Косимназивають такий вид вигину, при якому всі зовнішні навантаження, що викликають вигин, діють в одній силовій площині, що не збігається з жодною з головних площин.

Розглянемо брус, защемлений одним кінцем і завантажений на вільному кінці силою F(Рис. 11.3).

Рис. 11.3. Розрахункова схема до косого вигину

Зовнішня сила Fприкладена під кутом до осі y.Розкладемо силу Fна складові, що лежать у основних площинах бруса, тоді:

Згинальні моменти у довільному перерізі, взятому на відстані zвід вільного кінця, будуть рівні:

Таким чином, у кожному перерізі бруса одночасно діють два згинальні моменти, які створюють вигин у головних площинах. Тому косий згин можна розглядати як окремий випадок просторового згину.

Нормальна напруга в поперечному перерізі бруса при косому згині визначається за формулою

Для знаходження найбільших розтягуючих і стискаючих нормальних напруг при косому згині необхідно вибрати небезпечний переріз бруса.

Якщо згинальні моменти | М х| та | М у| досягають найбільших значень у деякому перерізі, це і є небезпечний переріз. Таким чином,

До небезпечних перерізів відносяться також перерізи, де згинальні моменти | М х| та | М у| одночасно досягають чималих значень. Тому при косому вигині може бути кілька небезпечних перерізів.

У загальному випадку, коли - Несиметричний переріз, тобто нейтральна вісь не перпендикулярна силовій площині. Для симетричних перерізів косий вигин неможливий.

11.3. Положення нейтральної осі та небезпечних точок

у поперечному перерізі. Умова міцності при косому вигині.

Визначення розмірів поперечного перерізу.

Переміщення при косому вигині

Положення нейтральної осі при косому вигині визначається за формулою

де кут нахилу нейтральної осі до осі х;

Кут нахилу силової площини до осі у(Рис. 11.3).

У небезпечному перерізі бруса (у закладенні, рис. 11.3) напруги в кутових точках визначаються за формулами:

При косому згині, як і при просторовому, нейтральна вісь ділить переріз бруса на дві зони – зону розтягування та зону стиснення. Для прямокутного перерізу ці зони показано на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Схема перерізу защемленого бруса при косому вигині

Для визначення екстремальних розтягуючих та стискаючих напруг необхідно провести дотичні до перетину в зонах розтягування та стиснення, паралельні нейтральній осі (рис. 11.4).

Найбільш віддалені від нейтральної осі точки торкання Аі З– небезпечні точки в зонах стиснення та розтягування відповідно.

Для пластичних матеріалів, коли розрахункові опори матеріалу бруса при розтягуванні та стиску рівні між собою, тобто [ σ р] = = [σ c] = [σ ], в небезпечному перерізі визначається і умову міцності можна у вигляді

Для симетричних перерізів (прямокутник, двотавровий перетин) умова міцності має такий вигляд:

З умови міцності випливає три види розрахунків:

Перевірочний;

Проектувальний – визначення геометричних розмірів перерізу;

Визначення несучої здатності бруса (навантаження, що допускається).

Якщо відоме співвідношення між сторонами поперечного перерізу, наприклад, для прямокутника h = 2b, то з умови міцності защемленого бруса можна визначити параметри bі hнаступним чином:

або

остаточно.

Аналогічним чином визначаються параметри перетину. Повне переміщення перерізу бруса при косому згині з урахуванням принципу незалежності дії сил визначається як геометрична сума переміщень в основних площинах.

Визначимо рух вільного кінця бруса. Скористаємося способом Верещагіна. Вертикальне переміщення знаходимо перемноженням епюр (рис. 11.5) за формулою

Аналогічно визначимо горизонтальне переміщення:

Тоді повне переміщення визначимо за формулою

Рис. 11.5. Схема визначення повного переміщення

при косому вигині

Напрямок повного переміщення визначається кутом β (Рис. 11.6):

Отримана формула ідентична формулі визначення положення нейтральної осі перерізу бруса. Це дозволяє зробити висновок, що , тобто напрямок прогину перпендикулярно до нейтральної осі. Отже, площина прогинів не збігається із площиною навантаження.

Рис. 11.6. Схема визначення площини прогину

при косому вигині

Кут відхилення площини прогину від головної осі yбуде тим більшим, чим більшим буде переміщення. Тому для бруса з пружним перетином, у якого ставлення J x/J yвелике, косий вигин небезпечний, так як викликає великі прогини та напруги в площині найменшої жорсткості. Для бруса, у якого J x= J y, сумарний прогин лежить у силовій площині та косий вигин неможливий.

11.4. Нецентрене розтягування та стиснення бруса. Нормальні

напруги в поперечних перерізах бруса

Позацентровим розтягуванням (стиском) називається такий вид деформації, при якому сила, що розтягує (стискає) паралельна поздовжній осі бруса, але точка її застосування не співпадає з центром тяжкості поперечного перерізу.

Такий тип завдань часто застосовується у будівництві при розрахунку колон будівель. Розглянемо позацентрове стиснення бруса. Позначимо координати точки додатка сили Fчерез х Fі у F ,а головні осі поперечного перерізу – через х та у.Ось zнаправимо таким чином, щоб координати х Fі у Fбули позитивними (рис. 11.7, а)

Якщо перенести силу Fпаралельно самій собі з точки Зв центр тяжкості перерізу, то позацентрове стиск можна представити як суму трьох простих деформацій: стискування та вигину у двох площинах (рис. 11.7, б). При цьому маємо:

Напруги в довільній точці перерізу при позацентровому стисканні, що лежить у першому квадранті, з координатами x та yможна знайти виходячи з принципу незалежності дії сил:

квадрати радіусів інерції перерізу, то

де xі y– координати точки перерізу, у якій визначається напруга.

При визначенні напруги необхідно враховувати знаки координат як точки докладання зовнішньої сили, так і точки, де визначається напруга.

Рис. 11.7. Схема бруса при позацентровому стисканні

У разі позацентрового розтягування бруса в отриманій формулі слід замінити знак мінус на знак плюс.

Розтягування (стиснення)- це вид навантаження бруса, при якому в його поперечних перерізах виникає лише один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N.

При розтягуванні та стисканні зовнішні сили прикладені вздовж поздовжньої осі z (рисунок 109).

Малюнок 109

Застосовуючи метод перерізів, можна визначити величину ВСФ – поздовжню силу N при простому навантаженні.

Внутрішні сили (напруги), що виникають у довільному поперечному перерізі при розтягуванні (стисненні), визначаються за допомогою гіпотези плоских перерізів Бернуллі:

Переріз бруса, плоске і перпендикулярне осі до навантаження, залишається таким самим і при навантаженні.

Звідси випливає, що волокна бруса (рис. 110) подовжуються на однакові величини. Значить внутрішні сили (тобто. напруги), що діють кожне волокно будуть однакові і розподілені по перерізу рівномірно.

Малюнок 110

Оскільки N – рівнодіюча внутрішніх сил, то N = σ · А, згачить нормальні напруження σ при розтягуванні та стисканні визначаються за формулою:

[Н/мм 2 = МПа], (72)

де А – площа поперечного перерізу.

Приклад 24.Два стрижні: круглого перерізу діаметром d = 4 мм і квадратного перерізу зі стороною 5 мм розтягуються однаковою силою F = 1000 Н. Який із стрижнів більше навантажений?

Дано: d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 н.

Визначити: σ 1 та σ 2 – у стрижнях 1 та 2.

Рішення:

При розтягуванні поздовжня сила у стрижнях N = F = 1000 Н.

Площі поперечних перерізів стрижнів:

; .

Нормальна напруга в поперечних перерізах стрижнів:

, .

Оскільки σ 1 > σ 2 то перший стрижень круглого перерізу навантажений більше.

Приклад 25.Трос, звитий з 80 зволікань діаметром 2 мм розтягується силою 5 кН. Визначити напругу у поперечному перерізі.

Дано:до = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.

Визначити: σ.

Рішення:

N = F = 5 кН, ,

тоді .

Тут А 1 - площа перетину однієї тяганини.

Примітка: перетин троса - не коло!

2.2.2 Епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг σ по довжині бруса

Для розрахунків на міцність і жорсткість складно навантаженого бруса при розтягуванні та стисканні необхідно знати значення N та σ у різних поперечних перерізах.

Для цього будуються епюри: епюра N та епюра σ.

Епюра– це графік зміни поздовжньої сили N та нормальних напруг σ по довжині бруса.

Поздовжня сила Nу довільному поперечному перерізі бруса дорівнює алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил, прикладених до частини, що залишилася, тобто. по один бік від перерізу

Зовнішні сили F, що розтягують брус і направлені у бік перерізу, вважаються позитивними.

Порядок побудови епюр N та σ

1 Поперечними перерізами розбиваємо брус на ділянки, межами яких є:

а) перерізи на кінцях бруса;

б) де докладено сили F;

в) де змінюється площа перерізу А.

2 Нумеруємо ділянки, починаючи з

вільного кінця.

3 Для кожної ділянки, використовуючи метод

перерізів визначаємо поздовжню силу N

і будуємо у масштабі епюру N.

4 Визначаємо нормальну напругу σ

на кожній ділянці і будуємо в

масштабі епюру σ.

Приклад 26Побудувати епюри N та σ за довжиною ступінчастого бруса (рисунок 111).

Дано: F1 = 10 кН; F2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2; А 2 = 2 см2.

Рішення:

1) Розбиваємо брус на ділянки, межами яких є: перерізи на кінцях бруса, де прикладені зовнішні сили F, де змінюється площа перерізу А – всього вийшло 4 ділянки.

2) Нумеруємо ділянки, починаючи з вільного кінця:

з I по IV. Малюнок 111

3) Для кожної ділянки, використовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу N.

Поздовжня сила N дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, прикладених до частини бруса, що залишилася . Причому зовнішні сили F, що розтягують брус, вважаються позитивними.

Таблиця 13

4) Будуємо в масштабі епюру N. Масштаб вказуємо лише позитивними величинами N, на епюрі знак "плюс" або "мінус" (розтяг або стиснення) вказується в кружечку в прямокутнику епюри. Позитивні величини N відкладаються вище нульової осі епюри, негативні нижче осі.

5) Перевірка (усна):У перерізах, де прикладені зовнішні сили F, на епюрі N будуть вертикальні стрибки, рівні за величиною цих сил.

6) Визначаємо нормальні напруження в перерізах кожної ділянки:

; ;

; .

Будуємо у масштабі епюру σ.

7) Перевірка:Знаки N та σ однакові.

Подумай та відповідай на запитання

1) не можна; 2) можна.

53 Чи залежить напруги при розтягуванні (стисненні) стрижнів від форми їх поперечного перерізу (квадрат, прямокутник, коло та ін.)?

1) залежать; 2) не залежать.

54 Чи залежить величина напруги у поперечному перерізі від матеріалу, з якого виготовлений стрижень?

1) залежить; 2) не залежить.

55 Які точки поперечного перерізу круглого стрижня навантажені більше за розтягнення?

1) на осі бруса; 2) на поверхні кола;

3) у всіх точках перерізу напруги однакові.

56 Стрижні зі сталі та дерева з рівною площею поперечного перерізу розтягуються однаковими силами. Чи будуть рівні напруги, що виникають у стрижнях?

1) у сталевому напруженні більше;

2) у дерев'яній напругі більше;

3) у стрижнях виникнуть рівні напруження.

57 Для бруса (рисунок 112) побудувати епюри N та σ, якщо F 1 = 2 кН; F2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2; А 2 = 1,4 см2.

Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу на міцність і жорсткість при крученні

Розрахунок бруса круглого поперечного перерізу на міцність і жорсткість при крученні

Метою розрахунків на міцність і жорсткість при крученні є визначення таких розмірів поперечного перерізу бруса, при яких напруги та переміщення не будуть перевищувати заданих величин, що допускаються умовами експлуатації. Умова міцності за допустимою дотичною напругою в загальному випадку записується у вигляді Дана умова означає, що найбільша дотична напруга, що виникає в брусі, що скручується, не повинні перевищувати відповідних допустимих напруг для матеріалу. Допустима напруга при крученні залежить від 0 ─ напруги, що відповідає небезпечному стану матеріалу, та прийнятого коефіцієнта запасу міцності n: ─ межа плинності, nт-коефіцієнт запасу міцності для пластичного матеріалу; ─ межа міцності, nв-коефіцієнт запасу міцності для крихкого матеріалу. У зв'язку з тим, що значення отримати в експериментах на кручення важче, ніж при розтягуванні (стисненні), то, найчастіше, допустимі напруги на кручення приймають в залежності від напруг, що допускаються, на розтяг для того ж матеріалу. Так для сталі [для чавуну. При розрахунку бруків, що скручуються, на міцність можливі три види задач, що відрізняються формою використання умов міцності: 1) перевірка напруг (перевірочний розрахунок); 2) підбір перерізу (проектний розрахунок); 3) визначення допустимого навантаження. 1. При перевірці напруг за заданими навантаженнями і розмірами бруса визначаються найбільші дотичні напруги, що виникають у ньому, і порівнюються із заданими за формулою (2.16). Якщо умова міцності не виконується, необхідно або збільшити розміри поперечного перерізу, або зменшити навантаження, що діє на брус, або застосувати матеріал вищої міцності. 2. При підборі перерізу по заданому навантаженню і заданій величині напруги, що допускається, з умови міцності (2.16) визначається величина полярного моменту опору поперечного перерізу бруса За величиною полярного моменту опору знаходять діаметри суцільного круглого або кільцевого перерізу бруса. 3. При визначенні допустимого навантаження по заданому допустимому напрузі і полярному моменту опору WP попередньо на основі (3.16) визначається величина крутного моменту MK, що допускається, а потім за допомогою епюри крутних моментів встановлюється зв'язок між K M і зовнішніми скручуючими моментами. Розрахунок бруса на міцність не виключає можливість виникнення деформацій, неприпустимих при його експлуатації. Великі кути закручування бруса дуже небезпечні, оскільки можуть призводити до порушення точності обробки деталей, якщо цей брус є конструктивним елементом обробного верстата, або можуть виникнути крутильні коливання, якщо брус передає змінні за часом скручують моменти, тому брус необхідно розраховувати також на жорсткість. Умова жорсткості записується у такому вигляді: де ─ найбільший відносний кут закручування бруса, який визначається з виразу (2.10) або (2.11). Тоді умова жорсткості для валу набуде вигляд Величина відносного кута закручування, що допускається, визначається нормами і для різних елементів конструкцій і різних видів навантажень змінюється від 0,15° до 2° на 1 м довжини бруса. Як за умови міцності, і за умови жорсткості щодо max чи max  використовуватимемо геометричні характеристики: WP ─ полярний момент опору і IP ─ полярний момент інерції. Очевидно, ці характеристики будуть різними для круглого суцільного та кільцевого поперечних перерізів при однаковій площі цих перерізів. Шляхом конкретних розрахунків можна переконатися, що полярні моменти інерції та момент опору для кільцевого перерізу значно більші, ніж для помилкового круглого перерізу, оскільки кільцевий переріз не має майданчиків, близько розташованих до центру. Тому брус кільцевого перерізу при крученні є більш економічним, ніж брус суцільного круглого перерізу, тобто вимагає меншої витрати матеріалу. Однак виготовлення такого бруса складніше, а значить, і дорожче, і цю обставину також необхідно враховувати під час проектування брусів, що працюють під час кручення. Методику розрахунку бруса на міцність і жорсткість при крученні, а також міркування про економічність, проілюструємо на прикладі. Приклад 2.2 Порівняти ваги двох валів, поперечні розміри яких підібрати для одного і того ж моменту, що крутить, MK 600 Нм при однакових допустимих напругах 10 Rі 13 Розтягнення вздовж волокон р] 7 Rp 10 Стиснення і зминання вздовж волокон [см] 10 Rc , поперек волокон (на довжині не менше 10 см) [см] 90 2,5 Rcм 90 3 Сколювання вздовж волокон при вигині [і] 2 Rcк 2,4 Сколювання вздовж волокон при врубках 1 Rcк 1,2 – 2,4 Сколювання у врубках поперек волокон

При розтягуванні (стиснення) бруса в його поперечних перерізахвиникають тільки нормальні напруги.Рівночинна відповідних елементарних сил, dA - поздовжня сила N -може бути знайдено за допомогою методу перерізів. Для того щоб мати можливість визначити нормальну напругу при відомому значенні поздовжньої сили, необхідно встановити закон їх розподілу по поперечному перерізу бруса.

Це завдання вирішується на основі протези плоских перерізів(Гіпотези Я. Бернуллі),яка говорить:

перерізи бруса, плоскі та нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими та нормальними до осі та при деформації.

При розтягуванні бруса (виготовленого, наприклад, длябільшої наочності досвіду з гуми), на поверхні якогонанесена система продольнь1х і поперечних рисок (рис. 2.7,а), можна переконатися, що ризики залишаються прямолінійними та взаємно перпендикулярними, змінюються лише

де А – площа поперечного перерізу бруса. Опускаючи індекс z, остаточно отримуємо

Для нормальних напруг приймають те правило знаків, що й для поздовжніх сил, тобто. при розтягуванні вважаються напруженими позитивними.

Фактично розподіл напруг у перерізах бруса, що примикають до місця застосування зовнішніх сил, залежить від способу застосування навантаження і може бути нерівномірним. Експериментальні та теоретичні дослідження показують, що це порушення рівномірності розподілу напруг носить місцевий характер.У перерізах бруса, що віддаляються від місця навантаження на відстані, що дорівнює рівному найбільшому з поперечних розмірів бруса, розподіл напруг можна вважати практично рівномірним (рис. 2.9).

Розглянуте становище є окремим випадком принципу Сен-Венана,який можна сформулювати наступним чином:

розподіл напруг істотно залежить від способу застосування зовнішніх сил лише поблизу місця навантаження.

У частинах, досить віддалених від місця застосування сил, розподіл напруг практично залежить тільки від статичного еквівалента цих сил, а не від способу їх застосування.

Таким чином, застосовуючи принцип Сен-Венанаі відволікаючись від питання про місцеві напруги, маємо можливість (як у цій, так і в наступних розділах курсу) не цікавитися конкретними способами застосування зовнішніх сил.

У місцях різкої зміни форми та розмірів поперечного перерізу бруса також виникають місцеві напруги. Це явище називають концентрацією напруг,яку в цьому розділі не враховуватимемо.

У тих випадках, коли нормальна напруга в різних поперечних перерізах бруса неоднакова, доцільно показувати закон їх зміни по довжині бруса у вигляді графіка. епюри нормальних напруг.

Примір 2.3. Для бруса зі ступінчасто-змінним поперечним перерізом (рис. 2.10,а) побудувати епюри поздовжніх сил інормальних напруг.

Рішення.Розбиваємо брус на ділянки, починаючи від вільного гінця. Межами ділянок є місця застосування зовнішніх сил і зміни розмірів поперечного перерізу, тобто брус має п'ять ділянок. При побудові тільки епюри Nслід було б розбити брус лише на три ділянки.

Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжні сили у поперечних перерізах бруса та будуємо відповідну епюру (рис. 2.10,6). Побудова епюри І принципово нічим не відрізняється від розглянутого на прикладі 2.1, тому подробиці цієї побудови опускаємо.

Нормальну напругу обчислимо за формулою (2.1), підставляючи значення сил у ньютонах, а площ – у квадратних метрах.

У межах кожної з ділянок напруги незмінні, т.е. тобто.епюра на даній ділянці – пряма, паралельна осі абсцис (рис. 2.10, в). Для розрахунків на міцність інтерес представляють насамперед ті перерізи, у яких виникають найбільші напруження. Істотно, що у розглянутому разі де вони збігаються з тими перерізами, де поздовжні сили максимальні.

У тих випадках, коли переріз бруса по всій довжині постійно, епюра аподібна до епюрі Nі відрізняється від неї лише масштабом, тому, природно, має сенс побудова лише однієї із зазначених епюр.