ความคงตัวของความเค้นวิกฤตของแท่งอัดด้วยสูตรออยเลอร์ สูตรออยเลอร์สำหรับกำลังวิกฤต

บรรยาย 7

ความคงตัวของแท่งอัด

แนวคิดเรื่องความมั่นคงของก้านสูบ สูตรออยเลอร์ การพึ่งพาแรงวิกฤตในวิธีการยึดคันเบ็ด ข้อจำกัดของการบังคับใช้สูตรออยเลอร์ สูตรยาซินสกี้ การคำนวณความยั่งยืน

แนวคิดเรื่องความมั่นคงของก้านอัด

ให้เราพิจารณาแท่งที่มีแกนตรงซึ่งบรรจุด้วยแรงอัดตามยาว F ขึ้นอยู่กับขนาดของแรงและพารามิเตอร์ของแท่ง (วัสดุ ความยาว รูปร่าง และขนาดของหน้าตัด) รูปร่างสมดุลเป็นเส้นตรงอาจ เสถียรหรือไม่เสถียร

ในการกำหนดประเภทของความสมดุลของแท่ง ให้เราดำเนินการกับมันด้วยการโหลดตามขวางเล็กน้อย Q ดังนั้น แท่งจะเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุลใหม่ด้วยแกนโค้ง หากหลังจากสิ้นสุดการโหลดตามขวาง แท่งจะกลับสู่ตำแหน่งเดิม (เส้นตรง) จากนั้นรูปแบบเส้นตรงของสมดุลจะคงที่ (รูปที่ 7.1a) ในกรณีที่หลังจากสิ้นสุดการกระทำของแรงตามขวาง Q แท่งไม่กลับสู่ตำแหน่งเดิม รูปแบบเส้นตรงของสมดุลจะไม่เสถียร (รูปที่ 7.1b)

ดังนั้น ความเสถียรคือความสามารถของแกน หลังจากที่เบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งเดิมอันเป็นผลมาจากการกระทำของภาระที่รบกวนบางอย่าง เพื่อกลับสู่ตำแหน่งเดิมโดยธรรมชาติเมื่อภาระนี้สิ้นสุดลง แรงอัดตามยาวที่เล็กที่สุดที่รูปร่างสมดุลเส้นตรงของแกนไม่เสถียรเรียกว่าแรงวิกฤต

รูปแบบการทำงานของแกนกลางที่ถูกบีบอัดนั้นเป็นไปตามทฤษฎี ในทางปฏิบัติ แรงอัดอาจทำปฏิกิริยากับความเยื้องศูนย์บางส่วน และแกนอาจมีส่วนโค้งเริ่มต้นบางส่วน (แม้ว่าจะมีขนาดเล็ก) ดังนั้นจากจุดเริ่มต้นของการโหลดตามยาวของแท่งเหล็กจึงสังเกตได้ว่ามีการดัดงอ การวิจัยแสดงให้เห็นว่าตราบใดที่แรงอัดน้อยกว่าแรงวิกฤต การโก่งตัวของคานก็จะเล็ก เมื่อแรงเข้าใกล้ค่าวิกฤต การโก่งตัวจะเริ่มเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด เกณฑ์นี้ (การโก่งตัวเพิ่มขึ้นไม่จำกัดด้วยแรงอัดที่เพิ่มขึ้นอย่างจำกัด) ถือเป็นเกณฑ์สำหรับการโก่งงอ

การสูญเสียเสถียรภาพของสมดุลยางยืดนั้นไม่เพียงเกิดขึ้นระหว่างการบีบอัดของแกนเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นในระหว่างการบิดเบี้ยว การดัด และการเสียรูปที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วย

สูตรออยเลอร์

พิจารณาแท่งที่มีแกนตรงซึ่งยึดด้วยบานพับสองตัวรองรับ (รูปที่ 7.2) สมมติว่าแรงอัดตามยาวที่กระทำต่อแกนนั้นมีค่าวิกฤตแล้ว และแกนนั้นงอในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุด ระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุดตั้งอยู่ในแนวตั้งฉากกับแกนกลางหลักของส่วนนั้น ซึ่งสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนของส่วนนั้นมีค่าต่ำสุด

(7.1)

โดยที่ M คือโมเมนต์ดัด I min คือโมเมนต์ความเฉื่อยต่ำสุดของส่วน

จากรูป 7.2 หาโมเมนต์ดัด

(7.2)

ในรูป 7.2 โมเมนต์ดัดอันเนื่องมาจากการกระทำของแรงวิกฤตเป็นบวก และการโก่งตัวเป็นลบ เพื่อที่จะเห็นด้วยกับเครื่องหมายที่ยอมรับ เครื่องหมายลบจะถูกใส่ในการพึ่งพา (7.2)

แทนที่ (7.2) เป็น (7.1) เพื่อกำหนดฟังก์ชันโก่งตัวเราได้สมการอนุพันธ์

(7.3)

(7.4)

จากวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง เป็นที่ทราบกันว่าการแก้สมการ (7.3) มีรูปแบบ

โดยที่ A, B เป็นค่าคงที่การรวม

เพื่อกำหนดค่าคงที่ของการบูรณาการใน (7.5) เราใช้เงื่อนไขขอบเขต

สำหรับก้านงอ ค่าสัมประสิทธิ์ A และ B จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน (มิฉะนั้น ก้านจะไม่งอ) ดังนั้น

เท่ากับ (7.6) และ (7.4) เราพบว่า

(7.7)

ความสำคัญในทางปฏิบัติคือค่าที่ไม่เป็นศูนย์ที่น้อยที่สุดของแรงวิกฤต ดังนั้น เมื่อแทน n=1 เป็น (7.7) เราก็ได้

(7.8)

การพึ่งพาอาศัยกัน (7.8) เรียกว่าสูตรออยเลอร์

การพึ่งพากำลังวิกฤต

จากวิธีการยึดคัน

ได้สูตร (7.8) สำหรับกรณีของแท่งที่ถูกตรึงโดยใช้ตัวรองรับบานพับสองตัวที่อยู่ที่ขอบ สำหรับวิธีการอื่นๆ ในการตรึงแกน ใช้สูตรออยเลอร์ทั่วไปเพื่อกำหนดแรงวิกฤต

(7.9)

โดยที่ μ คือปัจจัยการลดความยาว โดยคำนึงถึงวิธีการยึดแกน

วิธีทั่วไปในการยึดแท่งและค่าสัมประสิทธิ์การลดความยาวที่เกี่ยวข้องจะแสดงในรูปที่ 7.3.

ข้อจำกัดของการบังคับใช้สูตรออยเลอร์ สูตรของยาซินสกี้

พี เมื่อได้สูตรออยเลอร์ เงื่อนไขจะใช้ว่ากฎของฮุกเป็นที่พอใจในขณะที่สูญเสียเสถียรภาพ ความเค้นในแกนในขณะที่โก่งงอมีค่าเท่ากับ

ที่ไหน
- ความยืดหยุ่นของแท่ง; A คือพื้นที่หน้าตัดของแกน

เมื่อขาดเสถียรภาพ กฎของฮุกจะเป็นไปตามเงื่อนไข

โดยที่ σpc คือขีด จำกัด ของสัดส่วนของวัสดุแท่ง
- ความยืดหยุ่นสูงสุดครั้งแรกของคันเบ็ด สำหรับเหล็ก St3 λ pr1 = 100

ดังนั้น สูตรออยเลอร์จึงใช้ได้เมื่อเป็นไปตามเงื่อนไข (7.10)

หากความยืดหยุ่นของแกนอยู่ในระยะ
จากนั้นแท่งจะสูญเสียความเสถียรในบริเวณที่เกิดการเสียรูปของพลาสติกยืดหยุ่นและไม่สามารถใช้สูตรออยเลอร์ได้ ในกรณีนี้ แรงวิกฤตถูกกำหนดโดยสูตรทดลองของยาซินสกี้

โดยที่ a, b คือสัมประสิทธิ์การทดลอง สำหรับเหล็ก St3 a = 310 MPa, b = 1.14 MPa

ความยืดหยุ่นขั้นสุดท้ายอันดับสองของแท่งถูกกำหนดโดยสูตร

โดยที่ σ t คือกำลังครากของวัสดุแท่ง สำหรับเหล็ก St3 λ pr2 = 60

เมื่อตรงตามเงื่อนไข λ ≤ λ pr2 ความเค้นวิกฤต (ตาม Yasinsky) จะเกินกำลังครากของวัสดุแท่ง ดังนั้นในกรณีนี้ เพื่อกำหนดกำลังวิกฤต ความสัมพันธ์จึงถูกใช้

(7.12)

ที่ เป็นตัวอย่างในรูป 7.4 แสดงการพึ่งพาความเครียดที่สำคัญต่อความยืดหยุ่นของแท่งเหล็กสำหรับ St3

การคำนวณความยั่งยืน

การวิเคราะห์ความเสถียรดำเนินการโดยใช้เงื่อนไขความเสถียร

(7.13)

ความเค้นที่อนุญาตเมื่อคำนวณความเสถียร

- ปัจจัยด้านความมั่นคง

ความเค้นที่อนุญาตในการคำนวณความเสถียรนั้นขึ้นอยู่กับความเค้นที่อนุญาตในการคำนวณแรงอัด

(7.14)

โดยที่ φ คือสัมประสิทธิ์การโก่งตัว (หรือการลดลงของความเค้นหลักที่อนุญาต) สัมประสิทธิ์นี้จะแปรผันภายใน 0 ≤ φ ≤ 1

โดยคำนึงถึงวัสดุที่เป็นพลาสติก

สูตร (7.13) และ (7.14) หมายความว่า

(7.15)

ค่าสัมประสิทธิ์การโก่งงอขึ้นอยู่กับวัสดุและความยืดหยุ่นของแกนแสดงในเอกสารอ้างอิง

ที่น่าสนใจที่สุดคือการคำนวณการออกแบบจากสภาพความเสถียร ด้วยการคำนวณประเภทนี้ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว: รูปแบบการคำนวณ (ค่าสัมประสิทธิ์ μ) แรงอัดภายนอก F วัสดุ (ความเค้นที่อนุญาต [σ]) และความยาว l ของแกน รูปร่างของส่วนตัดขวาง มีความจำเป็นต้องกำหนดขนาดของหน้าตัด

ความยากอยู่ที่ว่าไม่ทราบสูตรใดที่จะกำหนดความเครียดวิกฤตเพราะ หากไม่มีขนาดตัดขวาง จะไม่สามารถระบุความยืดหยุ่นของแท่งเหล็กได้ ดังนั้น การคำนวณจะดำเนินการโดยวิธีการประมาณแบบต่อเนื่องกัน:

1) เรายอมรับค่าเริ่มต้น = 0.5. กำหนดพื้นที่หน้าตัด

2) ตามพื้นที่เราพบขนาดของหน้าตัด

3) โดยใช้ขนาดตัดขวางที่ได้รับ เราคำนวณความยืดหยุ่นของแกน และโดยความยืดหยุ่น - ค่าสุดท้ายของสัมประสิทธิ์การโก่งงอ .

4) หากค่าไม่ตรงกัน และ ดำเนินการประมาณที่สอง ค่าเริ่มต้นของ φ ในการประมาณที่สองมีค่าเท่ากับ
. เป็นต้น

เราทำการคำนวณซ้ำจนกว่าค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายของสัมประสิทธิ์φ ต่างกันไม่เกิน 5% เพื่อเป็นคำตอบ เรายอมรับค่าของมิติที่ได้รับในการประมาณค่าล่าสุด

ในการค้นหาความเค้นวิกฤต จำเป็นต้องคำนวณแรงวิกฤต กล่าวคือ แรงอัดในแนวแกนที่เล็กที่สุดที่สามารถรักษาก้านอัดที่โค้งเล็กน้อยให้สมดุล

ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขครั้งแรกโดยนักวิชาการของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก L. Euler ในปี ค.ศ. 1744

