Integral in njegova praktična uporaba. Aplikacija integrala pri predmetu

Raziskovalna tema

Uporaba integralnega računa pri načrtovanju družinskih stroškov

Relevantnost problema

Vse bolj v socialnih in gospodarskih sferah pri izračunu stopnje neenakosti v porazdelitvi dohodka se uporablja matematika, in sicer integralni račun. študij praktična uporaba dobimo integral:

Kako integral in izračun površine z uporabo integrala pomagata pri razporeditvi materialnih stroškov?

Kako bo integral pomagal prihraniti denar za počitnice.

Tarča

načrtovanje družinskih stroškov z uporabo integralnega izračuna

Naloge

Raziščite geometrijski pomen integralni.
Razmislite o metodah vključevanja v družbeno in gospodarsko sfero življenja.
Naredite napoved materialnih stroškov družine pri popravilu stanovanja z uporabo integrala.
Izračunajte obseg porabe energije družine za eno leto ob upoštevanju integralnega izračuna.
Izračunajte znesek varčevalne vloge v Sberbank za počitnice.

Hipoteza

integralni račun pomaga pri ekonomičnih izračunih pri načrtovanju družinskih prihodkov in izdatkov.

Raziskovalne faze

Proučevali smo geometrijski pomen integrala in metode vključevanja v družbeno in ekonomsko sfero življenja.
Z uporabo integrala smo izračunali materialne stroške, potrebne za popravilo stanovanja.
Izračunali smo količino porabe električne energije v stanovanju in stroške električne energije za družino za eno leto.
Preučili smo eno od možnosti za zbiranje družinskih dohodkov z depoziti v Sberbank z uporabo integrala.

Predmet študija

integralni račun na družbenem in gospodarskem področju življenja.

Metode

Analiza literature na temo "Praktična uporaba integralnega računa"
Študija integracijskih metod pri reševanju problemov pri izračunu površin in volumnov številk z uporabo integrala.
Analiza družinskih stroškov in dohodkov z uporabo integralnega izračuna.

Delovni proces

Pregled literature na temo "Praktična uporaba integralnega računa"
Reševanje sistema problemov za izračun površin in volumnov številk z uporabo integrala.
Izračun družinskih stroškov in dohodka z uporabo integralnega izračuna: prenova sobe, količina električne energije, depoziti v Sberbank za počitnice.

Naši rezultati

Kako integral in izračun prostornine s pomočjo integrala pomagata pri napovedovanju obsega porabe električne energije?

ugotovitve

Ekonomski izračun potrebnih sredstev za popravilo stanovanja se lahko izvede hitreje in natančneje z uporabo integralnega izračuna.

Lažje in hitreje je izračunati porabo družinskih količin električne energije z integralnim izračunom in Microsoft Office Excelom, kar pomeni napovedovanje stroškov električne energije družine za eno leto.

Dobiček iz vlog v hranilnici je mogoče izračunati z integralnim izračunom, kar pomeni načrtovanje družinskih počitnic.

Seznam virov

Tiskane izdaje:

Učbenik. Algebra in začetek analize 10-11 razred. A.G. Mordkovich. Mnemozina. M: 2007
Učbenik. Algebra in začetek analize 10-11 razred. A. Kolmogorov Razsvetljenstvo. M: 2007
Matematika za sociologe in ekonomiste. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 str.
Integralni izračun Referenčna knjiga Višja matematika M. Ya. Vygodsky, Razsvetljenje, 2000

Ivanov Sergej, študent gr.14-EOP-33D

Delo se lahko uporabi v posploševalni lekciji na teme "Izpeljanka", "Integral".

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabiti predogled predstavitev, si ustvarite račun ( račun) Google in se prijavite: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

GBPOU KNT jih. B. I. Kornilova Raziskave na temo: "Uporaba izpeljank in integralov v fiziki, matematiki in elektrotehniki." Študent gr. 2014-eop-33d Sergej Ivanov.

1. Zgodovina pojava izpeljanke. Konec 17. stoletja je veliki angleški znanstvenik Isaac Newton dokazal, da sta pot in hitrost medsebojno povezani s formulo: V (t) \u003d S '(t) in takšno razmerje obstaja med kvantitativnimi značilnostmi najrazličnejših procesi, ki se preučujejo: fizika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , zagon P = mV = mx ' , kinetični E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), kemijo, biologijo in tehniko. To Newtonovo odkritje je bilo prelomnica v zgodovini naravoslovja.

1. Zgodovina pojava izpeljanke. Čast odkrivanja temeljnih zakonov matematična analiza skupaj z Newtonom pripada nemškemu matematiku Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu. Leibniz je do teh zakonov prišel z reševanjem problema vlečenja tangente na poljubno krivuljo, t.j. oblikoval geometrijski pomen izpeljanke, da je vrednost izpeljanke na stični točki naklon tangenta ali tg kot nagiba tangente s pozitivno smerjo osi O X. Izraz izpeljanka in sodobne označbe y’, f’ je leta 1797 uvedel J. Lagrange.

2. Zgodovina pojava integrala. Koncept integralnega in integralnega računa je nastal iz potrebe po izračunu površine (kvadrature) poljubnih številk in prostornine (kubature) poljubnih teles. Prazgodovina integralnega računa sega v antiko. Prva znana metoda za izračun integralov je metoda za preučevanje površine ali prostornine krivolinijskih figur - Evdoxusova izčrpanost (Eudoxus of Cnidus (c. 408 pr. n. št. - c. 355 BC) - starogrški matematik, mehanik in astronom), ki je bil predlagan okoli leta 370 pr. e. Bistvo te metode je naslednje: lik, katerega površino ali prostornino smo poskušali najti, je bil razdeljen na neskončno število delov, za katere je površina ali prostornina že znana.

"Metoda izčrpanosti" Recimo, da moramo izračunati prostornino limone, ki jo ima nepravilne oblike, zato uporabite katero koli znana formula glasnost ni mogoča. S tehtanjem je tudi težko najti prostornino, saj je gostota limone notri različni deli je drugačen. Nadaljujmo na naslednji način. Limono narežite na tanke rezine. Vsako rezino lahko približno štejemo za valj, polmer osnove, ki ga je mogoče izmeriti. Prostornino takega cilindra je mogoče enostavno izračunati končna formula. Če dodamo prostornine majhnih valjev, dobimo približno vrednost prostornine celotne limone. Približek bo bolj natančen, na tanjše dele lahko narežemo limono.

2. Zgodovina pojava integrala. Po Eudoxu je metodo "izčrpavanja" in njene različice za izračun prostornin in površin uporabljal starodavni znanstvenik Arhimed. Uspešno je razvijal ideje svojih predhodnikov, določil je obseg, površino kroga, prostornino in površino krogle. Pokazal je, da se določanje prostornine krogle, elipsoida, hiperboloida in paraboloida vrtenja reducira na določanje prostornine valja.

Osnova teorije diferencialnih enačb je bil diferencialni račun, ki sta ga ustvarila Leibniz in Newton. Sam izraz "diferencialna enačba" je leta 1676 predlagal Leibniz. 3. Zgodovina pojava diferencialnih enačb. Sprva so diferencialne enačbe izhajale iz problemov mehanike, pri katerih je bilo treba določiti koordinate teles, njihove hitrosti in pospeške, ki se obravnavajo kot funkcije časa pod različnimi vplivi. Nekateri takrat obravnavani geometrijski problemi so vodili tudi do diferencialnih enačb.

3. Zgodovina pojava diferencialnih enačb. Od ogromnega števila del 17. stoletja o diferencialnih enačbah izstopata dela Eulerja (1707-1783) in Lagrangea (1736-1813). V teh delih je bila najprej razvita teorija majhnih nihanj in posledično teorija linearni sistemi diferencialne enačbe; na tej poti so nastali osnovni koncepti linearne algebre ( lastne vrednosti in vektorji v n-dimenzionalnem primeru). Po Newtonu so Laplace in Lagrange ter kasneje Gauss (1777-1855) razvili tudi metode teorije motenj.

4. Uporaba izpeljanke in integrala v matematiki: V matematiki se izpeljanka široko uporablja pri reševanju številnih problemov, enačb, neenakosti, pa tudi v procesu preučevanja funkcij. Primer: Algoritem za preučevanje funkcije za ekstrem: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 in rešimo enačbo. 3) O.O.F. razdelite na intervale. 4) Na vsakem intervalu določimo predznak izpeljanke. Če f ′(x)>0, potem se funkcija povečuje. Če f′(x)

4. Uporaba izvoda in integrala v matematiki: Integr (določen integral) se uporablja v matematiki (geometrija) za iskanje površine krivolinijskega trapeza. Primer: Algoritem za iskanje površine ravne figure s pomočjo določenega integrala: 1) Zgradimo graf navedenih funkcij. 2) Označi sliko, omejeno s temi črtami. 3) Poiščite meje integracije, zapišite določen integral in ga izračunajte.

5. Uporaba izvoda in integrala v fiziki. V fiziki se izpeljanka uporablja predvsem za reševanje problemov, na primer: iskanje hitrosti ali pospeška katerega koli telesa. Primer: 1) Zakon gibanja točke vzdolž premice je podan s formulo s(t)= 10t^2 , kjer je t čas (v sekundah), s(t) je odstopanje točke pri čas t (v metrih) od začetnega položaja. Poiščite hitrost in pospešek v času t, če je: t=1,5 s. 2) Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x(t)= 2+20t+5t2. Poiščite hitrost in pospešek v času t=2s (x je koordinata točke v metrih, t je čas v sekundah).

Fizična količina Srednja vrednost Trenutna vrednost Hitrost Pospešek Kotna hitrost Trenutna moč Moč

5. Uporaba izvoda in integrala v fiziki. Integral se uporablja tudi pri težavah, kot je iskanje hitrosti ali razdalje. Telo se premika s hitrostjo v(t) = t + 2 (m/s). Poiščite pot, ki jo bo telo prehodilo v 2 sekundah po začetku gibanja. Primer:

6. Uporaba izvoda in integrala v elektrotehniki. Izpeljanka je našla uporabo tudi v elektrotehniki. V verigi električni tok električni naboj spreminja skozi čas po zakonu q=q (t). Tok I je odvod naboja q glede na čas. I=q ′(t) Primer: 1) Naboj, ki teče skozi vodnik, se spreminja po zakonu q=sin(2t-10) Poiščite jakost toka v času t=5 sek. Integral v elektrotehniki se lahko uporablja za reševanje inverznih problemov, t.j. iskanje električnega naboja ob poznavanju jakosti toka itd. 2) Električni naboj, ki teče skozi prevodnik, začenši s trenutkom t = 0, je podan s formulo q (t) = 3t2 + t + 2. Poiščite jakost toka v času t \u003d 3 s. Integral v elektrotehniki se lahko uporablja za reševanje inverznih problemov, t.j. iskanje električnega naboja ob poznavanju jakosti toka itd.

Koncept integrala je široko uporaben v življenju. Integrali se uporabljajo na različnih področjih znanosti in tehnologije. Glavne naloge, izračunane z uporabo integralov, so naloge za:

1. Iskanje prostornine telesa

2. Iskanje središča mase telesa.

Razmislimo o vsakem od njih podrobneje. Tukaj in spodaj bomo za označevanje določenega integrala neke funkcije f(x) z omejitvami integracije od a do b uporabili naslednji zapis ∫ a b f(x).

Iskanje prostornine telesa

Upoštevajte naslednjo sliko. Recimo, da obstaja neko telo, katerega prostornina je enaka V. Obstaja tudi ravna črta, tako da, če vzamemo neko ravnino pravokotno na to premo, bo znana površina preseka S tega telesa ob tej ravnini.

Vsaka taka ravnina bo pravokotna na os x, zato jo bo sekala v neki točki x. To pomeni, da bo vsaki točki x iz segmenta dodeljena številka S (x) - površina prečnega prereza telesa, ravnina, ki poteka skozi to točko.

Izkazalo se je, da bo na segmentu podana neka funkcija S(x). Če je ta funkcija neprekinjena na tem segmentu, bo veljavna naslednja formula:

V = ∫ a b S(x)dx.

Dokaz te trditve je izven okvira šolskega kurikuluma.

Izračunavanje težišča telesa

Težišče mase se najpogosteje uporablja v fiziki. Na primer, obstaja neko telo, ki se premika s poljubno hitrostjo. Vendar je neprijetno upoštevati veliko telo, zato se v fiziki to telo obravnava kot gibanje točke, ob predpostavki, da ima ta točka enako maso kot celotno telo.

In naloga izračuna središča mase telesa je glavna pri tej zadevi. Ker je telo veliko in katero točko je treba vzeti za središče mase? Mogoče tisti na sredini telesa? Ali morda najbližja točka vodilnemu robu? Tu nastopi integracija.

Za iskanje središča mase se uporabljata naslednji dve pravili:

1. Koordinata x' središča mase nekega sistema materialnih točk A1, A2,A3, … An z masami m1, m2, m3, … mn, ki se nahajajo na ravni črti v točkah s koordinatami x1, x2, x3, … xn najdemo z naslednjo formulo:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Pri izračunu koordinat središča mase lahko kateri koli del obravnavane figure nadomestimo z materialna točka, medtem ko ga postavite v središče mase tega ločenega dela figure in vzemite maso, ki je enaka masi tega dela figure.

Na primer, če je masa gostote p(x) razporejena vzdolž palice - segmenta osi Ox, kjer je p(x) neprekinjena funkcija, bo koordinata središča mase x' enaka.

Predstavljajte si, da imamo neko funkcijo odvisnosti nečesa od nečesa.

Tako lahko na primer približno predstavite hitrost mojega dela glede na čas dneva na grafu:

Hitrost merim v vrsticah kode na minuto, v resnično življenje Sem računalniški programer.

Količina dela je stopnja dela, pomnožena s časom. Se pravi, če napišem 3 vrstice na minuto, dobim na uro 180. Če imamo tak urnik, lahko ugotovite, koliko dela sem opravil na dan: to je področje pod urnikom. Toda kako ga izračunati?

Razdelimo graf na stolpce enake širine, vsako uro. In naredili bomo višino teh stebrov enako hitrosti dela sredi te ure.

Območje vsakega stolpca posebej je enostavno izračunati, njegovo širino morate pomnožiti z višino. Izkazalo se je, da je površina vsakega stolpca približno toliko dela, ki sem ga opravil za vsako uro. In če povzamete vse kolumne, dobite približno moje delo za ta dan.

Težava je v tem, da bo rezultat približen, vendar ga potrebujemo točna številka. Razdelimo grafikon na stolpce za pol ure:

Slika kaže, da je to že veliko bližje tistemu, kar iščemo.

Tako lahko segmente na grafu zmanjšate na neskončnost in vsakič se bomo vedno bolj približali območju pod grafom. In ko se širina stolpcev nagiba k nič, se bo vsota njihovih površin nagibala k površini pod grafom. Temu pravimo integral in je označen na naslednji način:

V tej formuli f(x) pomeni funkcijo, ki je odvisna od vrednosti x, črki a in b pa sta odsek, na katerem želimo najti integral.

Zakaj je to potrebno?

Znanstveniki poskušajo vse fizikalne pojave izraziti v obliki matematične formule. Ko imamo formulo, jo lahko uporabimo za izračun česar koli. In integral je eno glavnih orodij za delo s funkcijami.

Na primer, če imamo formulo za krog, lahko uporabimo integral za izračun njegove površine. Če imamo formulo za kroglo, lahko izračunamo njeno prostornino. S pomočjo integracije najdemo energijo, delo, tlak, maso, električni naboj in številne druge količine.

Ne, zakaj ga potrebujem?

Ja, nič – kar tako, iz radovednosti. Pravzaprav so integrali vključeni celo v šolski kurikulum, vendar se malo ljudi okoli spomni, kaj je to.

S klikom na gumb "Prenesi arhiv" boste brezplačno prenesli datoteko, ki jo potrebujete.
Preden prenesete to datoteko, se spomnite teh dobrih esejev, kontrolnih, seminarskih nalog, teze, članke in druge dokumente, ki so na vašem računalniku brez zahtevka. To je vaše delo, moralo bi sodelovati pri razvoju družbe in koristiti ljudem. Poiščite ta dela in jih pošljite v bazo znanja.
Mi in vsi študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki uporabljajo bazo znanja pri študiju in delu, vam bomo zelo hvaležni.

Če želite prenesti arhiv z dokumentom, v spodnje polje vnesite petmestno številko in kliknite gumb »Prenesi arhiv«

Podobni dokumenti

Spoznavanje zgodovine koncepta integrala. Porazdelitev integralnega računa, odkritje Newton-Leibnizove formule. simbol zneska; razširitev koncepta vsote. Opis potrebe po izražanju vseh fizikalnih pojavov v obliki matematične formule.

predstavitev, dodano 26.01.2015

Ideje integralnega računa v delih starih matematikov. Značilnosti metode izčrpavanja. Zgodovina iskanja formule prostornine Keplerjevega torusa. Teoretična utemeljitev načela integralnega računa (Cavalierijev princip). Koncept določenega integrala.

predstavitev, dodano 05.07.2016

Zgodovina integralnega računa. Definicija in lastnosti dvojnega integrala. Njegova geometrijska interpretacija, izračun v kartezičnih in polarnih koordinatah, redukcija na ponovljeno. Uporaba v ekonomiji in geometriji za izračun prostornin in površin.

seminarska naloga, dodana 16.10.2013

Definicija krivolinijskega integrala nad koordinatami, njegove glavne lastnosti in izračun. Pogoj neodvisnosti krivolinijskega integrala od poti integracije. Izračunavanje površin številk z uporabo dvojnega integrala. Uporaba Greenove formule.

test, dodano 23.02.2011

Pogoji za obstoj določenega integrala. Uporaba integralnega računa. Integralni račun v geometriji. Mehanska uporaba določenega integrala. Integralni račun v biologiji. Integralni račun v ekonomiji.

seminarska naloga, dodana 21.01.2008

Zgodovina integralnega in diferencialnega računa. Uporaba določenega integrala pri reševanju nekaterih problemov mehanike in fizike. Momenti in masna središča ravninskih krivulj, Guldenov izrek. Diferencialne enačbe. Primeri reševanja problemov v MatLabu.

povzetek, dodan 07.09.2009

Koncept Stieltjesovega integrala. Splošni pogoji obstoj Stieltjesovega integrala, razredi primerov njegovega obstoja in prehod do meje pod njegovim znakom. Redukcija Stieltjesovega integrala na Riemannov integral. Uporaba v teoriji verjetnosti in kvantni mehaniki.

diplomsko delo, dodano 20.07.2009