.

O'zgaruvchilari bo'lgan ifodalarni identifikator o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalari asosida amalga oshiriladi.

Ifodalar qiymatlarini hisoblash va boshqa muammolarni hal qilishda iboralarning o'ziga xos o'zgarishlari keng qo'llaniladi. Siz allaqachon bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak edi, masalan, o'xshash atamalarni qisqartirish, qavslarni kengaytirish.

5 . 691-son, 692-son (qavslarni ochish, manfiy va musbat sonlarni ko‘paytirish qoidalarining talaffuzi bilan)

Ratsional yechim tanlash uchun identifikatsiyalar:(oldingi ish)

6 . Darsni yakunlash.

O'qituvchi savollar beradi, o'quvchilar esa o'zlari xohlagancha javob berishadi.

Qanday ikkita ifoda bir xil teng deb ataladi? Misollar keltiring.

Qanday tenglik o'ziga xoslik deb ataladi? Misol keltiring.

Qanday bir xil o'zgarishlarni bilasiz?

7. Uy vazifasi. Ta'riflarni o'rganing, bir xil iboralarga misollar keltiring (kamida 5 ta), ularni daftarga yozing

Ushbu maqola boshlang'ichni beradi identifikatsiya tushunchasi. Bu erda biz identifikatsiyani aniqlaymiz, ishlatiladigan belgini kiritamiz va, albatta, beramiz turli misollar identifikatsiyalar

Sahifani navigatsiya qilish.

Identifikatsiya nima?

Materialning taqdimotini shu bilan boshlash mantiqan identifikatsiya ta'riflari. Yu.N.Makarychevning 7-sinfga mo‘ljallangan algebra darsligida o‘ziga xoslikning ta’rifi quyidagicha berilgan.

Ta'rif.

Identifikatsiya o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun tenglik to'g'ri; har qanday haqiqiy son tenglik ham aynanlikdir.

Shu bilan birga, muallif kelajakda bu ta'rifga aniqlik kiritilishini darhol ta'kidlaydi. Ushbu tushuntirish 8-sinfda, o'zgaruvchilar va ODZning maqbul qiymatlari ta'rifi bilan tanishgandan so'ng amalga oshiriladi. Ta'rif quyidagicha bo'ladi:

Ta'rif.

Identifikatsiyalar haqiqiy raqamli tengliklar, shuningdek, ularga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tengliklar.

Xo'sh, nega identifikatsiyani aniqlashda biz 7-sinfda o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari haqida gapiramiz va 8-sinfda biz ularning DPV dan o'zgaruvchilar qiymatlari haqida gapira boshlaymiz? 8-sinfgacha ish faqat butun sonli ifodalar (xususan, monomlar va polinomlar bilan) bilan amalga oshiriladi va ular tarkibiga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun mantiqiy bo'ladi. Shuning uchun, 7-sinfda biz o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik deb aytamiz. Va 8-sinfda o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun emas, balki faqat ularning ODZ qiymatlari uchun ma'noga ega bo'lgan iboralar paydo bo'ladi. Shuning uchun, identifikatsiyalar bo'yicha biz o'zgaruvchilarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tengliklarni chaqira boshlaymiz.

Identifikatsiya shunday maxsus holat tenglik. Ya'ni, har qanday o'ziga xoslik tenglikdir. Ammo har bir tenglik o'ziga xoslik emas, balki faqat o'zgaruvchilarning maqbul qiymatlari oralig'idagi har qanday qiymatlari uchun to'g'ri keladigan tenglikdir.

Identifikatsiya belgisi

Ma'lumki, tengliklarni yozishda "=" shaklidagi tenglik belgisi qo'llaniladi, uning chap va o'ng tomonida ba'zi raqamlar yoki iboralar mavjud. Agar bu belgiga yana bitta gorizontal chiziq qo'shsak, olamiz shaxs belgisi"≡", yoki u ham deyiladi tenglik belgisi.

