Point Finding-uppgifter korsningar alla figurer är ideologiskt primitiva. Svårigheter i dem är bara på grund av aritmetik, eftersom det är i det som olika stavfel och fel görs.

Instruktion

1. Detta problem löses analytiskt, därför är det tillåtet att inte rita grafik alls hetero och paraboler. Ofta ger detta ett stort plus för att lösa ett exempel, eftersom sådana funktioner kan ges i problemet att det är lättare och snabbare att inte rita dem.

2. Enligt algebraläroböcker ges en parabel av en funktion av formen f(x)=ax^2+bx+c, där a,b,c är reella tal, och exponenten a är bra på noll. Funktionen g(x)=kx+h, där k,h är reella tal, definierar en linje i planet.

3. Punkt korsningar hetero och paraboler är den universella punkten för båda kurvorna, därför kommer funktionerna i den att ha identiska värden, dvs f(x)=g(x). Detta påstående låter dig skriva ekvationen: ax^2+bx+c=kx+h, vilket ger sannolikheten att hitta många poäng korsningar .

4. I ekvationen ax^2+bx+c=kx+h måste du flytta alla termer till vänster och ta med liknande: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Nu återstår att lösa den resulterande andragradsekvationen.

5. Alla detekterade "xes" är ännu inte resultatet för uppgiften, eftersom en punkt på planet kännetecknas av två reella tal (x, y). För den fullständiga slutsatsen av lösningen är det nödvändigt att beräkna motsvarande "spel". För att göra detta är det nödvändigt att ersätta "xes" antingen i funktionen f (x) eller i funktionen g (x), te för punkten korsningar korrekt: y=f(x)=g(x). Senare kommer du att hitta alla universella punkter i parabeln och hetero .

6. För att konsolidera materialet är det mycket viktigt att se lösningen med ett exempel. Låt parabeln ges av funktionen f(x)=x^2-3x+3, och den räta linjen - g(x)=2x-3. Skriv ekvationen f(x)=g(x), dvs x^2-3x+3=2x-3. Om du överför alla termer till vänster och tar med liknande, får du: x^2-5x+6=0. Rötterna till denna andragradsekvation: x1=2, x2=3. Hitta nu motsvarande "spelare": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Alltså hittas alla punkter korsningar: (2,1) och (3,3).

punkt korsningar raka linjer kan ungefärligen bestämmas från grafen. Men de exakta koordinaterna för denna punkt behövs ofta, eller så är det inte nödvändigt att bygga en graf, då är det möjligt att hitta punkten korsningar att bara känna till linjernas ekvationer.

Instruktion

1. Låt två linjer ges av linjens allmänna ekvationer: A1*x + B1*y + C1 = 0 och A2*x + B2*y + C2 = 0. Punkt korsningar tillhör den ena räta linjen och den andra. Vi uttrycker från den första ekvationen på linjen x, vi får: x = -(B1*y + C1)/A1. Ersätt det resulterande värdet i den andra ekvationen: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 – A2B1). Ersätt det detekterade värdet i ekvationen för den första räta linjen: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1C1 = 0(A1B2 – A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0 Sedan x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).

2. I en skolmatematikkurs ges räta linjer ofta av en ekvation med en vinkelexponent, låt oss överväga detta fall. Låt två linjer ges på detta sätt: y1 = k1*x + b1 och y2 = k2*x + b2. Tydligen vid punkten korsningar y1 = y2, sedan k1*x + b1 = k2*x + b2. Vi får det ordinatan för punkten korsningar x = (b2 – bl)/(k1 – k2). Ersätt x i valfri ekvation på en rät linje och få y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Relaterade videoklipp

Ekvationen parabolerär en kvadratisk funktion. Det finns flera alternativ för att sammanställa denna ekvation. Allt beror på vilka parametrar som presenteras i problemets tillstånd.

Instruktion

1. En parabel är en kurva som liknar en båge till formen och är en graf över en potensfunktion. Oavsett vilka kollationer parabeln har är denna funktion jämn. En jämn funktion är en sådan funktion att, för alla värden av argumentet från definitionsdomänen, när argumentets tecken ändras, ändras inte värdet: f (-x) \u003d f (x) Börja med den mest primitiva funktionen: y \u003d x ^ 2. Från dess utseende är det möjligt att dra slutsatsen att det växer både för korrekta och för negativa värden av argumentet x. Punkten där x=0 och samtidigt y = 0 anses vara funktionens minimipunkt.

2. Nedan finns alla huvudalternativ för att konstruera denna funktion och dess ekvation. Som ett första exempel är nedan en funktion av formen: f(x)=x^2+a, där a är ett heltal För att plotta denna funktion måste du flytta grafen för funktionen f(x) med a enheter. Ett exempel är funktionen y=x^2+3, där y-axeln flyttar funktionen upp med två enheter. Givet en funktion med motsatt tecken, säg y=x^2-3, förskjuts dess graf nedåt y-axeln.

3. En annan typ av funktion som kan ges en parabel är f(x)=(x + a)^2. I sådana fall förskjuts grafen tvärtom längs abskissan (x-axeln) med en enhet. Det är till exempel tillåtet att se funktionerna: y=(x +4)^2 och y=(x-4)^2. I det första fallet, där det finns en funktion med ett plustecken, förskjuts grafen längs x-axeln till vänster och i det andra fallet till höger. Alla dessa fall visas i figuren.

4. Det finns också paraboliska beroenden av formen y=x^4. I sådana fall är x=const och y stiger brant. Detta gäller dock bara för jämna funktioner parabolerär ofta närvarande i fysiska problem, till exempel beskriver en kropps flykt en linje som liknar en parabel. Även utsikt paraboler har ett längdsnitt av strålkastarreflektorn, lampan. Till skillnad från en sinusvåg är denna graf icke-periodisk och progressiv.

Tips 4: Hur man bestämmer skärningspunkten för en linje med ett plan

Denna uppgift är att bygga en punkt korsningar hetero med ett plan är en klassiker inom teknisk grafik och utförs med metoderna för beskrivande geometri och deras grafiska lösning i ritningen.

Instruktion

1. Tänk på definitionen av en punkt korsningar hetero med ett privat lokaliseringsplan (Figur 1) Den raka linjen l skär frontalprojektionsplanet?. Peka på dem korsningar K tillhör och hetero och planet, så den gemensamma projektionen av K2 ligger på?2 och l2. Det vill säga, K2= l2??2, och dess horisontella projektion K1 bestäms på l1 med användning av projektionsanslutningslinjen. Således är den önskade punkten korsningar K(K2K1) är konstruerad fritt utan användning av hjälpplan. Punkter definieras på liknande sätt korsningar hetero med alla möjliga privata plan.

2. Tänk på definitionen av en punkt korsningar hetero med det allmänna planet. I figur 2 ges ett godtyckligt placerat plan i rymden? och rät linje l. För att definiera en punkt korsningar hetero med ett allmänt lägesplan används metoden för extra skärplan i följande ordning:

3. Ett extra skärplan dras genom den raka linjen l?. För att underlätta konstruktionen kommer detta att vara det utskjutande planet.

5. Punkt K är markerad korsningar hetero l och den konstruerade linjen korsningar MN. Hon är den önskade punkten korsningar hetero och flygplan.

6. Låt oss tillämpa denna regel för att lösa ett specifikt problem i en komplex ritning. Definiera punkt korsningar hetero l med planet för den allmänna positionen, givet av triangeln ABC (Figur 3).

7. Ett hjälpsekantplan ? dras genom den räta linjen l, vinkelrätt mot projektionsplanet?2. Dess projektion?2 sammanfaller med projektionen hetero l2.

8. MN-linjen är under uppbyggnad. Plan? skär AB i punkt M. Dess gemensamma projektion M2= ?2?A2B2 och horisontella M1 på A1B1 är markerade längs linjen för projektionsanslutningen. korsar sidan AC i punkt N. Dess gemensamma projektion är N2=?2?A2C2, den horisontella projektionen av N1 på A1C1. Linjen MN tillhör båda planen samtidigt, och är därför deras linje korsningar .

9. Punkt K1 bestäms korsningar l1 och M1N1, efter den punkten byggs K2 med stöd av kommunikationslinjen. Det visar sig att K1 och K2 är projektioner av den önskade punkten korsningar K hetero jag och flygplan? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2). Med hjälp av de tävlande punkterna M,1 och 2,3 bestäms sikten hetero Jag om ett visst plan? ABC.

Relaterade videoklipp

Notera!
Använd ett hjälpplan när du löser ett problem.

Användbara råd
Utför beräkningar med hjälp av detaljerade ritningar som matchar problemets krav. Detta hjälper dig att snabbt navigera i lösningen.

Två linjer, om de inte är parallella och inte sammanfaller, skär varandra strikt på en punkt. Att hitta koordinaterna för denna plats innebär att beräkna poäng korsningar direkt. Två skärande linjer ligger undantagslöst i samma plan, så det räcker att se dem i det kartesiska planet. Låt oss titta på ett exempel på hur man hittar den universella punkten för linjer.

Instruktion

1. Ta ekvationerna för 2 linjer, kom ihåg att ekvationen för en linje i det kartesiska koordinatsystemet, ekvationen för en linje ser ut som ax + y + c \u003d 0, och a, b, c är vanliga tal, och x och y är punkternas koordinater. Hitta till exempel poäng korsningar räta linjer 4x+3y-6=0 och 2x+y-4=0. För att göra detta, hitta lösningen till systemet av dessa 2 ekvationer.

2. För att lösa ett ekvationssystem, ändra någon av ekvationerna så att y föregås av en identisk exponent. För i en ekvation är exponenten framför y 1, multiplicera sedan denna ekvation primitivt med talet 3 (exponenten framför y i en annan ekvation). För att göra detta, multiplicera varje element i ekvationen med 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) och få en vanlig ekvation 6x + 3y-12 \u003d 0 . Om exponenterna framför y var underbara från enhet i båda ekvationerna, skulle båda likheterna behöva multipliceras.

3. Subtrahera den andra från en ekvation. För att göra detta, subtrahera från vänster sida av en vänster sida av andra och gör samma sak med höger. Få det här uttrycket: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Eftersom det finns ett "-"-tecken framför parentes, ändra alla tecken inom parentes till de motsatta. Få detta uttryck: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Förenkla uttrycket så ser du att variabeln y har försvunnit. Den nya ekvationen ser ut så här: -2x+6=0. Överför siffran 6 till en annan del av ekvationen, och från den resulterande likheten -2x \u003d -6, uttryck x: x \u003d (-6) / (-2). Så du fick x=3.

4. Byt ut värdet på x=3 i valfri ekvation, säg, i den andra och få följande uttryck: (2 * 3) + y-4 = 0. Förenkla och uttryck y: y=4-6=-2.

5. Skriv de resulterande x- och y-värdena som koordinater poäng(3;-2). Dessa kommer att vara lösningen på problemet. Kontrollera värdet som erhålls genom att substituera i båda ekvationerna.

6. Om linjerna inte är givna som ekvationer, utan ges primitivt på planet, hitta koordinaterna poäng korsningar grafiskt. För att göra detta, förläng linjerna så att de skär varandra, sänk sedan vinkelrätarna på x- och y-axlarna. Skärningen av vinkelräta med x- och y-axlarna kommer att vara koordinaterna för denna poäng, titta på figuren så ser du att koordinaterna poäng korsningar x \u003d 3 och y \u003d -2, det vill säga punkten (3; -2) är lösningen på problemet.

Relaterade videoklipp

En parabel är en andra ordningens plankurva vars kanoniska ekvation i det kartesiska koordinatsystemet är y?=2px. Där p är parabelns fokalparameter, lika med avståndet från en fast punkt F, kallad fokus, till en fast linje D i samma plan, kallad riktlinje. Spetsen för en sådan parabel passerar genom koordinaternas förord, och själva kurvan är symmetrisk kring abskissaxeln Ox. I algebras skolkurs är det vanligt att betrakta en parabel, vars symmetriaxel sammanfaller med ordinataaxeln Oy: x?=2py. Och ekvationen är skriven något motsatt: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Det är möjligt att rita en parabel med flera metoder, villkorligt som kan kallas algebraisk och geometrisk.

Instruktion

1. Algebraisk konstruktion av en parabel Ta reda på koordinaterna för parabelns spets. Beräkna koordinaten längs Ox-axeln med formeln: x0=-b/(2a), och längs Oy-axeln: y0=-(b?-4ac)/4a eller ersätt det resulterande x0-värdet i ekvationen för parabeln y0 =ax0?+bx0+c och beräkna värdet.

2. På koordinatplanet, konstruera symmetriaxeln för parabeln. Dess formel sammanfaller med formeln för x0-koordinaten för parabelns vertex: x=-b/(2a). Bestäm var grenarna av parabeln pekar. Om a>0, så är axlarna riktade uppåt, om a

3. Ta godtyckligt 2-3 värden för parameter x så att: x0

4. Placera punkterna 1', 2' och 3' så att de är symmetriska med punkterna 1, 2, 3 kring symmetriaxeln.

5. Förena punkterna 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 med en slät sned linje. Fortsätt linjen uppåt eller nedåt, beroende på parabelns riktning. Parabeln är byggd.

6. Geometrisk konstruktion av en parabel. Denna metod är baserad på definitionen av en parabel som en gemenskap av punkter på samma avstånd från både fokus F och riktlinje D. Hitta därför först fokalparametern för den givna parabeln p=1/(2a).

7. Konstruera symmetriaxeln för parabeln som beskrivs i steg 2. På den sätter du en punkt F med en koordinat längs Oy-axeln lika med y \u003d p / 2 och en punkt D med en koordinat y \u003d -p / 2.

8. Använd en kvadrat och konstruera en linje som går genom punkt D, vinkelrät mot parabelns symmetriaxel. Denna linje är riktningen för parabeln.

9. Ta tråden längs längden lika med ett av benen på torget. Fäst ena änden av tråden med en knapp överst på fyrkanten som detta ben ansluter till, och den andra änden vid parabelns fokus vid punkt F. Sätt linjalen så att dess övre kant sammanfaller med riktlinje D. Placera kvadrat på linjalen, fri från knappen med benet .

10. Ställ in pennan så att den med spetsen pressar tråden mot torgets ben. Flytta fyrkanten längs linjalen. Pennan kommer att rita parabeln du behöver.

Relaterade videoklipp

Notera!
Rita inte toppen av parabeln som en vinkel. Dess grenar konvergerar med varandra, mjukt avrundade.

Användbara råd
När du konstruerar en parabel med den geometriska metoden, se till att tråden alltid är spänd.

Innan du går vidare till sökningen efter funktionsbeteendet är det nödvändigt att bestämma området för metamorfos av de kvantiteter som övervägs. Låt oss anta att variablerna refererar till mängden reella tal.

Instruktion

1. En funktion är en variabel som beror på argumentets värde. Argumentet är en oberoende variabel. Gränserna för förändring i ett argument kallas domänen av möjliga värden (ROV). Funktionens beteende betraktas inom ramen för ODZ eftersom, inom dessa gränser, kopplingen mellan två variabler inte är kaotisk, utan lyder vissa regler och kan skrivas som ett matematiskt uttryck.

2. Låt oss överväga godtycklig funktionell anslutning F=?(x), var? är ett matematiskt uttryck. Funktionen kan ha skärningspunkter med koordinataxlarna eller med andra funktioner.

3. I skärningspunkterna mellan funktionen och x-axeln blir funktionen lika med noll: F(x)=0 Lös denna ekvation. Du får koordinaterna för skärningspunkterna för den givna funktionen med OX-axeln. Det kommer att finnas lika många sådana punkter som det finns rötter till ekvationen i en given del av argumentets metamorfos.

4. Vid skärningspunkterna för funktionen med y-axeln är argumentvärdet noll. Följaktligen övergår problemet till att hitta värdet på funktionen vid x=0. Det kommer att finnas lika många skärningspunkter för funktionen med OY-axeln som det finns värden för den givna funktionen med ett nollargument.

5. För att hitta skärningspunkterna för en given funktion med en annan funktion måste du lösa ekvationssystemet: F=?(x)W=?(x). , skärningspunkterna med vilka den givna funktionen behöver detekteras. Tydligen, vid skärningspunkterna, tar båda funktionerna lika värden för lika värden på argumenten. Det kommer att finnas lika många universella punkter för 2 funktioner som det finns lösningar för ekvationssystemet i ett givet område av argumentförändringar.

Relaterade videoklipp

Vid skärningspunkterna har funktionerna lika värden för argumentets identiska värde. Att hitta skärningspunkter för funktioner innebär att bestämma koordinaterna för punkter som är universella för skärande funktioner.

Instruktion

1. Generellt sett reduceras problemet med att hitta skärningspunkter för funktioner för ett argument Y=F(x) och Y?=F?(x) på XOY-planet till att lösa ekvationen Y= Y?, från det faktum att vid en universalpunkt funktionerna har lika värden. X-värdena som uppfyller likheten F(x)=F?(x), (om de finns) är abskissorna för skärningspunkterna för de givna funktionerna.

2. Om funktionerna ges av ett enkelt matematiskt uttryck och beror på ett argument x, så kan problemet med att hitta skärningspunkter lösas grafiskt. Rita funktionsgrafer. Bestäm skärningspunkterna med koordinataxlarna (x=0, y=0). Ställ in ytterligare några argumentvärden, hitta motsvarande funktionsvärden, lägg till de erhållna punkterna till graferna. Ju fler punkter som kommer att användas för att plotta, desto mer exakt blir grafen.

3. Om graferna för funktionerna skär varandra, bestäm koordinaterna för skärningspunkterna från ritningen. För att kontrollera, ersätt dessa koordinater i formlerna som definierar funktionerna. Om de matematiska uttrycken visar sig vara objektiva, hittas skärningspunkterna positivt. Om funktionsgraferna inte skär varandra, försök att skala om. Ta ett större steg mellan konstruktionspunkterna för att avgöra i vilken del av det numeriska planet grafernas linjer konvergerar. Efter det, på den identifierade delen av skärningspunkten, bygg en mer detaljerad graf med ett fint steg för att exakt bestämma koordinaterna för skärningspunkterna.

4. Om det är nödvändigt att hitta skärningspunkterna för funktioner inte på planet, utan i tredimensionellt rum, är det möjligt att se funktionerna för två variabler: Z=F(x,y) och Z?=F?(x) ,y). För att bestämma koordinaterna för skärningspunkterna för funktioner är det nödvändigt att lösa ett ekvationssystem med två okända x och y vid Z= Z?.

Relaterade videoklipp

Så, huvudparametrarna för grafen för en kvadratisk funktion visas i figuren:

Överväga flera sätt att konstruera en kvadratisk parabel. Beroende på hur den kvadratiska funktionen ges kan du välja den mest bekväma.

1 . Funktionen ges av formeln .

Överväga allmän algoritm för att rita en kvadratisk parabelgraf på exemplet att rita en funktionsgraf

1 . Riktningen av parabelns grenar.

Eftersom parabelns grenar är riktade uppåt.

2 . Hitta diskriminanten för ett kvadratiskt trinomium

Diskriminanten för ett kvadratiskt trinomium är större än noll, så parabeln har två skärningspunkter med OX-axeln.

För att hitta deras koordinater löser vi ekvationen:

,

3 . Parabolens vertexkoordinater:

4 . Skärningspunkten för parabeln med axeln OY: (0;-5), och den är symmetrisk kring parabelns symmetriaxel.

Låt oss sätta dessa punkter på koordinatplanet och koppla ihop dem med en jämn kurva:

Denna metod kan förenklas något.

1. Hitta koordinaterna för parabelns vertex.

2. Hitta koordinaterna för punkterna till höger och vänster om vertexet.

Låt oss använda resultaten av att plotta funktionsgrafen

Vertices av parabeln

Punkterna närmast toppen, belägna till vänster om toppen, har abskissar, respektive -1; -2; -3

Punkterna närmast toppen, som ligger till höger, har abskiss, respektive 0; 1; 2

Ersätt värdena på x i funktionens ekvation, hitta ordinaterna för dessa punkter och lägg dem i tabellen:

Låt oss sätta dessa punkter på koordinatplanet och koppla dem med en jämn linje:

2 . Den andragradsfunktionsekvationen har formen - i denna ekvation - koordinaterna för parabelns vertex

eller i den andragradsfunktionsekvationen , och den andra koefficienten är ett jämnt tal.

Låt oss till exempel bygga en graf över funktionen .

Återkalla linjära transformationer av grafer för funktioner. Att plotta en funktion , behöver

§ plotta först funktionen,

§ multiplicera sedan alla punkter i grafen med 2,

§ flytta den sedan längs OX-axeln med 1 enhet åt höger,

§ och sedan längs OY-axeln 4 enheter upp:

Låt oss nu titta på att plotta funktionen . I ekvationen för denna funktion, och den andra koefficienten är ett jämnt tal.