Ravni prečni ovinek. Čisti ovinek

Začnemo z najpreprostejšim primerom, tako imenovanim čistim upogibanjem.

Čisto upogibanje je poseben primer upogibanja, pri katerem je prečna sila v odsekih žarka enaka nič. Čisto upogibanje se lahko zgodi le, če je lastna teža žarka tako majhna, da je mogoče zanemariti njen vpliv. Za nosilce na dveh nosilcih primeri obremenitev, ki povzročajo mrežo

upogib, prikazan na sl. 88. Na odsekih teh žarkov, kjer je Q \u003d 0 in zato M \u003d const; tam je čisti ovinek.

Sile v katerem koli odseku žarka s čistim upogibom se zmanjšajo na par sil, katerih ravnina delovanja poteka skozi os žarka, moment pa je konstanten.

Napetosti je mogoče določiti na podlagi naslednjih premislekov.

1. Tangencialnih komponent sil na elementarna področja v prerezu žarka ni mogoče reducirati na par sil, katerih ravnina delovanja je pravokotna na ravnino preseka. Iz tega sledi, da je upogibna sila v prerezu posledica delovanja na elementarna področja

samo normalne sile, zato se s čistim upogibom napetosti zmanjšajo le na normalne.

2. Da se prizadevanja na elementarnih področjih zmanjšajo na nekaj sil, morajo biti med njimi tako pozitivne kot negativne. Zato morajo obstajati tako napeta kot stisnjena vlakna žarka.

3. Zaradi dejstva, da so sile v različnih odsekih enake, so napetosti na ustreznih točkah odsekov enake.

Razmislite o katerem koli elementu blizu površine (slika 89, a). Ker vzdolž njegove spodnje ploskve, ki sovpada s površino žarka, ne delujejo sile, tudi na njem ni napetosti. Na zgornji strani elementa torej ni napetosti, saj drugače element ne bi bil v ravnotežju. Glede na višinsko sosednji element (slika 89, b) pridemo do

Enak zaključek itd. Iz tega sledi, da vzdolž vodoravnih ploskev nobenega elementa ni napetosti. Glede na elemente, ki sestavljajo vodoravno plast, začenši z elementom blizu površine nosilca (slika 90), pridemo do zaključka, da vzdolž stranskih navpičnih ploskov nobenega elementa ni napetosti. Tako mora biti napetostno stanje katerega koli elementa (slika 91, a) in v meji vlakna predstavljeno, kot je prikazano na sl. 91b, torej lahko gre za aksialno napetost ali aksialno stiskanje.

4. Zaradi simetrije uporabe zunanjih sil mora odsek vzdolž sredine dolžine nosilca po deformaciji ostati raven in normalen na os nosilca (slika 92, a). Iz istega razloga ostanejo tudi odseki v četrtinah dolžine nosilca ravni in normalni na os nosilca (slika 92, b), če le skrajni odseki nosilca med deformacijo ostanejo ravni in normalni na os nosilca. Podoben zaključek velja tudi za odseke v osminah dolžine nosilca (slika 92, c) itd. Če torej skrajni odseki žarka med upogibanjem ostanejo ravni, potem za kateri koli odsek ostane

pošteno je reči, da po deformaciji ostane ravna in normalna na os ukrivljenega nosilca. Toda v tem primeru je očitno, da se mora sprememba raztezanja vlaken žarka vzdolž njegove višine zgoditi ne le neprekinjeno, ampak tudi monotono. Če plast imenujemo niz vlaken, ki imajo enake raztezke, potem iz povedanega sledi, da se morajo raztegnjena in stisnjena vlakna žarka nahajati na nasprotnih straneh plasti, v kateri so raztezki vlaken enaki nič. Vlakna, katerih raztezki so enaki nič, bomo imenovali nevtralna; plast, sestavljena iz nevtralnih vlaken - nevtralna plast; črta presečišča nevtralne plasti z ravnino prečnega prereza žarka - nevtralna črta tega odseka. Nato na podlagi prejšnjih premislekov lahko trdimo, da s čistim upogibanjem žarka v vsakem od njegovih odsekov obstaja nevtralna črta, ki ta odsek deli na dva dela (cone): območje raztegnjenih vlaken (napeto območje) in cona stisnjenih vlaken (stisnjena cona). V skladu s tem bi morale delovati normalne natezne napetosti na točkah raztegnjenega območja prereza, tlačne napetosti na točkah stisnjene cone, na točkah nevtralne črte pa so napetosti enake nič.

Tako s čistim upogibanjem žarka konstantnega prečnega prereza:

1) v prerezih delujejo samo normalne napetosti;

2) celoten odsek lahko razdelimo na dva dela (cone) - raztegnjena in stisnjena; meja con je nevtralna črta odseka, na točkah katere so normalne napetosti enake nič;

3) kateri koli vzdolžni element žarka (v meji, katero koli vlakno) je izpostavljen aksialni napetosti ali stiskanju, tako da sosednja vlakna ne medsebojno delujejo;

4) če skrajni odseki žarka med deformacijo ostanejo ravni in normalni na os, potem vsi njegovi prečni prerezi ostanejo ravni in normalni na os ukrivljenega žarka.

