Aritmetisk kvadratrot och dess egenskaper.

Den här artikeln är en samling detaljerad information som behandlar ämnet egenskaper hos rötter. Med tanke på ämnet kommer vi att börja med egenskaperna, studera alla formuleringar och ge bevis. För att konsolidera ämnet kommer vi att överväga egenskaperna hos den n:e graden.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rotegenskaper

Vi ska prata om fastigheter.

Fast egendom multiplicerade tal a och b, som representeras som likheten a · b = a · b . Det kan representeras som multiplikatorer, positiva eller lika med noll a 1 , a 2 , … , a k som a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
från privat a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, kan det också skrivas i denna form a b = a b ;
Egendom från kraften av ett tal a med en jämn exponent a 2 m = a m för vilket tal som helst a, till exempel, en egenskap från kvadraten av ett tal a 2 = a .

I någon av de presenterade ekvationerna kan du byta delarna före och efter bindestrecket, till exempel omvandlas likheten a · b = a · b till a · b = a · b . Likhetsegenskaper används ofta för att förenkla komplexa ekvationer.

Beviset för de första egenskaperna baseras på definitionen roten ur och egenskaper hos potenser med en naturlig exponent. För att underbygga den tredje egenskapen är det nödvändigt att hänvisa till definitionen av modulen för ett tal.

Först och främst är det nödvändigt att bevisa egenskaperna för kvadratroten a · b = a · b . Enligt definitionen är det nödvändigt att tänka på att a b är ett tal, positivt eller lika med noll, vilket kommer att vara lika med a b under bygget till en kvadrat. Värdet på uttrycket a · b är positivt eller lika med noll som en produkt av icke-negativa tal. Egenskapen för graden av multiplicerade tal gör att vi kan representera likhet i formen (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Enligt definitionen av kvadratroten a 2 \u003d a och b 2 \u003d b, sedan a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

På liknande sätt kan man bevisa det från produkten k multiplikatorer a 1 , a 2 , … , a k kommer att vara lika med produkten av kvadratrötterna av dessa faktorer. Faktum är att a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Av denna likhet följer att a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Låt oss titta på några exempel för att förstärka ämnet.

Exempel 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 och 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Det är nödvändigt att bevisa egenskapen för den aritmetiska kvadratroten av kvoten: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Egenskapen låter dig skriva likheten a: b 2 = a 2: b 2 , och a 2: b 2 = a: b , medan a: b är ett positivt tal eller lika med noll. Detta uttryck kommer att vara beviset.

Till exempel, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 och 30, 121 = 30, 121.

Betrakta egenskapen av kvadratroten av kvadraten av ett tal. Det kan skrivas som en likhet som en 2 = a För att bevisa denna egenskap är det nödvändigt att i detalj överväga flera likheter för a ≥ 0 och kl a< 0 .

Uppenbarligen, för a ≥ 0, är likheten a 2 = a sann. På a< 0 likheten a 2 = - a kommer att vara sann. Egentligen i det här fallet − a > 0 och (− a) 2 = a 2 . Vi kan dra slutsatsen att a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel 2

5 2 = 5 = 5 och - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36 .

Den bevisade egenskapen kommer att bidra till att motivera en 2 m = a m , där a- äkta, och m-naturligt nummer. Faktum är att exponentieringsegenskapen tillåter oss att ersätta graden en 2 m uttryck (am) 2, sedan a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Exempel 3

3 8 = 3 4 = 3 4 och (- 8 , 3)14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3)7 .

Egenskaper för den n:e roten

Först måste du överväga huvudegenskaperna hos rötterna i den n:e graden:

Egenskap från produkten av siffror a och b, som är positiva eller lika med noll, kan uttryckas som likheten a b n = a n b n , denna egenskap är giltig för produkten k tal a 1 , a 2 , … , a k som a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
från bråktal har egenskapen a b n = a n b n , där a- vilken som helst riktigt nummer, vilket är positivt eller lika med noll, och bär ett positivt reellt tal;
För alla a och jämna tal n = 2 m a 2 m 2 m = a är sant, och för udda n = 2 m − 1 jämlikheten a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a är uppfylld.
Extraktionsegenskap från a m n = a n m , där a- vilket tal som helst, positivt eller lika med noll, n och mär naturliga tal, kan denna egenskap också representeras som . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
För alla icke-negativa a och godtyckliga n och m, som är naturliga, kan man också definiera den rättvisa jämlikheten a m n · m = a n ;
examensfastighet n från kraften av ett tal a, vilket är positivt eller lika med noll, in natura m, definierad av likheten a m n = a n m ;
Jämförelseegenskap som har samma exponenter: för alla positiva tal a och b Så att a< b , ojämlikheten a n< b n ;
Jämförelseegenskapen som besitter samma siffror rot: om m och n- naturliga tal som m > n, sedan kl 0 < a < 1 olikheten a m > a n är giltig, och för a > 1 en m< a n .

Ovanstående ekvationer är giltiga om delarna före och efter likhetstecknet är omvända. De kan också användas i denna form. Detta används ofta vid förenkling eller transformation av uttryck.

Beviset för rotens ovanstående egenskaper är baserat på definitionen, gradens egenskaper och definitionen av ett tals modul. Dessa egenskaper måste bevisas. Men allt är i sin ordning.

Först och främst kommer vi att bevisa egenskaperna hos roten av den n:e graden från produkten a · b n = a n · b n . För a och b, vilketär positiv eller noll , värdet a n · b n är också positivt eller lika med noll, eftersom det är en följd av multiplikation av icke-negativa tal. Egenskapen hos en naturlig kraftprodukt gör att vi kan skriva likheten a n · b n n = a n n · b n n . Per definition av rot n e graden a n n = a och b n n = b, därför är a n · b n n = a · b . Den resulterande jämlikheten är precis vad som krävdes för att bevisas.

Denna egenskap har bevisats på samma sätt för produkten k faktorer: för icke-negativa tal a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Här är exempel på hur du använder root-egenskapen n effekt från produkten: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 och 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Låt oss bevisa egenskapen för roten av kvoten a b n = a n b n . På a ≥ 0 och b > 0 villkoret a n b n ≥ 0 är uppfyllt, och a n b n n = a n n b n n = a b .

Låt oss visa exempel:

Exempel 4

8 27 3 = 8 3 27 3 och 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

För nästa steg är det nödvändigt att bevisa egenskaperna för den n:e graden från talet till graden n. Vi representerar detta som en likhet a 2 m 2 m = a och a 2 m - 1 2 m - 1 = a för alla verkliga a och naturliga m. På a ≥ 0 vi får a = a och a 2 m = a 2 m , vilket bevisar att likheten a 2 m 2 m = a , och likheten a 2 m - 1 2 m - 1 = a är uppenbar. På a< 0 vi får a = - a respektive a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Den sista omvandlingen av talet är giltig enligt examensegenskapen. Detta är vad som bevisar att likheten a 2 m 2 m \u003d a, och en 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a kommer att vara sann, eftersom - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m anses vara en udda grad - 1 för valfritt tal c , positiv eller lika med noll.

För att konsolidera den mottagna informationen, överväg några exempel på hur du använder egenskapen:

Exempel 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 och (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Låt oss bevisa följande likhet a m n = a n · m . För att göra detta måste du ändra talen före likhetstecknet och efter det på sina ställen a n · m = a m n . Detta kommer att indikera rätt inmatning. För en , vilket är positivt eller lika med noll , av formen a m n är ett positivt tal eller noll-. Låt oss vända oss till egenskapen att höja en makt till en makt och definitionen. Med deras hjälp kan du transformera likheter i formen a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Detta bevisar den övervägda egenskapen hos en rot från en rot.

Andra egenskaper bevisas på liknande sätt. Verkligen,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Till exempel, 7 3 5 = 7 5 3 och 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Låt oss bevisa följande egenskap a m n · m = a n . För att göra detta är det nödvändigt att visa att ett n är ett tal som är positivt eller lika med noll. När den höjs till en potens är n m en m. Om nummer aär positivt eller noll, alltså n e graden bland aär ett positivt tal eller lika med noll Dessutom är a n · m n = a n n m , vilket skulle bevisas.

För att befästa den förvärvade kunskapen, överväg några exempel.

Låt oss bevisa följande egenskap - egenskapen hos roten av styrkan av formen a m n = a n m . Det är uppenbart att kl a ≥ 0 graden a n m är ett icke-negativt tal. Dessutom henne n-th graden är lika med en m, faktiskt, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Detta bevisar gradens ansedda egenskap.

Till exempel, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Vi måste bevisa det för alla positiva siffror a och b a< b . Betrakta ojämlikheten a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Därför ett n< b n при a< b .

Till exempel ger vi 12 4< 15 2 3 4 .

Tänk på rotegenskapen n-e graden. Tänk först på den första delen av ojämlikheten. På m > n och 0 < a < 1 sant a m > a n . Antag att a m ≤ a n . Egenskaper förenklar uttrycket till a n m · n ≤ a m m · n . Då, enligt egenskaperna för en grad med en naturlig exponent, är olikheten a n m n m n ≤ a m m n m n uppfylld, dvs. a n ≤ a m. Värdet som erhålls vid m > n och 0 < a < 1 matchar inte egenskaperna ovan.

På samma sätt kan man bevisa det m > n och a > 1 tillstånd a m< a n .

För att fixa ovanstående egenskaper, överväg några konkreta exempel. Tänk på ojämlikheter med hjälp av specifika siffror.

Exempel 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Arean av en kvadratisk tomt är 81 dm². Hitta hans sida. Antag att längden på sidan av kvadraten är X decimeter. Då är tomtens yta X² kvadratdecimeter. Eftersom, enligt villkoret, denna yta är 81 dm², alltså X² = 81. Längden på sidan av en kvadrat är ett positivt tal. Ett positivt tal vars kvadrat är 81 är talet 9. När man löste problemet krävdes det att man hittade talet x, vars kvadrat är 81, det vill säga lösa ekvationen X² = 81. Denna ekvation har två rötter: x 1 = 9 och x 2 \u003d - 9, eftersom 9² \u003d 81 och (- 9)² \u003d 81. Båda talen 9 och - 9 kallas kvadratrötterna av talet 81.

Observera att en av kvadratrötterna X= 9 är ett positivt tal. Det kallas den aritmetiska kvadratroten ur 81 och betecknas √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrot ur ett tal aär ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a.

Till exempel är talen 6 och -6 kvadratrötterna ur 36. Talet 6 är den aritmetiska kvadratroten ur 36, eftersom 6 är ett icke-negativt tal och 6² = 36. Talet -6 är inte en aritmetisk rot.

Aritmetisk kvadratrot ur ett tal a betecknas enligt följande: √ a.

Tecknet kallas det aritmetiska kvadratrottecknet; a kallas ett rotuttryck. Uttryck √ a läsa så här: den aritmetiska kvadratroten ur ett tal a. Till exempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I de fall det står klart att vi pratar om den aritmetiska roten säger de kort: "kvadratroten av a«.

Att hitta kvadratroten ur ett tal kallas att ta kvadratroten. Denna åtgärd är det omvända till kvadrering.

Alla tal kan kvadreras, men inte alla tal kan vara kvadratrötter. Till exempel är det omöjligt att extrahera kvadratroten av talet - 4. Om en sådan rot fanns, beteckna den med bokstaven X, skulle vi få fel likhet x² \u003d - 4, eftersom det finns ett icke-negativt tal till vänster och ett negativt tal till höger.

Uttryck √ a bara vettigt när a ≥ 0. Definitionen av kvadratroten kan kortfattat skrivas som: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Jämlikhet (√ a)² = a giltig för a ≥ 0. Alltså för att se till att kvadratroten av ett icke-negativt tal a lika b, d.v.s. att √ a =b måste du kontrollera att följande två villkor är uppfyllda: b ≥ 0, b² = a.

Kvadratroten ur en bråkdel

Låt oss räkna ut. Observera att √25 = 5, √36 = 6, och kontrollera om likheten håller.

Därför att och , då är jämställdheten sann. Så, .

Sats: Om en a≥ 0 och b> 0, det vill säga roten till bråket lika med roten från täljaren dividerat med roten av nämnaren. Det krävs för att bevisa att: och .

Sedan √ a≥0 och √ b>0, då.

Genom egenskapen att höja en bråkdel till en potens och bestämma kvadratroten satsen är bevisad. Låt oss titta på några exempel.

Beräkna , enligt den beprövade satsen .

Andra exemplet: Bevisa det , om a ≤ 0, b < 0. .

Ett annat exempel: Beräkna .

Kvadratrotstransformation

Ta ut multiplikatorn under rotens tecken. Låt ett uttryck ges. Om en a≥ 0 och b≥ 0, sedan genom satsen på produktens rot kan vi skriva:

En sådan omvandling kallas att faktorisera rottecknet. Betrakta ett exempel;

Beräkna kl X= 2. Direkt substitution X= 2 i det radikala uttrycket leder till komplicerade beräkningar. Dessa beräkningar kan förenklas om vi först tar bort faktorerna under rottecknet: . Genom att nu ersätta x = 2 får vi:.

Så när man tar bort faktorn under rottecknet, representeras det radikala uttrycket som en produkt där en eller flera faktorer är kvadraterna av icke-negativa tal. Rotproduktsatsen tillämpas sedan och roten av varje faktor tas. Betrakta ett exempel: Förenkla uttrycket A = √8 + √18 - 4√2 genom att ta bort faktorerna under rottecknet i de två första termerna, vi får:. Vi betonar att jämställdheten gäller endast när a≥ 0 och b≥ 0. om a < 0, то .

Fakta 1.
\(\bullet\) Ta något icke-negativt tal \(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Sedan (arithmetik) roten ur från talet \(a\) anropas ett sådant icke-negativt tal \(b\), när man kvadrerar det får vi talet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samma som )\quad a=b^2\] Av definitionen följer att \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Dessa begränsningar är viktigt tillstånd existensen av en kvadratrot och de bör komma ihåg!
Kom ihåg att vilket tal som helst i kvadrat ger ett icke-negativt resultat. Det vill säga \(100^2=10000\geqslant 0\) och \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Vad är \(\sqrt(25)\) ? Vi vet att \(5^2=25\) och \((-5)^2=25\) . Eftersom vi per definition måste hitta ett icke-negativt tal är \(-5\) inte lämpligt, därför \(\sqrt(25)=5\) (eftersom \(25=5^2\) ).
Att hitta värdet \(\sqrt a\) kallas att ta kvadratroten av talet \(a\) , och talet \(a\) kallas rotuttrycket.
\(\bullet\) Baserat på definitionen, uttrycken \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. inte vettigt.

Fakta 2.
För snabba beräkningar kommer det att vara användbart att lära sig kvadrattabellen naturliga tal från \(1\) till \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Vad kan man göra med kvadratrötter?
\(\kula\) Summan eller skillnaden av kvadratrötter är INTE lik kvadratroten av summan eller skillnaden, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Således, om du behöver beräkna till exempel \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , måste du först hitta värdena \(\sqrt(25)\) och \(\sqrt (49)\ ) och addera dem sedan. Följaktligen, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Om värdena \(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) inte kan hittas när man lägger till \(\sqrt a+\sqrt b\), så konverteras inte ett sådant uttryck ytterligare och förblir som det är. Till exempel, i summan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi hitta \(\sqrt(49)\) - detta är \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan inte vara konverterat på något sätt, det är därför \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Vidare kan detta uttryck tyvärr inte förenklas på något sätt.\(\bullet\) Produkten/kvoten av kvadratrötter är lika med kvadratroten av produkten/kvoten, d.v.s. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (förutsatt att båda delarna av jämlikheterna är meningsfulla)
Exempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Med dessa egenskaper är det bekvämt att hitta kvadratrötterna på stora siffror genom att faktorisera dem.
Tänk på ett exempel. Hitta \(\sqrt(44100)\) . Sedan \(44100:100=441\) , sedan \(44100=100\cdot 441\) . Enligt kriteriet delbarhet är talet \(441\) delbart med \(9\) (eftersom summan av dess siffror är 9 och är delbart med 9), därför \(441:9=49\) , det vill säga \(441=9\ cdot 49\) .
Alltså fick vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Låt oss titta på ett annat exempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Låt oss visa hur man anger siffror under kvadratrottecknet med exemplet på uttrycket \(5\sqrt2\) (förkortning av uttrycket \(5\cdot \sqrt2\) ). Eftersom \(5=\sqrt(25)\) , alltså \ Observera också att t.ex.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Varför är det så? Låt oss förklara med exempel 1). Som du redan förstått kan vi inte på något sätt konvertera talet \(\sqrt2\) . Föreställ dig att \(\sqrt2\) är ett tal \(a\) . Följaktligen är uttrycket \(\sqrt2+3\sqrt2\) inget annat än \(a+3a\) (ett tal \(a\) plus ytterligare tre av samma tal \(a\) ). Och vi vet att detta är lika med fyra sådana tal \(a\) , det vill säga \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Det sägs ofta "kan inte extrahera roten" när det inte går att bli av med tecknet \(\sqrt () \ \) för roten (radikal) när man hittar värdet på något tal. Till exempel kan du rota talet \(16\) eftersom \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men att extrahera roten från talet \(3\) , det vill säga att hitta \(\sqrt3\) , är det omöjligt, eftersom det inte finns något sådant tal som kvadrat ger \(3\) .
Sådana siffror (eller uttryck med sådana siffror) är irrationella. Till exempel siffror \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. är irrationella.
Också irrationella är talen \(\pi\) (talet "pi", ungefär lika med \(3,14\) ), \(e\) (detta tal kallas Eulertalet, ungefär lika med \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Observera att alla tal kommer att vara antingen rationella eller irrationella. Och tillsammans allt rationellt och allt irrationella tal bilda en uppsättning som heter uppsättning reella (reella) tal. Denna uppsättning betecknas med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Det betyder att alla siffror som är det här ögonblicket vi vet kallas reella tal.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen för ett reellt tal \(a\) är ett icke-negativt tal \(|a|\) lika med avståndet från punkten \(a\) till \(0\) på det reella linje. Till exempel är \(|3|\) och \(|-3|\) lika med 3, eftersom avstånden från punkterna \(3\) och \(-3\) till \(0\) är samma och lika med \(3 \) .
\(\bullet\) Om \(a\) är ett icke-negativt tal, då \(|a|=a\) .
Exempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Om \(a\) är ett negativt tal, då \(|a|=-a\) .
Exempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De säger att för negativa tal "äter" modulen minus, och positiva tal, såväl som siffran \(0\) lämnar modulen oförändrad.
MEN denna regel gäller endast siffror. Om du har en okänd \(x\) (eller någon annan okänd) under modultecknet, till exempel \(|x|\) , om vilken vi inte vet om den är positiv, lika med noll eller negativ, då bli av med modulen vi inte kan. I det här fallet förblir uttrycket så: \(|x|\) . \(\bullet\) Följande formler håller: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tillhandahålls ) a\geqslant 0\] Följande misstag görs ofta: de säger att \(\sqrt(a^2)\) och \((\sqrt a)^2\) är samma sak. Detta gäller endast när \(a\) är ett positivt tal eller noll. Men om \(a\) är ett negativt tal, så är detta inte sant. Det räcker med att överväga ett sådant exempel. Låt oss ta talet \(-1\) istället för \(a\). Sedan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrycket \((\sqrt (-1))^2\) existerar inte alls (eftersom det är omöjligt under rottecknet sätt in negativa tal!).
Därför uppmärksammar vi er på att \(\sqrt(a^2)\) inte är lika med \((\sqrt a)^2\) ! Exempel: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), därför att \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Eftersom \(\sqrt(a^2)=|a|\) sedan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrycket \(2n\) anger ett jämnt tal)
Det vill säga, när man extraherar roten från ett tal som är i någon grad, halveras denna grad.
Exempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observera att om modulen inte är inställd, så visar det sig att roten av talet är lika med \(-25 \) ; men vi kommer ihåg , vilket, per definition av roten, detta inte kan vara: när vi extraherar roten ska vi alltid få ett positivt tal eller noll)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (eftersom alla tal i en jämn potens är icke-negativa)

Fakta 6.
Hur jämför man två kvadratrötter?
\(\bullet\) Sant för kvadratrötter: om \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExempel:
1) jämför \(\sqrt(50)\) och \(6\sqrt2\) . Först omvandlar vi det andra uttrycket till \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Alltså, sedan \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellan vilka heltal finns \(\sqrt(50)\) ?
Eftersom \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) och \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Jämför \(\sqrt 2-1\) och \(0,5\) . Antag att \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((lägg till en på båda sidor))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat båda delarna))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser att vi har fått en felaktig ojämlikhet. Därför var vårt antagande fel och \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Observera att att lägga till ett visst tal på båda sidor av olikheten inte påverkar dess tecken. Att multiplicera/dividera båda sidor av en olikhet med ett positivt tal ändrar inte heller dess tecken, men multiplicera/dividera med ett negativt tal omvänder olikhetens tecken!
Båda sidorna av en ekvation/olikhet kan kvadreras ENDAST OM båda sidorna är icke-negativa. Till exempel, i ojämlikheten från föregående exempel kan du kvadrera båda sidorna, i olikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Observera att \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Att känna till den ungefärliga betydelsen av dessa siffror kommer att hjälpa dig när du jämför siffror! \(\bullet\) För att extrahera roten (om den är extraherad) från något stort tal som inte finns i kvadrattabellen måste du först bestämma mellan vilka "hundratals" det är, sedan mellan vilka "tiotal", och bestäm sedan den sista siffran i detta nummer. Låt oss visa hur det fungerar med ett exempel.
Ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet att \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) och så vidare. Observera att \(28224\) är mellan \(10\,000\) och \(40\,000\) . Därför är \(\sqrt(28224)\) mellan \(100\) och \(200\) .
Låt oss nu avgöra mellan vilka "tiotal" vårt tal är (det vill säga till exempel mellan \(120\) och \(130\) ). Vi vet också från kvadrattabellen att \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., sedan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Så vi ser att \(28224\) är mellan \(160^2\) och \(170^2\) . Därför är talet \(\sqrt(28224)\) mellan \(160\) och \(170\) .
Låt oss försöka bestämma den sista siffran. Låt oss komma ihåg vilka ensiffriga tal vid kvadrering ger i slutet \ (4 \) ? Dessa är \(2^2\) och \(8^2\) . Därför kommer \(\sqrt(28224)\) att sluta på antingen 2 eller 8. Låt oss kontrollera detta. Hitta \(162^2\) och \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Därför \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

För att adekvat lösa examen i matematik är det först och främst nödvändigt att studera det teoretiska materialet, som introducerar många satser, formler, algoritmer, etc. Vid första anblicken kan det verka som att detta är ganska enkelt. Men att hitta en källa där teorin för Unified State Examination i matematik presenteras på ett enkelt och begripligt sätt för elever på alla nivåer av förberedelse är i själva verket en ganska svår uppgift. Skolböcker kan inte alltid hållas till hands. Och att hitta de grundläggande formlerna för provet i matematik kan vara svårt även på Internet.

Varför är det så viktigt att läsa teori i matematik, inte bara för de som tar provet?

För det vidgar dina vyer. Studiet av teoretiskt material i matematik är användbart för alla som vill få svar på en lång rad frågor relaterade till kunskapen om världen. Allt i naturen är ordnat och har en tydlig logik. Det är just detta som återspeglas i vetenskapen, genom vilket det är möjligt att förstå världen.
För att det utvecklar intellektet. Att studera referensmaterial för provet i matematik, såväl som att lösa olika problem, lär sig en person att tänka och resonera logiskt, att formulera tankar korrekt och tydligt. Han utvecklar förmågan att analysera, generalisera, dra slutsatser.

Vi inbjuder dig att personligen utvärdera alla fördelarna med vår strategi för systematisering och presentation av utbildningsmaterial.

Matematik föddes när en person blev medveten om sig själv och började positionera sig själv som en autonom enhet i världen. Viljan att mäta, jämföra, beräkna vad som omger dig är det som ligger till grund för en av våra dagars grundläggande vetenskaper. Till en början var dessa partiklar av elementär matematik, vilket gjorde det möjligt att koppla siffror med deras fysiska uttryck, senare började slutsatserna presenteras endast teoretiskt (på grund av deras abstrakthet), men efter ett tag, som en forskare uttryckte det, " matematik nådde taket av komplexitet när alla tal." Begreppet "kvadratrot" dök upp vid en tidpunkt då det lätt kunde stödjas av empiriska data, som gick utanför beräkningarnas plan.

Hur allt började

Det första omnämnandet av roten, som för närvarande betecknas som √, registrerades i de babyloniska matematikernas skrifter, som lade grunden för modern aritmetik. Naturligtvis såg de ut lite som den nuvarande formen - forskarna under dessa år använde först skrymmande tabletter. Men under det andra årtusendet f.Kr. e. de kom på en ungefärlig beräkningsformel som visade hur man tar kvadratroten. Bilden nedan visar en sten på vilken babyloniska forskare ristade utdataprocessen √2, och den visade sig vara så korrekt att avvikelsen i svaret endast hittades i tionde decimalen.

Dessutom användes roten om det var nödvändigt att hitta sidan på en triangel, förutsatt att de andra två var kända. Tja, när man löser andragradsekvationer finns det ingen flykt från att extrahera roten.

Tillsammans med de babyloniska verken studerades föremålet för artikeln också i det kinesiska verket "Mathematics in Nine Books", och de gamla grekerna kom till slutsatsen att vilket tal som helst från vilket roten inte extraheras utan en rest ger ett irrationellt resultat .

Ursprunget till denna term är associerad med den arabiska representationen av numret: forntida forskare trodde att kvadraten på ett godtyckligt tal växer från roten, som en växt. På latin låter detta ord som radix (man kan spåra ett mönster - allt som har en "rot" semantisk belastning är konsonant, vare sig det är rädisa eller ischias).

Forskare från efterföljande generationer plockade upp denna idé och betecknade den som Rx. Till exempel, på 1400-talet, för att indikera att kvadratroten är hämtad från ett godtyckligt tal a, skrev de R 2 a. "Ticket" √, som är bekant med det moderna utseendet, dök upp först på 1600-talet tack vare Rene Descartes.

Våra dagar

Matematiskt är kvadratroten ur y talet z vars kvadrat är y. Med andra ord är z 2 =y ekvivalent med √y=z. Denna definition är dock endast relevant för den aritmetiska roten, eftersom den antyder ett icke-negativt värde för uttrycket. Med andra ord, √y=z, där z är större än eller lika med 0.

I allmänhet, vilket är giltigt för att bestämma en algebraisk rot, kan värdet på ett uttryck vara antingen positivt eller negativt. På grund av det faktum att z 2 =y och (-z) 2 =y har vi alltså: √y=±z eller √y=|z|.

På grund av det faktum att kärleken till matematik bara har ökat med vetenskapens utveckling, finns det olika manifestationer av tillgivenhet för det, inte uttryckt i torra beräkningar. Till exempel, tillsammans med sådana intressanta händelser som Pi-dagen, firas också kvadratrotens helgdagar. De firas nio gånger på hundra år, och bestäms enligt följande princip: siffrorna som anger dagen och månaden i ordning måste vara kvadratroten av året. Så nästa gång kommer denna semester att firas den 4 april 2016.

Egenskaper för kvadratroten på fältet R

Nästan alla matematiska uttryck har en geometrisk grund, detta öde passerade inte och √y, som definieras som sidan av en kvadrat med area y.

Hur hittar man roten till ett tal?

Det finns flera beräkningsalgoritmer. Den enklaste, men samtidigt ganska besvärliga, är den vanliga aritmetiska beräkningen, som är följande:

1) från talet vars rot vi behöver subtraheras udda tal i tur och ordning - tills resten av utmatningen är mindre än den subtraherade eller till och med lika med noll. Antalet drag blir så småningom det önskade antalet. Beräkna till exempel kvadratroten ur 25:

Nästa udda nummer är 11, resten är: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

För sådana fall finns det en Taylor-serieexpansion:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , där n tar värden från 0 till

+∞, och |y|≤1.

Grafisk representation av funktionen z=√y

Betrakta en elementär funktion z=√y i fältet för reella tal R, där y är större än eller lika med noll. Hennes diagram ser ut så här:

Kurvan växer från origo och korsar nödvändigtvis punkten (1; 1).

Egenskaper för funktionen z=√y i fältet för reella tal R

1. Definitionsdomänen för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår).

2. Värdeintervallet för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår igen).

3. Funktionen tar minimivärdet (0) endast vid punkten (0; 0). Det finns inget maxvärde.

4. Funktionen z=√y är varken jämn eller udda.

5. Funktionen z=√y är inte periodisk.

6. Det finns bara en skärningspunkt för grafen för funktionen z=√y med koordinataxlarna: (0; 0).

7. Skärningspunkten för grafen för funktionen z=√y är också nollpunkten för denna funktion.

8. Funktionen z=√y växer kontinuerligt.

9. Funktionen z=√y tar bara positiva värden, därför upptar dess graf den första koordinatvinkeln.

Alternativ för att visa funktionen z=√y

Inom matematiken, för att underlätta beräkningen av komplexa uttryck, används ibland kraftformen att skriva kvadratroten: √y=y 1/2. Det här alternativet är praktiskt, till exempel för att höja en funktion till en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denna metod är också en bra representation för differentiering med integration, eftersom kvadratroten tack vare den representeras av en vanlig potensfunktion.

Och i programmering är ersättningen för symbolen √ kombinationen av bokstäverna sqrt.

Det är värt att notera att i detta område är kvadratroten mycket efterfrågad, eftersom den är en del av de flesta geometriska formler som är nödvändiga för beräkningar. Själva räknealgoritmen är ganska komplicerad och bygger på rekursion (en funktion som kallar sig själv).

Kvadratroten i det komplexa fältet C

I stort sett var det ämnet för denna artikel som stimulerade upptäckten av området komplexa tal C, eftersom matematiker hemsöktes av frågan om att få en jämn gradsrot från ett negativt tal. Så här såg den imaginära enheten i ut, som kännetecknas av en mycket intressant egenskap: dess kvadrat är -1. Tack vare detta fick andragradsekvationer och med en negativ diskriminant en lösning. I C, för kvadratroten, är samma egenskaper relevanta som i R, det enda är att begränsningarna för rotuttrycket tas bort.