Așezați rădăcini diferite. Reguli pentru scăderea rădăcinilor

Rădăcina pătrată a unui număr X numit un număr A, care în procesul de a se înmulți singur ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, și √X = A.

Peste rădăcini pătrate ( √x), ca și în cazul altor numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x- √y ).
Și apoi aduceți-le rădăcinile cea mai simpla forma- daca sunt altele asemanatoare intre ele, este necesar sa se faca o distributie. Constă în faptul că se iau coeficienții termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi se încadrează între paranteze, iar rădăcina comună este afișată în afara parantezelor multiplicatoare. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1. Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, trebuie mai întâi să extragi aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, se poate obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Totul, exemplul este rezolvat. Dar nu întotdeauna se întâmplă așa.

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului unui număr de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate întregi sub semnul rădăcinii, puteți încerca să scoateți multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, luați expresia √24 + √54 .

Să factorizăm numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

În listă 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. În listă 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitatea:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3. Reducerea numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul unei fracții, de exemplu, A / (√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

În mod similar, dacă numitorul conține diferența rădăcinilor: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm ca exemplu o fracție:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Un exemplu de reducere complexă a numitorului

Acum să luăm în considerare suficient exemplu complex scăpând de iraționalitatea în numitor.

Să luăm ca exemplu o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 - √5 .

Primim:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Separat, pentru fiecare număr, valoarea este calculată și înregistrată cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În plus, toate operațiunile necesare sunt efectuate, ca și în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul estimat

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat, obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie adăugate rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică dacă adăugăm Rădăcină pătrată din cinci și din trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva un pătrat de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultatul final al acestuia. calculul matematic ar trebui să fie numărul care ni s-a dat inițial.

În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. Expresia de sub semnul rădăcinii se numește expresie rădăcină. Adăugarea rădăcinilor este similară cu adăugarea termenului. expresie algebrica, adică necesită definirea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 din 2: Găsirea rădăcinilor

Denumire rădăcină. O expresie sub semnul rădăcină () înseamnă că este necesar să se extragă o rădăcină de un anumit grad din această expresie.

Rădăcina este notată printr-un semn.
Indicele (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie ca: (27)
Dacă exponentul (gradul) rădăcinii este absent, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este rădăcina pătrată (sau rădăcina gradului al doilea).
Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește multiplicator (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5 (2)
Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (reamintim că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
Dacă lucrați cu rădăcini pentru prima dată, faceți notițe adecvate asupra multiplicatorului și exponentului rădăcinii, pentru a nu vă încurca și a înțelege mai bine scopul acestora.

Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. Așa cum nu puteți adăuga termeni diferiți ai unei expresii, cum ar fi 2a + 2b 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.

Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii de rădăcină diferite, de exemplu, (2) + (3) (5). Dar puteți adăuga numere sub aceeași rădăcină, de exemplu, (2 + 3) = (5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este aproximativ 2,236 ).

Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii de rădăcină, ci exponenți diferiți, de exemplu, (64) + (64) (această sumă nu este egală cu (64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubă a lui 64 este 4, 8 + 4 = 12, care este mult mai mare decât a cincea rădăcină a lui 64, care este aproximativ 2,297).

Partea 2 din 2: Simplificarea și adăugarea de rădăcini

Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași exponenți și aceleași expresii de rădăcină. De exemplu, luați în considerare expresia:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent să fie în serie.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și aceeași expresie rădăcină să fie în serie.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplificați-vă rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul redat și factorul rădăcină sunt înmulțite.

În exemplul de mai sus, factorizează 50 în 2*25 și numărul 32 în 2*16. Din 25 și 16, puteți extrage rădăcinile pătrate (respectiv 5 și 4) și scoateți 5 și 4 de sub rădăcină, respectiv înmulțindu-le cu factorii 2 și 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Numărul 81 poate fi factorizat în 3 * 27, iar rădăcina cubă a lui 3 poate fi luată de la numărul 27. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). La rădăcină cubă din 3 nu există astfel de rădăcini.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Expresie finală simplificată: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a exponenților lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

Atentie, doar AZI!

Toate interesante

Numărul care se află sub semnul rădăcinii interferează adesea cu soluția ecuației, este incomod să lucrezi cu el. Chiar dacă este ridicată la o putere, fracționară sau nu poate fi reprezentată ca număr întreg într-o anumită măsură, se poate încerca să o derivă din...

O rădăcină a unui număr x este un număr care, atunci când este ridicat la puterea rădăcinii, va fi egal cu x. Multiplicatorul este numărul care se înmulțește. Adică, într-o expresie ca x*ª-&radic-y, trebuie să adăugați x sub rădăcină. Instrucțiunea 1 Determinați gradul...

Dacă expresia rădăcină conține un set de operații matematice cu variabile, atunci uneori, ca urmare a simplificării sale, este posibil să se obțină o valoare relativ simplă, din care o parte poate fi scoasă de sub rădăcină. Această simplificare este utilă...

Operațiile aritmetice cu rădăcini de diferite grade pot simplifica foarte mult calculele în fizică și tehnologie și le pot face mai precise. Când înmulțiți și împărțiți, este mai convenabil să nu extrageți rădăcina din fiecare factor sau dividend și divizor, dar mai întâi ...

Rădăcina pătrată a numărului x este numărul a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, x = a. Ca și în cazul oricărui număr, puteți efectua operațiile aritmetice de adunare și scădere pe rădăcini pătrate. Instruire...

O rădăcină în matematică poate avea două semnificații: este o operație aritmetică și fiecare dintre soluțiile unei ecuații, algebrică, parametrică, diferențială sau oricare alta. Instrucțiunea 1 Rădăcina gradului n al numărului a este un astfel de număr încât...

La executarea diverselor operatii aritmetice cu rădăcini, este adesea necesar să se poată transforma expresii radicale. Pentru a simplifica calculele, poate fi necesar să scoateți factorul din semnul radicalului sau să îl puneți sub el. Această acțiune poate...

Rădăcina este icoana care reprezintă operatie matematica găsirea unui astfel de număr, a cărui construcție la puterea indicată înainte de semnul rădăcinii ar trebui să dea numărul indicat chiar sub acest semn. Adesea, pentru a rezolva probleme în care există...

Semnul rădăcinii în științele matematice se numește simbol pentru rădăcini. Numărul de sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. În absența unui exponent, rădăcina este un pătrat, în caz contrar figura indică ...

rădăcină aritmetică gradul al n-lea dintr-un număr real a se numește un astfel de număr nenegativ x, gradul al n-lea care este egal cu numărul a. Acestea. (n) a = x, x^n = a. Exista diferite căi adaosuri rădăcină aritmeticăși un număr rațional...

Rădăcina a n-a a unui număr real a este un număr b pentru care egalitatea b^n = a este adevărată. Rădăcinile impare există pentru numerele negative și pozitive, iar rădăcinile pare există doar pentru numerele pozitive...

Rădăcina pătrată a unui număr X numit un număr A, care în procesul de a se înmulți singur ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, și √X = A.

Peste rădăcini pătrate ( √x), ca și în cazul altor numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x - √y ).
Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, trebuie să faceți o turnare. Constă în faptul că se iau coeficienții termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi se încadrează între paranteze, iar rădăcina comună este afișată în afara parantezelor multiplicatoare. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1. Extragerea rădăcinilor pătrate

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului unui număr de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate întregi sub semnul rădăcinii, puteți încerca să scoateți multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, luați expresia √24 + √54 .

Să factorizăm numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

În listă 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. În listă 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitatea:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3. Reducerea numitorului

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

În mod similar, dacă numitorul conține diferența rădăcinilor: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm ca exemplu o fracție:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Un exemplu de reducere complexă a numitorului

Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complicat de a scăpa de iraționalitate în numitor.

Să luăm ca exemplu o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Exemplu de calcul estimat

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat, obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie adăugate rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adăugați rădăcina pătrată a lui cinci și trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Reguli pentru scăderea rădăcinilor

1. Rădăcina gradului din produsul numerelor nenegative este egală cu produsul rădăcinilor de același grad din factorii: unde (regula pentru extragerea rădăcinii din produs).

2. Dacă , atunci y (regula pentru extragerea rădăcinii dintr-o fracție).

3. Dacă atunci (regula extragerii rădăcinii din rădăcină).

4. Dacă atunci regula pentru ridicarea unei rădăcini la o putere).

5. Dacă atunci unde, adică indicele de rădăcină și indicele de expresie radicală pot fi înmulțite cu același număr.

6. Dacă atunci 0, adică o expresie radicală pozitivă mai mare corespunde unei valori mai mari a rădăcinii.

7. Toate formulele de mai sus sunt adesea folosite în ordine inversă(adică de la dreapta la stânga). De exemplu,

(regula înmulțirii rădăcinilor);

(regula de împărțire a rădăcinilor);

8. Regula pentru scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii. La

9. Problemă inversă – introducerea unui factor sub semnul rădăcinii. De exemplu,

10. Distrugerea iraționalității în numitorul unei fracții.

Să luăm în considerare câteva cazuri tipice.

Semnificația cuvântului Explicați sensul cuvintelor: lege, cămătar, datornic-sclav. explicați sensul cuvintelor: lege, cămătar, sclav datornic. DELICIOUS STRAWBERRY (Invitat) Întrebări școlare pe tema 1. Care sunt cele 3 tipuri […]
Ai nevoie de permis pentru un walkie-talkie într-o mașină? unde sa citesc? Oricum trebuie să vă înregistrați postul de radio. Walkie-talkie care funcționează la o frecvență de 462MHz, dacă nu sunteți reprezentant al Ministerului Afacerilor Interne, […]
Cota unică de impozitare - 2018 Cota unică de impozitare - 2018 pentru întreprinzătorii persoane fizice din prima și a doua grupă se calculează ca procent din minimul de existență și salariul minim stabilit la 01 ianuarie […]
Asigurare Avito GARANTIE DE LEGALITATE. Te-ai hotărât să emiti o adresă de e-mail OSAGO pe cont propriu, dar nimic nu îți iese? Nu te panica! !!Voi introduce toate datele necesare în aplicația electronică a […]
Procedura de calcul și plata accizei Accizele sunt unul dintre impozitele indirecte pe bunuri și servicii, care este inclus în costul acestora. Accizele diferă de TVA prin faptul că sunt impuse […]
Apendice. Reguli de utilizare a terenurilor și de dezvoltare a orașului Rostov-pe-Don Anexă la decizia Dumei Orașului din 17 iunie 2008 N 405 Reguli de utilizare a terenurilor și de dezvoltare a orașului Rostov-pe-Don După cum a fost modificată și [... ]

De exemplu,

11. Aplicarea identităților de înmulțire abreviate la operații cu rădăcini aritmetice:

12. Factorul din fața rădăcinii se numește coeficientul acesteia. De exemplu, aici 3 este un factor.

13. Rădăcinile (radicalii) se numesc asemănătoare dacă au aceiași exponenți ai rădăcinii și aceleași expresii radicale, dar diferă doar prin coeficient. Pentru a judeca dacă aceste rădăcini (radicali) sunt similare sau nu, trebuie să le reduceți la forma lor cea mai simplă.

De exemplu, și sunt similare pentru că

EXERCIȚII CU SOLUȚII

1. Simplificați expresiile:

Decizie. 1) Nu are sens să înmulțim expresia rădăcinii, deoarece fiecare dintre factori reprezintă pătratul unui număr întreg. Să folosim regula extragerii rădăcinii din produs:

În viitor, astfel de acțiuni vor fi efectuate oral.

2) Să încercăm, dacă este posibil, să reprezentăm expresia radicală ca un produs de factori, fiecare dintre care este cubul unui număr întreg și să aplicăm regula despre rădăcina produsului:

2. Găsiți valoarea expresiei:

Decizie. 1) Conform regulii de extragere a rădăcinii dintr-o fracție, avem:

3) Transformăm expresiile radicale și extragem rădăcina:

3. Simplificați când

Decizie. La extragerea unei rădăcini dintr-o rădăcină, indicii rădăcinilor sunt înmulțiți, iar expresia rădăcinii rămâne neschimbată.

Dacă există un coeficient înainte de rădăcină sub rădăcină, atunci înainte de a efectua operația de extragere a rădăcinii, acest coeficient se introduce sub semnul radicalului în fața căruia se află.

Pe baza regulilor de mai sus, extragem ultimele două rădăcini:

4. Ridicați la putere:

Decizie. Când ridicați o rădăcină la o putere, exponentul rădăcinii rămâne neschimbat, iar exponenții expresiei radicale sunt înmulțiți cu exponent.

(de vreme ce este definit, atunci);

În cazul în care un rădăcină dată are un coeficient, atunci acest coeficient este ridicat la o putere separat și rezultatul este scris ca un coeficient la rădăcină.

Aici am folosit regula că indicele rădăcinii și indicele expresiei radicalului pot fi înmulțite cu același număr (am înmulțit cu, adică împărțit la 2).

De exemplu, sau

4) Expresia dintre paranteze, reprezentând suma a doi radicali diferiți, va fi cubitată și simplificată:

Pentru ca avem:

5. Eliminați iraționalitatea la numitor:

Decizie. Pentru a elimina (distruge) iraționalitatea în numitorul unei fracții, trebuie să găsiți cea mai simplă dintre expresii, care în produsul cu numitorul dă expresie rațională, și înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu factorul găsit.

De exemplu, dacă există un binom în numitorul unei fracții, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia conjugată la numitor, adică suma trebuie înmulțită cu diferența corespunzătoare și invers.

În mai mult cazuri dificile distrugeți iraționalitatea nu imediat, ci în mai mulți pași.

1) Expresia trebuie să conţină

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu obținem:

2) Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu pătratul incomplet al sumei, obținem:

3) Să aducem fracțiile la un numitor comun:

Când rezolvăm acest exemplu, trebuie să avem în vedere că fiecare fracție are o semnificație, adică numitorul fiecărei fracții este diferit de zero. În afară de,

La conversia expresiilor care conțin radicali, se fac adesea greșeli. Ele sunt cauzate de incapacitatea de a aplica corect conceptul (definiția) rădăcinii aritmetice și valoarea absolută.

Reguli pentru scăderea rădăcinilor

Calculați valoarea expresiei

Decizie.

Explicaţie.
Pentru a restrânge expresia rădăcină, să reprezentăm în al doilea factor din expresia rădăcină numărul 31 ca sumă de 15+16. (randul 2)

După transformare, se poate observa că suma din expresia a doua radicală poate fi reprezentată ca pătratul sumei folosind formulele de înmulțire prescurtate. (linia 3)

Acum să reprezentăm fiecare rădăcină din produsul dat ca un grad. (linia 4)

Simplificați expresia (linia 5)

Deoarece puterea produsului este egală cu produsul puterilor fiecăruia dintre factori, reprezentăm acest lucru în mod corespunzător (linia 6)

După cum puteți vedea, conform formulelor de înmulțire prescurtată, avem diferența pătratelor a două numere. De unde și calculați valoarea expresiei (linia 7)

Calculați valoarea expresiei.

Decizie.

Explicaţie.

Folosim proprietățile rădăcinii, că rădăcina unei puteri arbitrare a numerelor private este egală cu privata a rădăcinilor acestor numere (linia 2)

Rădăcina unei puteri arbitrare a unui număr de același grad este egală cu acest număr (linia 3)

Să eliminăm minusul din paranteza primului multiplicator. În acest caz, toate caracterele din paranteză vor fi inversate (linia 4)

Să reducem fracția (linia 5)

Să reprezentăm numărul 729 ca pătrat al numărului 27, iar numărul 27 ca cub al numărului 3. De unde obținem valoarea expresiei radicalului.

Rădăcină pătrată. Primul nivel.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru Examenul Unificat de Stat sau OGE?

1. Introducerea conceptului de rădăcină pătrată aritmetică

Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal.
.

Numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ

2. Tabel de pătrate

3. Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice

Introducere în conceptul de rădăcină pătrată aritmetică

Să încercăm să ne dăm seama ce fel de concept este o „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, luați în considerare exemplele pe care le-ați întâlnit deja în lecții (ei bine, sau trebuie doar să faceți față acestui lucru).

De exemplu, avem o ecuație. care este solutia ecuația dată? Ce numere pot fi pătrate și obținute în același timp? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (pentru că atunci când înmulți două numere negative, obții un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus un concept special al rădăcinii pătrate și i-au atribuit un simbol special.

Să definim rădăcina pătrată aritmetică.

De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, cu ce este egal? Bine, hai să încercăm să ne dăm seama. Poate trei? Să verificăm: și nu. Poate, ? Din nou, verificați: Ei bine, nu este selectat? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!

Cu toate acestea, probabil ați observat deja că definiția spune că soluția rădăcinii pătrate a „un număr este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu”. Și la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute în același timp, răspunsul a fost și, și aici se vorbește despre un fel de „număr nenegativ”! O astfel de observație este destul de potrivită. Aici este necesar pur și simplu să se facă distincția între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu o expresie.

Și rezultă că.

Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar trebuie amintit că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația, trebuie să notăm toate x-urile care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da valoarea corectă. rezultat. În ecuația noastră pătratică se potrivește ambele și.

In orice caz, dacă luați doar rădăcina pătrată a ceva, atunci obțineți întotdeauna un rezultat nenegativ.

Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu este atât de simplu și neted, nu? Încercați să sortați numerele, poate se va arde ceva?

Să începem de la bun început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe; - mai puțin de trei, dăm și noi deoparte, dar dacă? Să verificăm: - nici nu se potrivește, pentru că este mai mult de trei. Cu numere negative, aceeași poveste se va dovedi. Și ce să faci acum? Căutarea nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, este evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să construim un grafic al funcției și să marchem soluțiile pe el.

Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem un răspuns folosind un calculator! Să scoatem rădăcina din afaceri! Oh-oh-oh, se dovedește că un astfel de număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, pentru că nu va fi niciun calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) o valoare aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale și a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată pentru a simplifica notarea unor astfel de numere.
Să ne uităm la un alt exemplu de consolidat. Să analizăm următoarea problemă: trebuie să traversezi în diagonală un câmp pătrat cu latura de km, câți km trebuie să faci?

Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora:. Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, este deja un răspuns complet.

Extracția rădăcinilor

Pentru ca rezolvarea exemplelor cu rădăcini să nu creeze probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la, precum și să le puteți recunoaște.

Adică, trebuie să știi ce este pătrat și, dimpotrivă, ce este pătrat. La început, acest tabel vă va ajuta să extrageți rădăcina.

De îndată ce rezolvați un număr suficient de exemple, atunci necesitatea acestuia va dispărea automat.
Încercați să extrageți singur rădăcina pătrată din următoarele expresii:

Ei bine, cum a funcționat? Acum să vedem aceste exemple:

Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice

Acum știi cum să extragi rădăcini și este timpul să înveți despre proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice. Sunt doar 3 dintre ele:

multiplicare;
Divizia;
exponentiare.

Ei bine, sunt foarte ușor de reținut cu ajutorul acestui tabel și, desigur, cu antrenament:

Cum să decizi
ecuații pătratice

În lecțiile anterioare, am analizat „Cum se rezolvă ecuații liniare”, adică ecuații de gradul I. În această lecție, vom explora ce este o ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă gradul maxim în care se află necunoscutul este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c = 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

a=5
b = −14
c = 17

a = −7
b = −13
c = 8

a = -1
b = 1

a = 1
b = 0,25
c = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Cum se rezolvă ecuații pătratice

Spre deosebire de ecuatii lineare pentru a rezolva ecuații pătratice, o specială formula pentru găsirea rădăcinilor.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

aduce ecuația pătratică la vedere generala" ax 2 + bx + c = 0 ". Adică doar „0” ar trebui să rămână pe partea dreaptă;
utilizați formula pentru rădăcini:

Să folosim un exemplu pentru a ne da seama cum să aplicăm formula pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm ecuația pătratică.

Ecuația „x 2 − 3x − 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să definim coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

a = 1
b = −3
c = −4

Înlocuiți-le în formulă și găsiți rădăcinile.

Asigurați-vă că memorați formula pentru găsirea rădăcinilor.

Cu ajutorul lui, orice ecuație pătratică este rezolvată.

Luați în considerare un alt exemplu de ecuație pătratică.

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să aducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”.

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

Există momente când nu există rădăcini în ecuațiile pătratice. Această situație apare atunci când un număr negativ apare în formulă sub rădăcină.

Ne amintim din definiția rădăcinii pătrate că nu puteți lua rădăcina pătrată a unui număr negativ.

Luați în considerare un exemplu de ecuație pătratică care nu are rădăcini.

Deci, avem o situație în care există un număr negativ sub rădăcină. Aceasta înseamnă că nu există rădăcini în ecuație. Prin urmare, ca răspuns, am notat „Nu există rădăcini reale”.

Ce înseamnă cuvintele „fără rădăcini reale”? De ce nu poți scrie „fără rădăcini”?

De fapt, există rădăcini în astfel de cazuri, dar în cadrul curiculumul scolar nu sunt trecute, prin urmare, ca răspuns, notăm că printre numere reale nu există rădăcini. Cu alte cuvinte, „Nu există rădăcini reale”.

Ecuații patratice incomplete

Uneori există ecuații pătratice în care nu există coeficienți expliciți „b” și/sau „c”. De exemplu, în această ecuație:

Astfel de ecuații se numesc incomplete. ecuații pătratice. Cum să le rezolvi este discutat în lecția „Ecuații cuadratice incomplete”.

Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr nu este singura operație care poate fi efectuată cu acest fenomen matematic. La fel ca numerele obișnuite, rădăcinile pătrate pot fi adunate și scăzute.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguli pentru adăugarea și scăderea rădăcinilor pătrate

Definiția 1

Acțiuni precum adăugarea și scăderea unei rădăcini pătrate sunt posibile numai dacă expresia rădăcinii este aceeași.

Exemplul 1

Puteți adăuga sau scădea expresii 2 3 și 6 3, dar nu 5 6 și 9 4 . Dacă este posibil să simplificați expresia și să o aduceți la rădăcini cu același număr de rădăcină, atunci simplificați, apoi adăugați sau scădeți.

Acțiunile rădăcină: elementele de bază

Exemplul 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritm de acțiune:

Simplificați expresia rădăcină. Pentru a face acest lucru, este necesar să descompuneți expresia rădăcinii în 2 factori, dintre care unul este un număr pătrat (numărul din care este extrasă întreaga rădăcină pătrată, de exemplu, 25 sau 9).
Apoi trebuie să extrageți rădăcina din număr pătrat și scrieți valoarea rezultată înainte de semnul rădăcină. Vă rugăm să rețineți că al doilea factor este introdus sub semnul rădăcină.
După procesul de simplificare, este necesar să se sublinieze rădăcinile cu aceleași expresii radicale - doar ele pot fi adăugate și scăzute.
Pentru rădăcinile cu aceleași expresii radicale, este necesar să se adauge sau să scadă factorii care preced semnul rădăcinii. Expresia rădăcină rămâne neschimbată. Nu adăugați sau scădeți numere de rădăcină!

Sfat 1

Daca ai un exemplu cu cantitate mare expresii radicale identice, apoi subliniați astfel de expresii cu linii simple, duble și triple pentru a facilita procesul de calcul.

Exemplul 3

Să încercăm acest exemplu:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Mai întâi trebuie să descompuneți 50 în 2 factori 25 și 2, apoi luați rădăcina lui 25, care este 5, și scoateți 5 de sub rădăcină. După aceea, trebuie să înmulțiți 5 cu 6 (multiplicatorul de la rădăcină) și să obțineți 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Mai întâi, trebuie să descompuneți 8 în 2 factori: 4 și 2. Apoi, din 4, extrageți rădăcina, care este egală cu 2, și scoateți 2 de sub rădăcină. După aceea, trebuie să înmulțiți 2 cu 2 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Mai întâi, trebuie să descompuneți 12 în 2 factori: 4 și 3. Apoi extrageți rădăcina din 4, care este 2, și scoateți-o de sub rădăcină. După aceea, trebuie să înmulțiți 2 cu 5 (factorul de la rădăcină) și să obțineți 10 3 .

Rezultat simplificare: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ca rezultat, am văzut în câte expresii radicale identice sunt conținute acest exemplu. Acum să exersăm cu alte exemple.

Exemplul 4

Simplificați (45) . Factorizăm 45: (45) = (9 × 5) ;
Scoatem 3 de sub rădăcină (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Adunăm factorii de la rădăcini: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Exemplul 5

6 40 - 3 10 + 5:

Simplificarea 6 40 . Factorizăm 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Scoatem 2 de sub rădăcină (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Înmulțim factorii care se află în fața rădăcinii: 12 10;
Scriem expresia într-o formă simplificată: 12 10 - 3 10 + 5;
Deoarece primii doi termeni au aceleași numere de rădăcină, le putem scădea: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Exemplul 6

După cum vedem, nu este posibilă simplificarea numerelor radicale, așa că căutăm membri cu aceleași numere radicale în exemplu, efectuăm operații matematice (adunare, scădere etc.) și scriem rezultatul:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Sfat:

Înainte de a adăuga sau scădea, este imperativ să simplificați (dacă este posibil) expresiile radicale.
Adăugarea și scăderea rădăcinilor cu expresii diferite de rădăcină este strict interzisă.
Nu adăugați sau scădeți un număr întreg sau rădăcină pătrată: 3 + (2 x) 1 / 2 .
Când efectuați acțiuni cu fracții, trebuie să găsiți un număr care este complet divizibil cu fiecare numitor, apoi aduceți fracțiile la un numitor comun, apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorii neschimbați.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter