Algebraik kasrlarni qisqartirish: qoida, misollar. Algebraik kasrlarni qanday yechish mumkin? Nazariya va amaliyot

Kasrlar va ularni qisqartirish 5-sinfda boshlanadigan yana bir mavzu. Bu erda ushbu harakatning asosi shakllanadi va keyin bu ko'nikmalar yuqori matematikaga ip bilan tortiladi. Agar talaba o'rganmagan bo'lsa, unda algebrada muammolar bo'lishi mumkin. Shuning uchun, bir necha qoidalarni bir marta va butunlay tushunish yaxshiroqdir. Va bitta taqiqni unutmang va uni hech qachon buzmang.

Fraksiya va uning qisqarishi

Bu nima, har bir talaba biladi. Gorizontal chiziq o'rtasida joylashgan har qanday ikkita raqam darhol kasr sifatida qabul qilinadi. Biroq, har qanday raqam unga aylanishi mumkinligini hamma ham tushunmaydi. Agar bu butun son bo'lsa, uni har doim bittaga bo'lish mumkin, keyin siz noto'g'ri kasr olasiz. Ammo bu haqda keyinroq.

Boshlanish har doim oddiy. Avval siz to'g'ri fraktsiyani qanday kamaytirishni aniqlab olishingiz kerak. Ya'ni, hisoblagichi maxrajdan kichik bo'lgan kishi. Buning uchun kasrning asosiy xususiyatini eslab qolish kerak. Unda aytilishicha, uning sonini ham, maxrajini ham bir xil songa ko'paytirish (shuningdek, bo'lish) paytida dastlabki kasr ekvivalent bo'lib chiqadi.

Ushbu xususiyatda bajariladigan bo'linish harakatlari qisqarishga olib keladi. Ya'ni, uning maksimal soddaligi. Chiziq ustidagi va ostidagi umumiy omillar mavjud ekan, kasrni qisqartirish mumkin. Ular mavjud bo'lmaganda, kamaytirish mumkin emas. Va ular bu kasrni qisqartirilmaydi, deyishadi.

ikki yo'l

1.Bosqichma-bosqich qisqartirish. Ikkala raqam ham talaba sezgan minimal umumiy omilga bo'linganda taxmin qilish usuli qo'llaniladi. Agar birinchi qisqartirishdan keyin bu oxir emasligi aniq bo'lsa, bo'linish davom etadi. Kasr qaytarilmas holga kelguncha.

2. Hisob va maxrajning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish. Bu kasrlarni kamaytirishning eng oqilona usuli. Bu son va maxrajni tub omillarga ajratishni o'z ichiga oladi. Ularning orasida, keyin hammasi bir xil tanlash kerak. Ularning mahsuloti fraktsiyani kamaytiradigan eng katta umumiy omilni beradi.

Bu usullarning ikkalasi ham bir xil. Talaba ularni o'zlashtirishga va o'ziga eng yoqqanidan foydalanishga taklif qilinadi.

Harflar va qo'shish va ayirish amallari mavjud bo'lsa-chi?

Savolning birinchi qismi bilan hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq. Harflar ham raqamlar kabi qisqartirilishi mumkin. Asosiysi, ular multiplikator sifatida ishlaydi. Ammo ikkinchisi bilan ko'pchilik muammolarga duch keladi.

Esda tutish muhim! Siz faqat omillar bo'lgan raqamlarni kamaytirishingiz mumkin. Agar ular shartlar bo'lsa, bu mumkin emas.

Algebraik ifodaga o'xshash kasrlarni qanday kamaytirishni tushunish uchun siz qoidani o'rganishingiz kerak. Birinchidan, son va maxrajni ko'paytma sifatida ifodalang. Keyin umumiy omillar mavjud bo'lsa, kamaytirishingiz mumkin. Ko'paytiruvchilar sifatida taqdim etish uchun quyidagi fokuslar foydalidir:

• guruhlash;
• qavslash;
• qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlarini qo'llash.

Bundan tashqari, oxirgi usul shartlarni omillar ko'rinishida darhol olish imkonini beradi. Shuning uchun, agar ma'lum naqsh ko'rinadigan bo'lsa, uni har doim ishlatish kerak.

Ammo bu hali qo'rqinchli emas, keyin darajalar va ildizlar bilan vazifalar paydo bo'ladi. O'shanda siz jasoratni to'plashingiz va bir nechta yangi qoidalarni o'rganishingiz kerak.

Quvvat ifodasi

Fraksiya. Numerator va maxrajdagi hosila. Harflar va raqamlar mavjud. Va ular ham atamalar yoki omillardan iborat bo'lgan kuchga ko'tariladi. Qo'rqadigan narsa bor.

Kasrlarni kuchlar bilan qanday kamaytirishni aniqlash uchun siz ikkita fikrni o'rganishingiz kerak:

• agar ko'rsatkichda yig'indi bo'lsa, u holda uni omillarga ajratish mumkin, ularning vakolatlari asl atamalar bo'ladi;
• farq bo'lsa, keyin dividend va bo'luvchi ichiga, darajasida birinchi kamayadi, ikkinchi - ayiriladi.

Ushbu bosqichlarni bajargandan so'ng, umumiy ko'paytmalar ko'rinadigan bo'ladi. Bunday misollarda barcha kuchlarni hisoblash shart emas. Xuddi shu ko'rsatkichlar va asoslar bilan darajalarni oddiygina kamaytirish kifoya.

Nihoyat kasrlarni kuchlar bilan qisqartirishni o'rganish uchun sizga ko'p mashq kerak. Xuddi shu turdagi bir nechta misollardan so'ng, harakatlar avtomatik ravishda amalga oshiriladi.

Agar iborada ildiz bo'lsa-chi?

Bundan tashqari, qisqartirilishi mumkin. Shunga qaramay, faqat qoidalarga amal qiling. Bundan tashqari, yuqorida tavsiflanganlarning barchasi haqiqatdir. Umuman olganda, agar savol ildizlar bilan kasrni qanday kamaytirish bo'lsa, unda siz bo'lishingiz kerak.

Uni irratsional ifodalarga ham ajratish mumkin. Ya'ni, agar hisoblagich va maxraj ildiz belgisi ostida bir xil omillarga ega bo'lsa, ularni xavfsiz tarzda kamaytirish mumkin. Bu ifodani soddalashtiradi va ishni bajaradi.

Agar qisqartirishdan keyin irratsionallik kasr chizig'i ostida qolsa, unda siz undan xalos bo'lishingiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, son va maxrajni unga ko'paytiring. Agar ushbu operatsiyadan keyin umumiy omillar paydo bo'lsa, ularni yana kamaytirish kerak bo'ladi.

Bu, ehtimol, kasrlarni qanday kamaytirish haqida. Bir nechta qoidalar, lekin bitta taqiq. Hech qachon shartlarni kamaytirmang!

Ushbu maqolada biz e'tiborni qaratamiz algebraik kasrlarning qisqarishi. Birinchidan, keling, "algebraik kasrni kamaytirish" atamasi nimani anglatishini aniqlaymiz va algebraik kasr har doim kamaytirilishi mumkinmi yoki yo'qligini aniqlaymiz. Keyinchalik, biz ushbu transformatsiyani amalga oshirishga imkon beradigan qoida beramiz. Va nihoyat, jarayonning barcha nozik tomonlarini tushunishga imkon beradigan odatiy misollarning echimlarini ko'rib chiqing.

Sahifani navigatsiya qilish.

Algebraik kasrni kamaytirish nimani anglatadi?

O'rganib, biz ularning qisqarishi haqida gaplashdik. uning soni va maxrajining umumiy ko'paytmaga bo'linishini chaqirdik. Masalan, 30/54 oddiy kasrni 6 ga qisqartirish mumkin (ya'ni, uning numeratori va maxraji 6 ga bo'linadi), bu bizni 5/9 kasrga olib keladi.

Algebraik kasrning qisqarishi shunga o'xshash harakat sifatida tushuniladi. Algebraik kasrni kamaytiring uning soni va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lishdir. Ammo oddiy kasrning ayiruvchisi va maxrajining umumiy koeffitsienti faqat son bo'lishi mumkin bo'lsa, algebraik kasrning soni va maxrajining umumiy omili ko'phad, xususan, monom yoki son bo'lishi mumkin.

Masalan, algebraik kasrni 3 raqamiga kamaytirish mumkin, bu kasrni beradi . Bundan tashqari, x o'zgaruvchisini kamaytirish mumkin, bu ifodaga olib keladi . Asl algebraik kasrni monomial 3 x, shuningdek, x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y yoki 3 x 2 +6 x y ko'phadlarning har qandayi bilan kamaytirish mumkin.

Algebraik kasrni kamaytirishning yakuniy maqsadi oddiy shakldagi kasrni, eng yaxshi holatda qaytarilmas kasrni olishdir.

Har qanday algebraik kasr kamayishi mumkinmi?

Biz bilamizki, oddiy kasrlar ga bo'linadi. Qaytarib bo'lmaydigan kasrlar soni va maxrajdagi birlikdan boshqa umumiy omillarga ega emas, shuning uchun ularni qisqartirish mumkin emas.

Algebraik kasrlarda umumiy hisob va maxraj omillari bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Umumiy omillar mavjud bo'lganda, algebraik kasrni kamaytirish mumkin. Agar umumiy omillar bo'lmasa, algebraik kasrni uni qisqartirish orqali soddalashtirish mumkin emas.

Umumiy holda, algebraik kasrning paydo bo'lishi bilan uni kamaytirishni amalga oshirish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlash juda qiyin. Shubhasiz, ba'zi hollarda son va maxrajning umumiy omillari aniq. Masalan, algebraik kasrning payi va maxrajining umumiy koeffitsienti 3 ga teng ekanligi aniq ko’rinib turibdi. Bundan tashqari, algebraik kasrni x ga, y ga yoki darhol x·y ga kamaytirish mumkinligini tushunish oson. Ammo ko'pincha algebraik kasrning hisoblagichi va maxrajining umumiy omili darhol ko'rinmaydi va ko'pincha u oddiygina mavjud emas. Masalan, kasrni x−1 ga qisqartirish mumkin, ammo bu umumiy omil belgida aniq mavjud emas. Va algebraik kasr kamaytirilmaydi, chunki uning ayiruvchisi va maxraji umumiy omillarga ega emas.

Umuman olganda, algebraik kasrning qisqarish qobiliyati haqidagi savol juda qiyin. Va ba'zida bu kasrni oldindan kamaytirish mumkinligini bilishdan ko'ra, algebraik kasr bilan asl ko'rinishida ishlash orqali muammoni hal qilish osonroq. Ammo shunga qaramay, ba'zi hollarda nisbatan oz kuch sarflab, agar mavjud bo'lsa, pay va maxrajning umumiy omillarini topishga yoki asl algebraik kasrni kamaytirilmaydi degan xulosaga kelishga imkon beradigan o'zgarishlar mavjud. Ushbu ma'lumot keyingi paragrafda oshkor qilinadi.

Algebraik kasrlarni qisqartirish qoidasi

Oldingi paragraflarning ma'lumotlari sizni tabiiy ravishda quyidagilarni idrok etishga imkon beradi algebraik kasrni qisqartirish qoidasi, bu ikki bosqichdan iborat:

• birinchidan, asl kasrning ayiruvchi va maxrajining umumiy omillari topiladi;
• agar mavjud bo'lsa, unda bu omillar bo'yicha kamaytirish amalga oshiriladi.

E'lon qilingan qoidaning ushbu bosqichlari aniqlashtirishni talab qiladi.

Umumiylarni topishning eng qulay usuli bu asl algebraik kasrning pay va maxrajida joylashgan ko‘phadlarni faktorlarga ajratishdir. Bunda sanoqchi va maxrajning umumiy omillari darhol ko'zga tashlanadi yoki umumiy omillar yo'qligi ayon bo'ladi.

Agar umumiy omillar bo'lmasa, algebraik kasr qaytarilmas degan xulosaga kelishimiz mumkin. Agar umumiy omillar topilsa, ikkinchi bosqichda ular kamayadi. Natijada oddiyroq shaklning yangi qismi hosil bo'ladi.

Algebraik kasrlarni qisqartirish qoidasi algebraik kasrning asosiy xossasiga asoslanadi, u tenglik bilan ifodalanadi, bunda a , b va c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas. Birinchi bosqichda asl algebraik kasr shaklga keltiriladi, undan umumiy omil c ko'rinadigan bo'ladi va ikkinchi bosqichda qisqartirish amalga oshiriladi - kasrga o'tish.

Keling, ushbu qoida yordamida misollarni echishga o'tamiz. Ularda biz algebraik kasrning numeratori va maxrajini omillarga ajratish va keyinchalik kamaytirishda yuzaga keladigan barcha mumkin bo'lgan nuanslarni tahlil qilamiz.

Oddiy misollar

Avval siz algebraik kasrlarni kamaytirish haqida gapirishingiz kerak, ularning soni va maxraji bir xil. Bunday kasrlar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning butun ODZ bo'yicha bittaga teng, masalan,
va h.k.

Endi oddiy kasrlarni qisqartirish qanday amalga oshirilishini eslash zarar qilmaydi - axir, ular algebraik kasrlarning alohida holatidir. Oddiy kasrning numeratori va maxrajidagi natural sonlar, undan keyin umumiy omillar kamayadi (agar mavjud bo'lsa). Misol uchun, . Bir xil tub omillarning ko'paytmasi darajalar ko'rinishida yozilishi va kamaytirilganda foydalanish mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinadi: , bu yerda pay va maxrajni umumiy koeffitsient 2 2 3 ga ajratdik. Yoki aniqroq bo'lishi uchun ko'paytirish va bo'lish xususiyatlariga asoslanib, yechim shaklda taqdim etiladi.

Mutlaqo o'xshash printsiplarga ko'ra, algebraik kasrlarni kamaytirish amalga oshiriladi, ularning soni va maxrajida butun sonli koeffitsientli monomlar mavjud.

Misol.

Algebraik kasrni kamaytiring .

Qaror.

Siz asl algebraik kasrning hisoblagichi va maxrajini oddiy omillar va o'zgaruvchilar mahsuloti sifatida ko'rsatishingiz va keyin kamaytirishni amalga oshirishingiz mumkin:

Ammo yechimni vakolatli ifoda sifatida yozish oqilonaroq:

Javob:

.

Numerator va maxrajda kasr sonli koeffitsientlarga ega bo'lgan algebraik kasrlarni kamaytirishga kelsak, siz ikkita narsani qilishingiz mumkin: yoki bu kasr koeffitsientlarini alohida-alohida bo'ling, yoki birinchi navbatda pay va maxrajni qandaydir natural songa ko'paytirish orqali kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ling. Biz maqolada algebraik kasrni yangi maxrajga olib keladigan oxirgi transformatsiya haqida gapirdik, u algebraik kasrning asosiy xususiyati tufayli amalga oshirilishi mumkin. Keling, bu bilan bir misol bilan shug'ullanamiz.

Misol.

Kasrni qisqartirishni bajaring.

Qaror.

Kasrni quyidagicha kamaytirishingiz mumkin: .

Va kasr koeffitsientlaridan birinchi navbatda pay va maxrajni ushbu koeffitsientlarning maxrajlariga, ya'ni LCM(5, 10)=10 ga ko'paytirish orqali qutulish mumkin edi. Bu holatda bizda bor .

Javob:

.

Siz umumiy shaklning algebraik kasrlariga o'tishingiz mumkin, bunda ayirma va maxrajda ham sonlar, ham monomlar, shuningdek, ko'phadlar bo'lishi mumkin.

Bunday kasrlarni kamaytirishda asosiy muammo shundaki, hisoblagich va maxrajning umumiy omili har doim ham ko'rinmaydi. Bundan tashqari, u har doim ham mavjud emas. Umumiy omilni topish yoki uning mavjud emasligiga ishonch hosil qilish uchun algebraik kasrning hisob va maxrajini koeffitsientga ajratish kerak.

Misol.

Ratsional kasrni kamaytiring .

Qaror.

Buning uchun son va maxrajdagi ko‘phadlarni koeffitsientlarga ajratamiz. Qavslar bilan boshlaylik: . Shubhasiz, qavs ichidagi ifodalar yordamida o'zgartirilishi mumkin

Ularning asosiy xossalariga asoslanib: agar kasrning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan ko'phadga bo'linsa, unga teng kasr olinadi.

Siz faqat multiplikatorlarni kamaytirishingiz mumkin!

Polinom a'zolarini qisqartirib bo'lmaydi!

Algebraik kasrni kamaytirish uchun birinchi navbatda pay va maxrajdagi ko'phadlarni ko'paytirgichga ajratish kerak.

Kasrni qisqartirish misollarini ko'rib chiqing.

Kasrning soni va maxraji monomiylardir. Ular ifodalaydi ish(raqamlar, o'zgaruvchilar va ularning darajalari), multiplikatorlar kamaytirishimiz mumkin.

Biz raqamlarni ularning eng katta umumiy bo'luvchisiga, ya'ni berilgan sonlarning har biri bo'linadigan eng katta songa kamaytiramiz. 24 va 36 uchun bu 12. 24 dan kamaytirilgandan so'ng, 2 qoladi, 36 dan - 3.

Biz darajalarni eng kichik ko'rsatkich bilan darajaga qisqartiramiz. Kasrni kamaytirish deganda pay va maxrajni bir xil bo'luvchiga bo'lish va ko'rsatkichlarni ayirish tushuniladi.

a² va a⁷ a² ga kamayadi. Shu bilan birga a² dan hisoblagichda bitta qoladi (kamaytirilgandan keyin boshqa omillar qolmasa, 1 ni yozamiz. 24 dan 2 ta qoladi, shuning uchun a² dan qolgan 1 ni yozmaymiz). a⁷ dan keyin kamaytirish a⁵ qoladi.

b va b qisqartmasi b, natijada olingan birliklar yozilmaydi.

c³º va c⁵ c⁵ ga kamayadi. c³º dan c²⁵ qoladi, c⁵ dan - birlik (biz uni yozmaymiz). Shunday qilib,

Bu algebraik kasrning soni va maxraji ko‘phaddir. Ko'phadning hadlarini qisqartirish mumkin emas! (kamaytirish mumkin emas, masalan, 8x² va 2x!). Ushbu fraktsiyani kamaytirish uchun bu kerak. Numeratorning umumiy koeffitsienti 4x. Keling, uni qavslardan chiqaramiz:

Numerator ham, maxraj ham bir xil koeffitsientga ega (2x-3). Biz kasrni shu omil bilan kamaytiramiz. Numeratorda 4x, maxrajda 1. Algebraik kasrlarning 1 xususiyatiga ko'ra kasr 4x ga teng.

Siz faqat omillarni kamaytirishingiz mumkin (ma'lum bir kasrni 25x² ga kamaytira olmaysiz!). Demak, kasrning ayiruvchi va maxrajidagi ko‘phadlar ko‘paytirgichga ajratilishi kerak.

Numerator yig'indining to'liq kvadrati, maxraj esa kvadratlarning farqidir. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari bo'yicha kengaytirilgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Biz kasrni (5x + 1) ga kamaytiramiz (buning uchun hisoblagichda ikkalasini eksponent sifatida kesib tashlaymiz, (5x + 1)² dan (5x + 1) qoladi):

Numeratorning umumiy koeffitsienti 2 ga teng, keling, uni qavs ichidan chiqaramiz. Maxrajda - kublar farqi formulasi:

Numerator va maxrajdagi kengayish natijasida biz bir xil omilni oldik (9 + 3a + a²). Undagi kasrni kamaytiramiz:

Numeratordagi ko'phad 4 ta haddan iborat. birinchi had ikkinchi bilan, uchinchi to'rtinchi bilan va biz birinchi qavslardan umumiy koeffitsient x² ni chiqaramiz. Biz maxrajni kublar yig'indisi formulasiga ko'ra ajratamiz:

Numeratorda biz umumiy koeffitsientni (x + 2) qavs ichidan chiqaramiz:

Biz kasrni (x + 2) ga kamaytiramiz:

Ushbu maqola algebraik kasrlarni o'zgartirish mavzusini davom ettiradi: algebraik kasrlarni kamaytirish kabi harakatni ko'rib chiqing. Keling, atamaning o'zini aniqlaymiz, qisqartma qoidasini tuzamiz va amaliy misollarni tahlil qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebraik kasr qisqartmasining ma'nosi

Oddiy kasr bo'yicha materiallarda biz uning qisqarishini ko'rib chiqdik. Biz oddiy kasrni kamaytirishni uning soni va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lish deb aniqladik.

Algebraik kasrni kamaytirish ham xuddi shunday operatsiya.

Ta'rif 1

Algebraik kasrni qisqartirish uning soni va maxrajining umumiy ko'paytmaga bo'linishidir. Bunda oddiy kasrni qisqartirishdan farqli o'laroq (faqat son umumiy maxraj bo'lishi mumkin), ko'phad, xususan, monom yoki son algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji uchun umumiy omil bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Masalan, 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 algebraik kasrni 3 raqamiga kamaytirish mumkin, natijada biz quyidagilarni olamiz: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2018-03-22 Xuddi shu kasrni x o'zgaruvchisi bilan kamaytirishimiz mumkin va bu bizga 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 ifodasini beradi. Berilgan kasrni monomial bilan kamaytirish ham mumkin 3 x yoki har qanday polinom x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y yoki 3 x 2 + 6 x y.

Algebraik kasrni kamaytirishning yakuniy maqsadi oddiyroq shaklning bir qismi, eng yaxshi holatda qaytarilmas kasrdir.

Barcha algebraik kasrlar qisqarishga tobemi?

Yana oddiy kasrlar haqidagi materiallardan biz qaytariladigan va qaytarilmaydigan kasrlar borligini bilamiz. Qaytarib bo'lmaydigan - bu 1 dan boshqa hisoblagich va maxrajning umumiy omillariga ega bo'lmagan kasrlar.

Algebraik kasrlar bilan hamma narsa bir xil: ular hisoblagich va maxrajning umumiy omillariga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Umumiy omillarning mavjudligi asl fraktsiyani kamaytirish orqali soddalashtirishga imkon beradi. Umumiy omillar mavjud bo'lmaganda, berilgan kasrni kamaytirish usuli bilan optimallashtirish mumkin emas.

Umuman olganda, ma'lum bir turdagi kasr uchun uning qisqarishi yoki yo'qligini tushunish juda qiyin. Albatta, ba'zi hollarda hisob va maxrajning umumiy ko'rsatkichining mavjudligi aniq. Masalan, 3 · x 2 3 · y algebraik kasrda umumiy omil 3 soni ekanligi juda aniq.

Kasrda - x · y 5 · x · y · z 3 biz uni x, yoki y yoki x · y ga kamaytirish mumkinligini ham darhol tushunamiz. Va shunga qaramay, algebraik kasrlarning misollari ko'proq uchraydi, agar hisoblagich va maxrajning umumiy omilini ko'rish unchalik oson bo'lmasa va undan ham ko'proq - bu oddiygina yo'q.

Masalan, x 3 - 1 x 2 - 1 kasrni x - 1 ga qisqartirishimiz mumkin, ko'rsatilgan umumiy omil esa yozuvda yo'q. Lekin x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 kasrni qisqartirib bo'lmaydi, chunki hisob va maxraj umumiy ko'rsatkichga ega emas.

Shunday qilib, algebraik kasrning qisqarish qobiliyatini aniqlash masalasi unchalik oson emas va ko'pincha uning qisqarish qobiliyatini aniqlashga urinishdan ko'ra, berilgan shaklning bir qismi bilan ishlash osonroq. Bunda shunday o'zgarishlar sodir bo'ladiki, ayrim hollarda hisob va maxrajning umumiy koeffitsientini aniqlash yoki kasrni kamaytirilmaydi degan xulosaga kelish imkonini beradi. Ushbu masalani maqolaning keyingi bandida batafsil tahlil qilamiz.

Algebraik kasrlarni qisqartirish qoidasi

Algebraik kasrlarni qisqartirish qoidasi ketma-ket ikki bosqichdan iborat:

• ayiruvchi va ayiruvchining umumiy ko‘rsatkichlarini topish;
• topilgan taqdirda, kasrni kamaytirishning bevosita harakatini amalga oshirish.

Umumiy maxrajlarni topishning eng qulay usuli berilgan algebraik kasrning numeratori va maxrajida mavjud bo‘lgan ko‘phadlarni faktorlarga ajratishdir. Bu sizga umumiy omillarning mavjudligini yoki yo'qligini darhol vizual ravishda ko'rish imkonini beradi.

Algebraik kasrni kamaytirish harakatining o'zi algebraik kasrning aniqlanmagan tenglik bilan ifodalangan asosiy xususiyatiga asoslanadi, bunda a , b , c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas. Birinchi qadam kasrni a c b c ko'rinishga keltirishdir, bunda biz umumiy omil c ni darhol sezamiz. Ikkinchi bosqich - qisqartirishni amalga oshirish, ya'ni. a b shaklining bir qismiga o'tish.

Oddiy misollar

Ba'zi ravshanliklarga qaramay, keling, algebraik kasrning numeratori va maxraji teng bo'lgan maxsus holatga aniqlik kiritaylik. Shunga o'xshash kasrlar ushbu kasrning o'zgaruvchilari butun ODZ bo'yicha bir xil tarzda 1 ga teng:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Oddiy kasrlar algebraik kasrlarning alohida holi bo'lganligi sababli, ularning qanday kamaytirilishini eslaylik. Numerator va maxrajda yozilgan natural sonlar tub omillarga ajraladi, keyin umumiy omillar bekor qilinadi (agar mavjud bo'lsa).

Masalan, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Oddiy bir xil omillarning mahsulotini daraja sifatida yozish mumkin va kasrni kamaytirish jarayonida bir xil asoslar bilan darajalarni bo'lish xususiyatidan foydalaning. Keyin yuqoridagi yechim quyidagicha bo'ladi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(hisob va maxraj umumiy omilga bo'linadi 2 2 3). Yoki aniqlik uchun ko'paytirish va bo'lish xususiyatlariga asoslanib, biz yechimni quyidagi shaklda beramiz:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogiya bo'yicha, algebraik kasrlarni qisqartirish amalga oshiriladi, bunda hisoblagich va maxrajda butun sonli koeffitsientli monomlar mavjud.

1-misol

Algebraik kasr berilgan - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Uni kamaytirish kerak.

Qaror

Berilgan kasrning sonini va maxrajini tub ko‘paytmalar va o‘zgaruvchilarning ko‘paytmasi sifatida yozib, so‘ngra quyidagini kamaytirish mumkin:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Biroq, yechimni vakolatli ifoda sifatida yozish yanada oqilona yo'l bo'ladi:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6.

Javob:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Algebraik kasrning hisoblagichi va maxrajida kasr sonli koeffitsientlar mavjud bo'lganda, keyingi ta'sir qilishning ikkita mumkin bo'lgan usuli mavjud: yoki bu kasr koeffitsientlarini alohida-alohida bo'ling yoki birinchi navbatda pay va maxrajni qandaydir natural songa ko'paytirish orqali kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ling. . Oxirgi transformatsiya algebraik kasrning asosiy xususiyati tufayli amalga oshiriladi (bu haqda siz "Algebraik kasrni yangi maxrajga kamaytirish" maqolasida o'qishingiz mumkin).

2-misol

2 5 x 0, 3 x 3 kasr berilgan. Uni kamaytirish kerak.

Qaror

Fraksiyani shu tarzda kamaytirish mumkin:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Keling, muammoni boshqacha hal qilishga harakat qilaylik, avval kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lgan holda - biz hisoblagich va maxrajni ushbu koeffitsientlarning maxrajlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga ko'paytiramiz, ya'ni. LCM uchun (5, 10) = 10. Keyin biz olamiz:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Javob: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Numeratorlar va maxrajlar ham monomlar, ham polinomlar bo'lishi mumkin bo'lgan umumiy algebraik kasrlarni qisqartirganimizda, umumiy omil har doim ham darhol ko'rinmasa, muammo yuzaga kelishi mumkin. Yoki bundan ham ko'proq, u oddiygina mavjud emas. Keyin umumiy koeffitsientni aniqlash yoki uning yo'qligi faktini aniqlash uchun algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji faktorlarga ajratiladi.

3-misol

Ratsional kasr 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 berilgan. Uni qisqartirish kerak.

Qaror

Ayrim va maxrajdagi ko‘phadlarni ko‘paytmalarga ajratamiz. Qavslarni bajaramiz:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Qavslar ichidagi ifodani qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida o'zgartirish mumkinligini ko'ramiz:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Ko'rinib turibdiki, kasrni umumiy omil bilan kamaytirish mumkin b 2 (a + 7). Keling, qisqartirishni qilaylik:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Tenglik zanjiri sifatida tushuntirishsiz qisqa yechim yozamiz:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Javob: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Bu shunday bo'ladiki, umumiy omillar raqamli koeffitsientlar bilan yashiringan. Keyin, kasrlarni kamaytirishda, hisoblagich va maxrajning yuqori darajalarida sonli omillarni olish maqbuldir.

4-misol

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 algebraik kasr berilgan. Iloji bo'lsa, uni kamaytirish kerak.

Qaror

Bir qarashda sanoqchi va maxraj umumiy maxrajga ega emas. Biroq, keling, berilgan kasrni aylantirishga harakat qilaylik. Numeratordagi x koeffitsientini chiqaramiz:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Endi siz qavs ichidagi ifoda bilan x 2 y tufayli maxrajdagi ifoda oʻrtasida qandaydir oʻxshashlikni koʻrishingiz mumkin. . Keling, ushbu polinomlarning yuqori darajalaridagi sonli koeffitsientlarni chiqaramiz:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Endi umumiy multiplikator ko'rinadi, biz kamaytirishni amalga oshiramiz:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Javob: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x.

Shuni ta'kidlaymizki, ratsional kasrlarni qisqartirish mahorati ko'phadlarni faktorlarga ajratish qobiliyatiga bog'liq.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bir qarashda algebraik kasrlar juda murakkab ko'rinadi va tayyor bo'lmagan talaba ular bilan hech narsa qilish mumkin emas deb o'ylashi mumkin. O'zgaruvchilar, raqamlar va hatto kuchlarning to'planishi qo'rquvni uyg'otadi. Biroq, kasrlarni (masalan, 15/25) va algebraik kasrlarni kamaytirish uchun bir xil qoidalar qo'llaniladi.

Qadamlar

Fraksiyani kamaytirish

Oddiy kasrlar bilan ishlashni o'rganing. Oddiy va algebraik kasrlar bilan amallar o'xshash. Masalan, 15/35 kasrni oling. Ushbu fraktsiyani soddalashtirish uchun, umumiy bo'luvchini toping. Ikkala raqam ham beshga bo'linadi, shuning uchun biz hisob va maxrajda 5 ni chiqarishimiz mumkin:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Endi mumkin umumiy omillarni kamaytirish, ya'ni son va maxrajdagi 5 ni kesib tashlang. Natijada biz soddalashtirilgan kasrni olamiz 3/7 . Algebraik ifodalarda umumiy omillar xuddi oddiy omillar bilan bir xil tarzda ajratiladi. Oldingi misolda biz 15 tadan 5 tasini osongina ajratib oldik - xuddi shu tamoyil 15x - 5 kabi murakkabroq ifodalar uchun ham amal qiladi. Keling, umumiy omilni topamiz. Bu holda, u 5 bo'ladi, chunki ikkala a'zo (15x va -5) 5 ga bo'linadi. Avvalgidek, biz umumiy omilni tanlaymiz va uni o'tkazamiz. Chapga.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Hamma narsa to'g'ri yoki yo'qligini tekshirish uchun qavs ichidagi ifodani 5 ga ko'paytirish kifoya - natijada birinchi bo'lgan raqamlar bo'ladi. Murakkab atamalarni oddiy atamalar kabi ajratish mumkin. Algebraik kasrlar uchun oddiy kasrlar bilan bir xil tamoyillar qo'llaniladi. Bu kasrni kamaytirishning eng oson yo'li. Quyidagi kasrni ko'rib chiqing:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Esda tutingki, pay (yuqori) va maxraj (pastki) ham (x+2) hadga ega, shuning uchun uni 15/35 dagi umumiy koeffitsient 5 kabi qisqartirish mumkin:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Natijada biz soddalashtirilgan ifodani olamiz: (x-3)/(x+10)

Algebraik kasrlarni qisqartirish

Numeratordagi, ya'ni kasrning yuqori qismidagi umumiy ko'rsatkichni toping. Algebraik kasrni kamaytirishda birinchi qadam uning ikkala qismini soddalashtirishdir. Numeratordan boshlang va uni iloji boricha ko'proq omillarga kiritishga harakat qiling. Ushbu bo'limda quyidagi kasrni ko'rib chiqing:

9x-3 15x+6

Numeratordan boshlaylik: 9x - 3. 9x va -3 uchun umumiy koeffitsient 3 raqamidir. Oddiy sonlar bilan bo'lgani kabi, qavs ichidan 3 tani chiqaramiz: 3 * (3x-1). Ushbu transformatsiya natijasida quyidagi fraktsiya olinadi:

3(3x-1) 15x+6

Numeratorning umumiy ko'paytmasini toping. Yuqoridagi misolni bajarishni davom ettiramiz va maxrajni yozamiz: 15x+6. Avvalgidek, ikkala qism ham qaysi raqamga bo'linishini topamiz. Va bu holda umumiy omil 3 ga teng, shuning uchun biz yozishimiz mumkin: 3 * (5x +2). Kasrni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

3(3x-1) 3(5x+2)

Bir xil atamalarni qisqartiring. Ushbu bosqichda siz kasrni soddalashtirishingiz mumkin. Numerator va maxrajdagi bir xil shartlarni bekor qiling. Bizning misolimizda bu raqam 3 ga teng.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Kasr eng oddiy shaklga ega ekanligini aniqlang. Numerator va maxrajda umumiy omillar qolmaganda kasr butunlay soddalashtiriladi. Esda tutingki, siz qavs ichidagi atamalarni qisqartira olmaysiz - yuqoridagi misolda 3x va 5x dan x ni ajratib olishning hech qanday usuli yo'q, chunki (3x -1) va (5x + 2) to'liq a'zolardir. Shunday qilib, kasrni yanada soddalashtirish mumkin emas va yakuniy javob quyidagicha:

(3x-1)(5x+2)

Kasrlarni o'zingiz qisqartirishni mashq qiling. Usulni o'rganishning eng yaxshi usuli - muammolarni o'zingiz hal qilishdir. To'g'ri javoblar misollar ostida keltirilgan.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Javob:(x=13)

2x 2-x 5x

Javob:(2x-1)/5

Maxsus harakatlar

Kasrdan manfiy belgini olib tashlang. Aytaylik, bizga quyidagi kasr berilgan:

3(x-4) 5(4x)

E'tibor bering (x-4) va (4-x) "deyarli" bir xil, ammo ularni to'g'ridan-to'g'ri bekor qilib bo'lmaydi, chunki ular "aylantirilgan". Biroq, (x - 4) -1 * (4 - x) shaklida yozilishi mumkin, xuddi (4 + 2x) 2 * (2 + x) sifatida yozilishi mumkin. Bu "belgini o'zgartirish" deb ataladi.

-1*3(4-x) 5(4x)

Endi siz bir xil shartlarni qisqartirishingiz mumkin (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Demak, yakuniy javob: -3/5 . Kvadratlar farqini tan olishni o'rganing. Kvadratlar farqi, ifodada (a 2 - b 2) bo'lgani kabi, bir raqamning kvadrati boshqa raqamning kvadratidan ayirilsa. Mukammal kvadratlarning farqi har doim ikki qismga - mos keladigan kvadrat ildizlarning yig'indisi va farqiga bo'linishi mumkin. Keyin ifoda quyidagi shaklni oladi:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Bu hiyla algebraik kasrlarda umumiy atamalarni qidirishda juda foydali.

• U yoki bu iborani to‘g‘ri kiritganingizni tekshiring. Buning uchun omillarni ko'paytiring - natija bir xil ifoda bo'lishi kerak.
• Kasrni to'liq soddalashtirish uchun har doim eng katta omillarni tanlang.