Визначення.Прямокутний трикутник -трикутник, один із кутів якого прямий (рівний ).

Прямокутний трикутник - окремий випадок звичайного трикутника. Тому всі властивості традиційних трикутників для прямокутних зберігаються. Але є деякі приватні властивості, зумовлені наявністю прямого кута.

Загальноприйняті позначення (рис.1):

- прямий кут;

- гіпотенуза;

- катети;

.

Рис. 1.

ЗВійства прямокутного трикутника.

Властивість 1. Сума кутів та прямокутного трикутника дорівнює.

Доказ. Згадаймо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює . Враховуючи той факт, що , отримуємо, що сума двох кутів, що залишилися, дорівнює Тобто,

Властивість 2. У прямокутному трикутнику гіпотенузабільше будь-якого з катетів(є найбільшою стороною).

Доказ. Згадаймо, що у трикутнику проти більшого кута лежить велика сторона (і навпаки). З доведеної вище властивості 1 випливає, що сума кутів та прямокутного трикутника дорівнює . Оскільки кут трикутника неспроможна дорівнювати 0, кожен із них менше . Отже, є найбільшим, отже, навпроти нього лежить найбільша сторона трикутника. Отже, гіпотенуза є найбільшою стороною прямокутного трикутника, тобто: .

Властивість 3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза менша за суму катетів.

Доказ. Ця властивість стає очевидною, якщо згадати нерівність трикутника.

Нерівність трикутника

У будь-якому трикутнику сума будь-яких двох сторін більша за третю сторону.

З цієї нерівності відразу ж випливає властивість 3.

Примітка:незважаючи на те, що кожен з катетів окремо менший за гіпотенузу, їх сума виявляється більшою. У числовому прикладі це так: , але .

в:

1-а ознака (по 2 сторони та кут між ними):якщо у трикутників рівні дві сторони та кут між ними, то такі трикутники рівні між собою.

2-а ознака (на стороні та двох прилеглих кутах):якщо у трикутників рівні сторона і два кути, що належать до даної сторони, такі трикутники рівні між собою. Примітка:користуючись тим, що сума кутів трикутника постійна і дорівнює, легко довести, що умова «прилежності» кутів не є необхідною, тобто ознака буде вірною і в такому формулюванні: «... рівні сторона і два кути, то …».

3-я ознака (по 3 сторонах):якщо трикутники рівні всі три сторони, то такі трикутники рівні між собою.

Звичайно, всі ці ознаки залишаються вірними і для прямокутних трикутників. Однак у прямокутних трикутників є одна істотна особливість - вони завжди мають пару рівних прямих кутів. Тому ці ознаки їм спрощуються. Отже, сформулюємо ознаки рівності прямокутних трикутників:

1-а ознака (за двома катетами):якщо прямокутних трикутників катети попарно рівні, то такі трикутники рівні між собою (Рис. 2).

Дано:

Рис. 2. Ілюстрація першої ознаки рівності прямокутних трикутників

Довести:

Доказ:у прямокутних трикутниках: . Отже, ми можемо скористатися першою ознакою рівності трикутників (по 2 сторони та кут між ними) і отримати: .

2-й ознака (по катету та куту):якщо катет та гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють катету та гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні між собою (Рис. 3).

Дано:

Рис. 3. Ілюстрація другої ознаки рівності прямокутних трикутників

Довести:

Доказ:Одночасно зазначимо, що те, що рівні кути, прилеглі до рівним катетам, перестав бути важливим. Справді, сума гострих кутів прямокутного трикутника (за якістю 1) дорівнює . Значить, якщо одна пара з цих кутів, то дорівнює й інша (оскільки їх суми однакові).

Доказ цієї ознаки зводиться до використання другої ознаки рівності трикутників(по 2 кутах та стороні). Справді, за умовою рівні катети і пара кутів, що прилягають до них. Але друга пара прилеглих до них кутів складається з кутів. . Отже, ми можемо скористатися другою ознакою рівності трикутників та отримати: .

3-я ознака (з гіпотенузи та кута):якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні між собою (Рис. 4).

Дано:

Рис. 4. Ілюстрація третьої ознаки рівності прямокутних трикутників

Довести:

Доказ:для доказу цієї ознаки можна одразу скористатися другою ознакою рівності трикутників- по стороні та двох кутах (точніше, наслідком, в якому зазначено, що кути не обов'язково повинні бути прилеглими до сторони). Дійсно, за умовою: , , А з властивостей прямокутних трикутників випливає, що . Отже, ми можемо скористатися другою ознакою рівності трикутників і отримати: .

4-а ознака (з гіпотенузи та катету):якщо гіпотенуза та катет одного прямокутного трикутника рівні відповідно до гіпотенузи та катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні між собою (Рис. 5).

Дано:

Рис. 5. Ілюстрація четвертої ознаки рівності прямокутних трикутників

Довести:

Доказ:для доказу цієї ознаки скористаємося ознакою рівності трикутників, яку ми сформулювали та довели на минулому уроці, а саме: якщо у трикутників рівні дві сторони та більший кут, то такі трикутники є рівними. Справді, за умовою ми маємо дві рівні сторони. Крім того, за якістю прямокутних трикутників: . Залишилося довести, що прямий кут є найбільшим у трикутнику. Припустимо, що це не так, отже, має бути ще хоча б один кут, який більше. Але тоді сума кутів трикутника вже буде більшою. Але це неможливо, значить такого кута в трикутнику бути не може. Значить, прямий кут є найбільшим у прямокутному трикутнику. Отже, можна скористатися сформульованою вище ознакою, і отримати: .

Сформулюємо тепер ще одну властивість, характерну лише для прямокутних трикутників.

Властивість

Катет, що лежить проти кута, в 2 рази менше гіпотенузи.(Мал. 6).

Дано:

Рис. 6.

Довести:AB

Доказ:виконаємо додаткову побудову: продовжимо пряму за точку на відрізок, що дорівнює . Отримаємо крапку. Оскільки кути і - суміжні, їх сума дорівнює . Оскільки, то й кут.

Отже, прямокутні трикутники (за двома катетами: - загальний, - за побудовою) - перша ознака рівності прямокутних трикутників.

З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. Отже, . Звідки: . Крім того, (з рівності все тих самих трикутників). Значить, трикутник - рівнобедрений (оскільки в нього рівні кути при підставі), але рівнобедрений трикутник, один з кутів якого дорівнює - рівносторонній. З цього випливає, зокрема, що .

Властивість катета, що лежить проти кута

Правильно і зворотне твердження: якщо у прямокутному трикутнику гіпотенуза вдвічі більше одного з катетів, то гострий кут, що лежить навпроти цього катета, дорівнює .

Примітка: ознакаозначає, що якщо якесь твердження правильне, то трикутник є прямокутним. Тобто ознака дозволяє ідентифікувати прямокутний трикутник.

Важливо не плутати ознаку з властивістю- тобто, якщо трикутник прямокутний, то він має такі властивості… Часто ознаки та властивості є взаємно зворотними, але далеко не завжди. Наприклад, властивість рівностороннього трикутника: у рівносторонньому трикутнику є кут. Але це не буде ознакою рівностороннього трикутника, тому що не будь-який трикутник, який має кутє рівностороннім.

Розв'язання геометричних завдань потребує величезної кількості знань. Одним із основних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.

Під цим поняттям мається на увазі що складається з трьох кутів і

сторін, причому величина одного з кутів складає 90 градусів. Сторони, що становлять прямий кут, носять назви катети, третя сторона, яка протилежить йому, носить назву гіпотенузи.

Якщо катети у такій фігурі рівні, вона називається рівнобедрений прямокутний трикутник. І тут має місце приналежність до двох отже, дотримуються якості обох груп. Згадаймо, що кути біля основи рівнобедреного трикутника абсолютно завжди рівні, отже гострі кути такої фігури включатимуть по 45 градусів.

Наявність однієї з таких властивостей дозволяє стверджувати, що один прямокутний трикутник дорівнює іншому:

1. катети двох трикутників рівні;
2. фігури мають однакові гіпотенузу та один із катетів;
3. рівні гіпотенуза та будь-який з гострих кутів;
4. дотримується умова рівності катета та гострого кута.

Площа прямокутного трикутника легко обчислюється як з допомогою стандартних формул, і як величина, рівна половині добутку його катетів.

У прямокутному трикутнику дотримуються такі співвідношення:

1. катет є не що інше, як середнє пропорційне гіпотенузи та його проекції на неї;
2. якщо описати біля прямокутного трикутника коло, її центр перебуватиме у середині гіпотенузи;
3. висота, проведена з прямого кута, є середнім пропорційним з проекціями катетів трикутника на його гіпотенузу.

Цікавим є те, що яким би не був прямокутний трикутник, ці властивості завжди дотримуються.

теорема Піфагора

Крім вищезгаданих властивостей для прямокутних трикутників характерне дотримання наступної умови:

Теорема ця зветься на ім'я її засновника - теорема Піфагора. Він відкрив це співвідношення, коли займався вивченням властивостей квадратів, побудованих на

Для доказу теореми побудуємо трикутник АВС, катети якого позначимо a і b, а гіпотенузу с. Далі збудуємо два квадрати. В одного стороною буде гіпотенуза, в іншого сума двох катетів.

Тоді площа першого квадрата можна буде знайти двома способами: як суму площ чотирьох трикутників АВС і другого квадрата, або як квадрат сторони, природно, що ці співвідношення будуть рівні. Тобто:

з 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , перетворимо вираз, що вийшов:

з 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

У результаті отримуємо: з 2 = a 2 + b 2

Таким чином, геометрична фігура прямокутного трикутника відповідає не тільки всім властивостям, характерним для трикутників. Наявність прямого кута веде до того, що фігура має інші унікальні співвідношення. Їх вивчення знадобиться у науці, а й у повсякденному житті, оскільки така постать, як прямокутний трикутник, зустрічається повсюдно.

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися дізнаватися прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну, по-перше, є спеціальні красиві назви для його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось, назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі знаючим її. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А цей жарт пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним стародавнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… у темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді, все зовсім не так страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кута? Звичайно, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як здорово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звичайно, він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш чисельник і знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат із стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата?

Правильно, .

А площа меншого?

Звичайно, .

Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами.

Що вийшло? Два прямокутники. Значить площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників?

Заглянь у тему «і зверни увагу на те, що для рівності «рядових» трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони та кут між ними, два кути та сторона між ними або три сторони.

А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівні. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше.

Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• за катетом і прилеглим гострим кутом: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:
• через катет та гострий кут: .

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І насамкінець...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Умію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Сторона aможе бути ідентифікована як прилегла до кута Ві протилежна куту A, а сторона b- як прилегла до кута Aі протилежна куту В.

Типи прямокутних трикутників

• Якщо довжини всіх трьох сторін прямокутного трикутника є цілими числами, то трикутник називається піфагоровим трикутником, а довжини його сторін утворюють так звану піфагорову трійку.

Властивості

Висота

Висота прямокутного трикутника.

Тригонометричні співвідношення

Нехай hі s (h>s) сторонами двох квадратів, вписаних у прямокутний трикутник із гіпотенузою c. Тоді:

Периметр прямокутного трикутника дорівнює сумі радіусів вписаної та трьох описаних кіл.

Примітки

Посилання

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry . – Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Прямокутний паралелепіпед
• Прямі витрати

Дивитися що таке "Прямокутний трикутник" в інших словниках:

прямокутний трикутник- — Тематика нафтогазова промисловість EN right triangle … Довідник технічного перекладача

ТРИКУТНИК- і (простий) трикутник, трикутника, чоловік. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома взаємно перетинаються прямими, що утворюють три внутрішні кути (мат.). Тупокутний трикутник. Гострокутний трикутник. Прямокутний трикутник.… … Тлумачний словник Ушакова

ПРЯМОКУТНИЙ- ПРЯМОКУТНИЙ, прямокутний, прямокутний (геом.). Що має прямий кут (або прямі кути). Прямокутний трикутник. Прямокутні постаті. Тлумачний словник Ушакова. Д.М. Ушаків. 1935 1940 … Тлумачний словник Ушакова

Трикутник- Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

трикутник- ▲ багатокутник, що має, три, кут трикутник найпростіший багатокутник; задається 3 точками, що не лежать на одній прямій. трикутний. гострокутник. гострокутний. прямокутний трикутник: катет. гіпотенуза. рівнобедрений трикутник. ▼… … Ідеографічний словник російської мови

ТРИКУТНИК- ТРИКУТНИК, а, чоловік. 1. Геометрична фігура багатокутника з трьома кутами, а також будь-який предмет, пристрій такої форми. Прямокутний т. Дерев'яний т. (Для креслення). Солдатський т. (Солдатський лист без конверта, згорнутий куточком; розг.). 2 … Тлумачний словник Ожегова

Трикутник (багатокутник)- Трикутники: 1 гострокутний, прямокутний та тупокутний; 2 правильний (рівносторонній) та рівнобедрений; 3 бісектриси; 4 медіани та центр тяжіння; 5 висоти; 6 ортоцентр; 7 середня лінія. ТРИКУТНИК, багатокутник з 3 сторонами. Іноді під ... Ілюстрований енциклопедичний словник

трикутник Енциклопедичний словник

трикутник- а; м. 1) а) Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений трикутник. Обчислити площу трикутника. б) отт. чого або з опр. Фігура або предмет такої форми. Словник багатьох виразів

Трикутник- а; м. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома пересічними прямими, що утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений т. Обчислити площу трикутника. // Чого або з опр. Фігура чи предмет такої форми. Т. даху. Т.… … Енциклопедичний словник

Прямокутний трикутник – трикутник, один кут якого прямий (рівний 90 0). Отже, два інші кути у сумі дають 90 0 .

Сторони прямокутного трикутника

Сторона, яка розташована навпроти кута дев'яносто градусів, називається гіпотенузою. Дві інші сторони називаються катетами. Гіпотенуза завжди довша, ніж катети, але коротше їх суми.

Прямокутний трикутник. Властивості трикутника

Якщо катет знаходиться навпроти кута в тридцять градусів, його довжина відповідає половині довжини гіпотенузи. Звідси випливає, що кут, протилежний катету, довжина якого відповідає половині гіпотенузи, дорівнює 30 градусів. Катет дорівнює середньому пропорційному гіпотенузи та проекції, яку дає катет на гіпотенузу.

теорема Піфагора

Будь-який прямокутний трикутник підпорядковується теоремі Піфагора. Ця теорема свідчить, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Якщо прийняти, що катети рівні а і в, а гіпотенуза - с, то запишемо: а 2 + 2 = С2. Теорема Піфагора застосовується на вирішення всіх геометричних завдань, у яких фігурують прямокутні трикутники. Також вона допоможе накреслити прямий кут за відсутності необхідних інструментів.

Висота та медіана

Прямокутний трикутник характеризується тим, що дві його висоти поєднуються з катетами. Щоб знайти третю сторону, потрібно знайти суму проекцій катетів на гіпотенузу та розділити на два. Якщо з вершини прямого кута провести медіану, вона виявиться радіусом кола, яке описали навколо трикутника. Центром цього кола буде середина гіпотенузи.

Прямокутний трикутник. Площа та її обчислення

Площа прямокутних трикутників обчислюється за будь-якою формулою знаходження площі трикутника. Крім цього, можна використовувати ще одну формулу: S = а * в / 2, яка говорить, що для знаходження площі необхідно добуток довжин катетів розділити на два.

Косинус, синус та тангенс прямокутного трикутника

Косинусом гострого кута називають ставлення катета, що прилягає до кута, до гіпотенузи. Він завжди менший, ніж одиниця. Синус - це ставлення катета, що лежить навпроти кута, до гіпотенузи. Тангенс - відношення катета, що лежить проти кута, до катета, що прилягає до цього кута. Котангенсом називають відношення катета, що прилягає до кута, до катета, що знаходиться навпроти кута. Косинус, синус, тангенс і котангенс є залежними від розмірів трикутника. На значення впливає лише градусна міра кута.

Рішення трикутника

Щоб обчислити значення катета, що протилежить куту, потрібно помножити довжину гіпотенузи на синус цього кута або другий розмір катета на тангенс кута. Для знаходження катета, що належить до кута, необхідно порахувати твір гіпотенузи на косинус кута.

Рівнобедрений прямокутний трикутник

Якщо трикутник має прямий кут і рівні катети, його називають рівнобедреним прямокутним трикутником. Гострі кути такого трикутника також рівні - по 45 0 . Медіана, бісектриса та висота, проведені з прямого кута рівнобедреного прямокутного трикутника, збігаються.