โปรดทราบว่าการกำหนดปัญหานั้นแตกต่างไปจากหัวข้อที่พิจารณาก่อนหน้านี้ทั้งหมดของหลักสูตร หากก่อนหน้านี้เราพิจารณาการเสียรูปของแกนภายใต้แรงภายนอกที่กำหนด ในกรณีนี้เราจะเกิดปัญหาผกผัน: เนื่องจากความโค้งของแกนของแกนอัด จำเป็นต้องกำหนดค่าของแรงอัดตามแนวแกน Rการบิดเบือนดังกล่าวเป็นไปได้

พิจารณาแท่งตรงที่มีหน้าตัดคงที่ซึ่งติดบานพับที่ปลาย หนึ่งในตัวรองรับช่วยให้สามารถเคลื่อนที่ตามยาวของปลายแท่งที่สอดคล้องกันได้ (รูปที่ 3) เราละเลยน้ำหนักตัวเองของไม้เรียว

รูปที่ 3รูปแบบการคำนวณใน "ปัญหาออยเลอร์"

เราโหลดแท่งด้วยแรงอัดตามแนวยาวจากศูนย์กลางและให้ส่วนโค้งเล็กน้อยในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุด ก้านถูกจัดให้อยู่ในสถานะงอซึ่งเป็นไปได้เพราะ .

การเปลี่ยนรูปการดัดงอของแกนจะถือว่าเล็กมาก ดังนั้น ในการแก้ปัญหา เราสามารถใช้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณสำหรับแกนงอของแกนงอได้ การเลือกที่มาของพิกัด ณ จุดหนึ่ง แต่และทิศทางของแกนพิกัดดังแสดงในรูปที่ 3 เรามี:

(1)

ห่างกันสักพัก Xจากแหล่งกำเนิด; พิกัดของแกนโค้งในส่วนนี้จะเป็น ที่และโมเมนต์ดัดคือ

ตามรูปแบบเดิม โมเมนต์ดัดกลายเป็นลบ ในขณะที่พิกัดสำหรับทิศทางที่เลือกของแกน ที่กลายเป็นบวก (ถ้าไม้เรียวโค้งงอลงมา โมเมนต์จะเป็นค่าบวก และ ที่- เชิงลบ และ .)

สมการเชิงอนุพันธ์เพิ่งให้มาอยู่ในรูปแบบ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย EJและแทนเศษส่วนที่เรานำมาในรูป:

อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบดังนี้

โซลูชันนี้มีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก: ค่าคงที่ของการบูรณาการ เอและ ขและค่า เนื่องจากเราไม่ทราบขนาดของแรงวิกฤต

เงื่อนไขขอบเขตที่ปลายก้านให้สมการสองประการ:

ณ จุด A ที่ x = 0 โก่ง ที่ = 0,

ที่ X= 1 ที่ = 0.

เป็นไปตามเงื่อนไขแรก (ตั้งแต่ cos kx =1)

ดังนั้นแกนงอจึงเป็นไซนัสที่มีสมการ

(2)

ใช้เงื่อนไขที่สองแทนค่าในสมการนี้

ที่= 0 และ X = l

เราได้รับ:

จากนี้ไปก็ว่า เอหรือ klมีค่าเท่ากับศูนย์

ถ้า เอเท่ากับศูนย์ จากนั้นจากสมการ (2) จะเห็นว่าการโก่งตัวในส่วนใดๆ ของแกนเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ แท่งไม้ยังคงตรง สิ่งนี้ขัดแย้งกับสถานที่เริ่มต้นของข้อสรุปของเรา ดังนั้นบาป kl= 0 และค่าสามารถมีชุดค่าอนันต์ดังต่อไปนี้:

จำนวนเต็มใด ๆ อยู่ที่ไหน

ดังนั้นและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภาระที่ทำให้แท่งโค้งเล็กน้อยสมดุลสามารถมีค่าได้หลายค่าในทางทฤษฎี แต่เนื่องจากเป็นการค้นหาและน่าสนใจจากมุมมองเชิงปฏิบัติ ค่าที่น้อยที่สุดของแรงอัดในแนวแกนที่จะเกิดการโก่งงอได้ จึงควรใช้

รูทแรก =0 กำหนดให้มีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่สอดคล้องกับข้อมูลเริ่มต้นของปัญหา ดังนั้นรากนี้จะต้องถูกละทิ้งและค่าที่นำมาเป็นรากที่เล็กที่สุด จากนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับกำลังวิกฤต:

ดังนั้นยิ่งจุดเปลี่ยนที่แกนโค้งไซน์ของแกนมีมากเท่าใด แรงวิกฤตก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น การศึกษาที่สมบูรณ์มากขึ้นแสดงให้เห็นว่ารูปแบบของสมดุลที่กำหนดโดยสูตร (1) นั้นไม่เสถียร พวกเขาผ่านเข้าสู่รูปแบบที่มั่นคงเฉพาะเมื่อมีการสนับสนุนระดับกลางที่จุด ที่และ กับ(รูปที่ 1).

รูปที่ 1

ดังนั้นงานจะได้รับการแก้ไข สำหรับก้านของเรา แรงวิกฤตที่เล็กที่สุดถูกกำหนดโดยสูตร

และแกนโค้งแทนไซน์ซอยด์

ค่าคงที่ของการบูรณาการ เอยังไม่กำหนด; ความหมายทางกายภาพจะถูกค้นพบถ้าเราใส่ในสมการไซนัส จากนั้น (เช่น ตรงกลางความยาวของแท่ง) จะได้รับค่า:

วิธี, เอ- นี่คือการโก่งตัวของแกนในส่วนที่อยู่ตรงกลางของความยาว เนื่องจากที่ค่าวิกฤตของแรง Rความสมดุลของแท่งโค้งนั้นเป็นไปได้ด้วยการเบี่ยงเบนที่หลากหลายจากรูปร่างเป็นเส้นตรง ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเหล่านี้มีขนาดเล็กก็เป็นเรื่องปกติที่การโก่งตัว ฉยังไม่กำหนด

ในเวลาเดียวกัน มันต้องมีขนาดเล็กมากจนเรามีสิทธิที่จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณของแกนโค้ง นั่นคือ เพื่อให้มันยังเล็กเมื่อเทียบกับเอกภาพ

เมื่อได้ค่าของแรงวิกฤตแล้ว เราก็สามารถหาค่าของความเค้นวิกฤตได้ทันทีโดยหารแรงด้วยพื้นที่หน้าตัดของแท่ง F; เนื่องจากค่าของแรงวิกฤตถูกกำหนดจากการพิจารณาการเสียรูปของแกนซึ่งการอ่อนตัวของพื้นที่หน้าตัดในท้องถิ่นมีผลอ่อนมาก ดังนั้นสูตรจึงรวมโมเมนต์ความเฉื่อยไว้ด้วย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติ เมื่อคำนวณความเค้นวิกฤตตลอดจนเมื่อรวบรวมสภาวะความเสถียรให้เข้าสู่การคำนวณพื้นที่หน้าตัดของแท่งเต็มและไม่ลดลง แล้วจะเท่ากัน

ดังนั้นหากเลือกพื้นที่ของแท่งบีบอัดที่มีความยืดหยุ่นดังกล่าวตามสภาวะความแข็งแรงเท่านั้น แท่งจะยุบจากการสูญเสียความเสถียรของรูปทรงเป็นเส้นตรง

เป็นครั้งแรกที่ปัญหาความมั่นคงของแท่งอัดถูกวาง ออยเลอร์ได้รับสูตรการคำนวณสำหรับแรงวิกฤต และพบว่าค่าของมันขึ้นอยู่กับวิธีการยึดแกนอย่างมาก แนวคิดของวิธีออยเลอร์คือการสร้างเงื่อนไขซึ่งนอกเหนือไปจากเส้นตรงแล้วยังอาจเกิดรูปแบบสมดุลของเส้นโค้งที่อยู่ติดกัน (เช่นใกล้กับต้นฉบับ) ของแท่งภายใต้ภาระคงที่

สมมุติ​ว่า​แท่ง​ตรง​พับ​อยู่​ที่​ปลาย อัด​ด้วย​แรง พี= พีk, ถูกดึงออกจากสมดุลเส้นตรงด้วยแรงในแนวราบบางส่วนและยังคงงอหลังจากการเอาแรงในแนวราบออก (รูปที่ 13.4) หากการโก่งตัวของแกนมีขนาดเล็ก สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณของแกนจะมีรูปแบบเดียวกับในกรณีของการดัดตามขวางของคาน:

เมื่อรวมจุดกำเนิดของพิกัดเข้ากับจุดศูนย์กลางของส่วนล่างแล้วเราจะกำหนดแกน ที่ไปทางการโก่งตัวของไม้เรียวและแกน X- ตามแกนของแกน

ในทฤษฎีการโก่งงอ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาว่ากำลังอัดเป็นค่าบวก ดังนั้นเมื่อพิจารณาโมเมนต์ดัดในส่วนปัจจุบันของแกนที่พิจารณาแล้ว เราจะได้

แต่จากรูปที่ 13.4 ด้วยทิศทางที่เลือกของแกน ที่ // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси ที่ไปตรงข้ามแล้วสัญญาณจะเปลี่ยนพร้อมกัน ที่และ ที่// และเครื่องหมายลบทางด้านขวาของสมการ (13.2) จะยังคงอยู่

ดังนั้นสมการเส้นยืดหยุ่นของแท่งจึงมีรูปแบบ

.

สมมติ α 2 =Rk/EI, เราได้รับสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

,

ซึ่งมีอินทิกรัลทั่วไป

ที่นี่ อาและ บี- ค่าคงที่ของการรวมที่กำหนดจากเงื่อนไขของการตรึงแกนที่เรียกว่าเงื่อนไขขอบเขตหรือขอบเขต

การเคลื่อนตัวในแนวราบของปลายล่างของแกน ตามรูปที่ 13.4 เท่ากับศูนย์ กล่าวคือ เมื่อ X=0 การโก่งตัว ที่=0. จะเป็นไปตามเงื่อนไขนี้หาก บี=0. ดังนั้นแกนงอของไม้เรียวจึงเป็นไซน์ซอยด์

.

การกระจัดในแนวนอนของส่วนบนสุดของแถบนั้นก็เป็นศูนย์เช่นกัน ดังนั้น

.

คงที่ อาซึ่งเป็นค่าโก่งตัวสูงสุดของแท่งไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ตั้งแต่เมื่อ อา=0 เป็นไปได้เฉพาะรูปแบบเส้นตรงของสมดุลเท่านั้น และเรากำลังมองหาเงื่อนไขที่รูปแบบโค้งของสมดุลก็เป็นไปได้เช่นกัน จึงต้อง บาปα l=0. มันเป็นไปตามที่รูปแบบสมดุลโค้งของแท่งสามารถมีอยู่ได้ถ้า α lรับค่า π ,2π ,.นπ . ค่า α lไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้เนื่องจากคำตอบนี้สอดคล้องกับกรณี

เท่ากับ α l= นπ และแทนที่

เราได้รับ

.

นิพจน์ (13.5) เรียกว่าสูตรออยเลอร์ สามารถใช้คำนวณกำลังวิกฤตได้ Rkเมื่อคันเบ็ดหักในระนาบหลักอันใดอันหนึ่ง เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขนี้เท่านั้นจึงจะเป็นไปตามสมการ (13.2) และด้วยเหตุนี้จึงมีสูตร (13.5)

การโก่งตัวของแกนเกิดขึ้นในทิศทางของความแข็งแกร่งน้อยที่สุด หากไม่มีอุปกรณ์พิเศษที่ป้องกันไม่ให้แกนงอในทิศทางนี้ ดังนั้นในสูตรออยเลอร์จึงจำเป็นต้องเปลี่ยน ฉันนาที- โมเมนต์ศูนย์กลางหลักที่เล็กที่สุดของความเฉื่อยของหน้าตัดของแกน

ค่าความโก่งตัวสูงสุดของคัน อาในการแก้ปัญหาที่กำหนดยังคงไม่มีการกำหนด มันถูกนำไปโดยพลการ แต่ถือว่ามีขนาดเล็ก

ค่าของแรงวิกฤตที่กำหนดโดยสูตร (13.5) ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ น. ให้เราหาความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์นี้

ข้างต้น เราได้กำหนดว่าแกนงอของไม้เรียวเป็นไซนูซอยด์ ซึ่งสมการนั้นหลังจากการแทนที่ α =π น/lเป็นนิพจน์ (13.4) ใช้แบบฟอร์ม

.

ไซนัสสำหรับ น=1, น=2 แสดงในรูปที่ 13.5. ง่ายที่จะเห็นว่าค่า นหมายถึงจำนวนครึ่งคลื่นของไซนูซอยด์ที่แกนจะงอ เห็นได้ชัดว่าแกนจะโค้งงอตามจำนวนคลื่นครึ่งคลื่นที่น้อยที่สุดที่อุปกรณ์รองรับอนุญาตเนื่องจากตาม (13.5) ที่เล็กที่สุด นสอดคล้องกับกำลังวิกฤตที่เล็กที่สุด เฉพาะพลังวิกฤตครั้งแรกนี้เท่านั้นที่มีความหมายทางกายภาพที่แท้จริง

ตัวอย่างเช่น แท่งที่มีปลายบานพับจะงอทันทีที่ค่าแรงวิกฤตมีค่าน้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ น=1 เนื่องจากอุปกรณ์ค้ำยันของคันเบ็ดนี้ยอมให้มันโค้งไปตามไซนูซอยด์ครึ่งคลื่น กองกำลังวิกฤตที่สอดคล้องกัน น=2, น\u003d 3 และอื่น ๆ สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อมีการรองรับระดับกลาง (รูปที่ 13.6) สำหรับแท่งที่มีส่วนรองรับแบบบานพับโดยไม่มีการยึดขั้นกลาง แรงวิกฤตครั้งแรกมีความหมายที่แท้จริง

.

สูตร (13.5) ดังที่ได้มาจากรากศัพท์ ไม่เพียงแต่ใช้ได้กับไม้เท้าที่มีปลายเป็นบานพับเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับไม้เท้าใดๆ ที่โค้งงอระหว่างการโก่งตัวตามจำนวนเต็มของครึ่งคลื่น ให้เราใช้สูตรนี้ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดแรงวิกฤตของแท่งไม้ อุปกรณ์รองรับซึ่งอนุญาตให้มีการเคลื่อนตัวตามยาวของปลายของมันเท่านั้น (ขาตั้งพร้อมปลายฝัง) ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 13.7 จำนวนครึ่งคลื่นของแกนโค้งในกรณีนี้ น=2 และด้วยเหตุนี้ แรงวิกฤตของแกนที่มีอุปกรณ์รองรับที่ให้มา

.

ให้เราสมมติว่าชั้นวางที่มีปลายด้านหนึ่งหนีบและปลายอีกด้านหนึ่ง (รูปที่ 13.8) ถูกบีบอัดด้วยแรง R.

ถ้าแข็งแกร่ง พี= พีkนอกเหนือจากเส้นตรงแล้วยังมีความสมดุลของชั้นวางในรูปแบบโค้ง (เส้นประในรูปที่ 13.8)

สมการเชิงอนุพันธ์ของแกนงอของชั้นวางในสมการที่แสดงในรูปที่ 13.8 ระบบแกนพิกัดมีรูปแบบเดียวกัน

คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ:

อยู่ภายใต้การแก้ปัญหานี้กับเงื่อนไขขอบเขตที่ชัดเจน: y=0 ที่ x=0 และ y/ =0 ที่ x= l, เราได้รับ บี=0, อาα cosα l= 0.

เราคิดว่าเสานั้นโค้ง ดังนั้นค่า อาไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เพราะฉะนั้น, cosα l= 0. รากที่ไม่ใช่ศูนย์ที่เล็กที่สุดของสมการนี้ α l= π /2 กำหนดกำลังวิกฤตแรก

,

ซึ่งสอดคล้องกับการดัดของไม้เรียวตามแนวไซนัส

.

ค่านิยม α l=3π /2, α l=5π /2 เป็นต้น ดังที่แสดงไว้ข้างต้น สอดคล้องกับค่าขนาดใหญ่ พีkและรูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้นของแกนโค้งของชั้นวางซึ่งสามารถมีอยู่ได้จริงเมื่อมีตัวรองรับระดับกลางเท่านั้น

ตัวอย่างที่สอง ให้พิจารณาชั้นวางที่มีการบีบปลายด้านหนึ่งและบานพับที่สอง (รูปที่ 13.9) เนื่องจากความโค้งของแกนแกนที่ พี= พีkจากด้านข้างของส่วนรองรับบานพับจะเกิดแรงปฏิกิริยาในแนวนอน R. ดังนั้น โมเมนต์ดัดในส่วนปัจจุบันของแกน

.α :

รากที่เล็กที่สุดของสมการนี้จะกำหนดแรงวิกฤตแรก สมการนี้แก้ได้ด้วยวิธีการเลือก เป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อว่ารากที่ไม่เป็นศูนย์ที่เล็กที่สุดของสมการนี้ α l= 4.493=1.43 π .

การเอาไป α l= 1.43 π เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับกำลังวิกฤต:

ที่นี่ μ =1/น- ส่วนกลับของจำนวนครึ่งคลื่น นไซนัสอยด์ซึ่งก้านจะงอ คงที่ μ เรียกว่าปัจจัยลดความยาวและผลิตภัณฑ์ μ l- ลดความยาวของก้าน ความยาวที่ลดลงคือความยาวครึ่งคลื่นของไซนัสซึ่งแกนนี้งอ

กรณีของการติดบานพับที่ปลายของแกนเรียกว่าเคสหลัก จากที่กล่าวมาข้างต้น แรงวิกฤตสำหรับการยึดแกนทุกกรณีสามารถคำนวณได้โดยสูตรสำหรับกรณีหลัก เมื่อความยาวจริงของแกนถูกแทนที่ด้วยความยาวที่ลดลง μ l.

ค่าสัมประสิทธิ์การลด μ สำหรับบางชั้นวางจะได้รับในรูป 17.10.

แนวคิดเรื่องความมั่นคงและพลังวิกฤต การคำนวณการออกแบบและการตรวจสอบ

ในโครงสร้างและโครงสร้าง ชิ้นส่วนที่ค่อนข้างยาวและแท่งบางซึ่งมีขนาดหน้าตัดหนึ่งหรือสองขนาดมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของแท่ง พฤติกรรมของแท่งดังกล่าวภายใต้การกระทำของแรงอัดในแนวแกนจะแตกต่างจากเมื่อแท่งสั้นถูกบีบอัดโดยพื้นฐาน: เมื่อแรงอัด F ถึงค่าวิกฤตที่แน่นอนเท่ากับ Fcr รูปร่างเป็นเส้นตรงของสมดุลของแท่งยาว ปรากฏว่าไม่เสถียร และเมื่อเกิน Fcr แท่งเหล็กจะเริ่มโค้งงออย่างรุนแรง (นูน) ในกรณีนี้ สภาวะสมดุลใหม่ (ชั่วขณะ) ของสายยางยืดยาวจะกลายเป็นรูปแบบเส้นโค้งแบบใหม่ที่มีอยู่แล้ว ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการสูญเสียเสถียรภาพ

ข้าว. 37. สูญเสียความมั่นคง

ความมั่นคง - ความสามารถของร่างกายในการรักษาตำแหน่งหรือรูปร่างของการทรงตัวภายใต้อิทธิพลภายนอก

แรงวิกฤต (Fcr) - ภาระที่มากเกินไปทำให้สูญเสียความมั่นคงของรูปร่าง (ตำแหน่ง) ดั้งเดิมของร่างกาย สภาพความเสถียร:

Fmax ≤ Fcr, (25)

ความเสถียรของแท่งอัด ปัญหาออยเลอร์.

เมื่อพิจารณาถึงแรงวิกฤตที่ก่อให้เกิดการโก่งงอของแกนอัด ให้สันนิษฐานว่าแกนนั้นตรงอย่างสมบูรณ์และแรง F จะถูกนำไปใช้กับศูนย์กลางอย่างเคร่งครัด ปัญหาของการรับน้ำหนักวิกฤตของแท่งบีบอัด โดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของสมดุลสองรูปแบบที่ค่าแรงเท่ากัน แอล. ออยเลอร์แก้ไขในปี ค.ศ. 1744

ข้าว. 38. ก้านอัด

พิจารณาแท่งเหล็กที่รองรับแกนหมุนที่ปลายซึ่งบีบอัดด้วยแรงตามยาว F สมมติว่าด้วยเหตุผลบางอย่างแกนรับความโค้งเล็กน้อยของแกนอันเป็นผลมาจากโมเมนต์ดัด M ปรากฏในนั้น:

โดยที่ y คือการโก่งตัวของแกนในส่วนที่กำหนดโดยพิกัด x

ในการกำหนดแรงวิกฤต คุณสามารถใช้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณของเส้นยืดหยุ่นได้:

(26)

เมื่อทำการแปลงแล้วจะเห็นได้ว่าแรงวิกฤตจะรับค่าต่ำสุดที่ n = 1 (ครึ่งคลื่นของไซนูซอยด์พอดีตามความยาวของแท่ง) และ J = Jmin (แท่งงอประมาณ แกนที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยน้อยที่สุด)

(27)

นิพจน์นี้เป็นสูตรของออยเลอร์

การพึ่งพาแรงวิกฤตตามเงื่อนไขการยึดคัน

ได้สูตรของออยเลอร์มาสำหรับกรณีพื้นฐานที่เรียกว่า - โดยสมมติให้รองรับบานพับของแกนที่ปลาย ในทางปฏิบัติ มีกรณีอื่นๆ ในการยึดคันเบ็ด ในกรณีนี้ เราสามารถหาสูตรสำหรับกำหนดแรงวิกฤตสำหรับแต่ละกรณีเหล่านี้ได้โดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของแกนงอของคานด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม ดังในย่อหน้าที่แล้ว แต่คุณสามารถใช้เทคนิคที่ง่ายกว่านี้ได้ ถ้าคุณจำได้ว่า ในกรณีที่สูญเสียการทรงตัว ไซนัสครึ่งคลื่นหนึ่งคลื่นควรพอดีกับความยาวของไม้เท้า

ให้เราพิจารณาบางกรณีลักษณะเฉพาะของการยึดแกนที่ปลายและรับสูตรทั่วไปสำหรับการยึดแบบต่างๆ

ข้าว. 39. การยึดคันเบ็ดแบบต่างๆ

สูตรทั่วไปของออยเลอร์:

(28)

โดยที่ μ·l = l pr - ความยาวของก้านลดลง l คือความยาวจริงของแท่ง; μ คือสัมประสิทธิ์ของความยาวที่ลดลง ซึ่งแสดงว่าจำเป็นต้องเปลี่ยนความยาวของแกนกี่ครั้งเพื่อให้แรงวิกฤตของแกนนี้เท่ากับแรงวิกฤตของคานแบบบานพับ (การตีความอีกอย่างของสัมประสิทธิ์ความยาวที่ลดลง: μ แสดงว่าส่วนใดของความยาวของแกนสำหรับประเภทที่กำหนดของการยึดหนึ่งคลื่นครึ่งคลื่นของไซนูซอยด์จะพอดีในกรณีที่โก่งงอ)

ดังนั้น เงื่อนไขความเสถียรสุดท้ายจะอยู่ในรูป

(29)

ให้เราพิจารณาการคำนวณสองประเภทสำหรับความเสถียรของแท่งบีบอัด - การตรวจสอบและการออกแบบ

ตรวจสอบการคำนวณ

ขั้นตอนการตรวจสอบความเสถียรมีลักษณะดังนี้:

เราคำนวณความยืดหยุ่นตามขนาดและรูปร่างของหน้าตัดที่ทราบและเงื่อนไขในการยึดแกน

ตามตารางอ้างอิง เราพบตัวประกอบการรีดิวซ์สำหรับความเค้นที่อนุญาต จากนั้นเราจะกำหนดความเค้นที่อนุญาตสำหรับความเสถียร

เปรียบเทียบความเค้นสูงสุดกับความเค้นด้านความมั่นคงที่อนุญาต

การคำนวณการออกแบบ

ในการคำนวณการออกแบบ (เพื่อเลือกส่วนสำหรับโหลดที่กำหนด) มีปริมาณที่ไม่รู้จักสองปริมาณในสูตรการคำนวณ - พื้นที่หน้าตัด A ที่ต้องการและค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก φ (เนื่องจาก φ ขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่นของแท่งและด้วยเหตุนี้ บนพื้นที่ที่ไม่รู้จัก A) ดังนั้น เมื่อเลือกส่วนใดส่วนหนึ่ง มักจะต้องใช้วิธีการประมาณแบบต่อเนื่องกัน:

โดยปกติในความพยายามครั้งแรก φ 1 \u003d 0.5 ... 0.6 ถูกนำมาใช้และกำหนดพื้นที่หน้าตัดในการประมาณครั้งแรก

ตามพื้นที่ที่พบ A1 เลือกส่วนและคำนวณความยืดหยุ่นของแกนในการประมาณค่าแรก λ1 รู้ λ หาค่าใหม่ φ'1;

การเลือกใช้วัสดุและรูปทรงที่สมเหตุสมผลของส่วน

การเลือกใช้วัสดุ. เนื่องจากโมดูลัสของ Young เท่านั้นที่รวมอยู่ในสูตรของออยเลอร์สำหรับคุณลักษณะทางกลทั้งหมด จึงไม่แนะนำให้ใช้วัสดุที่มีความแข็งแรงสูงเพื่อเพิ่มความเสถียรของแท่งที่มีความยืดหยุ่นสูง เนื่องจากโมดูลัสของ Young มีค่าเท่ากันสำหรับเกรดเหล็กทั้งหมด

สำหรับแท่งที่มีความยืดหยุ่นต่ำ การใช้เหล็กเกรดสูงนั้นสมเหตุสมผล เนื่องจากการเพิ่มความแข็งแรงของผลผลิตของเหล็กดังกล่าว ความเค้นวิกฤตจึงเพิ่มขึ้น และด้วยเหตุนี้จึงทำให้ระยะขอบมีเสถียรภาพ

มหาวิทยาลัยขนส่งแห่งรัฐอีร์คุตสค์

แล็บ #16

ตามระเบียบวินัย “ความแข็งแรงของวัสดุ”

การพิจารณาทดลองของกองกำลังวิกฤต

สำหรับการดัดตามยาว

กรม PM

แล็บ #16

การทดลองหาแรงวิกฤตในการโก่งงอ

วัตถุประสงค์:ศึกษาปรากฏการณ์การโก่งตัวของแท่งเหล็กอัดในยางยืด

ขั้นตอน การทดลองหาค่าโหลดวิกฤตของการบีบอัด

แท่งที่มีวิธีการยึดต่าง ๆ และเปรียบเทียบกับทางทฤษฎี

ค่านิยม

บทบัญญัติทั่วไป

แท่งบีบอัดไม่เพียงพอสำหรับการทดสอบความแข็งแรงตามเงื่อนไขที่รู้จักกันดี:

,

โดยที่ [σ] คือความเค้นที่อนุญาตสำหรับวัสดุแท่ง พี - แรงอัด F - พื้นที่หน้าตัด.

ในทางปฏิบัติ วิศวกรจัดการกับแท่งที่มีความยืดหยุ่นภายใต้แรงอัด แผ่นบางที่ถูกบีบอัด โครงสร้างผนังบาง ความล้มเหลวไม่ได้เกิดจากการสูญเสียความสามารถในการรองรับแบริ่ง แต่เกิดจากการสูญเสียความเสถียร

การสูญเสียเสถียรภาพเป็นที่เข้าใจกันว่าการสูญเสียสมดุลรูปแบบเดิม

ความต้านทานของวัสดุพิจารณาถึงความเสถียรขององค์ประกอบโครงสร้างที่ทำงานในการอัด

พิจารณาแท่งยาวบาง (รูปที่ 1) ที่บรรจุแรงอัดตามแนวแกน พี .

พี< พี kr พี > พี kr

ข้าว. หนึ่ง.แกนรับแรงอัดตามแนวแกน พี .

สำหรับค่าแรงเล็กน้อย Fก้านถูกบีบอัดในขณะที่ยังคงตรง ยิ่งไปกว่านั้น หากแกนถูกเบี่ยงเบนจากตำแหน่งนี้ด้วยแรงตามขวางเล็กน้อย มันก็จะงอ แต่เมื่อถอดออก ก้านจะกลับสู่สถานะเป็นเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าสำหรับกำลังที่กำหนด พี รูปแบบเส้นตรงของความสมดุลของแท่งมีเสถียรภาพ

หากเรายังคงเพิ่มแรงอัดต่อไป พี , จากนั้นที่ค่าบางส่วนรูปแบบสมดุลของเส้นตรงจะไม่เสถียรและสมดุลรูปแบบใหม่ของไม้เรียวเกิดขึ้น - โค้ง (รูปที่ 1, b) . เนื่องจากการโก่งตัวของแกน ช่วงเวลาการดัดจะปรากฏขึ้นในส่วนของมัน ซึ่งจะทำให้เกิดความเค้นเพิ่มเติม และแกนอาจล้มลงกะทันหัน

ความโค้งของแท่งยาวที่ถูกบีบอัดด้วยแรงตามยาวเรียกว่า โก่ง .

ค่าสูงสุดของแรงอัดซึ่งรูปแบบเส้นตรงของความสมดุลของแท่งมีความเสถียรเรียกว่า วิกฤต - พี kr.

เมื่อถึงภาระวิกฤต จะมีการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพอย่างชัดเจนในรูปของสมดุลดั้งเดิม ซึ่งนำไปสู่ความล้มเหลวของโครงสร้าง ดังนั้นแรงวิกฤตจึงถือเป็นภาระการแตกหัก

สูตรออยเลอร์และยาซินสกี้

ปัญหาในการกำหนดแรงวิกฤตของแท่งบีบอัดได้รับการแก้ไขครั้งแรกโดยสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก L. Euler ในปี ค.ศ. 1744 สูตรออยเลอร์มีรูปแบบ

(1)

ที่ไหน อี – โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุแท่ง เจนาที- โมเมนต์ความเฉื่อยที่น้อยที่สุดของหน้าตัดของแกน (เนื่องจากการงอของแกนระหว่างการโก่งตัวเกิดขึ้นในระนาบที่มีความแข็งแกร่งน้อยที่สุด กล่าวคือ ส่วนตัดขวางของแกนหมุนรอบแกนซึ่งสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อย น้อยที่สุด กล่าวคือ รอบแกน x , หรือรอบแกน y );

(μ· l ) คือความยาวที่ลดลงของแกน นี่คือผลคูณของความยาวของแกน l โดยสัมประสิทธิ์ μ ซึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการยึดปลายก้าน

ค่าสัมประสิทธิ์ μ เรียกว่า ปัจจัยลดความยาว ค่าของมันสำหรับกรณีทั่วไปของการยึดปลายของแกนแสดงในรูปที่ 2:

เอ- ปลายทั้งสองของคันเป็นบานพับและสามารถเข้าหากันได้

ข- ปลายด้านหนึ่งยึดอย่างแน่นหนา ปลายอีกด้านไม่มีอิสระ

ใน- ปลายด้านหนึ่งเป็นบานพับส่วนอีกด้านหนึ่งมี "ตราประทับแบบลอยตัว"

จี - ปลายด้านหนึ่งถูกยึดอย่างแน่นหนาส่วนปลายอีกด้านหนึ่งมี "ตราประทับแบบลอยตัว";

d- ปลายด้านหนึ่งยึดอย่างแน่นหนา อีกด้านหนึ่งรองรับบานพับที่เคลื่อนย้ายได้

อี- ปลายทั้งสองถูกหนีบอย่างแน่นหนา แต่สามารถเข้าหากันได้

จากตัวอย่างเหล่านี้จะเห็นได้ว่าสัมประสิทธิ์ μ คือจำนวนส่วนกลับของจำนวนครึ่งคลื่นของเส้นยืดหยุ่นของแกนระหว่างการโก่งงอ

ข้าว. 2.ค่าสัมประสิทธิ์ μ บ่อยที่สุด

กรณีที่เกิดขึ้นของการซ่อมปลายก้าน

ความเค้นปกติในส่วนตัดขวางของแกนอัดซึ่งสอดคล้องกับค่าวิกฤตของแรงอัดเรียกอีกอย่างว่าวิกฤต

เรากำหนดตามสูตรออยเลอร์:

(2)

ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วน ฉันนาทีกำหนดโดยสูตร

เรียกว่า รัศมีการหมุนของส่วน (เทียบกับแกน c เจนาที). สำหรับส่วนสี่เหลี่ยม

โดยคำนึงถึง (3) สูตร (2) จะอยู่ในรูปแบบ:

(4)

อัตราส่วนของความยาวที่ลดลงของก้านต่อรัศมีการหมุนรอบต่ำสุดของหน้าตัดตามคำแนะนำของศาสตราจารย์แห่งสถาบันวิศวกรรถไฟแห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก F.S. ยาซินสกี้ (1856-1899) เรียกว่า ความยืดหยุ่นของก้าน และเขียนแทนด้วยตัวอักษร λ :

ปริมาณไร้มิตินี้สะท้อนถึงพารามิเตอร์ต่อไปนี้พร้อมกัน: ความยาวของแกน วิธีแก้ไข และลักษณะของหน้าตัด

สุดท้ายแทนที่ (5) เป็นสูตร (4) เราได้รับ

เมื่อได้สูตรของออยเลอร์ สันนิษฐานว่าวัสดุของแท่งไม้มีความยืดหยุ่นและเป็นไปตามกฎของฮุก ดังนั้น สูตรออยเลอร์สามารถใช้ได้เฉพาะกับความเค้นที่น้อยกว่าขีดจำกัดของสัดส่วน σ hcเช่น เมื่อ

เงื่อนไขนี้กำหนดขีดจำกัดการบังคับใช้ของสูตรออยเลอร์:

ปริมาณทางด้านขวาของอสมการนี้เรียกว่า ความคล่องตัวสูงสุด :

ค่าของมันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทางกายภาพและทางกลของวัสดุแท่ง

สำหรับเหล็กอ่อนเซนต์. 3 ซึ่ง σ hc= 200 MPa, อี = 2· 10 5 MPa:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณค่าความยืดหยุ่นสูงสุดสำหรับวัสดุอื่นๆ: สำหรับเหล็กหล่อ λ ก่อน= 80 สำหรับต้นสน λ ก่อน = 110.

ดังนั้น สูตรออยเลอร์จึงใช้ได้กับแท่งที่มีความยืดหยุ่นมากกว่าหรือเท่ากับความยืดหยุ่นสูงสุด กล่าวคือ

λ ≥ λ ก่อน

สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: หากความยืดหยุ่นของแท่งเหล็กมากกว่าความยืดหยุ่นขั้นสูงสุด แรงวิกฤตจะต้องกำหนดโดยสูตรออยเลอร์

ที่ λ < λ ก่อนสูตรของออยเลอร์สำหรับแท่งใช้ไม่ได้ ในกรณีเหล่านี้ เมื่อความยืดหยุ่นของแท่งเหล็กน้อยกว่าค่าจำกัด ค่าเชิงประจักษ์ สูตรของยาซินสกี้ :

σ kr = เอ – ข λ , (7)

ที่ไหน เอ และ ข - ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดโดยการทดลองซึ่งคงที่สำหรับวัสดุที่กำหนด พวกเขามีมิติของความเครียด

เพื่อความยืดหยุ่นบางอย่าง λ เกี่ยวกับความเครียด σ krคำนวณโดยสูตร (7) จะเท่ากับความเค้นอัดสูงสุด นั่นคือ กำลังคราก σ tสำหรับวัสดุเหนียวหรือกำลังรับแรงอัด σ ดวงอาทิตย์- สำหรับวัสดุเปราะ แท่งที่มีความยืดหยุ่นต่ำ ( λ < λ เกี่ยวกับ) ไม่ต้องพึ่งพาความเสถียร แต่เน้นความแข็งแกร่งภายใต้การบีบอัดอย่างง่าย

ดังนั้น การคำนวณแท่งบีบอัดเพื่อความมั่นคงจึงแตกต่างกันไปตามความยืดหยุ่น