Stabilitatea tijelor comprimate efort critic formula Euler. Formula lui Euler pentru forța critică

Cursul 7

STABILITATEA TIJELOR COMPprimate

Conceptul de stabilitate a unei tije comprimate. Formula lui Euler. Dependența forței critice de metoda de fixare a tijei. Limitele de aplicabilitate ale formulei Euler. Formula Yasinsky. Calculul durabilității.

Conceptul de stabilitate a unei tije comprimate

Să considerăm o tijă cu axă dreaptă încărcată cu o forță de compresiune longitudinală F. În funcție de mărimea forței și de parametrii tijei (material, lungime, forma și dimensiunile secțiunii transversale), forma sa de echilibru rectilinie poate fi stabil sau instabil.

Pentru a determina tipul de echilibru al tijei, să acționăm asupra acesteia cu o sarcină transversală mică Q. Ca urmare, tija se va deplasa într-o nouă poziție de echilibru cu o axă curbă. Dacă, după terminarea sarcinii transversale, tija revine în poziția inițială (rectilie), atunci forma rectilinie a echilibrului este stabilă (Figura 7.1a). În cazul în care, după încetarea acțiunii forței transversale Q, tija nu revine în poziția inițială, forma rectilinie a echilibrului este instabilă (Fig. 7.1b).

Astfel, stabilitatea este capacitatea tijei, după o anumită abatere de la poziția inițială ca urmare a acțiunii unei sarcini perturbatoare, de a reveni spontan la poziția inițială atunci când această sarcină este terminată. Cea mai mică forță de compresiune longitudinală la care forma de echilibru rectilinie a tijei devine instabilă se numește forță critică.

Schema de funcționare considerată a tijei centrale comprimate este teoretică. În practică, forța de compresiune poate acționa cu o oarecare excentricitate, iar tija poate avea o oarecare curbură inițială (deși mică). Prin urmare, încă de la începutul încărcării longitudinale a tijei, se observă îndoirea acesteia. Cercetările arată că atâta timp cât forța de compresiune este mai mică decât forța critică, deviațiile barei vor fi mici. Când forța se apropie de valoarea critică, deviațiile încep să crească la nesfârșit. Acest criteriu (o creștere nelimitată a deformațiilor cu o creștere limitată a forței de compresiune) este luat drept criteriu de flambaj.

Pierderea stabilității echilibrului elastic are loc nu numai în timpul comprimării tijei, ci și în timpul torsiunii, îndoirii și a unor tipuri mai complexe de deformare.

Formula lui Euler

Se consideră o tijă cu axă dreaptă, fixată prin intermediul a două suporturi articulate (Fig. 7.2). Să presupunem că forța de compresiune longitudinală care acționează asupra tijei a atins o valoare critică, iar tija este îndoită în planul de rigiditate minimă. Planul de rigiditate minimă este situat perpendicular pe axa centrală principală a secțiunii, față de care momentul axial de inerție al secțiunii are o valoare minimă.

(7.1)

unde M este momentul încovoietor; I min este momentul minim de inerție al secțiunii.

Din fig. 7.2 găsiți momentul încovoietor

(7.2)

Pe fig. 7.2 momentul încovoietor datorat acțiunii forței critice este pozitiv, iar deformarea este negativă. Pentru a se pune de acord asupra semnelor acceptate, se pune în dependență un semn minus (7.2).

Înlocuind (7.2) în (7.1), pentru a determina funcția de deviere, obținem ecuația diferențială

(7.3)

(7.4)

Din cursul de matematică superioară se știe că soluția ecuației (7.3) are forma

unde A, B sunt constante de integrare.

Pentru a determina constantele de integrare din (7.5), folosim condițiile la limită

Pentru o tijă îndoită, coeficienții A și B nu pot fi egali cu zero în același timp (altfel tija nu va fi îndoită). Asa de

Echivalând (7.6) și (7.4), găsim

(7.7)

De importanță practică este cea mai mică valoare diferită de zero a forței critice. Prin urmare, înlocuind n=1 în (7.7), avem în sfârșit

(7.8)

Dependența (7.8) se numește formula lui Euler.

Dependența de forță critică

din metoda de fixare a tijei

Formula (7.8) a fost obţinută pentru cazul fixării unei tije prin intermediul a două suporturi articulate amplasate la marginile acesteia. Pentru alte metode de fixare a tijei, se folosește formula generalizată Euler pentru a determina forța critică

(7.9)

unde μ este factorul de reducere a lungimii, ținând cont de metoda de fixare a tijei.