O'ziga xoslik belgisi odatda bizning oldimizda nafaqat tenglik, balki aniq o'ziga xoslik borligini ta'kidlash zarur bo'lganda qo'llaniladi. Boshqa hollarda, o'ziga xosliklarning ifodalari tenglikdan shakl jihatidan farq qilmaydi.

Identifikatsiya misollari

Olib kelish vaqti keldi identifikatsiyaga misollar. Birinchi xatboshida keltirilgan shaxsning ta'rifi bunda bizga yordam beradi.

2=2 sonli tenglik oʻziga xosliklarga misol boʻladi, chunki bu tengliklar toʻgʻri va har qanday haqiqiy sonli tenglik taʼrifiga koʻra oʻziga xoslikdir. Ularni 2≡2 va sifatida yozish mumkin.

2+3=5 va 7−1=2·3 ko‘rinishdagi son tengliklari ham aynanlikdir, chunki bu tengliklar to‘g‘ri. Ya'ni, 2+3≡5 va 7−1≡2 3 .

Keling, faqat raqamlarni emas, balki ularning yozuvlarida o'zgaruvchilarni ham o'z ichiga olgan identifikatsiya misollariga o'tamiz.

3·(x+1)=3·x+3 tengligini ko'rib chiqaylik. X o'zgaruvchisining har qanday qiymati uchun yozma tenglik qo'shishga nisbatan ko'paytirishning distributiv xususiyati tufayli rost bo'ladi, shuning uchun asl tenglik o'ziga xoslikka misol bo'ladi. Mana yana bir identifikatsiya misoli: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, bu erda x va y o'zgaruvchilari uchun haqiqiy qiymatlar diapazoni barcha juftliklar (x, y) , bu erda x va y noldan tashqari har qanday raqamlardir.

Ammo x+1=x−1 va a+2 b=b+2 a tengliklari bir xillik emas, chunki bu tengliklar notoʻgʻri boʻladigan oʻzgaruvchilarning qiymatlari mavjud. Masalan, x=2 uchun x+1=x−1 tengligi noto'g'ri 2+1=2−1 tengligiga aylanadi. Bundan tashqari, x o'zgaruvchining hech qanday qiymatlari uchun x+1=x−1 tengligiga umuman erishilmaydi. a+2 b=b+2 a tengligi esa noto‘g‘ri tenglikka aylanadi. turli ma'nolar a va b o'zgaruvchilari. Masalan, a=0 va b=1 bilan biz noto'g'ri 0+2 1=1+2 0 tengligiga kelamiz. Tenglik |x|=x , bu erda |x| - x o'zgaruvchisi ham identifikatsiya emas, chunki u uchun to'g'ri emas salbiy qiymatlar x.

Eng mashhur identifikatsiyalarga misollar sin 2 a+cos 2 a=1 va a log a b =b .

Ushbu maqolaning yakunida shuni ta'kidlashni istardimki, matematikani o'rganayotganda biz doimo o'ziga xosliklarga duch kelamiz. Raqam harakati xususiyati yozuvlari identifikatsiyalardir, masalan, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 va a+(−a)=0 . Bundan tashqari, identifikatsiyalar

Sonlarni qo`shish va ko`paytirishning asosiy xossalari.

Qo'shishning almashinish xususiyati: shartlar qayta tartiblanganda yig'indining qiymati o'zgarmaydi. Har qanday a va b raqamlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Qo'shishning assotsiativ xossasi: ikkita sonning yig'indisiga uchinchi sonni qo'shish uchun birinchi raqamga ikkinchi va uchinchi sonlarni qo'shish mumkin. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri

Ko'paytirishning almashinish xususiyati: omillarni almashtirish mahsulot qiymatini o'zgartirmaydi. Har qanday a, b va c sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Ko'paytirishning assotsiativ xususiyati: ikkita sonning ko'paytmasini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun birinchi raqamni ikkinchi va uchinchi raqamga ko'paytirish mumkin.

Har qanday a, b va c sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

Tarqatish xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun siz ushbu sonni har bir a'zoga ko'paytirishingiz va natijalarni qo'shishingiz mumkin. Har qanday a, b va c raqamlari uchun tenglik to'g'ri

Qo'shishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlaridan kelib chiqadiki, har qanday yig'indida siz atamalarni xohlaganingizcha o'zgartirishingiz va ularni ixtiyoriy ravishda guruhlarga birlashtirishingiz mumkin.

1-misol 1,23+13,5+4,27 yig‘indisini hisoblaymiz.

Buning uchun birinchi atamani uchinchi bilan birlashtirish qulay. Biz olamiz:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Bu ko'paytirishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlaridan kelib chiqadi: har qanday mahsulotda siz omillarni istalgan tarzda qayta tartibga solishingiz va ularni o'zboshimchalik bilan guruhlarga birlashtirishingiz mumkin.

2-misol 1,8 0,25 64 0,5 ko`paytmaning qiymati topilsin.

Birinchi omilni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan birlashtirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Tarqatish xususiyati raqam uch yoki undan ortiq shartlar yig'indisiga ko'paytirilganda ham amal qiladi.

Masalan, har qanday a, b, c va d sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Biz bilamizki, ayirishni qoʻshish bilan almashtirish mumkin boʻlgan minuendga ayirmaga qarama-qarshi sonni qoʻshish mumkin:

Bu raqamli ifodaga imkon beradi a-b turi a va -b sonlarining yig'indisini ko'rib chiqamiz, a + b-c-d ko'rinishidagi sonli ifodani a, b, -c, -d va hokazo sonlar yig'indisi sifatida ko'rib chiqamiz.Harakatlarning ko'rib chiqilayotgan xossalari bunday yig'indilar uchun ham amal qiladi.

3-misol 3,27-6,5-2,5+1,73 ifodaning qiymati topilsin.

Bu ifoda 3.27, -6.5, -2.5 va 1.73 sonlarining yigʻindisidir. Qo‘shish xossalarini qo‘llagan holda quyidagilarga erishamiz: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -to‘rt.

4-misol 36·() hosilani hisoblaymiz.

Ko'paytirgichni sonlar yig'indisi va - deb hisoblash mumkin. Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

36()=36-36=9-10=-1.

Identifikatsiyalar

Ta'rif. O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun mos keladigan qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deyiladi.

Ta'rif. O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik identifikatsiya deb ataladi.

x=5, y=4 uchun 3(x+y) va 3x+3y ifodalarning qiymatlarini topamiz:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Xuddi shunday natijaga erishdik. Distribyutorlik xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda, o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun 3(x+y) va 3x+3y ifodalarining mos qiymatlari tengdir.

Endi 2x+y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqing. x=1, y=2 uchun ular teng qiymatlarni oladi:

Biroq, bu ifodalarning qiymatlari teng bo'lmasligi uchun x va y qiymatlarini belgilashingiz mumkin. Masalan, agar x=3, y=4 bo'lsa, u holda

3(x+y) va 3x+3y ifodalar bir xil darajada teng, lekin 2x+y va 2xy ifodalari bir xil darajada teng emas.

3(x+y)=x+3y tengligi, x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri, o'ziga xoslikdir.

Haqiqiy son tengliklari ham identifikatsiya hisoblanadi.

Demak, identifikatsiyalar raqamlardagi harakatlarning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi tenglikdir:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Identifikatsiyaning boshqa misollarini keltirish mumkin:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Ifodalarning identifikator transformatsiyalari

Bir iboraning unga teng bo'lgan boshqasi bilan almashtirilishi bir xil o'zgartirish yoki oddiygina ifodani o'zgartirish deyiladi.

O'zgaruvchilari bo'lgan ifodalarni identifikator o'zgartirishlar raqamlar ustida amallar xossalari asosida amalga oshiriladi.

x, y, z qiymatlari berilgan xy-xz ifoda qiymatini topish uchun siz uchta qadamni bajarishingiz kerak. Masalan, x=2,3, y=0,8, z=0,2 bo‘lsa, biz quyidagilarni olamiz:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Bu natijani faqat ikki bosqichda, xy-xz ifodasiga teng bo'lgan x(y-z) ifodasi yordamida olish mumkin:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Biz xy-xz ifodasini bir xil teng x(y-z) ifodasi bilan almashtirib, hisob-kitoblarni soddalashtirdik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblash va boshqa muammolarni hal qilishda iboralarning o'ziga xos o'zgarishlari keng qo'llaniladi. Ba'zi bir xil o'zgarishlar allaqachon amalga oshirilgan, masalan, o'xshash atamalarni qisqartirish, qavslarni ochish. Ushbu o'zgarishlarni amalga oshirish qoidalarini eslang:

o'xshash shartlarni keltirish uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani umumiy harf qismiga ko'paytirishingiz kerak;

qavslar oldida ortiqcha belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini saqlab, qavslarni tashlab qo'yish mumkin;

qavslar oldidan minus belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini o'zgartirib, qavslarni olib tashlash mumkin.

1-misol 5x+2x-3x yig‘indisiga o‘xshash sonlarni qo‘shamiz.

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartirish uchun qoidadan foydalanamiz:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Bu transformatsiya ko'paytirishning distributiv xususiyatiga asoslanadi.

2-misol 2a+(b-3c) ifodadagi qavslarni kengaytiramiz.

Oldindan ortiqcha belgisi bo'lgan qavslarni ochish qoidasini qo'llash:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Amalga oshirilgan o'zgartirish qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslanadi.

3-misol a-(4b-c) ifodadagi qavslarni kengaytiramiz.

Oldinda minus belgisi qo'yilgan qavslarni kengaytirish qoidasidan foydalanamiz:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Amalga oshirilgan o'zgartirish ko'paytirishning taqsimlanish xususiyatiga va qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslanadi. Keling, ko'rsataylik. Bu ifodadagi -(4b-c) ikkinchi hadini (-1)(4b-c) ko‘paytma sifatida ifodalaymiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Harakatlarning ushbu xususiyatlarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Algebrani o‘rganish jarayonida biz ko‘pnom (masalan ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ va boshqalar) va algebraik kasr (masalan, $\frac(x+5)(x) tushunchalariga duch keldik. )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ va boshqalar) Bu tushunchalarning oʻxshashligi shundaki, koʻpnomlarda ham, algebraik kasrlarda ham o'zgaruvchilar va raqamli qiymatlar, arifmetik amallar: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, darajaga chiqarish. Bu tushunchalarning farqi shundaki, o‘zgaruvchiga bo‘linish ko‘phadda bajarilmaydi, o‘zgaruvchiga bo‘linish esa algebraik kasrlarda amalga oshirilishi mumkin.

Ko‘phadlar ham, algebraik kasrlar ham matematikada ratsional algebraik ifodalar deyiladi. Lekin polinomlar butun sonli ratsional ifodalar, algebraik kasrlar esa kasr jihatdan oqilona ifodalar.

Fraksiyoneldan olinishi mumkin --ratsional ifoda butun algebraik ifoda bir xil transformatsiyadan foydalanish, bu holda kasrning asosiy xususiyati bo'ladi - kasrlarni kamaytirish. Keling, buni amalda ko'rib chiqaylik:

1-misol

O'zgartirish:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Yechim: Berilgan aylantirish kasrli ratsional tenglama asosiy xususiyatdan foydalanish mumkin kasrlar - qisqartmalar, ya'ni. numerator va maxrajni $0$ dan boshqa bir xil raqam yoki ifodaga bo'lish.

Bu kasrni zudlik bilan kamaytirish mumkin emas, hisoblagichni aylantirish kerak.

Biz ifodani kasr soniga aylantiramiz, buning uchun biz farq kvadrati formulasidan foydalanamiz: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Kasr shakliga ega

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\o'ng)(x-2))(x-2)\]

Endi biz hisoblagich va maxrajda umumiy omil mavjudligini ko'rmoqdamiz - bu $x-2$ ifodasi bo'lib, biz kasrni kamaytiramiz.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\o'ng)(x-2))(x-2)=x-2\]

Qisqartirilgandan so'ng, biz $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ asl kasr-ratsional ifoda $x-2$ ko'phadga aylanganini oldik, ya'ni. butun mantiqiy.

Endi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ va $x-2\ $ iboralarini o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun emas, balki bir xil deb hisoblash mumkinligiga e'tibor qaratamiz, chunki kasr-ratsional ifoda mavjud bo'lishi va $x-2$ ko'phad bilan qisqartirish mumkin bo'lishi uchun kasrning maxraji $0$ ga teng bo'lmasligi kerak (shuningdek, biz kamaytiruvchi omil. In. In). bu misol maxraj va ko'paytma bir xil, lekin bu har doim ham shunday emas).

Algebraik kasr mavjud bo'lgan o'zgaruvchan qiymatlar haqiqiy o'zgaruvchan qiymatlar deb ataladi.

Kasrning maxrajiga shart qo'yamiz: $x-2≠0$, keyin $x≠2$.

Shunday qilib, $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ va $x-2$ iboralari $2$ dan tashqari oʻzgaruvchining barcha qiymatlari uchun bir xil.

Ta'rif 1

bir xilda teng Ifodalar o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun teng bo'lgan ifodalardir.

Bir xil o'zgartirish - bu asl ifodani bir xil teng ifoda bilan almashtirishdir.Bunday o'zgartirishlar quyidagi amallarni o'z ichiga oladi: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, qavslar algebraik kasrlar umumiy maxrajga, algebraik kasrlarni kamaytirish, o'xshash atamalarni kamaytirish va hokazo. Shuni hisobga olish kerakki, o'xshash atamalarni qisqartirish, qisqartirish kabi bir qator o'zgarishlar o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlarini o'zgartirishi mumkin.

Shaxslarni isbotlash uchun ishlatiladigan usullar

Identifikatsiya o'zgarishlaridan foydalanib, identifikatsiyaning chap tomonini o'ng tomonga yoki aksincha o'zgartiring

Bir xil o'zgarishlardan foydalanib, ikkala qismni bir xil ifodaga qisqartiring

Ifodaning bir qismidagi iboralarni boshqasiga o'tkazing va natijada farq $0$ ga teng ekanligini isbotlang

Yuqoridagi usullardan qaysi biri ma'lum shaxsni isbotlash uchun ishlatilishi asl shaxsga bog'liq.

2-misol

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$ shaxsini isbotlang

Yechim: Ushbu o'ziga xoslikni isbotlash uchun biz yuqoridagi usullarning birinchisidan foydalanamiz, ya'ni o'ng tomoniga teng bo'lguncha identifikatsiyaning chap tomonini o'zgartiramiz.

Identifikatsiyaning chap tomonini ko'rib chiqing: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- bu ikki ko'phadning farqidir. Bunda birinchi ko‘phad uchta had yig‘indisining kvadrati bo‘ladi.Bir necha hadlar yig‘indisini kvadratiga aylantirish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Buning uchun sonni ko‘phadga ko‘paytirishimiz kerak.Eslatib o‘tamiz, buning uchun qavslar tashqarisidagi umumiy ko‘paytuvchini ko‘phadning har bir a’zosiga qavs ichida ko‘paytirish kerak bo‘ladi.Shundan keyin hosil bo‘ladi:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Endi asl polinomga qaytsak, u quyidagi shaklni oladi:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

E'tibor bering, qavs oldida "-" belgisi bor, ya'ni qavslar ochilganda, qavslardagi barcha belgilar qarama-qarshi belgilarga o'zgaradi.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Agar shunga o'xshash atamalarni keltirsak, $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ va ​​$-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ monomiallari bir-birini bekor qiladi, ya'ni. ularning summasi $0$ ga teng.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Shunday qilib, biz bir xil o'zgarishlarga erishdik bir xil ifoda asl shaxsning chap tomonida

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

E'tibor bering, natijada olingan ifoda asl identifikatsiyaning haqiqiyligini ko'rsatadi.

E'tibor bering, asl identifikatsiyada o'zgaruvchining barcha qiymatlariga ruxsat beriladi, ya'ni biz bir xil o'zgartirishlar yordamida identifikatsiyani isbotladik va bu o'zgaruvchining barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri.