Лекції з технічної механіки 2 курс. Теми завдань для самостійного вивчення з теоретичної механіки з прикладами висвітлення

Посібник містить основні поняття та терміни однієї з основних дисциплін предметного блоку "Технічна механіка". Ця дисципліна включає такі розділи, як «Теоретична механіка», «Опір матеріалів», «Теорія механізмів і машин».

Методичний посібник призначений для надання допомоги студентам із самостійного вивчення курсу «Технічна механіка».

Теоретична механіка 4

I. Статика 4

1. Основні поняття та аксіоми статики 4

2. Система схожих сил 6

3. Плоска система довільно розташованих сил 9

4. Поняття про ферму. Розрахунок ферм 11

5. Просторова система сил 11

ІІ. Кінематика точки та твердого тіла 13

1. Основні поняття кінематики 13

2. Поступальний та обертальний рух твердого тіла 15

3. Плоскопаралельний рух твердого тіла 16

ІІІ. Динаміка точки 21

1. Основні поняття та визначення. Закони динаміки 21

2. Загальні теореми динаміки точки 21

Опір матеріалів22

1. Основні поняття 22

2. Зовнішні та внутрішні сили. Метод перерізів 22

3. Поняття про напругу 24

4. Розтягування та стиснення прямого бруса 25

5. Зсув та зминання 27

6. Кручення 28

7. Поперечний вигин 29

8. Поздовжній вигин. Сутність явища поздовжнього вигину. Формула Ейлер. Критична напруга 32

Теорія механізмів та машин 34

1. Структурний аналіз механізмів 34

2. Класифікація плоских механізмів 36

3. Кінематичне дослідження плоских механізмів 37

4. Кулачкові механізми 38

5. Зубчасті механізми 40

6. Динаміка механізмів та машин 43

Список літератури45

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

I. Статика

1. Основні поняття та аксіоми статики

Наука про загальні закони руху і рівноваги матеріальних тіл і про взаємодії між тілами, що виникають при цьому, називається теоретичною механікою.

Статикоюназивається розділ механіки, в якому викладається загальне вчення про сили та вивчаються умови рівноваги матеріальних тіл, що перебувають під дією сил.

Абсолютно твердим тіломназивається таке тіло, відстань між двома будь-якими точками якого завжди залишається постійною.

Величина, що є кількісним заходом механічної взаємодії матеріальних тіл, називається силою.

Скалярні величини- Це такі, які повністю характеризуються їх чисельним значенням.

Векторні величинице такі, які, крім чисельного значення, характеризуються ще й напрямком у просторі.

Сила є векторною величиною(Рис. 1).

Сила характеризується:

- Напрямком;

– чисельною величиною чи модулем;

- точкою програми.

Пряма DЕ, вздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили.

Сукупність сил, що діють на якесь тверде тіло, називається системою сил.

Тіло, не скріплене з іншими тілами, якому цього положенняможна повідомити будь-яке переміщення в просторі, називається вільним.

Якщо одну систему сил, що діють на вільне тверде тіло, можна замінити іншою системою, не змінюючи при цьому стан спокою або руху, в якому знаходиться тіло, то такі дві системи сил називаються еквівалентними.

Система сил, під дією якої вільне тверде тіло може бути у спокої, називається врівноваженоюабо еквівалентної нулю.

Рівнодійна –це сила, яка одна замінює дію даної системи сил на тверде тіло.

Сила, рівна рівнодіючої по модулю, прямо протилежна їй за напрямом і діюча вздовж тієї ж прямої, називається врівноважуючою силою.

Зовнішніминазиваються сили, що діють частинки даного тіла з боку інших матеріальних тіл.

внутрішніминазиваються сили, з якими частки даного тіла діють одна на одну.

Сила, прикладена до тіла в якійсь одній його точці, називається зосередженої.

Сили, що діють на всі точки даного об'єму або даної частини поверхні тіла, називаються розподіленими.

Аксіома 1. Якщо на вільне абсолютно тверде тіло діють дві сили, то тіло може перебувати в рівновазі тоді і тільки тоді, коли ці сили дорівнюють модулю і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони (рис. 2).

Аксіома 2. Дія однієї системи сил на абсолютно тверде тіло не зміниться, якщо до неї додати або від неї відібрати врівноважену систему сил.

Слідство з 1-ї та 2-ї аксіом. Дія сили на абсолютно тверде тіло не зміниться, якщо перенести точку сили вздовж її лінії дії в будь-яку іншу точку тіла.

Аксіома 3 (аксіома паралелограма сил). Дві сили, прикладені до тіла в одній точці, мають рівнодіючу, прикладену в тій же точці та зображувану діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах, як на сторонах (рис. 3).

R = F 1 + F 2

Вектор R, що дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на векторах F 1 та F 2 , називається геометричною сумою векторів.

Аксіома 4. При будь-якій дії одного матеріального тіла на інше має місце таке саме за величиною, але протилежне за напрямом протидія.

Аксіома 5(Принцип затвердіння). Рівновість тіла, що змінюється (деформується), що знаходиться під дією даної системи сил, не порушиться, якщо тіло вважати затверділим (абсолютно твердим).

Тіло, яке не скріплене з іншими тілами і може здійснювати з цього положення будь-які переміщення у просторі, називається вільним.

Тіло, переміщенням якого у просторі перешкоджають якісь інші, скріплені або стикаються з ним тіла, називається невільним.

Все те, що обмежує переміщення даного тіла у просторі, називається зв'язком.

Сила, з якою цей зв'язок діє на тіло, перешкоджаючи тим чи іншим його переміщенням, називається силою реакції зв'язкуабо реакцією зв'язку.

Реакція зв'язку спрямованау бік, протилежний до тієї, куди зв'язок не дає переміщатися тілу.

Аксіома зв'язків.Будь-яке невільне тіло можна як вільне, якщо відкинути зв'язку і замінити їх дію реакціями цих зв'язків.

2. Система схожих сил

Схожиминазиваються сили, лінії дії яких перетинаються в одній точці (рис. 4а).

Система схожих сил має рівнодіючу, рівну геометричній сумі(Головному вектору) цих сил і прикладену в точці їх перетину.

Геометрична сума, або головний векторкількох сил, що зображується замикаючою стороною силового багатокутника, побудованого з цих сил (рис. 4б).

2.1. Проекція сили на вісь та на площину

Проекцією сили на вісьназивається скалярна величина, що дорівнює взятій з відповідним знаком довжині відрізка, укладеного між проекціями початку та кінця сили. Проекція має знак плюс, якщо переміщення від початку до кінця відбувається в позитивному напрямку осі, і знак мінус – якщо в негативному (рис. 5).

Проекція сили на вісьдорівнює добутку модуля сили на косинус кута між напрямком сили та позитивним напрямком осі:

F X = F cos.

Проекцією сили на площинуназивається вектор, укладений між проекціями початку та кінця сили на цю площину (рис. 6).

F xy = F cos Q

F x = F xy cos= F cos Q cos

F y = F xy cos= F cos Q cos

Проекція вектор сумина якусь вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь (рис. 7).

R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4

R x = ∑F ix R y = ∑F iy

Для рівноваги системи схожих силнеобхідно і достатньо, щоб силовий багатокутник, побудований із цих сил, був замкнутий – це геометрична умова рівноваги.

Аналітична умова рівноваги. Для рівноваги системи збігаються сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій цих сил на кожну з двох координатних осей дорівнювали нулю.

∑F ix = 0 ∑F iy = 0 R =

2.2. Теорема про три сили

Якщо вільне тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, лінії дії цих сил перетинаються в одній точці (рис. 8).

2.3. Момент сили щодо центру (точки)

Моментом сили щодо центру називається величина, рівна взятому з відповідним знаком твору модуля сили на довжину h(Рис. 9).

М = ± F· h

Перпендикуляр h, опущений із центру Прона лінію дії сили F, називається плечем сили Fщодо центру Про.

Момент має знак плюсякщо сила прагне повернути тіло навколо центру Пропроти ходу годинникової стрілки, та знак мінус- Якщо по ходу годинникової стрілки.

Властивості моменту сили.

1. Момент сили не зміниться при перенесенні точки застосування сили вздовж її лінії дії.

2. Момент сили щодо центру дорівнює нулю лише тоді, коли сила дорівнює нулю або коли лінія дії сили проходить через центр (плечо одно нулю).

Вступ

Теоретична механіка є одним із найважливіших фундаментальних загальнонаукових дисциплін. Вона грає істотну роль підготовці інженерів будь-яких спеціальностей. На результатах теоретичної механіки базуються загальноінженерні дисципліни: опір матеріалів, деталі машин, теорія механізмів та машин та інші.

Основне завдання теоретичної механіки вивчення руху матеріальних тіл під впливом сил. Важливим приватним завданням є вивчення рівноваги тіл під впливом сил.

Курс лекцій. Теоретична механіка

Структура теоретичної механіки. Основи статики

Умови рівноваги довільної системи сил.

Рівняння рівноваги твердого тіла.

Плоска система сил.

Окремі випадки рівноваги твердого тіла.

Завдання про рівновагу бруса.

Визначення внутрішніх зусиль у стрижневих конструкціях.

Основи кінематики.

Природні координати.

Формула Ейлер.

Розподіл прискорень точок твердого тіла.

Поступальний та обертальний рухи.

Плоскопаралельний рух.

Складне рух точки.

Основи динаміки точки.

Диференціальні рівняння руху точки.

Приватні види силових полів

Основи динаміки системи точок.

Загальні теореми динаміки системи точок.

Динаміка обертального руху тіла.

Добронравов В.В., Нікітін Н.М. Курс теоретичної механіки. М., вища школа, 1983.

Бутенін Н.В., Лунц Я.Л., Меркін Д.Р. Курс теоретичної механіки, ч.1 та 2. М., Вища школа, 1971.

Петкевич В.В. Теоретична механіка. М., наука, 1981.

Збірник завдань для курсових робітз теоретичної механіки. За ред. А.А.Яблонського. М., Вища школа, 1985.

лекція 1.Структура теоретичної механіки. Основи статики

В теоретичної механікививчається рух тіл щодо інших тіл, що є фізичними системами відліку.

Механіка дозволяє як описувати, а й передбачати рух тіл, встановлюючи причинні зв'язку у певному, дуже широкому, колі явищ.

Основні абстрактні моделі реальних тіл:

матеріальна точка - має масу, але не має розмірів;

абсолютно тверде тіло - Обсяг кінцевих розмірів, суцільно заповнений речовиною, причому відстані між будь-якими двома точками середовища, що заповнює обсяг, не змінюються під час руху;

суцільне деформоване середовище - Заповнює кінцевий обсяг або необмежений простір; відстані між точками такого середовища можуть змінюватись.

З них – системи:

Система вільних матеріальних точок;

Системи із зв'язками;

Абсолютно тверде тіло із порожниною, заповненою рідиною, тощо.

«Вироджені»моделі:

Нескінченно тонкі стрижні;

Нескінченно тонкі пластини;

Невагомі стрижні та нитки, що пов'язують між собою матеріальні точки, тощо.

З досвіду: механічні явища протікають неоднаково різних місцяхфізичної системи відліку. Ця властивість – неоднорідність простору, який визначається фізичною системою відліку. Під неоднорідністю тут розуміється залежність характеру перебігу явища від місця, де ми спостерігаємо це явище.

Ще властивість – анізотропність (неізотропність) рух тіла щодо фізичної системи відліку може бути різним залежно від напрямку. Приклади: течія річки по меридіану (з півночі на південь - Волга); політ снаряд, маятник Фуко.

Властивості системи відліку (неоднорідність та анізотропність) ускладнюють спостереження за рухом тіла.

Практичновільна від цього – геоцентричнасистема: центр системи в центрі Землі та системи не обертається щодо «нерухомих» зірок). Геоцентрична система зручна для розрахунків рухів Землі.

Для небесної механіки(для тіл сонячної системи): геліоцентрична система відліку, яка рухається з центром мас Сонячної системиі не обертається щодо «нерухомих» зірок. Для цієї системи поки не виявленонеоднорідність та анізотропність простору

по відношенню до явищ механіки.

Отже, запроваджується абстрактна інерційнасистема відліку, для якої простір однорідний та ізотропний по відношенню до явищ механіки.

Інерційна система відліку- Така, власний рух якої не може бути виявлено жодним механічним досвідом. Думковий експеримент: «крапка, самотня у всьому світі» (ізольована) або спочиває, або рухається прямолінійно і рівномірно.

Усі системи відліку що рухаються щодо вихідної прямолінійно, поступово будуть інерційними. Це дозволяє запровадити єдину декартову систему координат. Такий простір називається евклідовим.

Умовна угода – беруть праву систему координат (рис. 1).

В ремя– у класичній (нерелятивістській) механіці абсолютно, єдине всім систем відліку тобто початковий момент – довільний. На відміну від релятивістської механіки, де застосовується принцип відносності.

Стан руху системи в момент часу t визначається координатами та швидкостями точок у цей момент.

Реальні тіла взаємодіють у своїй виникають сили, які змінюють стан руху системи. Це і є суть теоретичної механіки.

Як вивчається теоретична механіка?

Вчення про рівновагу сукупності тіл певної системи відліку – розділ Статика.

Розділ кінематика: частина механіки, в якій вивчаються залежності між величинами, що характеризують стан руху систем, але не розглядаються причини, що спричиняють зміну стану руху.

Після цього розглянемо вплив сил [ОСНОВНА ЧАСТИНА].

Розділ динаміка: частина механіки, у якій розглядається вплив зусиль на стан руху систем матеріальних об'єктів.

Принципи побудови основного курсу – динаміки:

1) основу – система аксіом (з урахуванням досвіду, спостережень);

Постійно – безжальний контроль практики. Ознака точної науки - Наявність внутрішньої логіки (без неї - набір не пов'язаних рецептів)!

Статикоюназивається та частина механіки, де вивчаються умови, яким повинні задовольняти сили, що діють на систему матеріальних точок, щоб система перебувала в рівновазі, та умови еквівалентності систем сил.

Буде розглянуто завдання про рівновагу в елементарній статиці із застосуванням виключно геометричних методів, що ґрунтуються на властивостях векторів. Такий підхід застосовується в геометричній статиці(На відміну від аналітичної статики, яка тут не розглядається).

Положення різних матеріальних тіл відноситимемо до системи координат, яку приймемо за нерухому.

Ідеальні моделі матеріальних тіл:

1) матеріальна точка – геометрична точка із масою.

2) абсолютно тверде тіло - сукупність матеріальних точок, відстані між якими не можуть бути змінені жодними діями.

Силамибудемо називати Об'єктивні причини, що є результатом взаємодії матеріальних об'єктів, здатні викликати рух тіл зі стану спокою або змінити рух останніх.

Оскільки сила визначається викликаним нею рухом, вона також має відносний характер, залежить від вибору системи відліку.

Питання про природу сил розглядається у фізиці.

Система матеріальних точок перебуває у рівновазі, якщо, спокої, вона отримує ніякого руху від сил, її у діючих.

З повсякденного досвіду: сили мають векторний характер, тобто величину, напрямок, лінію дії, точку застосування. Умова рівноваги сил, які діють тверде тіло, зводиться до властивостей систем векторів.

Узагальнюючи досвід вивчення фізичних законів природи, Галілей та Ньютон сформулювали основні закони механіки, які можуть розглядатись як аксіоми механіки, так як мають у основі експериментальні факти.

Аксіома 1.Дія на точку твердого тіла кількох сил рівносильна дії однієї рівнодіючої сили,що будується за правилом складання векторів (рис.2).

Наслідок.Сили, що додаються до точки твердого тіла, складаються за правилом паралелограма.

Аксіома 2.Дві сили, прикладені до твердого тіла, взаємно врівноважуютьсяі тоді, коли вони рівні за величиною, спрямовані в протилежні сторони і лежать на одній прямій.

Аксіома 3.Дія на тверде тіло системи сил не зміниться, якщо додати до цієї системи або відкинути від неїдві сили, рівні за величиною, спрямовані в протилежні сторони, що лежать на одній прямій.

Наслідок.Силу, що діє на точку твердого тіла, можна переносити вздовж лінії дії сили без зміни рівноваги (тобто сила є ковзним вектором, рис.3)

1) Активні – створюють чи здатні створити рух твердого тіла. Наприклад, сила ваги.

2) Пасивні – не створюють руху, але що обмежують переміщення твердого тіла, що перешкоджають переміщенням. Наприклад, сила натягу нерозтяжної нитки (рис.4).

Аксіома 4.Дія одного тіла на друге рівне і протилежне дії цього другого тіла на перше ( дія одно протидії).

Геометричні умови, що обмежують переміщення точок, називатимемо зв'язками.

Умови зв'язку: наприклад,

- стрижень непрямої довжини l.

- гнучка нерозтяжна нитка довжиною l.

Сили, зумовлені зв'язками та перешкоджають переміщенням, називаються силами реакцій.

Аксіома 5.Зв'язки, накладені систему матеріальних точок, можна замінити силами реакцій, дія яких еквівалентно дії зв'язків.

Коли пасивні сили що неспроможні врівноважити дію активних сил, починається рух.

Два приватні завдання статики

1. Система схожих сил, що діють на тверде тіло

Системою схожих силназивається така система сил, лінії дії якої перетинаються в одній точці, яку можна прийняти за початок координат (рис.5).

Проекції рівнодіючої:

;

Якщо , то сила викликає рух твердого тіла.

Умова рівноваги для системи сил, що збігається:

2. Рівновість трьох сил

Якщо на тверде тіло діють три сили, і лінії дії двох сил перетинаються в деякій точці А, рівновага можлива тоді і тільки тоді, коли лінія дії третьої сили теж проходить через точку А, а сама сила дорівнює за величиною та протилежно спрямована сумі (Рис.6).

Приклади:

Момент сили щодо точкивизначимо як вектор за величиноюрівний подвоєної площі трикутника, основою якого є вектор сили з вершиною в заданій точці; напрямок- ортогонально площині розглянутого трикутника в той бік, звідки обертання, що виробляється силою навколо точки, видно проти ходу годинникової стрілки.є моментом ковзного вектора і є вільним вектором(Рис.9).

Отже: або

де ;;.

Де F – модуль сили, h – плече (відстань від точки до спрямування сили).

Моментом сили щодо осіназивається алгебраїчне значення проекції на цю вісь вектора моменту сили щодо довільної точки, взятої на осі (Рис.10).

Це скаляр, який залежить від вибору точки. Справді, розкладемо:|| та у площині.

Про моменти: нехай О 1 – точка перетину з площиною. Тоді:

а) від - момент => Проекція = 0.

б) від - момент вздовж => є проекцією.

Отже,момент щодо осі – це момент складової сили у перпендикулярній площині до осі щодо точки перетину площини та осі.

Теорема Варіньйона для системи схожих сил:

Момент рівнодіючої сили для системи схожих силщодо довільної точки А дорівнює сумі моментів всіх складових сил щодо тієї самої точки А (рис.11).

Доведеннятеоретично схожих векторів.

Пояснення:складання сил за правилом паралелограма => результуюча сила дає сумарний момент.

Контрольні питання:

1. Назвіть основні моделі реальних тіл у теоретичній механіці.

2. Сформулюйте аксіоми статики.

3. Що називається моментом сили щодо точки?

лекція 2.Умови рівноваги довільної системи сил

З основних аксіом статики випливають елементарні операції над силами:

1) силу можна переносити вздовж лінії дії;

2) сили, лінії дії яких перетинаються, можна складати за правилом паралелограма (за правилом складання векторів);

3) до системи сил, що діють на тверде тіло, можна додати дві сили, рівні за величиною, що лежать на одній прямій і спрямовані в протилежні сторони.

Елементарні операції не змінюють механічний стан системи.

Назвемо дві системи сил еквівалентними,якщо одна з іншої може бути отримана за допомогою елементарних операцій (як теоретично ковзаючих векторів).

Система двох паралельних сил, рівних за величиною та спрямованих у протилежні сторони, називається парою сил(Рис.12).

Момент пари сил- Вектор, за величиною рівний площі паралелограма, побудованого на векторах пари, і спрямований ортогонально до площини пари в той бік, звідки обертання, що повідомляється векторами пари, видно, що відбувається проти ходу годинникової стрілки.

, тобто момент сили щодо точки ст.

Пара сил повністю характеризується своїм моментом.

Пару сил можна переносити елементарними операціями будь-яку площину, паралельну площині пари; змінювати величини сил пари обернено пропорційно плечам пари.

Пари сил можна складати, причому моменти пар сил складаються за правилом складання (вільних) векторів.

Приведення системи сил, що діють на тверде тіло до довільної точки (центру приведення)- означає заміну діючої системи простіше: системою трьох сил, одна з яких проходить через наперед задану точку, А дві інші представляють пару.

Доводиться з допомогою елементарних операцій (рис.13).

Система схожих сил та система пар сил.

- результуюча сила.

Результуюча пара.

Що й потрібно було показати.

Дві системи силбудуть еквівалентнітоді і тільки тоді, коли обидві системи наводяться до однієї результуючої сили та однієї результуючої пари, тобто при виконанні умов:

Загальний випадок рівноваги системи сил, що діють на тверде тіло

Наведемо систему сил до (рис.14):

результуюча сила через початок координат;

Результуюча пара, причому через точку О.

Тобто привели до і- дві сили, одна з яких проходить через задану точку О.

Рівнавага, якщо і на одній прямій, рівні, спрямовані протилежно (аксіома 2).

Тоді проходить через точку О, тобто.

Отже, загальні умови рівноваги твердого тіла:

Ці умови є справедливими для довільної точки простору.

Контрольні питання:

1. Перерахуйте елементарні операції над силами.

2. Які системи сил називаються еквівалентними?

3. Напишіть загальні умови рівноваги твердого тіла.

лекція 3.Рівняння рівноваги твердого тіла

Нехай – початок координат; - результуюча сила; - момент результуючої пари. Нехай точка О1 новий центр приведення (рис.15).

Нова система сил:

При зміні точки приведення => змінюється тільки (в один бік з одним знаком, в інший – з іншим). Тобтоточка: збігаються лінії

Аналітично: (Колінеарність векторів)

; координати точки О1.

Це рівняння прямої лінії, для всіх точок якої напрямок результуючого вектора збігається з напрямком моменту результуючої пари – пряма називається динамою.

Якщо на осі динами => , то система еквівалентна одній результуючій силі, яку називають рівнодіючою силою системи.При цьому завжди, тобто.

Чотири випадки приведення сил:

1.) ;- динама.

2.) ;- рівнодіюча.

3.); - пара.

4.) ;- рівновага.

Два векторні рівняння рівноваги: головний вектор і головний момент дорівнюють нулю,.

Або шість скалярних рівнянь у проекціях на декартові осі координат:

Тут:

Складність виду рівнянь залежить від вибору точки приведення => мистецтво розрахунка.

Знаходження умов рівноваги системи твердих тіл, що у взаємодії<=>задача про рівновагу кожного тіла окремо, причому на тіло діють зовнішні сили та сили внутрішні (взаємодія тіл у точках дотику з рівними та протилежно спрямованими силами – аксіома IV, рис.17).

Виберемо для всіх тіл системи один центр приведення.Тоді для кожного тіла з номером умови рівноваги:

, , (= 1, 2, …, k)

де ,- результуюча сила та момент результуючої пари всіх сил, крім внутрішніх реакцій.

Результуюча сила та момент результуючої пари сил внутрішніх реакцій.

Формально підсумовуючи і з огляду на IV аксіомі

отримуємо необхідні умови рівноваги твердого тіла:

приклад.

Рівнавага: =?

Контрольні питання:

1. Назвіть усі випадки приведення системи сил до однієї точки.

2. Що таке динаміки?

3. Сформулюйте необхідні умови рівноваги системи твердих тіл.

лекція 4.Плоска система сил

Окремий випадок загального постачання завдання.

Нехай всі чинні сили лежать в одній площині – наприклад, листа. Виберемо за центр приведення точку О – у цій самій площині. Отримаємо результуючу силу і результуючу пару цієї ж площини, тобто (рис.19)

Зауваження.

Систему можна привести до однієї результуючої сили.

Умови рівноваги:

або скалярні:

Найчастіше зустрічаються у додатках, наприклад, у опорі матеріалів.

приклад.

З тертям кулі про дошку та про площину. Умова рівноваги: =?

Завдання про рівновагу невільного твердого тіла.

Невільним називається таке тверде тіло, переміщення якого обмежене зв'язками. Наприклад, іншими тілами шарнірними закріпленнями.

При визначенні умов рівноваги: невільне тіло можна як вільне, замінюючи зв'язку невідомими силами реакції.

приклад.

Контрольні питання:

1. Що називається плоскою системою сил?

2. Напишіть умови рівноваги пласкої системи сил.

3. Яке тверде тіло називається невільним?

лекція 5.Окремі випадки рівноваги твердого тіла

Теорема.Три сили врівноважують тверде тіло тільки в тому випадку, коли вони лежать в одній площині.

Доведення.

Виберемо за точку наведення точку на лінії дії третьої сили. Тоді (рис.22)

Тобто площини S1 та S2 збігаються, причому для будь-якої точки на осі сили, ч.т.д. (Простіше: у площині тільки там для врівноваження).

КОРОТКИЙ КУРС ЛЕКЦІЙ З ДИСЦИПЛІНИ «ОСНОВИ ТЕХНІЧНОЇ МЕХАНІКИ»

Розділ 1: Статика

Статика, аксіоми статики. Зв'язки, реакції зв'язків, типи зв'язків.

Основи теоретичної механіки складаються з трьох розділів: Статика, основи опору матеріалів, деталі механізмів та машин.

Механічне рух – зміна положення тіл чи точок у просторі з часом.

Тіло сприймається як матеріальна точка, тобто. геометрична точкаі в цій точці зосереджено всю масу тіла.

Система – це сукупність матеріальних точок, рух і становище яких взаємопов'язані.

Сила – це векторна величина, і вплив сили на тіло визначається трьома факторами: 1) Числовим значенням, 2) напрямком, 3) точкою додатка.

[F] - Ньютон - [H], Кг / с = 9,81 Н = 10 Н, КН = 1000 Н,

МН = 1000000 Н, 1Н = 0,1 кг/с

Аксіоми статики.

1Аксіома– (Визначає врівноважену систему сил): система сил, що додається до матеріальної точки, є врівноваженою, якщо під її впливом точка перебуває у стані відносного спокою, або рухається прямолінійно та рівномірно.

Якщо на тіло діє врівноважена система сил, то тіло знаходиться або: може відносного спокою, або рухається рівномірно і прямолінійно, або рівномірно обертається навколо нерухомої осі.

2 Аксіома– (Встановлює умову рівноваги двох сил): дві рівні по модулю або числовому значенню сили (F1=F2) додані до абсолютно твердого тіла та спрямовані

по одній прямій у протилежні сторони взаємно врівноважуються.

Система сил – це сукупність кількох сил, прикладених до точки або тіла.

Система сил лінії дії, в якій перебувають у різних площинах, називається просторовою, якщо в одній площині то плоскою. Система сил з лініями дії, що перетинаються в одній точці, називається схожою. Якщо взяті порізно дві системи сил надають однакове вплив тіло, всі вони еквівалентні.

Слідство з 2 аксіоми.

Будь-яку силу, що діє на тіло можна перенести вздовж лінії її дії, будь-яку точку тіла не порушивши при цьому його механічного стану.

3Аксіома: (Основа для перетворення сил): не порушуючи механічного стану абсолютно твердого тіла, до нього можна прикласти або відкинути від нього врівноважену систему сил.

Вектори, які можна переносити по лінії їхньої дії, називаються ковзними.

4 Аксіома– (Визначає правила складання двох сил): рівнодіюча двох сил, прикладена до однієї точки, прикладена в цій точці, є діагоналлю паралелограма побудованого на цих силах.

- Равнодіюча сила =F1+F2 – За правилом паралелограма

За правилом трикутника.

5 Аксіома– (Встановлює, що у природі може бути одностороннього дії сили) при взаємодії тіл кожному дії відповідає рівне і протилежно спрямоване протидія.

Зв'язки та його реакції.

Тіла в механіці бувають: 1 вільні 2 невільні.

Вільні – коли тіло не має жодних перешкод для переміщення у просторі в будь-якому напрямку.

Невільні – тіло пов'язані з іншими тілами, які обмежують його рух.

Тіла, які обмежують рух тіла, називають зв'язками.

При взаємодії тіла із зв'язками виникають сили, вони діють на тіло з боку зв'язку та називаються реакціями зв'язку.

Реакція зв'язку завжди протилежна тому напрямку, яким зв'язок перешкоджає руху тіла.

Види зв'язку.

1) Зв'язок у вигляді гладкої площини без тертя.

2) Зв'язок у вигляді контакту циліндричної чи кульової поверхні.

3) Зв'язок у вигляді шорсткої площини.

Rn – сила перпендикулярна до площини. Rt – сила тертя.

R – реакція зв'язку. R = Rn+Rt

4) Гнучкий зв'язок: мотузкою або тросом.

5) Зв'язок у вигляді жорсткого прямого стрижня із шарнірним закріпленням кінців.

6) Зв'язок здійснюється ребром двогранного кута або точкової опори.

R1R2R3 – перпендикулярні поверхні тіла.

Плоска система схожих сил. Геометричне визначеннярівнодіючою. Проекція сили на вісь. Проекція векторної суми на вісь.

Сили називаються такими, що сходяться, якщо лінії їх дії перетинаються в одній точці.

Плоска система сил – лінії дії всіх цих сил лежать у одній площині.

Просторова система схожих сил – лінії дії всіх цих сил лежать у різних площинах.

Схожі сили завжди можна перенести на одну точку, тобто. в точку перетину їх лінією дії.

F123=F1+F2+F3=

Рівнодійна завжди спрямована від початку першого доданку до кінця останнього (стрілка направлена у бік обходу багатогранника).

Якщо при побудові силового багатокутника кінець останньої сили поєднається з початком першої, то рівнодіюча = 0 система знаходиться в рівновазі.

Чи не врівноважена

врівноважена.

Проекція сили на вісь.

Вісь – пряма лінія, якій приписано певний напрямок.

Вектор проекції є скалярною величиною, Вона визначається відрізком осі, що відсікається перпендикулярами на вісь з початку та кінця вектора.

Проекція вектора позитивна, якщо збігається з напрямком осі, і негативна, якщо протилежна напрямку осі.

Висновок: Проекція сили на вісь координат = добутку модуля сили на cos кута між вектором сили та позитивним напрямком осі.

Позитивна проекція.

Негативна проекція

Проекція = про

Проекція векторної суми на вісь.

Можна використовувати для визначення модуля та

напрями сили, якщо відомі її проекції на

координатні осі.

Висновок: Проекція векторної суми або рівнодіючої на кожну вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекції доданків векторів на ту ж вісь.

Визначити модуль та напрямок сили, якщо відомі її проекції.

Відповідь: F=50H,

Fy-?F -?

Відповідь:

Розділ 2. Опір матеріалів (Сопромат).

Основні поняття та гіпотези. Деформація. Метод перерізу.

Опір матеріалів – це наука про інженерні методи розрахунку, на міцність, жорсткість і стійкість, елементів конструкцій. Міцність – властивості тіл не руйнуватись під дією зовнішніх сил. Жорсткість – здатність тіл у процесі деформування змінювати розміри заданих межах. Стійкість – здатність тіл зберігати початковий стан рівноваги після застосування навантаження. Мета науки (Сопромат) - створення практично зручних прийомів Розрахунку елементів конструкцій, що найчастіше зустрічаються. Основні гіпотези та припущення щодо властивостей матеріалів, навантажень та характеру деформації.1) Гіпотеза(однорідності та помилки). Коли матеріал повністю заповнює тіло, властивості матеріалу не залежать від розмірів тіла. 2) Гіпотеза(Про ідеальну пружність матеріалу). Здатність тіла відновлювати палю початкову форму та розміри після усунення причин, що викликали деформацію. 3) Гіпотеза(Допущення про лінійну залежність між деформаціями та навантаженнями, Виконання закону Гука). Переміщення в результаті деформації прямо пропорційно навантаженням, що їх викликало. 4) Гіпотеза(Плоських перерізів). Поперечні перерізи плоскі та нормальні до осі бруса до застосування до нього навантаження залишаються плоскими та нормальними до його осі після деформації. 5) Гіпотеза(Про ізотропність матеріалу). Механічні властивостіматеріалу у будь-якому напрямку однакові. 6) Гіпотеза(Про дефіцит деформацій). Деформації тіла настільки малі, порівняно з розмірами, що не мають істотного впливу на взаємне розташуваннянавантажень. 7) Гіпотеза (Принцип незалежності дії сил). 8) Гіпотеза (Сен-Венана). Деформація тіла далеко від місця застосування статично еквівалентних навантажень практично не залежить від характеру їх розподілу. Під дією зовнішніх сил відстань між молекулами змінюється, виникають внутрішні сили всередині тіла, які протидіють деформації та прагнуть повернути частки у колишній стан – сили пружності. Метод перерізів.Зовнішні сили, прикладені до відсіченої частини тіла, повинні врівноважуватися з внутрішніми силами, що виникають у площині перерізу, вони замінюють дію відкинутої частини на іншу. Стрижень (бруси) – елементи конструкції, довжина яких значно перевищує їх поперечні розміри. Пластини або оболонки – коли товщина мала порівняно з двома іншими розмірами. Масивні тіла – всі три розміри приблизно однакові. Умова рівноваги.

NZ - Поздовжня внутрішня сила. QX та QY – Поперечна внутрішня сила. MX та MY – Згинальні моменти. MZ - крутний момент. При дії на стрижень плоскої системи сил, у його перерізах можуть виникати лише три силові фактори, це: MX – Згинальний момент, QY – Поперечна сила, NZ – Поздовжня сила. Рівняння рівноваги.Координатні осі завжди будуть спрямовувати вісь Z вздовж осі стрижня. Осі X та Y – вздовж головних центральних осей його поперечних перерізів. Початок координат це центр тяжкості перерізу.

Послідовність дій визначення внутрішніх сил.

1) Подумки провести перетин в точці конструкції, що цікавить нас. 2) Відкинути одну з відсічених частин, і розглянути рівновагу частини, що залишилася. 3) Скласти рівняння рівноваги та визначити з них значення та напрямки внутрішніх силових факторів. Осьове розтягнення і стиснення – внутрішні сили поперечному перерізіМожуть бути замкнені однією силою, спрямованою вздовж осі стрижня.

Розтягування.

Стиснення. Зрушення – виникає у разі, як у поперечному перерізі стрижня внутрішні сили наводяться до однієї, тобто. поперечної сили Q.

Викручування - Виникає 1 силовий фактор MZ.

MZ=MK Чистий вигин– Виникає згинальний момент MX або MY.

Для розрахунку елементів конструкції на міцність, жорсткість, стійкість, насамперед, необхідно (за допомогою методу перерізу) визначити виникнення внутрішніх силових факторів.

Тема №1. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА

Основні поняття та аксіоми статики

Предмет статики.Статикоюназивається розділ механіки, в якому вивчаються закони складання сил та умови рівноваги матеріальних тіл, що перебувають під дією сил.

Під рівновагою ми розумітимемо стан спокою тіла по відношенню до інших матеріальних тіл. Якщо тіло, по відношенню до якого вивчається рівновага, можна вважати нерухомим, то рівновагу умовно називають абсолютним, а інакше - відносним. У статиці ми вивчатимемо лише так звану абсолютну рівновагу тіл. Практично при інженерних розрахунках абсолютним вважатимуться рівновагу стосовно Землі чи тілам, жорстко пов'язаних із Землею. Справедливість цього твердження буде обґрунтована в динаміці, де поняття про абсолютну рівновагу можна визначити суворіше. Там же буде розглянуто і питання щодо відносної рівноваги тіл.

Умови рівноваги тіла істотно залежать від того, чи це тіло є твердим, рідким або газоподібним. Рівновість рідких та газоподібних тіл вивчається в курсах гідростатики та аеростатики. У загальному курсі механіки розглядаються зазвичай лише завдання щодо рівноваги твердих тіл.

Всі тверді тіла, що зустрічаються в природі, під впливом зовнішніх впливів у тій чи іншій мірі змінюють свою форму (деформуються). Величини цих деформацій залежать від матеріалу тіл, їх геометричної форми та розмірів та від діючих навантажень. Для забезпечення міцності різних інженерних споруд та конструкцій матеріал та розміри їх частин підбирають так, щоб деформації при діючих навантаженнях були досить малі. Внаслідок цього щодо загальних умоврівноваги цілком припустимо нехтувати малими деформаціями відповідних твердих тіл та розглядати їх як недеформовані або абсолютно тверді.

Щоб тверде тіло під дією деякої системи сил знаходилося в рівновазі (у спокої), необхідно, щоб ці сили задовольняли певним умовам рівновагицієї системи сил. Знаходження цих умов є одним із основних завдань статики. Але для віднайдення умов рівноваги різних систем сил, а також для вирішення низки інших завдань механіки, необхідно вміти складати сили, що діють на тверде тіло, замінювати дію однієї системи сил іншою системою і, зокрема, приводити цю систему сил до найпростішого виду. Тому у статиці твердого тіла розглядаються такі дві основні задачі:

1) складання сил та приведення систем сил, що діють на тверде тіло, до найпростішого вигляду;

2) визначення умов рівноваги діючих на жорстке тіло систем сил.

Сила.Стан рівноваги чи руху даного тіла залежить від характеру його механічних взаємодій коїться з іншими тілами, тобто. від тих тисків, тяжінь чи відштовхувань, які це тіло відчуває внаслідок цих взаємодій. Величина, що є кількісним заходом механічного взаємодії матеріальних тіл називається в механіці силою.

Розглянуті у механіці величини, можна розділити на скалярні, тобто. такі, що повністю характеризуються їх чисельним значенням, та векторні, тобто. такі, які, окрім чисельного значення, характеризуються ще й напрямком у просторі.

Сила є векторною величиною. Її вплив на тіло визначається: 1) чисельною величиноюабо модулемсили, 2) напрямінямсили, 3) точкою програмисили.

Напрямок і точка докладання сили залежить від характеру взаємодії тіл та його взаємного становища. Наприклад, сила тяжіння, що діє на якесь тіло, спрямована по вертикалі вниз. Сили тиску двох притиснутих один до одного гладких куль направлені за нормаллю до поверхонь куль у точках їх торкання та прикладені в цих точках тощо.

Графічно сила є спрямованим відрізком (зі стрілкою). Довжина цього відрізка (АВна рис. 1) виражає в обраному масштабі модуль сили, напрямок відрізка відповідає напрямку сили, його початок (точка Ана рис. 1) зазвичай збігається з точкою докладання сили. Іноді буває зручно зображати силу так, що точкою додатка є її кінець – вістря стрілки (як на рис. 4) в). Пряма DE, вздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили.Силу позначають буквою F . Модуль сили позначається вертикальними рисками «з боків» вектора. Системою силназивається сукупність сил, які діють якесь абсолютно тверде тіло.

Основні визначення:

Тіло, що не скріплене з іншими тілами, якому з цього положення можна повідомити будь-яке переміщення в просторі, називається вільним.

Якщо вільне тверде тіло під дією даної системи сил може бути у спокої, то така система сил називається врівноваженою.

Якщо дана системасил еквівалентна одній силі, то ця сила називається рівнодіючоїцієї системи сил. Таким чином, рівнодіюча - це сила, яка одна може замінитиВплив даної системи, сил на тверде тіло.

Сила, рівна рівнодіючої по модулю, прямо протилежна їй за напрямом і діюча вздовж тієї ж прямої, називається врівноважуєсилою.

Сили, що діють на тверде тіло, можна поділити на зовнішні та внутрішні. Зовнішніминазиваються сили, що діють частинки даного тіла з боку інших матеріальних тіл. внутрішніминазиваються сили, з якими частки даного тіла діють одна на одну.

Сила, прикладена до тіла в якійсь одній його точці, називається зосереджений.Сили, що діють на всі точки даного об'єму або даної частини поверхні тіла, називаються суперечкаділеними.

Поняття про зосереджену силу є умовним, тому що практично прикласти силу до тіла в одній точці не можна. Сили, які ми в механіці розглядаємо як зосереджені, є сутнісно рівнодіючими деяких систем розподілених сил.

Зокрема, зазвичай розглянута в механіці сила тяжіння, що діє на дане тверде тіло, є рівнодією сил тяжкості його частинок. Лінія дії цієї рівнодіючої проходить через точку, яка називається центром тяжкості тіла.

Аксіоми статики.Усі теореми і рівняння статики виводяться з кількох вихідних положень, які приймаються без математичних доказів і називаються аксіомами чи принципами статики. Аксіоми статики є результатом узагальнень численних дослідів і спостережень над рівновагою і рухом тіл, неодноразово підтверджених практикою. Частина цих аксіом є наслідками основних законів механіки.

Аксіома 1. Якщо на вільне абсолютнотверде тіло діють дві сили, то тіло может перебувати в рівновазі тоді і тількитоді, коли ці сили рівні за модулем (F 1 = F 2 )і спрямованівздовж однієї прямої у протилежні сторони(Рис. 2).

Аксіома 1 визначає найпростішу врівноважену систему сил, оскільки досвід показує, що вільне тіло, на яке діє лише одна сила, перебувати в рівновазі не може.

А
Ксіома 2. Дія цієї системи сил на абсолютно тверде тіло не зміниться, якщо до неї додати або від неї відібрати врівноважену систему сил.

Ця аксіома встановлює, що дві системи сил, що відрізняються на врівноважену систему, еквівалентні одна одній.

Наслідок з 1-ї та 2-ї аксіом. Точку застосування сили, що діє на абсолютно тверде тіло, можна переносити вздовж її лінії дії в будь-яку іншу точку тіла.

Насправді, нехай на тверде тіло діє прикладена в точці А сила F (рис. 3). Візьмемо на лінії дії цієї сили довільну точку В і докладемо до неї дві врівноважені сили F1 і F2 такі, що Fl = F, F2 = - F. Від цього дія сили F на тіло не зміниться. Але сили F і F2 згідно з аксіомою 1 також утворюють врівноважену систему, яка може бути відкинута. В результаті на тіло діятиме лише одна сила Fl, що дорівнює F, але прикладена в точці В.

Таким чином, вектор, що зображує силу F, можна вважати прикладеним у будь-якій точці на лінії дії сили (такий вектор називається ковзним).

Отриманий результат справедливий тільки для сил, які діють абсолютно тверде тіло. При інженерних розрахунках цим результатом можна скористатися лише тоді, коли досліджується зовнішнє вплив сил дану конструкцію, тобто. коли визначаються загальні умови рівноваги конструкції.

апример, зображений на (рис.4а) стрижень АВ перебуватиме у рівновазі, якщо F1 = F2. При перенесенні обох сил у якусь точку Зстрижня (рис. 4, б), або при перенесенні сили F1 у точку В, а сили F2 у точку А (рис. 4, в), рівновага не порушується. Проте внутрішня дія цих сил у кожному з розглянутих випадків буде різною. У першому випадку стрижень під дією прикладених сил розтягується, у другому випадку він не напружений, а в третьому випадку стрижень стискатиметься.

ксиома 3 (аксіома паралелограма сил). Дві сили,прикладені до тіла в одній точці, мають рівнодіючу,зображувану діагоналлю паралелограма, побудованого цих силах.Вектор До,рівний діагоналі паралелограма, побудованого на векторах F 1 і F 2 (рис. 5), називається геометричною сумою векторів F 1 і F 2 :

Отже, аксіому 3 можна ще формулювати так: рівнодіюча двох сил, прикладених до тіла в одній точці, дорівнює геомет ричну (векторну) суму цих сил і прикладена в тій же точці.

Аксіома 4. Два матеріальні тіла завжди діють другна друга з силами, рівними за модулем і спрямованими вздовжоднієї прямої в протилежні сторони(коротко: дія одно протидії).

акон про рівність дії та протидії є одним з основних законів механіки. З нього випливає, що якщо тіло Адіє на тіло Віз силою F, то одночасно тіло Вдіє на тіло Аіз силою F = -F(Рис. 6). Проте сили F і F" не утворюють урівноваженої системи сил, оскільки вони прикладені до різних тіл.

Властивість внутрішніх сил. По аксіомі 4 будь-які дві частинки твердого тіла будуть діяти один на одного з рівними за модулем і протилежно спрямованими силами. Так як при вивченні загальних умов рівноваги тіло можна розглядати як абсолютно тверде, то (за аксіомою 1) усі внутрішні сили утворюють за цієї умови врівноважену систему, яку (за аксіомою 2) можна відкинути. Отже, щодо загальних умов рівноваги необхідно враховувати лише зовнішні сили, що діють дане тверде тіло чи цю конструкцію.

Аксіома 5 (принцип затвердіння). Якщо будь-якеняемое (деформується) тіло під дією даної системи силзнаходиться в рівновазі, то рівновага збережеться і тоді, колитіло затвердіє (стане абсолютно твердим).

Висловлене у цій аксіомі твердження очевидне. Наприклад, ясно, що рівновага ланцюга не повинна порушитись, якщо її ланки зварити один з одним; рівновага гнучкої нитки не порушиться, якщо вона перетвориться на вигнутий твердий стрижень і т.д. Так як на тіло, що покоїться, до і після затвердіння діє одна і та ж система сил, то аксіому 5 можна ще виразити в іншій формі: при рівновазі сили, що діють на будь-яке змінне (деформируемое) тіло, задовольняють тим самим умовам, що й длятіла абсолютно твердого; проте для змінного тіла ціумови, будучи необхідними, можуть бути достатніми.Наприклад, для рівноваги гнучкої нитки під дією двох сил, прикладених до її кінців, необхідні ті ж умови, що й для жорсткого стрижня (сили повинні бути рівними по модулю і спрямовані вздовж нитки в різні боки). Але ці умови не будуть достатніми. Для рівноваги нитки потрібно, щоб прикладені сили були розтягуючими, тобто. спрямованими так, як на рис. 4а.

Принцип затвердіння широко використовується у інженерних розрахунках. Він дозволяє при складанні умов рівноваги розглядати будь-яке тіло, що змінюється (ремінь, трос, ланцюг і т. п.) або будь-яку змінну конструкцію як абсолютно жорсткі і застосовувати до них методи статики твердого тіла. Якщо отриманих таким шляхом рівнянь для вирішення задачі виявляється недостатньо, то додатково складають рівняння, що враховують умови рівноваги окремих частин конструкції, або їх деформації.

Тема № 2. ДИНАМІКА ТОЧКИ

Головна > Електростанції

Лекції з технічної механіки 2 курс. Теми завдань для самостійного вивчення з теоретичної механіки з прикладами висвітлення

Основні поняття та аксіоми статики

Рекомендуємо також