În fig. 7.3.

Limitele de aplicabilitate ale formulei Euler. formula lui Yasinsky

P La derivarea formulei Euler s-a folosit condiția ca legea lui Hooke să fie îndeplinită în momentul pierderii stabilității. Tensiunea din tijă în momentul flambajului este egală cu

Unde
- flexibilitatea tijei; A este aria secțiunii transversale a tijei.

În momentul pierderii stabilității, legea lui Hooke va fi îndeplinită sub condiție

unde σpc este limita de proporționalitate a materialului tijei;
- prima flexibilitate finală a lansetei. Pentru oțel St3 λ pr1 = 100.

Astfel, formula lui Euler este valabilă atunci când condiția (7.10) este îndeplinită.

Dacă flexibilitatea tijei este în interval
atunci tija își va pierde stabilitatea în zona deformațiilor elastic-plastice și formula Euler nu poate fi utilizată. În acest caz, forța critică este determinată de formula experimentală a lui Yasinsky

unde a, b sunt coeficienți experimentali. Pentru oțel St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

A doua flexibilitate finală a tijei este determinată de formulă

unde σ t este limita de curgere a materialului tijei. Pentru oțel St3 λ pr2 = 60.

Când condiția λ ≤ λ pr2 este îndeplinită, efortul critic (conform lui Yasinsky) va depăși limita de curgere a materialului tijei. Prin urmare, în acest caz, pentru a determina forța critică, se utilizează relația

(7.12)

LA ca exemplu în fig. 7.4 arată dependența solicitării critice de flexibilitatea tijei pentru oțelul St3.

Calculul durabilității

Analiza de stabilitate se realizează folosind condiția de stabilitate

(7.13)

Stresul admisibil la calcularea stabilității;

- factor de stabilitate.

Tensiunea admisibilă în calculul stabilității se bazează pe efortul admisibil în calculul compresiunii

(7.14)

unde φ este coeficientul de flambaj (sau reducerea tensiunii principale admisibile). Acest coeficient variază în intervalul 0 ≤ φ ≤ 1.

Având în vedere că pentru materialele plastice

formulele (7.13) și (7.14) implică

(7.15)

Valorile coeficientului de flambaj în funcție de materialul și flexibilitatea tijei sunt date în literatura de referință.

Cel mai interesant este calculul de proiectare din condiția de stabilitate. Cu acest tip de calcul se cunosc: schema de proiectare (coeficientul μ), forța exterioară de compresiune F, materialul (tensiunea admisibilă [σ]) și lungimea l a tijei, forma secțiunii transversale a acesteia. Este necesar să se determine dimensiunile secțiunii transversale.

Dificultatea constă în faptul că nu se știe prin ce formulă să se determine stresul critic, deoarece fără dimensiunile secțiunii transversale, este imposibil să se determine flexibilitatea barei. Prin urmare, calculul se realizează prin metoda aproximărilor succesive:

1) Acceptăm valoarea inițială = 0,5. Determinați aria secțiunii transversale

2) După suprafață găsim dimensiunile secțiunii transversale.

3) Folosind dimensiunile secțiunii transversale obținute, calculăm flexibilitatea tijei, iar prin flexibilitate - valoarea finală a coeficientului de flambaj .

4) Dacă valorile nu se potrivesc și efectuați a doua aproximare. Valoarea inițială a lui φ în a doua aproximare este luată egală cu
. etc.

Repetăm ​​calculele până când valorile inițiale și finale ale coeficientului φ diferă cu cel mult 5%. Ca răspuns, acceptăm valorile dimensiunilor obținute în ultima aproximare.

Pentru a găsi tensiunile critice, este necesar să se calculeze forța critică, adică cea mai mică forță de compresiune axială care poate menține o tijă comprimată ușor curbată în echilibru.

Această problemă a fost rezolvată pentru prima dată de academicianul Academiei de Științe din Sankt Petersburg L. Euler în 1744.

Rețineți că însăși formularea problemei este diferită de cea din toate secțiunile luate anterior ale cursului. Dacă mai devreme am determinat deformarea tijei sub sarcini externe date, atunci aici punem problema inversă: având în vedere curbura axei tijei comprimate, este necesar să se determine la ce valoare a forței de compresiune axiale. R o astfel de distorsiune este posibilă.

Luați în considerare o tijă dreaptă cu secțiune transversală constantă, articulată la capete; unul dintre suporturi permite posibilitatea deplasării longitudinale a capătului corespunzător al tijei (Fig. 3). Neglijăm greutatea proprie a lansetei.

Fig.3. Schema de calcul în „problema Euler”

Încărcăm tija cu forțe de compresiune longitudinale aplicate central și îi dăm o curbură foarte ușoară în planul de rigiditate minimă; tija este ținută în stare îndoită, ceea ce este posibil deoarece .

Se presupune că deformarea la încovoiere a tijei este foarte mică, prin urmare, pentru a rezolva problema, putem folosi ecuația diferențială aproximativă pentru axa îndoită a tijei. Selectarea originii coordonatelor într-un punct DARși direcția axelor de coordonate, așa cum se arată în Fig. 3, avem:

(1)

Luați o secțiune la distanță X de la origine; ordonata axei curbe din această secţiune va fi la, iar momentul încovoietor este

Conform schemei originale, momentul încovoietor se dovedește a fi negativ, în timp ce ordonatele pentru direcția aleasă a axei la se dovedesc a fi pozitive. (Dacă tija ar fi curbată cu o umflătură în jos, atunci momentul ar fi pozitiv și la- negativ și .)

Ecuația diferențială tocmai dată ia forma:

împărțind ambele părți ale ecuației la E Jși notând fracția prin o aducem la forma:

Integrala generală a acestei ecuații are forma:

Această soluție conține trei necunoscute: constante de integrare Ași bși valoarea , deoarece mărimea forței critice ne este necunoscută.

Condițiile la limită de la capetele tijei dau două ecuații:

în punctul A la x = 0 abatere la = 0,

LA X= 1 la = 0.

Rezultă din prima condiție (deoarece cos kx =1)

Deci axa îndoită este o sinusoidă cu ecuația

(2)

Aplicând a doua condiție, înlocuim în această ecuație

la= 0 și X = l

primim:

De aici rezultă că fie A sau kl sunt egale cu zero.

În cazul în care un A este egal cu zero, apoi din ecuația (2) rezultă că deformarea în orice secțiune a tijei este egală cu zero, adică tija a rămas dreaptă. Acest lucru contrazice premisele inițiale ale concluziei noastre. Prin urmare păcatul kl= 0, iar valoarea poate avea următoarele serii infinite de valori:

unde este orice număr întreg.

Prin urmare, și de atunci

Cu alte cuvinte, sarcina care poate menține în echilibru o tijă ușor curbată poate avea, teoretic, un număr de valori. Dar din moment ce se caută, și este interesant din punct de vedere practic, cea mai mică valoare a forței de compresiune axială la care devine posibilă flambajul, ar trebui luată.

Prima rădăcină =0 necesită ca aceasta să fie egală cu zero, ceea ce nu corespunde datelor inițiale ale problemei; deci această rădăcină trebuie aruncată și valoarea luată ca cea mai mică rădăcină. Apoi obținem expresia forței critice:

Astfel, cu cât axa curbată sinusoidal a tijei are mai multe puncte de inflexiune, cu atât ar trebui să fie mai mare forța critică. Studii mai complete arată că formele de echilibru definite prin formulele (1) sunt instabile; trec în forme stabile numai în prezenţa unor suporturi intermediare la puncte LAși Cu(Fig. 1).

Fig.1

Astfel, sarcina este rezolvată; pentru tija noastră, cea mai mică forță critică este determinată de formulă

iar axa curbă reprezintă o sinusoidă

Valoarea constantei de integrare A rămas nedefinit; semnificația sa fizică se va afla dacă punem în ecuația sinusoidală; atunci (adică la mijlocul lungimii tijei) va primi valoarea:

Mijloace, A- aceasta este devierea tijei în secțiunea de la mijlocul lungimii sale. Întrucât la valoarea critică a forţei R echilibrul unei tije curbe este posibil cu diverse abateri de la forma sa rectilinie, dacă doar aceste abateri ar fi mici, atunci este firesc ca deformarea f rămas nedefinit.

În același timp, trebuie să fie atât de mic încât să avem dreptul să folosim ecuația diferențială aproximativă a axei curbe, adică astfel încât să fie încă mică în comparație cu unitatea.

După ce a obținut valoarea forței critice, putem găsi imediat valoarea tensiunii critice împărțind forța la aria secțiunii transversale a tijei. F; întrucât valoarea forței critice a fost determinată din luarea în considerare a deformațiilor tijei, asupra cărora slăbirea locală a ariei secțiunii transversale are un efect extrem de slab, atunci formula pentru include momentul de inerție, prin urmare, este obișnuit la calcularea tensiunilor critice, precum și la compilarea stării de stabilitate, pentru a introduce în calcul aria secțiunii transversale completă și nu slăbită a tijei. Atunci va fi egal

Astfel, dacă aria unei tije comprimate cu o astfel de flexibilitate a fost selectată numai în funcție de condiția de rezistență, atunci tija s-ar prăbuși din cauza pierderii stabilității unei forme rectilinie.

Pentru prima dată s-a pus problema stabilității tijelor comprimate. Euler a derivat o formulă de calcul pentru forța critică și a arătat că valoarea acesteia depinde în mod semnificativ de metoda de fixare a tijei. Ideea metodei Euler este de a stabili condițiile în care, pe lângă cea rectilinie, este posibilă și o formă de echilibru curbiliniu adiacent (adică, arbitrar aproape de originalul) a tijei sub o sarcină constantă.

Să presupunem că o tijă dreaptă articulată la capete, comprimată de o forță P= Pk, a fost scos din echilibrul rectiliniu de o oarecare forță orizontală și a rămas îndoit după îndepărtarea forței orizontale (Fig. 13.4). Dacă deviațiile tijei sunt mici, atunci ecuația diferențială aproximativă a axei sale va avea aceeași formă ca și în cazul îndoirii transversale a grinzii:

Combinând originea coordonatelor cu centrul secțiunii inferioare, direcționăm axa la spre deviațiile tijei și spre ax X- de-a lungul axei tijei.

În teoria flambajului, se obișnuiește să se considere forța de compresiune pozitivă. Prin urmare, determinând momentul încovoietor în secțiunea curentă a tijei luate în considerare, obținem

Dar, după cum rezultă din fig. 13.4, cu direcția selectată a axelor la // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси la la invers, atunci semnele se vor schimba simultan lași la// iar semnul minus din partea dreaptă a ecuației (13.2) va rămâne.

Prin urmare, ecuația liniei elastice a tijei are forma

.

Presupunând α 2 =Rk/EI, obținem o ecuație diferențială liniară omogenă

,

a cărui integrală generală

Aici Ași B- constante de integrare, determinate din condiţiile de fixare a tijei, aşa-numitele condiţii de limită sau limită.

Deplasarea orizontală a capătului inferior al tijei, așa cum se vede din Fig. 13.4, este egal cu zero, adică când X=0 deformare la=0. Această condiție va fi îndeplinită dacă B=0. Prin urmare, axa îndoită a tijei este o sinusoidă

.

Deplasarea orizontală a capătului superior al barei este, de asemenea, zero, deci

.

Constant A, care este deformarea maximă a tijei, nu poate fi egală cu zero, de când A=0, este posibilă doar o formă rectilinie de echilibru și căutăm o condiție în care este posibilă și o formă curbilinie de echilibru. De aceea trebuie să fie păcatα l=0. Rezultă că pot exista forme de echilibru curbiliniu ale tijei dacă α l ia valori π ,2π ,.nπ . Valoare α l nu poate fi egal cu zero, deoarece această soluție corespunde cazului

Echivalarea α l= nπ și înlocuirea

primim

.

Expresia (13.5) se numește formula lui Euler. Poate fi folosit pentru a calcula forța critică Rk atunci când tija se cade într-unul din cele două planuri principale, deoarece numai în această condiție este valabilă ecuația (13.2) și, prin urmare, formula (13.5).

Flambarea tijei are loc în direcția celei mai mici rigidități, dacă nu există dispozitive speciale care să împiedice tija să se îndoaie în această direcție. Prin urmare, în formula Euler este necesar să se înlocuiască eumin- cel mai mic dintre momentele centrale de inerție principale ale secțiunii transversale a tijei.

Valoarea celei mai mari abateri a tijei Aîn soluția dată rămâne nedefinită, se ia arbitrar, dar se presupune că este mică.

Valoarea forței critice, determinată prin formula (13.5), depinde de coeficient n. Să aflăm semnificația geometrică a acestui coeficient.

Mai sus, am stabilit că axa îndoită a tijei este o sinusoidă, a cărei ecuație, după înlocuire α =π n/lîn expresia (13.4) ia forma

.

Sinusoide pentru n=1, n=2 sunt prezentate în fig. 13.5. Este ușor de observat că valoarea n reprezintă numărul de semi-unde ale sinusoidei de-a lungul cărora tija se va îndoi. Evident, tija se va îndoi întotdeauna în funcție de cel mai mic număr de semi-unde permis de dispozitivele sale de susținere, deoarece conform (13.5) cel mai mic număr n corespunde celei mai mici forțe critice. Doar această primă forță critică are o semnificație fizică reală.

De exemplu, o tijă cu capete articulate se va îndoi de îndată ce se atinge cea mai mică valoare a forței critice, corespunzătoare n=1, deoarece dispozitivele de sprijin ale acestei tije îi permit să se îndoaie de-a lungul unei semi-unde a unei sinusoide. Forțele critice corespunzătoare n=2, n\u003d 3 și mai mult, pot fi obținute numai dacă există suporturi intermediare (Fig. 13.6). Pentru o tijă cu suporturi de capăt articulate fără prinderi intermediare, prima forță critică are o semnificație reală

.

Formula (13.5), după cum rezultă din derivarea sa, este valabilă nu numai pentru o tijă cu capete articulate, ci și pentru orice tijă care se îndoaie în timpul flambării de-a lungul unui număr întreg de semi-unde. Să aplicăm această formulă, de exemplu, atunci când determinăm forța critică pentru o tijă, ale cărei dispozitive de susținere permit doar deplasări longitudinale ale capetelor sale (stand cu capete încorporate). După cum se poate observa din figura 13.7, numărul de semi-unde ale axei curbe în acest caz n=2 și, în consecință, forța critică pentru tijă cu dispozitive de sprijin date

.

Să presupunem că un suport cu unul strâns și celălalt capăt liber (Fig. 13.8) este comprimat de o forță R.

Dacă puterea P= Pk, atunci pe lângă cea rectilinie mai poate exista și o formă curbilinie a echilibrului cremalierului (linia punctată în Fig. 13.8).

Ecuația diferențială a axei îndoite a cremalierului în cea prezentată în fig. 13.8 sistemul de axe de coordonate are aceeași formă.

Soluția generală a acestei ecuații este:

Subordonarea acestei soluții condițiilor la limită evidente: y=0 la X=0 și y/ =0 la X= l, primim B=0, Aα cosα l= 0.

Am presupus că postul este curbat, deci valoarea A nu poate fi egal cu zero. Prin urmare, cosα l= 0. Cea mai mică rădăcină diferită de zero a acestei ecuații α l= π /2 definește prima forță critică

,

care corespunde îndoirii tijei de-a lungul sinusoidei

.

Valori α l=3π /2, α l=5π /2 etc., după cum se arată mai sus, corespund unor valori mari Pkși forme mai complexe ale axei curbe a raftului, care practic pot exista doar în prezența suporturilor intermediare.

Ca un al doilea exemplu, luați în considerare un suport cu un capăt ciupit și al doilea cu balamale (Fig. 13.9). Datorită curburii axei tijei la P= Pk din partea suportului articulat ia naștere o forță reactivă orizontală R. Prin urmare, momentul încovoietor în secțiunea curentă a tijei

.α :

Cea mai mică rădăcină a acestei ecuații determină prima forță critică. Această ecuație se rezolvă prin metoda de selecție. Este ușor de crezut că cea mai mică rădăcină diferită de zero a acestei ecuații α l= 4.493=1.43 π .

Luând α l= 1.43 π , obținem următoarea expresie pentru forța critică:

Aici μ =1/n- reciproca numărului de semi-unde n sinusoid de-a lungul căruia tija se va îndoi. Constant μ se numește factor de reducere a lungimii și produsul μ l- lungime redusa a tijei. Lungimea redusă este lungimea de semiundă a sinusoidei de-a lungul căreia este îndoită această tijă.

Cazul de fixare cu balamale a capetelor tijei se numește carcasa principală. Din cele de mai sus rezultă că forța critică pentru orice caz de fixare a tijei poate fi calculată prin formula pentru cazul principal când lungimea reală a tijei este înlocuită în ea cu lungimea sa redusă. μ l.

Coeficienți de reducere μ pentru unele rafturi sunt date în fig. 17.10.

Conceptul de stabilitate și putere critică. Calcule de proiectare si verificare.

În structuri și structuri, piesele care sunt tije relativ lungi și subțiri, în care una sau două dimensiuni ale secțiunii transversale sunt mici în comparație cu lungimea tijei, sunt de mare folos. Comportarea unor astfel de tije sub acțiunea unei sarcini de compresiune axială se dovedește a fi fundamental diferită decât atunci când tijele scurte sunt comprimate: când forța de compresiune F atinge o anumită valoare critică egală cu Fcr, forma rectilinie a echilibrului unei tije lungi se dovedește a fi instabilă, iar când Fcr este depășit, tija începe să se îndoaie intens (se umfle). În acest caz, o nouă stare de echilibru (momentară) a elasticului lung devine o nouă formă deja curbilinie. Acest fenomen se numește pierdere de stabilitate.

Orez. 37. Pierderea stabilității

Stabilitate - capacitatea unui corp de a menține o poziție sau o formă de echilibru sub influențe externe.

Forța critică (Fcr) - sarcină, al cărei exces determină pierderea stabilității formei (poziției) originale a corpului. Stare de stabilitate:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Stabilitatea unei tije comprimate. problema lui Euler.

La determinarea forței critice care provoacă flambajul unei tije comprimate, se presupune că tija este perfect dreaptă, iar forța F este aplicată strict central. Problema sarcinii critice a unei tije comprimate, ținând cont de posibilitatea existenței a două forme de echilibru la aceeași valoare a forței, a fost rezolvată de L. Euler în 1744.

Orez. 38. Tijă comprimată

Luați în considerare o tijă susținută pivotant la capete, comprimată de o forță longitudinală F. Să presupunem că, dintr-un motiv oarecare, tija a primit o curbură mică a axei, în urma căreia a apărut un moment de încovoiere M în ea:

unde y este deformarea tijei într-o secțiune arbitrară cu coordonata x.

Pentru a determina forța critică, puteți utiliza ecuația diferențială aproximativă a unei linii elastice:

(26)

După efectuarea transformărilor, se poate observa că forța critică va lua o valoare minimă la n = 1 (o jumătate de undă a sinusoidei se potrivește pe lungimea tijei) și J = Jmin (tija este îndoită). axa cu cel mai mic moment de inerție)

(27)

Această expresie este formula lui Euler.

Dependența forței critice de condițiile de fixare a tijei.

Formula lui Euler a fost obținută pentru așa-numitul caz de bază - presupunând suportul articulat al tijei la capete. În practică, există și alte cazuri de fixare a tijei. În acest caz, se poate obține o formulă de determinare a forței critice pentru fiecare dintre aceste cazuri prin rezolvarea, ca în paragraful anterior, a ecuației diferențiale a axei îndoite a grinzii cu condițiile la limită corespunzătoare. Dar puteți folosi o tehnică mai simplă, dacă vă amintiți că, în cazul pierderii stabilității, o jumătate de undă a unei sinusoide ar trebui să se potrivească pe lungimea tijei.

Să luăm în considerare câteva cazuri caracteristice de fixare a tijei la capete și să obținem o formulă generală pentru diferite tipuri de prindere.

Orez. 39. Diverse cazuri de fixare a tijei

Formula generală a lui Euler:

(28)

unde μ·l = l pr - lungimea redusă a tijei; l este lungimea reală a tijei; μ este coeficientul lungimii reduse, arătând de câte ori este necesară modificarea lungimii tijei astfel încât forța critică pentru această tijă să devină egală cu forța critică pentru grinda articulată. (O altă interpretare a coeficientului de lungime redusă: μ arată pe ce parte a lungimii tijei pentru un anumit tip de fixare se potrivește o jumătate de undă a sinusoidului în caz de flambaj.)

Astfel, condiția finală de stabilitate ia forma

(29)

Să luăm în considerare două tipuri de calcul pentru stabilitatea tijelor comprimate - verificarea și proiectarea.

Verificați calculul

Procedura de verificare a stabilității arată astfel:

Pe baza dimensiunilor cunoscute și a formei secțiunii transversale și a condițiilor de fixare a tijei, calculăm flexibilitatea;

Conform tabelului de referință, găsim factorul de reducere pentru solicitarea admisibilă, apoi determinăm efortul admisibil pentru stabilitate;

Comparați stresul maxim cu stresul de stabilitate admisibil.

Calcul de proiectare

În calculul de proiectare (pentru a selecta o secțiune pentru o sarcină dată), există două cantități necunoscute în formula de calcul - aria secțiunii transversale dorite A și coeficientul necunoscut φ (deoarece φ depinde de flexibilitatea tijei și, prin urmare, pe zona necunoscută A). Prin urmare, atunci când selectați o secțiune, este de obicei necesar să folosiți metoda aproximărilor succesive:

De obicei, în prima încercare, se ia φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 și aria secțiunii transversale este determinată în prima aproximare

Conform zonei găsite A1, se selectează secțiunea și se calculează flexibilitatea tijei în prima aproximare λ1. Cunoscând λ, găsiți o nouă valoare φ′1;

Alegerea materialului și forma rațională a secțiunii.

Alegerea materialului. Deoarece numai modulul lui Young este inclus în formula Euler pentru toate caracteristicile mecanice, nu este recomandabil să se utilizeze materiale de înaltă rezistență pentru a crește stabilitatea tijelor foarte flexibile, deoarece modulul lui Young este aproximativ același pentru toate tipurile de oțel.

Pentru tijele cu flexibilitate scăzută, utilizarea oțelurilor de calitate superioară este justificată, deoarece odată cu creșterea limitei de curgere a unor astfel de oțeluri, tensiunile critice cresc și, prin urmare, marja de stabilitate.

Universitatea de Stat de Transport din Irkutsk

Laboratorul #16

prin disciplina "Rezistența materialelor"

DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A FORȚELOR CRITICE

PENTRU ÎNDOIRE LONGITUDINALĂ

Departamentul de PM

Laboratorul #16

Determinarea experimentală a forțelor critice în flambaj

Obiectiv: studiul fenomenului de flambaj a unei tije de oțel comprimat într-un elastic

etape. Determinarea experimentală a valorilor sarcinilor critice de comprimat

tije cu diverse metode de prindere si compararea lor cu teoretice

valorile.

Dispoziții generale

Tijele comprimate nu sunt suficiente pentru a testa rezistența în funcție de starea binecunoscută:

,

unde [σ] este efortul admisibil pentru materialul tijei, P - forta de compresiune F - arie a secțiunii transversale.

În practică, inginerii se ocupă cu tije flexibile supuse compresiei, plăci subțiri comprimate, structuri cu pereți subțiri, a căror defecțiune este cauzată nu de pierderea capacității portante, ci de pierderea stabilității.

Pierderea stabilității este înțeleasă ca pierderea formei originale de echilibru.

Rezistenta materialelor are in vedere stabilitatea elementelor structurale care lucreaza in compresie.

Luați în considerare o tijă lungă și subțire (Fig. 1) încărcată cu o forță de compresiune axială P .

P< P kr P > P kr

Orez. unu. Tijă încărcată cu forță de compresiune axială P .

Pentru valori mici de forță F tija este comprimată rămânând drept. Mai mult, dacă tija este deviată din această poziție de o sarcină transversală mică, atunci se va îndoi, dar când este îndepărtată, tija revine la o stare rectilinie. Aceasta înseamnă că pentru o forță dată P forma rectilinie de echilibru a tijei este stabilă.

Dacă continuăm să creștem forța de compresiune P , apoi la o anumită valoare, forma rectilinie a echilibrului devine instabilă și apare o nouă formă de echilibru a tijei - curbilinie (Fig. 1, b) . Datorită îndoirii tijei, în secțiunile sale va apărea un moment de încovoiere, care va provoca solicitări suplimentare, iar tija se poate prăbuși brusc.

Se numește curbura unei tije lungi comprimate de o forță longitudinală flambaj .

Cea mai mare valoare a forței de compresiune la care forma rectilinie de echilibru a tijei este stabilă se numește critic - P kr.

Când se atinge sarcina critică, are loc o schimbare calitativă bruscă a formei inițiale de echilibru, ceea ce duce la defectarea structurii. Prin urmare, forța critică este considerată o sarcină de rupere.

formulele lui Euler și Yasinsky

Problema determinării forței critice a unei tije comprimate a fost rezolvată pentru prima dată de un membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg L. Euler în 1744. Formula Euler are forma

(1)

Unde E – modulul de elasticitate al materialului tijei; J min- cel mai mic moment de inerție al secțiunii transversale a tijei (deoarece îndoirea tijei în timpul flambajului are loc în planul de rigiditate minimă, adică secțiunile transversale ale tijei se rotesc în jurul axei, față de care momentul de inerție este minim, adică fie în jurul axei X , sau în jurul axei y );

(μ· l ) este lungimea redusă a tijei, acesta este produsul lungimii tijei l prin coeficientul μ, care depinde de metodele de fixare a capetelor tijei.

Coeficient μ numit factor de reducere a lungimii ; valoarea acestuia pentru cele mai frecvente cazuri de fixare a capetelor tijei este prezentată în fig. 2:

A- ambele capete ale tijei sunt articulate si se pot apropia una de alta;

b- un capăt este prins rigid, celălalt este liber;

în- un capăt este articulat, celălalt are „etanșare flotantă în cruce”;

G - un capăt este prins rigid, celălalt are o „etanșare flotantă în cruce”;

d- un capăt este fixat rigid, pe celălalt este un suport mobil cu balamale;

e- ambele capete sunt prinse rigid, dar se pot apropia unul de celălalt.

Din aceste exemple se poate observa că coeficientul μ este reciproca numărului de semi-unde ale liniei elastice a tijei în timpul flambajului.

Orez. 2. Coeficient μ pentru cel mai frecvent

apar cazuri de fixare a capetelor tijei.

Tensiunea normală în secțiunea transversală a unei tije comprimate, corespunzătoare valorii critice a forței de compresiune, se mai numește critică.

O definim pe baza formulei lui Euler:

(2)

Caracteristica geometrică a secțiunii i min, determinat de formula

numit raza de rotație a secțiunii (față de axa c J min). Pentru secțiune dreptunghiulară

Ținând cont de (3), formula (2) va lua forma:

(4)

Raportul dintre lungimea redusă a tijei și raza minimă de rotație a secțiunii sale transversale, la sugestia profesorului Institutului de Ingineri Feroviari din Sankt Petersburg F.S. Se numește Yasinsky (1856-1899). flexibilitatea tijei și notat prin literă λ :

Această valoare adimensională reflectă simultan următorii parametri: lungimea tijei, metoda de fixare a acesteia și caracteristica secțiunii transversale.

În cele din urmă, înlocuind (5) în formula (4), obținem

La derivarea formulei lui Euler, s-a presupus că materialul tijei este elastic și urmează legea lui Hooke. Prin urmare, formula Euler poate fi aplicată numai la solicitări mai mici decât limita proporționalității σ hc, adică când

Această condiție determină limita de aplicabilitate a formulei Euler:

Mărimea din partea dreaptă a acestei inegalități se numește flexibilitate supremă :

valoarea sa depinde de proprietățile fizice și mecanice ale materialului tijei.

Pentru oțel moale St. 3, pentru care σ hc= 200 MPa, E = 2· 10 5 MPa:

În mod similar, puteți calcula valoarea flexibilității finale pentru alte materiale: pentru fontă λ inainte de= 80, pentru pin λ inainte de = 110.

Astfel, formula Euler este aplicabilă pentru tijele a căror flexibilitate este mai mare sau egală cu flexibilitatea finală, i.e.

λ ≥ λ inainte de

Acest lucru trebuie înțeles după cum urmează: dacă flexibilitatea tijei este mai mare decât flexibilitatea limită, atunci forța critică trebuie determinată prin formula Euler.

La λ < λ inainte de Formula lui Euler pentru tije nu este aplicabilă. In aceste cazuri, cand flexibilitatea tijelor este mai mica decat cea limitativa, cea empirica formula lui Yasinsky :

σ kr = A – b λ , (7)

Unde A și b - coeficienți determinați experimental care sunt constanți pentru un material dat; au dimensiunea stresului.

Pentru o anumită valoare a flexibilității λ despre stresul σ kr, calculată prin formula (7), devine egală cu efortul de compresiune finală, adică limita de curgere σ t pentru materiale ductile sau rezistență la compresiune σ soare- pentru materiale casante. Tije cu flexibilitate redusă ( λ < λ despre) nu conteaza pe stabilitate, ci pe rezistenta sub simpla compresie.

Astfel, în funcție de flexibilitate, calculul tijelor comprimate pentru stabilitate se realizează diferit.