Napetostno stanje nosilca pri čistem upogibu

Razmislite o elementu žarka, ki je podvržen čistemu upogibanju, sklenemo merjeno med odseki m-m in n-n, ki sta odmaknjena drug od drugega na neskončno majhni razdalji dx (slika 93). Zaradi določbe (4) prejšnjega odstavka bosta odseka m-m in n-n, ki sta bila pred deformacijo vzporedna, po upogibanju ostaneta ravna, tvorita kot dQ in sekata vzdolž premice, ki poteka skozi točko C, ki je središče. ukrivljenega nevtralnega vlakna NN. Potem se bo del AB vlakna, zaprtega med njimi, ki se nahaja na razdalji z od nevtralnega vlakna (pozitivna smer os z med upogibanjem vzeta proti konveksnosti žarka), se po deformacija. Odsek nevtralnega vlakna O1O2, ki se spremeni v lok O1O2, ne bo spremenil svoje dolžine, medtem ko bo AB vlakno prejelo raztezek:

pred deformacijo

po deformaciji

kjer je p polmer ukrivljenosti nevtralnega vlakna.

Zato je absolutni raztezek segmenta AB

in raztezek

Ker je v skladu s položajem (3) vlakno AB izpostavljeno aksialni napetosti, nato z elastično deformacijo

Iz tega je razvidno, da so normalne napetosti vzdolž višine nosilca razporejene po linearnem zakonu (slika 94). Ker mora biti enaka sila vseh naporov na vseh osnovnih odsekih odseka enaka nič, potem

od koder z zamenjavo vrednosti iz (5.8) najdemo

Toda zadnji integral je statični moment okoli osi Oy, ki je pravokotna na ravnino delovanja upogibnih sil.

Zaradi svoje enakosti nič mora ta os potekati skozi težišče O odseka. Tako je nevtralna črta odseka žarka ravna črta yy, pravokotna na ravnino delovanja upogibnih sil. Imenuje se nevtralna os odseka žarka. Potem iz (5.8) sledi, da so napetosti v točkah, ki ležijo na enaki razdalji od nevtralne osi, enake.

Primer čistega upogibanja, pri katerem upogibne sile delujejo samo v eni ravnini in povzročijo upogibanje samo v tej ravnini, je ravninsko čisto upogibanje. Če poimenovana ravnina poteka skozi os Oz, mora biti trenutek elementarnih naporov glede na to os enak nič, t.j.

Če tu nadomestimo vrednost σ iz (5.8), ugotovimo

Integral na levi strani te enakosti je, kot je znano, centrifugalni vztrajnostni moment preseka okoli osi y in z, tako da

Osi, glede na katere je centrifugalni vztrajnostni moment odseka enak nič, se imenujejo glavne vztrajnostne osi tega odseka. Če poleg tega potekajo skozi težišče odseka, jih lahko imenujemo glavne osrednje vztrajnostne osi odseka. Tako sta pri ravnem čistem upogibu smer ravnine delovanja upogibnih sil in nevtralna os preseka glavni osrednji vztrajnostni osi slednjega. Z drugimi besedami, za dosego ravnega čistega upogibanja žarka nanj ni mogoče uporabiti obremenitve poljubno: zmanjšati jo je treba na sile, ki delujejo v ravnini, ki poteka skozi eno od glavnih osrednjih vztrajnostnih osi odsekov žarka; v tem primeru bo druga glavna osrednja vztrajnostna os nevtralna os odseka.

Kot je znano, je v primeru odseka, ki je simetričen glede katere koli osi, os simetrije ena od njegovih glavnih osrednjih vztrajnostnih osi. Posledično bomo v tem konkretnem primeru zagotovo dosegli čisto upogibanje z uporabo ustreznih analod v ravnini, ki poteka skozi vzdolžno os nosilca in simetrično os njegovega prereza. Premica, pravokotna na simetrično os in poteka skozi težišče odseka, je nevtralna os tega odseka.

Po določitvi položaja nevtralne osi ni težko najti velikosti napetosti na kateri koli točki prereza. Ker mora biti vsota momentov osnovnih sil glede na nevtralno os yy enaka upogibnemu momentu, potem

od koder z zamenjavo vrednosti σ iz (5.8) najdemo

Ker je integral vztrajnostni moment preseka okoli y-osi, potem

in iz izraza (5.8) dobimo

Produkt EI Y imenujemo upogibna togost nosilca.

Največja natezna in največja tlačna napetost v absolutni vrednosti delujeta na točkah preseka, pri katerih je absolutna vrednost z največja, to je na točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne osi. Z oznakami, sl. 95 jih ima

Vrednost Jy / h1 se imenuje trenutek upora odseka proti raztezanju in je označena z Wyr; podobno imenujemo Jy/h2 moment upora preseka proti stiskanju

in označujemo Wyc, torej

in zato

Če je nevtralna os simetrična os odseka, potem je h1 = h2 = h/2 in posledično Wyp = Wyc, zato med njima ni treba razlikovati in uporabljajo isto oznako:

imenujemo W y preprosto modul preseka. Zato je v primeru preseka, simetričnega glede nevtralne osi,

Vsi zgornji sklepi so pridobljeni na podlagi predpostavke, da prečni prerezi žarka, ko se upognejo, ostanejo ravni in normalni na svojo os (hipoteza ravnih prerezov). Kot je prikazano, je ta predpostavka veljavna le, če skrajni (končni) odseki žarka med upogibanjem ostanejo ravni. Po drugi strani pa iz hipoteze ravnih prerezov izhaja, da je treba elementarne sile v takih odsekih porazdeliti po linearnem zakonu. Zato je za veljavnost pridobljene teorije čistega ravnega upogibanja potrebno, da se upogibni momenti na koncih nosilca uporabijo v obliki elementarnih sil, porazdeljenih po višini preseka po linearnem zakonu (sl. 96), kar sovpada z zakonom porazdelitve napetosti po višini prereznih nosilcev. Vendar pa je na podlagi Saint-Venantovega načela mogoče trditi, da bo sprememba načina uporabe upogibnih momentov na koncih žarka povzročila le lokalne deformacije, katerih vpliv bo vplival le na določeni razdalji od teh konci (približno enaki višini odseka). Odseki, ki se nahajajo v preostali dolžini žarka, bodo ostali ravni. Posledično je navedena teorija ravnega čistega upogibanja s katero koli metodo uporabe upogibnih momentov veljavna le znotraj srednjega dela dolžine žarka, ki se nahaja na razdaljah od njegovih koncev, približno enakih višini preseka. Iz tega je jasno, da ta teorija očitno ni uporabna, če višina preseka presega polovico dolžine ali razpona nosilca.

Ravno prečno upogibanje nosilcev. Notranje upogibne sile. Diferencialne odvisnosti notranjih sil. Pravila za preverjanje diagramov notranjih sil pri upogibanju. Normalne in strižne napetosti pri upogibu. Izračun trdnosti za normalne in strižne napetosti.

10. ENOSTAVNE VRSTE ODPORA. RAVNI KRIV

10.1. Splošni pojmi in definicije

Upogibanje je vrsta obremenitve, pri kateri je palica obremenjena z momenti v ravninah, ki potekajo skozi vzdolžno os palice.

Palica, ki deluje pri upogibanju, se imenuje žarek (ali žarek). V prihodnosti bomo upoštevali ravne tramove, katerih prečni prerez ima vsaj eno simetrično os.

Pri odpornosti materialov je upogibanje ravno, poševno in zapleteno.

Ravno upogibanje je upogibanje, pri katerem vse sile, ki upogibajo žarek, ležijo v eni od simetričnih ravnin žarka (v eni od glavnih ravnin).

Glavne vztrajnostne ravnine nosilca so ravnine, ki potekajo skozi glavne osi prečnih prerezov in geometrijsko os nosilca (os x).

Poševni ovinek je ovinek, pri katerem obremenitve delujejo v eni ravnini, ki ne sovpada z glavnimi vztrajnostnimi ravninami.

Kompleksno upogibanje je upogibanje, pri katerem obremenitve delujejo v različnih (poljubnih) ravninah.

10.2. Določanje notranjih upogibnih sil

Oglejmo si dva značilna primera upogibanja: v prvem primeru se konzolni nosilec upogne za zgoščeni moment M o ; v drugem pa s koncentrirano silo F.

Z metodo miselnih odsekov in sestavitvijo ravnotežnih enačb za odrezane dele žarka določimo notranje sile v obeh primerih:

Preostale ravnotežne enačbe so očitno identično enake nič.

Tako v splošnem primeru ravnega upogibanja v prerezu žarka od šestih notranjih sil nastaneta dve - upogibni moment M z in strižno silo Q y (ali pri upogibanju okoli druge glavne osi - upogibni moment M y in strižno silo Q z ).

V tem primeru lahko v skladu z dvema obravnavanima primeroma obremenitve ravno upogibanje razdelimo na čisto in prečno.

Čisto upogibanje je ravno upogibanje, pri katerem v odsekih palice nastane le ena od šestih notranjih sil - upogibni moment (glej prvi primer).

prečni ovinek- upogibanje, pri katerem se poleg notranjega upogibnega momenta v odsekih palice pojavi tudi prečna sila (glej drugi primer).

Strogo gledano, samo čisto upogibanje spada med enostavne vrste upora; prečno upogibanje pogojno imenujemo preproste vrste upora, saj je v večini primerov (za dovolj dolge nosilce) delovanje prečne sile pri izračunih trdnosti mogoče zanemariti.

Pri določanju notranjih sil se bomo držali naslednjega pravila znakov:

1) prečna sila Q y velja za pozitivno, če se nagiba k vrtenju obravnavanega elementa žarka v smeri urinega kazalca;

2) upogibni moment M z se šteje za pozitivno, če se pri upognjenem elementu žarka zgornja vlakna elementa stisnejo, spodnja pa raztegnejo (krvno pravilo).

Tako bo rešitev problema določanja notranjih sil pri upogibanju zgrajena po naslednjem načrtu: 1) na prvi stopnji ob upoštevanju ravnotežnih pogojev konstrukcije kot celote določimo, če je potrebno, neznane reakcije nosilci (upoštevajte, da je pri konzolnem nosilcu reakcije v vgradnji lahko in jih ne najdemo, če upoštevamo nosilec s prostega konca); 2) na drugi stopnji izberemo značilne odseke žarka, pri čemer kot meje odsekov vzamemo točke uporabe sil, točke spremembe oblike ali dimenzij žarka, točke pritrditve žarka; 3) na tretji stopnji določimo notranje sile v odsekih nosilca, pri čemer upoštevamo ravnotežne pogoje za elemente nosilca v vsakem od odsekov.

10.3. Diferencialne odvisnosti pri upogibanju

Vzpostavimo nekaj razmerij med notranjimi silami in zunanjimi upogibnimi obremenitvami ter značilnostmi Q in M diagramov, katerih poznavanje bo olajšalo konstrukcijo diagramov in vam omogočilo nadzor nad njihovo pravilnostjo. Zaradi lažjega zapisovanja bomo označili: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Dodelimo majhen element dx v prerezu žarka s poljubno obremenitvijo na mestu, kjer ni koncentriranih sil in momentov. Ker je celoten žarek v ravnotežju, bo element dx v ravnotežju tudi pod delovanjem prečnih sil, ki delujejo nanj, upogibnih momentov in zunanje obremenitve. Ker se Q in M na splošno spreminjata vzdolž osi žarka, bodo v odsekih elementa dx prečne sile Q in Q + dQ ter upogibni momenti M in M + dM. Iz ravnotežnega pogoja izbranega elementa dobimo

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Iz druge enačbe, če zanemarimo izraz q dx (dx /2) kot neskončno majhno količino drugega reda, ugotovimo

Relacije (10.1), (10.2) in (10.3) se imenujejo diferencialne odvisnosti D. I. Žuravskega pri upogibanju.

Analiza zgornjih diferencialnih odvisnosti pri upogibanju nam omogoča, da vzpostavimo nekatere značilnosti (pravila) za izdelavo diagramov upogibnih momentov in strižnih sil:

a - na območjih, kjer ni porazdeljene obremenitve q, so diagrami Q omejeni na ravne črte, vzporedne z osnovo, in diagrami M - poševne ravne črte;

b - na območjih, kjer je porazdeljena obremenitev q na nosilcu, so Q diagrami omejeni z nagnjenimi ravnimi črtami, M diagrami pa s kvadratnimi parabolami. Hkrati, če zgradimo diagram M "na raztegnjenem vlaknu", potem konveksnost pa-

delo bo usmerjeno v smeri delovanja q, ekstrem pa se nahaja na odseku, kjer ploskev Q seka osnovno črto;

c - v odsekih, kjer se na žarek uporablja koncentrirana sila, bodo na Q diagramu skoki za vrednost in v smeri te sile, na diagramu M pa pregibi, konica je usmerjena v smeri te sile. sila; d - v odsekih, kjer se na žarek na ploskvi uporablja koncentrirani moment

re Q ne bo sprememb, na diagramu M pa bodo skoki za vrednost tega trenutka; e - na območjih, kjer je Q > 0, se trenutek M poveča, in na območjih, kjer je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalne napetosti pri čistem upogibu ravnega nosilca

Oglejmo si primer čistega ravninskega upogibanja nosilca in izpeljimo formulo za določanje normalnih napetosti za ta primer. Upoštevajte, da je v teoriji elastičnosti mogoče dobiti natančno odvisnost za normalne napetosti pri čistem upogibu, če pa je ta problem rešen z metodami odpornosti materialov, je treba uvesti nekaj predpostavk.

Obstajajo tri takšne hipoteze za upogibanje:

a – hipoteza ravnega preseka (Bernoullijeva hipoteza)

- ploski odseki pred deformacijo ostanejo ravni po deformaciji, vendar se le vrtijo glede na določeno črto, ki se imenuje nevtralna os prereza. V tem primeru se vlakna žarka, ki ležijo na eni strani nevtralne osi, raztegnejo, na drugi pa stisnejo; vlakna, ki ležijo na nevtralni osi, ne spremenijo svoje dolžine;

b - hipoteza o konstantnosti normalnih napetosti

nii - napetosti, ki delujejo na enaki razdalji y od nevtralne osi, so konstantne po širini nosilca;

c – hipoteza o odsotnosti stranskih pritiskov –

siva vzdolžna vlakna ne pritiskajo drug na drugega.

Upogib je vrsta deformacije, pri kateri je vzdolžna os žarka upognjena. Ravni nosilci, ki delujejo na upogibanje, se imenujejo nosilci. Ravni ovinek je ovinek, pri katerem zunanje sile, ki delujejo na žarek, ležijo v isti ravnini (ravnini sile), ki poteka skozi vzdolžno os nosilca in glavno osrednjo vztrajnostno os prečnega prereza.

Zavoj se imenuje čist, če se v katerem koli preseku žarka pojavi le en upogibni moment.

Upogibanje, pri katerem upogibni moment in prečna sila hkrati delujeta v prerezu žarka, se imenuje prečno. Presečišča ravnine sile in presečne ravnine imenujemo črta sile.

Notranji faktorji sile pri upogibanju žarka.

Pri ravnem prečnem upogibu v odsekih nosilca nastaneta dva faktorja notranje sile: prečna sila Q in upogibni moment M. Za njihovo določitev se uporablja metoda preseka (glej predavanje 1). Prečna sila Q v prerezu nosilca je enaka algebraični vsoti projekcij na presečno ravnino vseh zunanjih sil, ki delujejo na eni strani obravnavanega preseka.

Pravilo predznaka za strižne sile Q:

Upogibni moment M v prerezu žarka je enak algebraični vsoti momentov okoli težišča tega odseka vseh zunanjih sil, ki delujejo na eni strani obravnavanega odseka.

Pravilo znaka za upogibne momente M:

Diferencialne odvisnosti Žuravskega.

Med intenzivnostjo q porazdeljene obremenitve, izrazima za prečno silo Q in upogibnim momentom M se vzpostavijo diferencialne odvisnosti:

Na podlagi teh odvisnosti je mogoče razlikovati naslednje splošne vzorce diagramov prečnih sil Q in upogibnih momentov M:

Posebnosti diagramov notranjih faktorjev sile pri upogibanju.

1. Na odseku nosilca, kjer ni porazdeljene obremenitve, je prikazan graf Q ravna črta , vzporedna z osnovo diagrama, diagram M pa je nagnjena ravna črta (slika a).

2. V odseku, kjer se uporablja koncentrirana sila, mora biti na Q diagramu skok , enak vrednosti te sile, in na diagramu M - prelomnica (slika a).

3. V odseku, kjer je uporabljen koncentrirani moment, se vrednost Q ne spremeni, diagram M pa se spremeni skok , enak vrednosti tega trenutka, (slika 26, b).

4. V prerezu žarka z porazdeljeno obremenitvijo intenzivnosti q se diagram Q spreminja po linearnem zakonu, diagram M pa po paraboličnem in konveksnost parabole je usmerjena proti smeri porazdeljene obremenitve (sl. c, d).

5. Če znotraj karakterističnega odseka diagrama Q seka osnovo diagrama, potem ima na odseku, kjer je Q = 0, upogibni moment skrajno vrednost M max ali M min (slika d).

Normalne upogibne napetosti.

Določeno s formulo:

Uporni moment odseka proti upogibu je vrednost:

Nevaren odsek pri upogibanju se imenuje prečni prerez žarka, v katerem se pojavi največja normalna napetost.

Tangencialne napetosti pri neposrednem upogibanju.

Določeno s Formula Žuravskega za strižne napetosti pri neposrednem upogibanju nosilca:

kjer je S ots - statični moment prečnega območja odrezane plasti vzdolžnih vlaken glede na nevtralno črto.

Izračuni upogibne trdnosti.

1. Pri verifikacijski izračun določi se največja konstrukcijska napetost, ki se primerja z dovoljeno napetostjo:

2. Pri načrtovalni izračun izbor odseka žarka se izvede iz pogoja:

3. Pri določanju dovoljene obremenitve se dovoljeni upogibni moment določi iz pogoja:

Upogibni gibi.

Pod delovanjem upogibne obremenitve se os žarka upogne. V tem primeru pride do raztezanja vlaken na konveksnih in stiskanja - na konkavnih delih žarka. Poleg tega obstaja navpično premikanje težišč prečnih prerezov in njihovo vrtenje glede na nevtralno os. Za karakterizacijo deformacije med upogibanjem se uporabljajo naslednji koncepti:

Odklon žarka Y- premik težišča prečnega prereza žarka v smeri, pravokotni na njegovo os.

Odklon se šteje za pozitiven, če se težišče premakne navzgor. Količina odklona se spreminja po dolžini žarka, t.j. y=y(z)

Kot vrtenja odseka- kot θ, za katerega se vsak odsek zasuka glede na prvotni položaj. Kot vrtenja se šteje za pozitiven, če se odsek zasuka v nasprotni smeri urinega kazalca. Vrednost kota vrtenja se spreminja vzdolž dolžine žarka in je odvisna od θ = θ (z).

Najpogostejši način določanja premikov je metoda mora in Vereshchaginovo pravilo.

Mohrova metoda.

Postopek za določanje premikov po Mohrovi metodi:

1. "Pomožni sistem" je zgrajen in obremenjen z enojno obremenitvijo na točki, kjer je treba določiti premik. Če se določi linearni premik, se v njegovi smeri uporabi enotna sila, pri določanju kotnih premikov pa enotni moment.

2. Za vsak odsek sistema se zabeležita izraza upogibnih momentov M f iz uporabljene obremenitve in M 1 - iz posamezne obremenitve.

3. Mohrovi integrali se izračunajo in seštejejo po vseh odsekih sistema, kar ima za posledico želeni premik:

4. Če ima izračunani premik pozitiven predznak, to pomeni, da njegova smer sovpada s smerjo enotne sile. Negativni predznak označuje, da je dejanski premik nasproten smeri enotne sile.

Vereshchaginovo pravilo.

V primeru, ko ima diagram upogibnih momentov iz dane obremenitve poljuben, iz ene obremenitve pa pravokoten obris, je priročno uporabiti grafično-analitično metodo ali Vereshchaginovo pravilo.

kjer je A f površina diagrama upogibnega momenta M f od dane obremenitve; y c je ordinata diagrama iz posamezne obremenitve pod težiščem diagrama M f ; EI x - togost preseka nosilca. Izračuni po tej formuli so narejeni v odsekih, na vsakem od katerih mora biti premočrtni diagram brez zlomov. Vrednost (A f *y c) se šteje za pozitivno, če sta oba diagrama na isti strani žarka, negativna, če sta na nasprotnih straneh. Pozitiven rezultat množenja diagramov pomeni, da smer gibanja sovpada s smerjo enote sile (ali momenta). Kompleksni diagram M f je treba razdeliti na preproste figure (uporablja se tako imenovana "epure layering"), za vsako od katerih je enostavno določiti ordinato težišča. V tem primeru se površina vsake figure pomnoži z ordinato pod njenim težiščem.

upogib imenujemo deformacija palice, ki jo spremlja sprememba ukrivljenosti njene osi. Imenuje se palica, ki se upogne žarek.

Glede na načine uporabe obremenitve in metode pritrditve palice se lahko pojavijo različne vrste upogibanja.

Če nastane le upogibni moment pod delovanjem obremenitve v prečnem prerezu palice, se upogib imenuje čist.

Če v prerezih skupaj z upogibnimi momenti nastanejo tudi prečne sile, se imenuje upogibanje prečno.

Če zunanje sile ležijo v ravnini, ki poteka skozi eno od glavnih osrednjih osi prečnega prereza palice, se upogib imenuje preprosta oz stanovanje. V tem primeru ležita obremenitev in deformabilna os v isti ravnini (slika 1).

riž. eno

Da bi žarek prevzel obremenitev v ravnini, ga je treba pritrditi s pomočjo nosilcev: tečajno-premični, tečajno-fiksni, vgradni.

Žar mora biti geometrijsko nespremenljiv, najmanjše število povezav pa je 3. Primer geometrijsko spremenljivega sistema je prikazan na sliki 2a. Primer geometrijsko nespremenljivih sistemov je sl. 2b, c.

a B C)

V nosilcih nastanejo reakcije, ki so določene iz ravnotežnih pogojev statike. Reakcije v nosilcih so zunanje obremenitve.

Notranje upogibne sile

Palica, obremenjena s silami, pravokotnimi na vzdolžno os nosilca, doživi ravno upogib (slika 3). V prerezih sta dve notranji sili: strižna sila Q y in upogibni moment Mz.

Notranje sile se določijo z metodo preseka. Na daljavo x od točke AMPAK z ravnino, pravokotno na os X, je palica razrezana na dva dela. Eden od delov žarka se zavrže. Interakcija delov žarka se nadomesti z notranjimi silami: upogibnim momentom Mz in prečna sila Q y(slika 4).

Domači napori Mz in Q y v prerez se določijo iz ravnotežnih pogojev.

Za del se sestavi ravnotežna enačba Z:

∑y = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Potem Q y = R A – P1.

Zaključek. Prečna sila v katerem koli odseku žarka je enaka algebraični vsoti vseh zunanjih sil, ki ležijo na eni strani narisanega preseka. Prečna sila se šteje za pozitivno, če palico vrti v smeri urnega kazalca okoli točke preseka.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – Mz = 0

Potem Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Opredelitev reakcij R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Izris na prvem odseku 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Izris na drugem odseku 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

Pri gradnji Mz pozitivne koordinate bodo izrisane proti raztegnjenim vlaknom.

Preverjanje parcel

1. Na parceli Q y diskontinuitete so lahko le na mestih, kjer delujejo zunanje sile, velikost preskoka pa mora ustrezati njihovi velikosti.

+ = = P

2. Na parceli Mz na mestih uporabe koncentriranih momentov nastanejo diskontinuitete in velikost preskoka je enaka njihovi velikosti.

Različne odvisnosti medM, Qinq

Med upogibnim momentom, prečno silo in intenzivnostjo porazdeljene obremenitve se ugotovijo naslednje odvisnosti:

q = , Q y =

kjer je q intenzivnost porazdeljene obremenitve,

Preverjanje trdnosti nosilcev pri upogibanju

Za oceno trdnosti palice pri upogibanju in izbiro prereza žarka se uporabljajo pogoji trdnosti za normalne napetosti.

Upogibni moment je rezultantni moment normalnih notranjih sil, porazdeljenih po odseku.

s = × y,

kjer je s normalna napetost na kateri koli točki preseka,

y je razdalja od težišča preseka do točke,

Mz- upogibni moment, ki deluje v odseku,

Jz je aksialni vztrajnostni moment palice.

Za zagotovitev trdnosti se izračunajo največje napetosti, ki se pojavijo na točkah odseka, ki so najbolj oddaljene od težišča y = ymax

s max = × ymax,

= Wz in s max = .

Potem ima pogoj trdnosti za normalne napetosti obliko:

s max = ≤ [s],

kjer je [s] dovoljena natezna napetost.

Naloga. Zgradite diagrama Q in M za statično nedoločen žarek. Noge izračunamo po formuli:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

žarek enkrat je statično nedoločen, kar pomeni eno reakcij je "ekstra" neznano. Za "ekstra" neznano bomo vzeli reakcijo podpore AT — R B.

Statično določen žarek, ki ga dobimo iz danega z odstranitvijo "dodatne" povezave, se imenuje glavni sistem. (b).

Zdaj je treba ta sistem predstaviti enakovredno dano. Če želite to narediti, naložite glavni sistem dano obremenitev in na točki AT uporabite "ekstra" reakcija R B(riž. v).

Vendar pa za enakovrednost to ne dovolj, saj je v takem žarku točka AT mogoče premikati navpično in v danem žarku (sl. a ) to se ne more zgoditi. Zato dodajamo stanje, kaj odklon t. AT v glavnem sistemu mora biti enak 0. Odklon t. AT sestoji iz odklon od delujoče obremenitve Δ F in od odklon od "ekstra" reakcije Δ R.

Nato sestavljamo pogoj združljivosti premikov:

Δ F + Δ R=0 (1)

Zdaj je ostalo še izračunati te gibi (upogibi).

nalaganje osnovni sistem dano obremenitev(riž .G) in zgraditi diagram tovoraM F (riž. d ).

AT t. AT uporabi in zgradi ep. (riž. ježek ).

S Simpsonovo formulo definiramo odklon obremenitve.

Zdaj pa definirajmo odklon od delovanja "ekstra" reakcije R B , za to naložimo glavni sistem R B (riž. h ) in narišite trenutke iz njegovega delovanja GOSPOD (riž. in ).

Sestavite in se odločite enačba (1):

Gradimo ep. Q in M (riž. do, l ).

Sestavljanje diagrama Q

Zgradimo parcelo M metoda značilne točke. Na žarku razporedimo točke - to so točke začetka in konca žarka ( D,A ), koncentriran trenutek ( B ), in kot značilno točko označite sredino enakomerno porazdeljene obremenitve ( K ) je dodatna točka za konstruiranje parabolične krivulje.

Določite upogibne momente na točkah. Pravilo znakov cm - .

Trenutek v AT bo opredeljeno kot sledi. Najprej definirajmo:

Točka Za vzemimo sredina območje z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo.

Sestavljanje diagrama M . Zaplet AB – parabolična krivulja(pravilo »dežnika«), zaplet BD – ravna poševna črta.

Za žarek določite podporne reakcije in narišite diagrame upogibnih momentov ( M) in strižne sile ( Q).

Mi določimo podpiračrke AMPAK in AT in usmerjajo podporne reakcije R A in R B .

Sestavljanje ravnotežne enačbe.

Pregled

Zapišite vrednosti R A in R B na shema izračuna.

2. Izris prečne sile metoda odsekov. Namestimo odseke značilna področja(med spremembami). Glede na dimenzijsko nit - 4 oddelki, 4 oddelki.

sek. 1-1 premakniti levo.

Odsek poteka skozi odsek z enakomerno porazdeljena obremenitev, upoštevajte velikost z 1 levo od odseka pred začetkom odseka. Dolžina parcele 2 m. Pravilo znakov za Q - cm.

Gradimo na ugotovljeni vrednosti diagramQ.

sek. 2-2 premakni desno.

Odsek spet poteka skozi območje z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo, upoštevajte velikost z 2 desno od odseka do začetka odseka. Dolžina parcele 6 m.

Sestavljanje diagrama Q.

sek. 3-3 premakni desno.

sek. 4-4 premik v desno.

Gradimo diagramQ.

3. Gradnja diagrami M metoda značilne točke.

značilna točka- točka, katera koli opazna na žarku. To so pike AMPAK, AT, Z, D , pa tudi bistvo Za , pri čemer Q=0 in upogibni moment ima ekstrem. tudi v sredina konzola je postavila dodatno točko E, saj je na tem področju pod enakomerno porazdeljeno obremenitev diagram M opisano krivo linijo in je zgrajena vsaj po 3 točke.

Torej, točke so postavljene, nadaljujemo z določanjem vrednosti v njih upogibni momenti. Pravilo znakov - glej..

Parcele NA, AD – parabolična krivulja("krovno" pravilo za strojne specialitete ali "pravilo jadra" za konstrukcijo), odseki DC, JZ – ravne poševne črte.

Trenutek na točki D je treba določiti tako levo kot desno od točke D . Prav trenutek v teh izrazih Izključeno. Na točki D dobimo dve vrednosti iz Razlika po znesku m – skok na svojo velikost.

Zdaj moramo določiti trenutek na točki Za (Q=0). Vendar pa najprej opredelimo položaj točke Za , ki označuje razdaljo od nje do začetka odseka z neznano X .

T. Za pripada drugič značilno območje, enačba strižne sile(glej zgoraj)

Toda prečna sila v t. Za je enako 0 , a z 2 enako neznano X .

Dobimo enačbo:

Zdaj vem X, določiti trenutek v točki Za na desni strani.

Sestavljanje diagrama M . Gradnja je izvedljiva za mehansko posebnosti, odlaganje pozitivnih vrednot gor od ničelne črte in z uporabo "dežnikovega" pravila.

Za dano shemo konzolnega nosilca je potrebno sestaviti diagrame prečne sile Q in upogibnega momenta M, izvesti konstrukcijski izračun z izbiro krožnega prereza.

Material - les, konstrukcijska odpornost materiala R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Obstajata dva načina za sestavljanje diagramov v konzolnem nosilcu s togim zaključkom - običajen, po predhodno določitvi podpornih reakcij in brez določanja podpornih reakcij, če upoštevamo odseke, ki gredo od prostega konca nosilca in zavržemo levi del s prenehanjem. Zgradimo diagrame vsakdanji način.

1. Določite podporne reakcije.

Enakomerno porazdeljena obremenitev q zamenjaj pogojno silo Q= q 0,84=6,72 kN

V togi vgradnji obstajajo tri podporne reakcije - navpična, vodoravna in momentna, v našem primeru je vodoravna reakcija 0.

Najdimo navpično podporna reakcija R A in referenčni trenutek M A iz ravnotežnih enačb.

V prvih dveh delih na desni ni prečne sile. Na začetku odseka z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo (desno) Q=0, zadaj - velikost reakcije R.A.
3. Za gradnjo bomo sestavili izraze za njihovo definicijo na odsekih. Diagram momenta narišemo na vlakna, t.j. dol.

(zaplet posameznih trenutkov je bil zgrajen že prej)

Rešimo enačbo (1), zmanjšamo z EI

Razkrita statična nedoločenost, se najde vrednost "ekstra" reakcije. Lahko začnete risati Q in M diagrame za statično nedoločen žarek... Skiciramo dano shemo žarka in navedemo reakcijsko vrednost Rb. V tem žarku reakcij v zaključku ni mogoče določiti, če greste v desno.

Stavba parcele Q za statično nedoločen žarek

Zaplet Q.

Zasnova M

M definiramo na točki ekstrema - na točki Za. Najprej določimo njegov položaj. Razdaljo do njega označimo kot neznano " X". Potem

Narišemo M.

Določanje strižnih napetosti v I-prerezu. Razmislite o razdelku I-žarek. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za določitev strižne napetosti se uporablja formula, kjer je Q prečna sila v prerezu, S x 0 je statični moment dela preseka, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri so določene strižne napetosti, I x je vztrajnostni moment celotnega križa prerez, b je širina preseka na mestu, kjer je določena strižna napetost

Izračunaj največ strižna napetost:

Izračunajmo statični moment za najvišja polica:

Zdaj pa izračunajmo strižne napetosti:

Gradimo diagram strižne napetosti:

Izračuni za načrtovanje in preverjanje. Za žarek s konstruiranimi diagrami notranjih sil izberite odsek v obliki dveh kanalov iz pogoja trdnosti za normalne napetosti. Preverite trdnost žarka z uporabo pogoja strižne trdnosti in merila energijske trdnosti. dano:

Pokažimo žarek s konstruiranim ploskva Q in M

Glede na diagram upogibnih momentov je nevarno oddelek C, pri čemer M C = M max \u003d 48,3 kNm.

Stanje moči za normalne obremenitve saj ima ta žarek obliko σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Treba je izbrati odsek iz dveh kanalov.

Določite zahtevano izračunano vrednost aksialni prerez modul:

Za odsek v obliki dveh kanalov, v skladu s sprejetimi dva kanala №20a, vztrajnostni moment vsakega kanala I x = 1670 cm 4, potem aksialni uporni moment celotnega odseka:

Prenapetost (prenizka napetost) na nevarnih točkah računamo po formuli: Potem dobimo podnapetost:

Zdaj pa preverimo moč žarka na podlagi trdnostni pogoji za strižne napetosti. Po navedbah diagram strižnih sil nevarno so odseki v oddelku BC in oddelku D. Kot je razvidno iz diagrama, Q max \u003d 48,9 kN.

Pogoj trdnosti za strižne napetosti izgleda kot:

Za kanal št. 20 a: statični moment območja S x 1 = 95,9 cm 3, vztrajnostni moment odseka I x 1 = 1670 cm 4, debelina stene d 1 = 5,2 mm, povprečna debelina police t 1 \u003d 9,7 mm , višina kanala h 1 = 20 cm, širina police b 1 \u003d 8 cm.

Za prečno odseki dveh kanalov:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 = 1,04 cm.

Določanje vrednosti največja strižna napetost:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

Kot je razvidno, τmax<τ adm (27 MPa<75МПа).

zato pogoj trdnosti je izpolnjen.

Trdnost žarka preverimo glede na energijski kriterij.

Brez upoštevanja diagrama Q in M sledi temu oddelek C je nevaren, v kateri M C =M max =48,3 kNm in Q C =Q max =48,9 kN.

Preživimo analiza napetostnega stanja na točkah odseka C

Definirajmo normalne in strižne napetosti na več ravneh (označeno na diagramu preseka)

Raven 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10 cm.

Normalno in tangentno Napetost:

Glavni Napetost:

Raven 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Glavni stresi:

Raven 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Normalne in strižne napetosti: