Trigonometrijske formule vsote sinusa in kosinusa. Kupite visokošolsko diplomo poceni

Najpogosteje zastavljena vprašanja

Ali je možno narediti pečat na dokumentu po priloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Pošljite skenirano kopijo ali fotografijo na naš elektronski naslov dobra kakovost in izdelali bomo potrebno kopijo.

Katere vrste plačil sprejemate? Odgovori Dokument lahko plačate ob prejemu pri kurirju, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost diplome. To lahko storite tudi v poslovalnicah poštnih podjetij, ki ponujajo storitve po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.

Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Imamo kar dolgoletne izkušnje na področju izdelave diplom. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različnih delih države in izdelajo več kot 10 dokumentov na dan. V preteklih letih so naši dokumenti številnim ljudem pomagali rešiti zaposlitvene težave ali se preseliti v več visoko plačano delo. Prislužili smo si zaupanje in priznanje med strankami, zato za to ni nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto nemogoče narediti fizično: naročilo plačate v trenutku, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.

Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delujemo že skoraj 12 let. V tem času se je oblikovala skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze doma in v tujini. različnih let izdaja. Vse kar potrebujete je izbrati univerzo, specialnost, dokument in izpolniti naročilnico.

Kaj naj storim, če v dokumentu najdem tipkarske in napake? Odgovori Pri prejemu dokumenta od naše kurirske ali poštne družbe priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se ugotovi tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, odkrite pomanjkljivosti pa morate osebno sporočiti kurirju ali v pisanje s pošiljanjem pisma na E-naslov.
V najkrajšem možnem času bomo dokument popravili in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili takšnim nesporazumom, pred izpolnitvijo prvotnega obrazca pošljemo postavitev prihodnjega dokumenta na pošto stranke v preverjanje in odobritev. končna različica. Preden dokument pošljemo po kurirju ali pošti, to tudi storimo dodatna fotografija in video (tudi v ultravijolični svetlobi), da boste imeli vizualno predstavo o tem, kaj na koncu dobite.

Kaj morate storiti, da naročite diplomo v vašem podjetju? Odgovori Za naročilo dokumenta (spričevalo, diploma, akademsko spričevalo itd.) morate na naši spletni strani izpolniti spletni obrazec za naročilo ali posredovati svoj e-mail, da vam pošljemo vprašalnik, ki ga morate izpolniti in poslati nazaj k nam.
Če ne veste, kaj bi označili v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika, pustite prazno. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.

Najnovejše ocene

Aleksej:

Da bi se zaposlil kot vodja, sem moral pridobiti diplomo. In kar je najpomembneje, imam tako izkušnje kot veščine, a brez dokumenta ne morem, službo bom dobil kjerkoli. Ko sem bil na vaši strani, sem se vseeno odločil za nakup diplome. Diploma je bila narejena v 2 dneh! Zdaj imam službo, o kateri prej nisem niti sanjal!! Hvala vam!

Formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov za dva kota α in β omogočajo prehod od vsote navedenih kotov na zmnožek kotov α + β 2 in α - β 2 . Takoj ugotavljamo, da ne smete zamenjevati formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov s formulami za sinuse in kosinuse vsote in razlike. Spodaj navajamo te formule, podajamo njihovo izpeljavo in prikazujemo primere uporabe za specifične probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov

Zapišimo, kako izgledajo formule vsote in razlike za sinuse in kosinuse

Formule vsote in razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule vsote in razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Te formule veljajo za poljubne kote α in β. Kota α + β 2 in α - β 2 imenujemo polovična vsota in polovična razlika kotov alfa in beta. Za vsako formulo damo formulacijo.

Definicije formul vsote in razlike za sinuse in kosinuse

Vsota sinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu sinusa polovične vsote teh kotov in kosinusa polovične razlike.

Razlika sinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu sinusa polovične razlike teh kotov in kosinusa polovične vsote.

Vsota kosinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu kosinusa polovične vsote in kosinusa polovične razlike teh kotov.

Razlika kosinusov dveh kotov je enak dvakratnemu produktu sinusa polovične vsote in kosinusa polovične razlike teh kotov, vzetih z negativnim predznakom.

Izpeljava formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov

Za izpeljavo formul za vsoto in razliko sinusa in kosinusa dveh kotov se uporabljajo formule za seštevanje. Predstavljamo jih spodaj

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Prav tako predstavljamo kote same kot vsoto polovičnih vsot in polrazlik.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + - β

Nadaljujemo neposredno z izpeljavo formul vsote in razlike za sin in cos.

Izpeljava formule za vsoto sinusov

V vsoti sin α + sin β zamenjamo α in β z zgoraj navedenima izrazoma za te kote. Pridobite

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Zdaj uporabimo formulo seštevanja za prvi izraz, sinusno formulo kotnih razlik pa za drugi (glej zgornje formule)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraki za izpeljavo preostalih formul so podobni.

Izpeljava formule za razliko sinusov

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Izpeljava formule za vsoto kosinusov

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Izpeljava formule kosinusne razlike

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primeri reševanja praktičnih problemov

Za začetek bomo preverili eno od formul tako, da vanjo nadomestimo določene vrednosti kota. Naj bo α = π 2 , β = π 6 . Izračunajmo vrednost vsote sinusov teh kotov. Najprej uporabimo tabelo osnovnih vrednosti trigonometrične funkcije, nato pa uporabite formulo za vsoto sinusov.

Primer 1. Preverjanje formule za vsoto sinusov dveh kotov

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 = 3 2

Poglejmo zdaj primer, ko se vrednosti kotov razlikujejo od osnovnih vrednosti, predstavljenih v tabeli. Naj bo α = 165°, β = 75°. Izračunajmo vrednost razlike med sinusi teh kotov.

Primer 2. Uporaba formule sinusne razlike

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Z uporabo formul za vsoto in razliko sinusov in kosinusov lahko preidete od vsote ali razlike do produkta trigonometričnih funkcij. Te formule pogosto imenujemo formule za prehod iz vsote v produkt. Formule za vsoto in razliko sinusov in kosinusov se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometrične enačbe in pri pretvorbi trigonometričnih izrazov.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kosinus vsote in razlike dveh kotov

V tem razdelku bosta dokazani naslednji dve formuli:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kosinus vsote (razlike) dveh kotov je enak produktu kosinusov teh kotov minus (plus) produkt sinusov teh kotov.

Za nas bo bolj priročno začeti z dokazom formule (2). Za preprostost najprej predpostavimo, da so koti α in β izpolnjevati naslednje pogoje:

1) vsak od teh kotov je nenegativen in manjši od 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Naj bo pozitivni del osi 0x skupna začetna stran kotov α in β .

Označimo končne stranice teh kotov kot 0A oziroma 0B. Očitno kot α - β se lahko obravnava kot kot, za katerega je treba žarek 0B zasukati okoli točke 0 v nasprotni smeri urnega kazalca, tako da njegova smer sovpada s smerjo žarka 0A.

Na žarkih 0A in 0B označimo točki M in N, ki sta oddaljeni 1 od izhodišča koordinat 0, tako da je 0M = 0N = 1.

V koordinatnem sistemu x0y ima točka M koordinate ( cosα, sinα), in točka N - koordinate ( cos β , sin β). Torej je kvadrat razdalje med njima:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Pri izračunih smo uporabili identiteto

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Zdaj razmislite o drugem koordinatnem sistemu B0C, ki ga dobimo z vrtenjem osi 0x in 0y okoli točke 0 v nasprotni smeri urinega kazalca za kot β .

V tem koordinatnem sistemu ima točka M koordinate (cos ( α - β ), greh ( α - β )), točka pa so N-koordinate (1,0). Torej je kvadrat razdalje med njima:

d 2 2 = 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

Toda razdalja med točkama M in N ni odvisna od tega, kateri koordinatni sistem obravnavamo te točke. Torej

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Tu sledi formula (2).

Zdaj se moramo spomniti tistih dveh omejitev, ki smo jih naložili zaradi enostavnosti predstavitve na vogalih α in β .

Zahteva, da vsak od vogalov α in β je bila nenegativna, ni res pomembna. Navsezadnje lahko kateremu koli od teh kotov dodamo kot, ki je večkratnik 2n, kar nikakor ne bo vplivalo na veljavnost formule (2). Podobno lahko od vsakega od danih kotov odštejete kot, ki je večkratnik 2π. Zato se lahko šteje, da 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Pogoj α > β . Pravzaprav, če α < β , potem β >α ; torej ob upoštevanju enakomernosti funkcije cos X , dobimo:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

kar v bistvu sovpada s formulo (2). Tako formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

velja za vse kote α in β . Zlasti z zamenjavo β na - β in glede na to, da je funkcija cosX je celo in funkcija grehX čudno, dobimo:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

kar dokazuje formulo (1).

Tako sta formuli (1) in (2) dokazani.

Primeri.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =