Плоский поперечний вигин. Чистий вигин

Ми почнемо з найпростішого випадку, так званого чистого вигину.

Чистий вигин є окремий випадок вигину, при якому в перерізах балки поперечна сила дорівнює нулю. Чистий вигин може мати місце лише в тому випадку, коли власна вага балки настільки мала, що його впливом можна знехтувати. Для балок на двох опорах приклади навантажень, що викликають чистий

вигин, представлені на рис. 88. На ділянках цих балок, де Q = 0 і, отже, М = const; має місце чистий вигин.

Зусилля в будь-якому перерізі балки при чистому вигині зводяться до пари сил, площина дії якої проходить через вісь балки, а момент постійний.

Напруги можуть бути визначені на підставі таких міркувань.

1. Дотичні складові зусиль по елементарних майданчиках у поперечному перерізі балки не можуть бути приведені до пари сил, площина дії якої перпендикулярна до площини перерізу. Звідси випливає, що згинальне зусилля у перерізі є результатом дії з елементарних майданчиків

лише нормальних зусиль, тому при чистому вигині і напруги зводяться лише до нормальних.

2. Щоб зусилля на елементарних майданчиках звелися лише до пари сил, серед них мають бути як позитивні, так і негативні. Тому мають бути як розтягнуті, і стислі волокна балки.

3. Зважаючи на те, що зусилля в різних перерізах однакові, то і напруги у відповідних точках перерізів однакові.

Розглянемо якийсь елемент поблизу поверхні (рис. 89, а). Так як по нижній його грані, що збігається з поверхнею балки, сили не прикладені, то на ній немає і напружень. Тому і на верхній грані елемента немає напруг, так як інакше елемент не знаходився б і рівновазі, розглядаючи сусідній з ним по висоті елемент (рис. 89, б), прийдемо до

Такому ж висновку і т. д. Звідси випливає, що по горизональним граням будь-якого елемента напруги відсутні. Розглядаючи елементи, що входять до складу горизонтального шару, починаючи з елемента біля поверхні балки (рис. 90), прийдемо до висновку, що і з бокових вертикальних граней будь-якого елемента напруги відсутні. Таким чином, напружений стан будь-якого елемента (рис. 91,а), а в межі та волокна, має бути представлений так, як це показано на рис. 91,б, тобто воно може бути або осьовим розтягуванням, або осьовим стисненням.

4. У силу симетрії докладання зовнішніх сил перетин по середині довжини балки після деформації має залишитися пло- ським і нормальним до осі балки (рис. 92, а). З цієї ж причини і перерізу в чвертях довжини балки теж залишаються плоскими і нормальними до осі балки (рис. 92, б), якщо тільки крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими і нормальними до осі балки. Аналогічний висновок справедливий і для перерізів у восьмих довжинах балки (рис. 92, в) тощо.

справедливим твердження, що воно після деформації залишається плоским і нормальним до осі вигнутої балки. Але в такому випадку очевидно, що зміна подовжень волокон балки по її висоті має відбуватися не тільки безперервно, але і монотонно. Якщо назвати шаром сукупність волокон, що мають однакові подовження, то зі сказаного слід, що розтягнуті і стислі волокна балки повинні розташовуватися по різні боки від шару, в якому подовження волокон дорівнюють нулю. Будемо називати волокна, подовження яких дорівнюють нулю, нейтральними; шар, що складається з нейтральних волокон, - нейтральним шаром; лінію перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки - нейтральною лінією цього перерізу. Тоді на підставі попередніх міркувань можна стверджувати, що при чистому вигині балки в кожному її перерізі є нейтральна лінія, яка ділить цей переріз на дві частини (зони): зону розтягнутих волокон (розтягнуту зону) і зону стиснених волокон (стиснуту зону ). Відповідно до цього в точках розтягнутої зони січення повинні діяти нормальні розтягуючі напруги, в точках стиснутої зони - стискаючі напруги, а в точках нейтральної лінії напруги рівні нулю.

Таким чином, при чистому згині балки постійного січення:

1) у перерізах діють лише нормальні напруження;

2) весь переріз може бути розбитий на дві частини (зони) - розтягнуту та стиснуту; кордоном зон є нейтральна лінія перерізу, у точках якої нормальні напруги дорівнюють нулю;

3) будь-який поздовжній елемент балки (в межі будь-яке волокно) піддається осьовому розтягуванню або стиску, так що сусідні волокна один з одним не взаємодіють;

4) якщо крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими та нормальними до осі, то і всі її поперечні перерізи залишаються плоскими та нормальними до осі зігнутої балки.

Напружений стан балки при чистому вигині

Розглянемо елемент балки, схильної до чистого вигину, заклю- чений між перерізами m - m і n - n, які відстоять одне від іншого на нескінченно малому відстані dx (рис. 93). Внаслідок положення (4) попереднього пункту, перерізу m - m і n - n, що були до деформації паралельними, після вигину, залишаючись плоскими, будуть складати кут dQ і перетинатися по прямій, що проходить через точку С, яка є центром кривизни нейтрального волокна NN. Тоді укладена між ними частина АВ волокна, що знаходиться на відстані z від нейтрального волокна (позитивний напрямок осі z приймаємо у бік випуклості балки при згині), перетвориться після деформації в дугу А "В". Відрізок нейтрального волокна О1О2, перетворившись на дугу О1О2 не змінить своєї довжини, тоді як волокно АВ отримає подовження:

до деформації

після деформації

де р – радіус кривизни нейтрального волокна.

Тому абсолютне подовження відрізка АВ дорівнює

та відносне подовження

Оскільки згідно з положенням (3) волокно АВ піддається осьовому розтягуванню, то при пружній деформації

Звідси видно, що нормальні напруги за висотою балки розподіляються за лінійним законом (рис. 94). Так як рівно-діюча всіх зусиль по всіх елементарних майданчиках перетину повинна дорівнювати нулю, то

звідки, підставляючи значення (5.8), знайдемо

Але останній інтеграл є статичний момент щодо осі Оу, перпендикулярної до площини дії згинальних зусиль.

Внаслідок рівності його нулю ця вісь повинна проходити через центр тяжкості Про перерізу. Тамим чином, нейтральна лінія перерізу балки є пряма уу, перпендикулярна до площини дії згинальних зусиль. Її називають нейтральною віссю перерізу балки. Тоді (5.8) слід, що напруги в точках, що лежать на однаковій відстані від нейтральної осі, однакові.

Випадок чистого згину, при якому згинальні зусилля діють тільки в одній площині, викликаючи вигин тільки в цій площині, є чистим плоским вигином. Якщо названа площина проходить через вісь Oz, то момент елементарних зусиль щодо цієї осі повинен дорівнювати нулю, тобто.

Підставляючи сюди значення σ (5.8), знаходимо

Стоячий у лівій частині цієї рівності інтеграл, як відомо, є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей у і z, так що

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю, називають головними осями інерції цього перерізу. Якщо вони, крім того, проходять через центр тяжкості перерізу, їх можна назвати головними центральними осями інерції перерізу. Таким чином, при плоскому чистому згині напрям площини дії згинальних зусиль і нейтральна вісь перерізу є головними центральними осями інерції останнього. Іншими словами, для отримання плоского чистого вигину балки навантаження до неї не може прикладатися довільно: вона повинна зводитися до сил, що діють у площині, яка проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізів балки; при цьому інша головна центральна вісь інерції буде нейтральною віссю перерізу.

Як відомо, у разі перерізу, симетричного щодо будь-якої осі, вісь симетрії є однією з головних центральних осей його інерції. Отже, у цьому окремому випадку ми явно отримаємо чистий вигин, доклавши відповідні анавантаження в площині, що проходить через поздовжню вісь балки і вісь симетрії її перерізу. Пряма, перпендикулярна до осі симетрії і проходить через центр тяжкості перерізу, є нейтральною віссю цього перерізу.

Встановивши положення нейтральної осі, неважко знайти і величину напруги в будь-якій точці перерізу. Справді, оскільки сума моментів елементарних зусиль щодо нейтральної осі уу повинна дорівнювати згинальний момент, то

звідки, підставляючи значення σ із (5.8), знайдемо

Оскільки інтеграл є. моментом інерції перерізу щодо осі уу, то

і з виразу (5.8) отримаємо

Твір ЕI У називають жорсткістю балки при згинанні.

Найбільше розтягує і найбільше по абсолютній величині стискає напруги діють у точках перерізу, котрим абсолютна величина z найбільша, т. е. у точках, найвіддаленіших від нейтральної осі. При позначеннях, рис. 95 маємо

Величину Jy/h1 називають моментом опору перерізу розтягу і позначають Wyр; аналогічно, Jy/h2 називають моментом опору перерізу стиску

і позначають Wyc,так що

і тому

Якщо нейтральна вісь є, віссю симетрії перерізу, то h1 = h2 = h/2 і, отже, Wyp = Wyc, тому їх розрізняти немає потреби, і користуються одним позначенням:

називаючи W y просто моментом опору перерізу. Отже, у разі перерізу, симетричного щодо нейтральної осі,

Всі наведені вище висновки отримані на підставі припущення, що поперечні перерізи балки, при згині залишаються пласкими і нормальними до її осі (гіпотеза плоских перерізів). Як було показано, це припущення справедливе лише в тому випадку, коли крайні (кінцеві) перерізи балки при згинанні залишаються плоскими. З іншого боку, з гіпотези плоских перерізів слід, що елементарні зусилля в таких перерізах повинні розподілятися за лінійним законом. Тому для справедливості отриманої теорії плоского чистого вигину необхідно, щоб згинальні моменти на кінцях балки були прикладені у вигляді елементарних сил, розподілених по висоті перерізу за лінійним законом (рис. 96), що збігається з законом розподілу напруг по висоті перерізу балки. Однак на підставі принципу Сен-Венана можна стверджувати, що зміна способу застосування згинальних моментів на кінцях балки викликає лише місцеві деформації, вплив яких позначиться лише на деякій відстані від цих кінців (приблизно дорівнює висоті перерізу). Перетину ж, що перебувають у всій іншій частині довжини балки, залишаться плоскими. Отже, викладена теорія плоского чистого вигину при будь-якому способі застосування згинальних моментів справедлива тільки в межах середньої частини довжини балки, що знаходиться від її кінців на відстанях, приблизно рівних висоті перерізу. Звідси ясно, що ця теорія явно не застосовна, якщо висота перерізу перевищує половину довжини або прольоту балки.

Плоский поперечний вигин балок. Внутрішні зусилля при згинанні. Диференціальні залежності внутрішніх зусиль. Правила перевірки епюр внутрішніх зусиль при згинанні. Нормальні та дотичні напруги при згині. Розрахунок на міцність за нормальними та дотичними напругами.

10. ПРОСТІ ВИДИ ПРОТИ. ПЛОСКИЙ ВИГИБ

10.1. Загальні поняття та визначення

Вигин – це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами у площинах, що проходять через подовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі розглядатимемо прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

У опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косий та складний.

Плоский вигин - вигин, при якому всі зусилля, що згинають балку, лежать в одній із площин симетрії балки (в одній із головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів та геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин - вигин, при якому навантаження діють в одній площині, що не збігається з головними площинами інерції.

Складний вигин - вигин, при якому навантаження діють у різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при згинанні

Розглянемо два характерні випадки вигину: у першому – консольна балка згинається зосередженим моментом M o ; у другому – зосередженою силою F .

Використовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому й іншому випадку:

Інші рівняння рівноваги, очевидно, тотожно рівні нулю.

Таким чином, у загальному випадку плоского вигину в перерізі балки із шести внутрішніх зусиль виникає два – згинальний моментМ z і поперечна сила Q y (або при згині щодо іншої головної осі – згинальний момент М y поперечна сила Q z ).

При цьому, відповідно до двох розглянутих випадків навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

Чистий вигин - плоский вигин, при якому в перерізах стрижня із шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. перший випадок).

Поперечний вигин- Вигин, при якому в перерізах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. другий випадок).

Строго кажучи, до найпростіших видів опору належить лише чистий вигин; Поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль дотримуватимемося наступного правила знаків:

1) поперечна сила Q y вважається позитивною, якщо вона прагне повернути аналізований елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) згинальний моментМ z вважається позитивним, якщо при вигині елемента балки верхні волокна елемента виявляються стислими, а нижні – розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, розв'язання задачі щодо визначення внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за наступним планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (зазначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не шукати, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки застосування сил, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перерізах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки кожному з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при згині

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями та зовнішніми навантаженнями при згині, а також характерні особливості епюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їхню правильність. Для зручності запису будемо позначати: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Виділимо на ділянці балки з довільним навантаженням у місці, де немає зосереджених сил та моментів, малий елемент dx . Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx перебуватиме в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів та зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M в загальному випадку змінюються вздовж осі балки, то в перерізах елемента dx виникатимуть поперечні сили Q і Q + dQ, а також згинальні моменти M і M + dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM) = 0.

З другого рівняння, нехтуючи доданком q · dx · (dx /2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Співвідношення (10.1), (10.2) та (10.3) називаютьдиференціальними залежностями Д. І. Журавського при згинанні.

Аналіз наведених вище диференціальних залежностей при згині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів та поперечних сил:

а – на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M – похилими прямими;

б – на ділянках, де до балки прикладено розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M – квадратичними параболами. При цьому якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість па-

Роболи буде направлена за напрямом дії q а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію;

в – у перерізах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть стрибки на величину та у напрямку даної сили, але в епюрі М – перегини, вістрям спрямовані у бік дії цієї сили; г – у перерізах, де до балки прикладається зосереджений момент на епю-

ре Q змін нічого очікувати, але в епюрі М – стрибки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q> 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальна напруга при чистому згині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского згину балки та виведемо формулу для визначення нормальних напруг для даного випадку. Зазначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальних напруг при чистому згині, якщо вирішувати це завдання методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а – гіпотеза плоских перерізів (Гіпотеза Бернуллі)

– перерізи плоскі до деформації залишаються плоскими та після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі, будуть розтягуватися, а з іншого – стискатися; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б – гіпотеза про сталість нормальних напряже-

ній - напруги, що діють на однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в – гіпотеза про відсутність бічних тисків – з-

сиві поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

Вигином називається вид деформації, при якому викривляється поздовжня вісь бруса. Прямі бруси, що працюють на вигин, називаються балками. Прямим вигином називається вигин, при якому зовнішні сили, що діють на балку, лежать в одній площині (силовій площині), що проходить через подовжню вісь балки та головну центральну вісь інерції поперечного перерізу.

Вигин називається чистимякщо в будь-якому поперечному перерізі балки виникає тільки один згинальний момент.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки одночасно діють згинальний момент та поперечна сила, називається поперечним . Лінія перетину силової площини та площини поперечного перерізу називається силовою лінією.

Внутрішні силові фактори при згинанні балки.

При плоскому поперечному згині в перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила Q і згинальний момент М. Для їх визначення використовують метод перерізів (див. лекцію 1). Поперечна сила Q у перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від перерізу.

Правило знаків для поперечних сил Q:

Згинальний момент М у перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі моментів щодо центру тяжкості цього перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від перетину.

Правило знаків для згинальних моментів M:

Диференціальні залежності Журавського.

Між інтенсивністю q розподіленого навантаження, виразами для поперечної сили Q та згинального моменту М встановлені диференціальні залежності:

На основі цих залежностей можна виділити наступні загальні закономірності епюр поперечних сил Q і згинальних моментів М:

Особливості епюр внутрішніх силових факторів при згинанні.

1. На ділянці балки, де немає розподіленого навантаження, епюра Q представлена прямою лінією , паралельній основі епюре, а епюра М - похилої прямої (рис. а).

2. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q має бути стрибок , рівний значенню цієї сили, але в епюрі М - точка перелому (Рис. А).

3. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, значення Q не змінюється, а епюра М має стрибок , що дорівнює значенню цього моменту, (рис. 26, б).

4. На ділянці балки з розподіленим навантаженням інтенсивності q епюра Q змінюється за лінійним законом, а епюра М - за параболічним, причому опуклість параболи спрямована назустріч напрямку розподіленого навантаження (Рис. в, г).

5. Якщо в межах характерної ділянки епюра Q перетинає базу епюри, то в перерізі, де Q = 0, момент, що згинає, має екстремальне значення M max або M min (рис. г).

Нормальна напруга при згині.

Визначаються за такою формулою:

Моментом опору перерізу вигину називається величина:

Небезпечним перетиномпри згині називається поперечний переріз бруса, в якому виникає максимальна нормальна напруга.

Дотичні напруження при прямому згині.

Визначаються за формулі Журавського для дотичних напруг при прямому згині балки:

де S отс - статичний момент поперечної площі відсіченого шару поздовжніх волокон щодо нейтральної лінії.

Розрахунки на міцність при згинанні.

1. При перевірному розрахунку визначається максимальна розрахункова напруга, яка порівнюється з напругою, що допускається:

2. При проектному розрахунку підбір перерізу бруса проводиться з умови:

3. При визначенні допустимого навантаження допустимий згинальний момент визначається за умови:

Переміщення при згинанні.

Під впливом навантаження при згині вісь балки викривляється. При цьому спостерігається розтягнення волокон на опуклій і стисненні на увігнутій частинах балки. Крім того, відбувається вертикальне переміщення центрів тяжкості поперечних перерізів та їх поворот щодо нейтральної осі. Для характеристики деформації при згині використовують такі поняття:

Прогин балки Y- переміщення центру тяжкості поперечного перерізу балки у напрямі, перпендикулярному до її осі.

Прогин вважають позитивним, якщо рух центру тяжкості відбувається вгору. Величина прогину змінюється довжиною балки, тобто. y = y(z)

Кут повороту перерізу- Кут θ, на який кожен перетин повертається по відношенню до свого початкового положення. Кут повороту вважають позитивним при повороті перерізу проти перебігу годинної стрілки. Розмір кута повороту змінюється по довжині балки, будучи функцією θ = θ (z).

Найпоширенішими способами визначення переміщень є метод Мореі правило Верещагіна.

Метод мору.

Порядок визначення переміщень методом Мора:

1. Будується «допоміжна система» та навантажується одиничним навантаженням у точці, де потрібно визначити переміщення. Якщо визначається лінійне переміщення, то його напрямі прикладається одинична сила, щодо кутових переміщень – одиничний момент.

2. Для кожної ділянки системи записуються вирази згинальних моментів М f від прикладеного навантаження і М 1 від одиничного навантаження.

3. По всіх ділянках системи обчислюють і підсумовують інтеграли Мора, отримуючи в результаті переміщення:

4. Якщо обчислене переміщення має позитивний знак, це означає, що його напрямок збігається з напрямком одиничної сили. Негативний знак вказує на те, що дійсне переміщення протилежне до напрямку одиничної сили.

Правило Верещагіна.

Для випадку, коли епюра згинальних моментів від заданого навантаження має довільне, а від одиничного навантаження – прямолінійне обрис, зручно використовувати графоаналітичний спосіб, або правило Верещагіна.

де A f - площа епюри згинального моменту М f від заданого навантаження; y c – ордината епюри від одиничного навантаження під центром тяжкості епюри Мf; EI x – жорсткість перерізу ділянки балки. Обчислення за цією формулою виробляються по ділянках, кожному з яких прямолінійна епюра має бути без переломів. Величина (A f * y c) вважається позитивною, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону від балки, негативною, якщо вони розташовуються по різні боки. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили (або моменту). Складна епюра М f повинна бути розбита на прості фігури (застосовується так зване "розшарування епюри"), для кожної з яких легко визначити ординату центру тяжкості. У цьому площа кожної фігури множиться на ординату під її центром тяжкості.

Вигиномназивається деформація стрижня, що супроводжується зміною кривизни його осі. Стрижень, що працює на вигин, називається балкою.

Залежно від способів застосування навантаження та способів закріплення стрижня можуть виникати різні види вигину.

Якщо під дією навантаження у поперечному перерізі стрижня виникає тільки згинальний момент, то вигин називають чистим.

Якщо в поперечних перерізах поряд із згинальними моментами виникають і поперечні сили, то вигин називають поперечним.

Якщо зовнішні сили лежать у площині, що проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу стрижня, вигин називається простимабо плоским. В цьому випадку навантаження і вісь, що деформується, лежать в одній площині (рис. 1).

Рис. 1

Щоб балка могла сприймати навантаження в площині, вона повинна бути закріплена за допомогою опор: шарнірно-рухливим, шарнірно-нерухомим, закладенням.

Балка повинна бути геометрично незмінною, при цьому найменша кількість зв'язків дорівнює 3. Приклад геометрично системи, що змінюється, наведено на рис.2а. Приклад геометрично незмінних систем - рис. 2б, ст.

а Б В)

В опорах виникають реакції, що визначаються з умов рівноваги статики. Реакції у опорах є зовнішніми навантаженнями.

Внутрішні зусилля при згинанні

Стрижень, навантажений силами перпендикулярними до поздовжньої осі балки, відчуває плоский вигин (рис. 3). У поперечних перерізах виникають два внутрішні зусилля: поперечна сила Q yі згинальний момент Мz.

Внутрішні зусилля визначаються шляхом перерізів. На відстані x від крапки А площиною перпендикулярної осі X стрижень розсікається на дві ділянки. Відкидається одна із частин балки. Взаємодія частин балки замінюється внутрішніми зусиллями: згинальним моментом M zта поперечною силою Q y(Рис. 4).

Внутрішні зусилля M zі Q yперетин визначаються з умов рівноваги.

Складається рівняння рівноваги для частини З:

∑y = RA – P 1 – Q y = 0.

Тоді Q y = R A – P1.

Висновок. Поперечна сила в будь-якому перерізі балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, що лежать по один бік від проведеного перерізу. Поперечна сила вважається позитивною, якщо обертає стрижень щодо точки перетину за годинниковою стрілкою.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – M z = 0

Тоді M z = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Визначення реакцій R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Побудова епюр першому ділянці 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z = R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Побудова епюр другою ділянці 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; M z = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 M z(0) = 0 x 2 = bM z(b) =

При побудові M z позитивні координати відкладатимуться у бік розтягнутих волокон.

Перевірка епюр

1. На епюрі Q yрозриви можуть бути тільки в місцях застосування зовнішніх сил і величина стрибка повинна відповідати їх величині.

+ = = P

2. На епюрі M zрозриви виникають у місцях застосування зосереджених моментів і величина стрибка дорівнює їх величині.

Диференціальні залежності міжM, Qіq

Між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження встановлені залежності:

q = , Q y =

де q – інтенсивність розподіленого навантаження,

Перевірка міцності балок при згині

Для оцінки міцності стрижня при вигині та підбору перерізу балки використовуються умови міцності за нормальними напругами.

Згинальний момент є рівнодіючим моментом нормальних внутрішніх сил, розподілених по перерізу.

s = × y,

де s - нормальна напруга в будь-якій точці поперечного перерізу,

y- Відстань від центру тяжкості перерізу до точки,

M z- згинальний момент, що діє в перерізі,

J z- осьовий момент інерції стрижня.

Для забезпечення міцності розраховуються максимальні напруження, що виникають у точках перерізу, найбільш віддалених від центру тяжіння y = y max

s max = × y max,

= W zта s max = .

Тоді умова міцності за нормальними напругами має вигляд:

s max = ≤ [s],

де [s] - допустима напруга при розтягування.

Завдання. Побудувати епюри Q та M для статично невизначеної балки.Обчислимо балки за формулою:

n= Σ R- Ш— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один разстатично невизначена, значить одназ реакцій є «зайвої» невідомої. За «зайву» невідому приймемо реакцію опори В — R В.

Статично визначна балка, яка виходить із заданим шляхом видалення «зайвого» зв'язку називається основною системою (Б).

Тепер цю систему слід подати еквівалентноїзаданою. Для цього завантажуємо основну систему заданоюнавантаженням, а в точці В докладемо «зайву» реакцію R В(Рис. в).

Однак для еквівалентностіцього недостатньо, оскільки в такій балці точка В може переміщатися по вертикалі, а заданій балці (рис. а ) такого статися не може. Тому додаємо умова, що прогин т. Вв основній системі повинен дорівнювати 0. Прогин т.п. В складається з прогину від чинного навантаження Δ F і от прогину від «зайвої» реакції Δ R.

Тоді складаємо умова спільності переміщень:

Δ F + Δ R=0 (1)

Тепер залишається вирахувати ці переміщення (прогини).

Завантажуємо основнусистему заданим навантаженням(Рис .г) і побудуємо вантажну епюруМ F (Рис. д ).

В т.е. В додамо і побудуємо еп. (Рис. е, ж ).

За формулою Сімпсона визначимо прогин від чинного навантаження.

Тепер визначимо прогин від дії «зайвої» реакції R В , для цього завантажуємо основну систему R В (Рис. з ) і будуємо епюру моментів від її дії М R (Рис. і ).

Складаємо та вирішуємо рівняння (1):

Побудуємо еп. Q і М (Рис. до,л ).

Будуємо епюру Q.

Побудуємо епюру М методом характерних точок. Розставляємо точки на балці - це точки початку та кінця балки ( D,A ), зосередженого моменту ( B ), а також відзначимо як характерну точку середину рівномірно розподіленого навантаження ( K ) - це додаткова точка для побудови параболічної кривої.

Визначаємо згинальні моменти в точках. Правило знаківдив. - .

Момент у т.ч. В визначатимемо так. Спочатку визначимо:

Крапку До візьмемо у серединіділянки з рівномірно розподіленим навантаженням.

Будуємо епюру M . Ділянка АВ – параболічна крива(правило «парасольки»), ділянка ВD – пряма похила лінія.

Для балки визначити опорні реакції та побудувати епюри згинальних моментів. М) та поперечних сил ( Q).

Позначаємо опорилітерами А і В і спрямовуємо опорні реакції R А і R В .

Складаємо рівняння рівноваги.

Перевірка

Записуємо значення R А і R В на розрахункову схему.

2. Побудова епюри поперечних силметодом перерізів. Перетини розставляємо на характерних ділянках(між змінами). По розмірній нитці – 4 ділянки, 4 перерізи.

січ. 1-1 хід ліворуч.

Перетин проходить дільницею з рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 1 вліво від перетину до початку ділянки. Довжина ділянки 2м. Правило знаківдля Q - Див.

Будуємо за знайденим значенням епюруQ.

січ. 2-2 хід праворуч.

Перетин знову проходить по ділянці рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 2 праворуч від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 6м.

Будуємо епюру Q.

січ. 3-3 хід праворуч.

січ. 4-4 хід праворуч.

Будуємо епюруQ.

3. Побудова епюри Мметодом характерних точок.

Характерна точка- Точка, яка-небудь помітна на балці. Це точки А, В, З, D , а також точка До , в якій Q=0 і згинальний момент має екстремум. також в серединіконсолі поставимо додаткову точку Е, оскільки на цій ділянці під рівномірно розподіленим навантаженням епюра Мописується кривийлінією, а вона будується, як мінімум, за 3 точкам.

Отже, точки розставлені, приступаємо до визначення в них значень згинальних моментів. Правило знаків – див..

Ділянки NA, AD – параболічна крива(правило «парасолька» у механічних спеціальностей або «правило вітрила» у будівельних), ділянки DС, СВ – прямі похилі лінії.

Момент у точці D слід визначати як ліворуч, так і праворучвід крапки D . Сам момент у ці висловлювання не входить. У точці D отримаємо двазначення з різницеюна величину m – стрибокйого величину.

Тепер слід визначити момент у точці До (Q=0). Однак спочатку визначимо положення точки До , позначивши відстань від неї до початку ділянки невідомою х .

Т. До належить другомухарактерній ділянці, його рівняння для поперечної сили(див. вище)

Але поперечна сила у т.ч. До дорівнює 0 , а z 2 дорівнює невідомому х .

Отримуємо рівняння:

Тепер, знаючи х, визначимо момент у точці До з правого боку.

Будуємо епюру М . Побудову виконаємо для механічнихспеціальностей, відкладаючи позитивні значення вгорувід нульової лінії та використовуючи правило «парасольки».

Для заданої схеми консольної балки потрібно побудувати епюри поперечної сили Q і згинального моменту M, виконати проектувальний розрахунок, підібравши круглий переріз.

Матеріал – дерево, розрахунковий опір матеріалу R=10МПа, М=14кН·м, q=8кН/м

Будувати епюри в консольній балці з жорстким закладенням можна двома способами - звичайним, попередньо визначивши опорні реакції, і без визначення опорних реакцій, якщо розглядати ділянки, йдучи від вільного кінця балки і відкидаючи ліву частину із закладенням. Побудуємо епюри звичайнимспособом.

1. Визначимо опорні реакції.

Поступово розподілене навантаження qзамінимо умовною силою Q= q·0,84=6,72 кН

У жорсткому закладенні три опорні реакції — вертикальна, горизонтальна і момент, у разі горизонтальна реакція дорівнює 0.

Знайдемо вертикальнуреакцію опори R Aі опорний момент М Aіз рівнянь рівноваги.

На перших двох ділянках праворуч поперечна сила відсутня. На початку ділянки з рівномірно розподіленим навантаженням (праворуч) Q=0, в затишку - величині реакції R A.
3. Для побудови складемо вирази їх визначення на ділянках. Епюру моментів збудуємо на волокнах, тобто. вниз.

(Епюра одиничних моментів вже була побудована раніше)

Вирішуємо рівняння (1), скорочуємо на EI

Статична невизначеність розкрита, Значення «зайвої» реакції знайдено. Можна приступати до побудови епюр Q та M для статично невизначеної балки... Замальовуємо задану схему балки та вказуємо величину реакції R b. У цій балці реакції в закладенні можна не визначати, якщо йти ходом праворуч.

Побудова епюри Qдля статично невизначеної балки

Будуємо епюр Q.

Побудова епюри М

Визначимо М у точці екстремуму – у точці До. Спочатку визначимо її становище. Позначимо відстань до неї як невідоме х». Тоді

Будуємо епюру М.

Визначення дотичних напруг у двотавровому перерізі. Розглянемо перетин двотавра. S x = 96,9 см 3; Yх = 2030 см 4; Q=200 кН

Для визначення дотичної напруги застосовується формуладе Q - поперечна сила в перерізі, S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x - момент інерції всього поперечного перерізу, b - ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Проектний та перевірочний розрахунки. Для балки з побудованими епюрами внутрішніх зусиль підібрати перетин у вигляді двох швелерів з умови міцності за нормальними напругами. Перевірити міцність балки, використовуючи умову міцності за дотичною напругою та енергетичний критерій міцності. Дано:

Покажемо балку із побудованими епюрами Q та М

Згідно з епюрою згинальних моментів небезпечним є переріз С,в якому М С = М max = 48,3 кНм.

Умова міцності за нормальними напругамидля даної балки має вигляд max = M C /W X ≤σ adm .Потрібно підібрати перетин із двох швелерів.

Визначимо необхідне розрахункове значення осьового моменту опору перерізу:

Для перерізу у вигляді двох швелерів згідно приймаємо два швелери №20а, момент інерції кожного швелера I x = 1670см 4тоді осьовий момент опору всього перерізу:

Перенапруга (недонапруга)у небезпечних точках порахуємо за формулою: Тоді отримаємо недонапруження:

Тепер перевіримо міцність балки, виходячи з умови міцності щодо дотичних напруг.Згідно епюре поперечних сил небезпечнимиє перерізи на ділянці ВС та переріз D.Як видно з епюри, Q max =48,9 кН.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

Для швелера №20 а: статичний момент площі S x 1 =95,9 см 3 момент інерції перерізу I x 1 =1670 см 4 товщина стінки d 1 =5,2 мм, середня товщина полиці t 1 =9,7 мм , Висота швелера h 1 = 20 см, ширина полиці b 1 = 8 см.

Для поперечного перерізу з двох швелерів:

S x = 2S x 1 = 2 · 95,9 = 191,8 см 3

I x = 2I x 1 = 2 · 1670 = 3340 см 4

b = 2d 1 = 2 · 0,52 = 1,04 см.

Визначаємо значення максимальної дотичної напруги:

τ max =48,9·10 3 ·191,8·10 −6 /3340·10 −8 ·1,04·10 −2 =27МПа.

Як видно, τ max<τ adm (27МПа)<75МПа).

Отже, умова міцності виконується.

Перевіряємо міцність балки за енергетичним критерієм.

З розгляду епюр Q і Мвипливає, що небезпечним є переріз,в якому діють M C = M max = 48,3 кНм і Q C = Q max = 48,9 кН.

Проведемо аналіз напруженого стану в точках перерізу

Визначимо нормальні та дотичні напругина кількох рівнях (позначено на схемі перерізу)

Рівень 1-1: y 1-1 = h 1/2 = 20/2 = 10см.

Нормальні та дотичні напруги:

Головні напруги:

Рівень 2-2: y 2-2 = h 1 / 2-t 1 = 20/2-0,97 = 9,03см.

Головні напруження:

Рівень 3-3: y 3-3 = h 1 / 2-t 1 = 20/2-0,97 = 9,03см.

Нормальні та дотичні напруги: