Що лежить на підставі правильної призми. Призма

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (точок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. В… … Енциклопедія Кольєра

Геометрія просторів розмірності, більшої за три; термін застосовується до тих просторів, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірювань і тільки потім узагальнена на число вимірювань n>3, перш за все евклідове простір, ... Математична енциклопедія

N мірна евклідова геометрія узагальнення евклідової геометрії на простір більшого числавимірів. Хоча фізичний простір є тривимірним, і людські органи почуттів розраховані на сприйняття трьох вимірів, N мірна ... Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Вірогідність цього розділу статті поставлена під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія

- (Constructive Solid Geometry, CSG) технологія, що використовується у моделюванні твердих тіл. Конструктивна блокова геометрія найчастіше, але не завжди, є способом моделювання в тривимірній графіці та САПР. Вона дозволяє створити складну сцену чи … Вікіпедія

Конструктивна блокова геометрія (Constructive Solid Geometry, CSG) – технологія, що використовується в моделюванні твердих тіл. Конструктивна блокова геометрія найчастіше, але не завжди, є способом моделювання в тривимірній графіці та САПР. Вона… … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Обсяг (значення). Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого ... Вікіпедія

Куб Тип Правильний багатогранник Грань квадрат Вершин Рёбер Граней … Вікіпедія

Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого визначення відносно тривимірних тіл тривимірного евклідового простору.

Частина простору, обмежена сукупністю кінцевого числа плоских багатокутників (див. ГЕОМЕТРІЯ), з'єднаних таким чином, що кожна сторона будь-якого багатокутника є стороною рівно одного іншого багатокутника (називається… Енциклопедія Кольєра

Книжки

Набір таблиць. Геометрія. 10 клас. 14 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом з 14 аркушів.

Лекція: Призма, її основи, бічні ребра, висота, бічна поверхня; пряма призма; правильна призма

Призма

Якщо Ви разом з нами вивчили плоскі фігури з минулих питань, значить повністю готові до вивчення об'ємних фігур. Перше об'ємне тіло, яке ми вивчимо, буде призмом.

Призма– це об'ємне тіло, яке має велика кількістьграней.

Дана фігура має в основі два багатокутники, які розташовані в паралельних площинах, а всі бічні грані мають форму паралелограма.

1. Рис. 2

Отже, давайте розберемося, із чого складається призма. Для цього зверніть увагу на рис.

Як уже говорилося раніше, призма має дві підстави, які паралельні один одному – це п'ятикутники ABCEF і GMNJK. Більше того, ці багатокутники рівні між собою.

Всі інші грані призми називаються бічними гранями – вони складаються з паралелограмів. Наприклад, BMNC, AGKF, FKJE і т.д.

Загальна поверхня всіх бічних граней називається бічною поверхнею.

Кожна пара сусідніх граней має спільну сторону. Така спільна сторона називається рубом. Наприклад МВ, РЄ, АВ тощо.

Якщо верхню та нижню основу призми з'єднати перпендикуляром, то він називатиметься висотою призми. На малюнку висота зазначена як пряма ГО 1 .

Існує два основних різновиди призми: похила та пряма.

Якщо бічні ребра призми не є перпендикулярними до основ, то така призма називається похилій.

Якщо всі ребра призми перпендикулярні до основ, то така призма називається прямий.

Якщо в підставах призми лежать правильні багатокутники (ті, у яких сторони рівні), така призма називається правильною.

Якщо підстави призми не паралельні один одному, то така призма називатиметься усіченої.

Її Ви можете спостерігати на Рис.2

Формули для знаходження обсягу, площі призми

Існує три основні формули знаходження обсягу. Відрізняються вони один від одного застосуванням:

Аналогічні формули для знаходження площі поверхні призми:

В основі призми може лежати будь-які багатокутник – трикутник, чотирикутник, і т.д. Обидва підстави абсолютно однакові, відповідно, якими кути паралельних граней з'єднуються між собою, завжди паралельні. На підставі правильної призми лежить правильний багатокутник, тобто такий, у якого всі сторони рівні. У прямої призми ребра між бічними гранями перпендикулярні до основи. При цьому на підставі прямої призми може лежати багатокутник з будь-якою кількістю кутів. Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом. Прямокутник - окремий випадокпаралелограма. Якщо в основі лежить саме ця фігура, а бічні грані розташовані до основи під прямим кутом, паралелепіпед називається прямокутним. Друга назва цього геометричного тіла – прямокутна.

Як вона виглядає

Прямокутний призм в оточенні сучасної людинидосить багато. Це, наприклад, звичайна картонна з-під взуття, комп'ютерних комплектуючих тощо. Огляньтеся на всі боки. Навіть у кімнаті ви напевно побачите безліч прямокутних призмів. Це і комп'ютерний корпус, і книжкова, і холодильник, і шафа, і багато інших предметів. Форма надзвичайно популярна головним чином тому, що дозволяє використовувати місце максимально ефективно, незалежно від того, оформляєте ви інтер'єр або вкладаєте речі в картонні перед переїздом.

Властивості прямокутної призми

Прямокутна призма має поряд специфічних властивостей. Будь-яка пара граней може служити її , оскільки всі сусідні грані розташовані один до одного під одним і тим самим кутом, і цей кут становить 90 °. Об'єм та площу поверхні прямокутної призми обчислити простіше, ніж у будь-якої іншої. Візьміть будь-який предмет, який має форму прямокутної призми. Виміряйте його довжину, ширину та висоту. Щоб знайти обсяг, достатньо перемножити ці мірки. Тобто формула виглядає так: V=a*b*h, де V – об'єм, a та b – сторони основи, h – висота, яка у цього геометричного тіла збігається з боковим ребром. Площа основи обчислюється за формулою S1=a*b. Щоб бічній поверхні потрібно спочатку обчислити периметр основи за формулою P=2(a+b), а потім помножити його на висоту. Виходить формула S2=P*h=2(a+b)*h. Для обчислення повної поверхніпрямокутної призми складіть подвоєну площу основи та площу бічної поверхні. Вийде формула S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

В шкільній програміза курсом стереометрії вивчення об'ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла – багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать у паралельних площинах. Окремим випадком є правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).

Як виглядає призма

Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в підставах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури- Прямий паралелепіпед.

Рисунок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.

На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:

Іноді в завданнях геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать січній площині. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз (максимальна кількість перерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.

Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить усічена призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та обсяг

Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:

V = Sосн · h

Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:

V = a²·h

Якщо йдеться про куб - правильну призму з рівною довжиною, шириною і висотою, обсяг обчислюється так:

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.

З креслення видно, що бічна поверхня складена з чотирьох рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:

Sбік = Pосн · h

З огляду на те, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:

Sбік = 4a·h

Для куба:

Sбік = 4a²

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Sповн = Sбік + 2Sосн

Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:

Sповн = 4a·h + 2a²

Для площі поверхні куба:

Sповн = 6a²

Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементигеометричне тіло.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються завдання, у яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи чи висоту. У разі формули можна вивести:

довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √(V/h);
довжина висоти або бічного ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
площа основи: Sосн = V/h;
площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього слід:

Sдіаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a² + h²)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань із рішеннями

Ось кілька завдань, які у державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?

Слід розмірковувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому випадку для першої коробки обсяг речовини становитиме:

V₁ = ha² = 10a²

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:

10a² = 4ha²

Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:

В результаті новий рівеньпіску складе h = 10/4 = 2,5див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки йдеться про правильну призму, можна зробити висновок, що на підставі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підставі. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:

Sповн = 6a² = 6·6² = 216

Завдання 3.

У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?

Оскільки підлога та стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні горизонтальним поверхням, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.

Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м².

Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.

Таким чином, для вирішення задач на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані у двох паралельних площинах, причому в цих же двох площинах лежать дві грані призми, що є рівними багатокутниками з відповідно паралельними сторонами, а всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні грані називаються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхнюпризми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать в підставах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого є дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (АD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно до обох основ, називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншого; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерами, тільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються літерами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назва призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 в основі лежить п'ятикутник, тому називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - основи призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм вирізняється приватний вигляд: правильні призми

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави - правильні багатокутники.

У правильної призми усі бічні грані рівні прямокутники. Приватним випадком призми є паралелепіпед.

Паралелепіпед

Паралелепіпед- це чотирикутна призма, В основі якої лежить паралелограм (похилий паралелепіпед). Прямий паралелепіпед- паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площинам основи.

Прямокутний паралелепіпед- Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

Деякі властивості паралелепіпеда аналогічні відомим властивостямпаралелограма. Прямокутний паралелепіпед, що має рівні виміри, називаються кубом .У куба всі грані рівні квадрати.Квадрат діагоналі, дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Уявлення про призм дають:

різні архітектурні споруди;
дитячі іграшки;
пакувальні коробки;
дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

Площа повної поверхні призминазивається сума площ усіх її граней Площа бічної поверхніназивається сума площ її бічних гранейТ.к. Основи призми - рівні багатокутник, їх площі рівні. Тому

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.