Ceea ce se numește rădăcină pătrată. Cum să găsiți manual rădăcina pătrată a unui număr

Matematica s-a născut atunci când o persoană a devenit conștientă de sine și a început să se poziționeze ca unitate autonomă a lumii. Dorința de a măsura, compara, calcula ceea ce te înconjoară este ceea ce stă la baza uneia dintre științele fundamentale ale zilelor noastre. La început, acestea au fost piese de matematică elementară, care au făcut posibilă asocierea numerelor cu expresiile lor fizice, ulterior concluziile au început să fie prezentate doar teoretic (datorită abstractității lor), dar după un timp, așa cum a spus un om de știință, " matematica a atins plafonul complexității când toate numerele”. Conceptul de „rădăcină pătrată” a apărut într-un moment în care putea fi susținut cu ușurință de date empirice, trecând dincolo de planul calculelor.

Cum a început totul

Prima mențiune a rădăcinii, care pe acest moment notat ca √, a fost consemnat în scrierile matematicienilor babilonieni, care au pus bazele aritmeticii moderne. Desigur, semănau puțin cu forma actuală - oamenii de știință din acei ani au folosit pentru prima dată tablete voluminoase. Dar în mileniul II î.Hr. e. au venit cu o formulă de calcul aproximativă care arăta cum să ia rădăcina pătrată. Fotografia de mai jos arată o piatră pe care oamenii de știință babilonien au sculptat procesul de ieșire √2 și s-a dovedit a fi atât de corectă încât discrepanța în răspuns a fost găsită doar în a zecea zecimală.

În plus, rădăcina era folosită dacă era necesar să se găsească latura unui triunghi, cu condiția ca celelalte două să fie cunoscute. Ei bine, atunci când rezolvați ecuații pătratice, nu există nicio scăpare de a extrage rădăcina.

Alături de lucrările babiloniene, subiectul articolului a fost studiat și în lucrarea chineză „Matematica în nouă cărți”, iar grecii antici au ajuns la concluzia că orice număr din care nu este extrasă rădăcina fără rest dă un rezultat irațional. .

Originea acestui termen este asociată cu reprezentarea arabă a numărului: oamenii de știință antici credeau că pătratul unui număr arbitrar crește de la rădăcină, ca o plantă. În latină, acest cuvânt sună ca radix (se poate urmări un model - tot ceea ce are o încărcătură semantică „rădăcină” este consoanică, fie că este ridiche sau sciatică).

Oamenii de știință din generațiile următoare au preluat această idee, desemnând-o drept Rx. De exemplu, în secolul al XV-lea, pentru a indica că rădăcina pătrată este luată dintr-un număr arbitrar a, au scris R 2 a. Obișnuit aspect modern„căpușa” √ a apărut abia în secolul al XVII-lea datorită lui Rene Descartes.

Zilele noastre

Matematic, rădăcina pătrată a lui y este numărul z al cărui pătrat este y. Cu alte cuvinte, z 2 =y este echivalent cu √y=z. Cu toate acestea, această definiție este relevantă numai pentru rădăcina aritmetică, deoarece implică o valoare nenegativă a expresiei. Cu alte cuvinte, √y=z, unde z este mai mare sau egal cu 0.

În general, ceea ce este valabil pentru determinarea rădăcinii algebrice, valoarea expresiei poate fi fie pozitivă, fie negativă. Astfel, datorită faptului că z 2 =y și (-z) 2 =y, avem: √y=±z sau √y=|z|.

Datorită faptului că dragostea pentru matematică a crescut doar odată cu dezvoltarea științei, există diverse manifestări de afecțiune pentru aceasta, neexprimate în calcule seci. De exemplu, alături de evenimente atât de interesante precum ziua lui Pi, sunt sărbătorite și sărbătorile rădăcinii pătrate. Ele sunt sărbătorite de nouă ori într-o sută de ani și sunt determinate după următorul principiu: numerele care indică ziua și luna în ordine trebuie să fie rădăcina pătrată a anului. Da, în data viitoare Această sărbătoare va fi sărbătorită pe 4 aprilie 2016.

Proprietățile rădăcinii pătrate pe câmpul R

Aproape toate expresiile matematice au o bază geometrică, această soartă nu a trecut și √y, care este definită ca latura unui pătrat cu aria y.

Cum să găsești rădăcina unui număr?

Există mai mulți algoritmi de calcul. Cel mai simplu, dar în același timp destul de greoi, este calculul aritmetic obișnuit, care este după cum urmează:

1) din numărul a cărui rădăcină avem nevoie, numerele impare se scad la rândul lor - până când restul rezultatului este mai mic decât cel scăzut sau par zero. Numărul de mișcări va deveni în cele din urmă numărul dorit. De exemplu, calculul rădăcină pătrată din 25:

Următorul număr impar este 11, restul este: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pentru astfel de cazuri, există o extindere a seriei Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , unde n ia valori de la 0 la

+∞ și |y|≤1.

Reprezentarea grafică a funcției z=√y

Se consideră o funcție elementară z=√y pe câmpul numerelor reale R, unde y este mai mare sau egal cu zero. Graficul ei arată astfel:

Curba crește de la origine și traversează în mod necesar punctul (1; 1).

Proprietățile funcției z=√y pe câmpul numerelor reale R

1. Domeniul de definire al funcției considerate este intervalul de la zero la plus infinit (zero este inclus).

2. Gama de valori ale funcției considerate este intervalul de la zero la plus infinit (zero este din nou inclus).

3. Funcția ia valoarea minimă (0) numai în punctul (0; 0). Nu există o valoare maximă.

4. Funcția z=√y nu este nici pară, nici impară.

5. Funcția z=√y nu este periodică.

6. Există un singur punct de intersecție a graficului funcției z=√y cu axele de coordonate: (0; 0).

7. Punctul de intersecție al graficului funcției z=√y este și zero al acestei funcții.

8. Funcția z=√y este în continuă creștere.

9. Funcția z=√y ia doar valori pozitive, prin urmare, graficul său ocupă primul unghi de coordonate.

Opțiuni pentru afișarea funcției z=√y

În matematică, pentru a facilita calculul expresiilor complexe, se folosesc uneori forma de putere a scrierii rădăcinii pătrate: √y=y 1/2. Această opțiune este convenabilă, de exemplu, pentru ridicarea unei funcții la o putere: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Această metodă este, de asemenea, o reprezentare bună pentru diferențierea cu integrare, deoarece datorită ei rădăcina pătrată este reprezentată de o funcție de putere obișnuită.

Și în programare, înlocuirea simbolului √ este combinația de litere sqrt.

Este de remarcat faptul că în această zonă rădăcina pătrată este la mare căutare, deoarece face parte din majoritatea formulelor geometrice necesare calculelor. Algoritmul de numărare în sine este destul de complicat și se bazează pe recursivitate (o funcție care se numește singură).

Rădăcina pătrată din câmpul complex C

În general, subiectul acestui articol a stimulat descoperirea domeniului numerelor complexe C, deoarece matematicienii erau bântuiți de problema obținerii unei rădăcini de grad par dintr-un număr negativ. Așa a apărut unitatea imaginară i, care se caracterizează printr-o proprietate foarte interesantă: pătratul său este -1. Datorită acestui fapt, ecuațiile pătratice și cu un discriminant negativ au obținut o soluție. În C, pentru rădăcina pătrată, aceleași proprietăți sunt relevante ca și în R, singurul lucru este că restricțiile privind expresia rădăcinii sunt eliminate.

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm². Găsiți partea lui. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este X decimetri. Atunci aria parcelei este X² decimetri pătrați. Întrucât, conform stării, această suprafață este de 81 dm², atunci X² = 81. Lungimea laturii unui pătrat este un număr pozitiv. Un număr pozitiv al cărui pătrat este 81 este numărul 9. La rezolvarea problemei, a fost necesar să se găsească numărul x, al cărui pătrat este 81, adică să se rezolve ecuația X² = 81. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 9 și X 2 \u003d - 9, deoarece 9² \u003d 81 și (- 9)² \u003d 81. Ambele numere 9 și - 9 sunt numite rădăcini pătrate ale numărului 81.

Rețineți că una dintre rădăcinile pătrate X= 9 este un număr pozitiv. Se numește rădăcina pătrată aritmetică a lui 81 și se notează √81, deci √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dar este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu dar.

De exemplu, numerele 6 și - 6 sunt rădăcini pătrate ale lui 36. În acest caz, numărul 6 este rădăcina pătrată aritmetică a lui 36, deoarece 6 este un număr nenegativ și 6² \u003d 36. Numărul - 6 nu este rădăcină aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dar notată după cum urmează: √ dar.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; dar se numește expresie rădăcină. Expresia √ dar citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dar. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În cazurile în care este clar că vorbim despre o rădăcină aritmetică, ei spun pe scurt: „rădăcina pătrată a dar«.

Acțiunea de a găsi rădăcina pătrată a unui număr se numește luarea rădăcinii pătrate. Această acțiune este inversul pătratului.

Orice număr poate fi pătrat, dar nu orice număr poate fi rădăcină pătrată. De exemplu, este imposibil să extrageți rădăcina pătrată a numărului - 4. Dacă o astfel de rădăcină a existat, atunci, notând-o cu litera X, am obține o egalitate greșită x² \u003d - 4, deoarece există un număr nenegativ în stânga și un număr negativ în dreapta.

Expresia √ dar are sens doar când a ≥ 0. Definiția rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt ca: √ a ≥ 0, (√dar)² = dar. Egalitatea (√ dar)² = dar valabil pentru a ≥ 0. Astfel, pentru a vă asigura că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ dar egală b, adică că √ dar =b, trebuie să verificați dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: b ≥ 0, b² = dar.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Să calculăm. Rețineți că √25 = 5, √36 = 6 și verificați dacă egalitatea este valabilă.

pentru că și , atunci egalitatea este adevărată. Asa de, .

Teorema: Dacă dar≥ 0 și b> 0, adică rădăcina fracției egal cu rădăcina de la numărător împărțit la rădăcina numitorului. Se cere să se demonstreze că: și .

Din moment ce √ dar≥0 și √ b> 0, atunci .

Prin proprietatea de a ridica o fractie la o putere si de a determina radacina patrata teorema este demonstrată. Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați , conform teoremei dovedite .

Al doilea exemplu: Demonstrează asta , dacă dar ≤ 0, b < 0. .

Un alt exemplu: Calculați .

.

Transformarea rădăcinii pătrate

Scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii. Să fie dată o expresie. Dacă dar≥ 0 și b≥ 0, apoi prin teorema rădăcinii produsului, putem scrie:

O astfel de transformare se numește factorizarea semnului rădăcină. Luați în considerare un exemplu;

Calculați la X= 2. Substituție directă X= 2 în expresia radicală duce la calcule complicate. Aceste calcule pot fi simplificate dacă mai întâi eliminăm factorii de sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuind x = 2, obținem:.

Deci, atunci când se scoate factorul de sub semnul rădăcinii, expresia radicală este reprezentată ca un produs în care unul sau mai mulți factori sunt pătrate de numere nenegative. Apoi se aplică teorema produsului rădăcină și se ia rădăcina fiecărui factor. Luați în considerare un exemplu: simplificați expresia A = √8 + √18 - 4√2 scotând factorii de sub semnul rădăcinii în primii doi termeni, obținem:. Subliniem că egalitatea valabil numai atunci când dar≥ 0 și b≥ 0. dacă dar < 0, то .

Exponentiația implică faptul că un anumit număr trebuie înmulțit cu el însuși de un anumit număr de ori. De exemplu, ridicarea numărului 2 la puterea a cincea ar arăta astfel:

Numărul care trebuie înmulțit cu el însuși se numește baza gradului, iar numărul de înmulțiri este exponentul său. Ridicarea la o putere corespunde a doua actiuni opuse: gasirea exponentului si gasirea bazei.

extragerea rădăcinilor

Găsirea bazei unui exponent se numește extracție rădăcină. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți numărul care trebuie ridicat la puterea lui n pentru a obține numărul dat.

De exemplu, este necesar să se extragă a patra rădăcină a numărului 16, adică. pentru a determina, trebuie să vă înmulțiți singur de 4 ori pentru a obține în final 16. Acest număr este 2.

Astfel de operație aritmetică se scrie folosind un semn special - radicalul: √, deasupra căruia este indicat în stânga exponentul.

rădăcină aritmetică

Dacă exponentul este număr par, atunci rădăcina poate fi două numere cu același modul, dar cu - pozitiv și negativ. Deci, în exemplul dat, pot fi numerele 2 și -2.

Expresia trebuie să fie lipsită de ambiguitate, adică au un singur rezultat. Pentru aceasta a fost introdus conceptul de rădăcină aritmetică, care nu poate fi decât un număr pozitiv. O rădăcină aritmetică nu poate fi mai mică de zero.

Astfel, în exemplul considerat mai sus, doar numărul 2 va fi rădăcina aritmetică, iar al doilea răspuns - -2 - este exclus prin definiție.

Rădăcină pătrată

Pentru unele grade care sunt folosite mai des decât altele, există nume speciale care sunt inițial asociate cu geometria. Este despre despre ridicarea la a doua și a treia putere.

La a doua putere, lungimea laturii pătratului atunci când trebuie să calculați aria acestuia. Dacă trebuie să găsiți volumul unui cub, lungimea muchiei acestuia este ridicată la a treia putere. Prin urmare, se numește pătratul numărului, iar al treilea se numește cub.

În consecință, rădăcina gradului al doilea se numește pătrat, iar rădăcina gradului al treilea se numește cubic. Rădăcina pătrată este singura dintre rădăcini care nu are un exponent deasupra radicalului atunci când este scrisă:

Deci, rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dat este un număr pozitiv care trebuie ridicat la a doua putere pentru a obține numărul dat.

Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care presupune descompunerea numărului rădăcinii în factori simpli.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai multe cazuri simple tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri, folosește selecția anumită sfoară iar o coloană specifică vă permite să faceți un număr de la 0 la 99 . De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul tabelului. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, a patra rădăcină etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina gradului al n-lea din numărul a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul cu al n-lea grad. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile la extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

Suficient mod convenabil, care permite extragerea rădăcinii dintr-un număr natural (dacă, desigur, se extrage rădăcina) este descompunerea numărului rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să se extragă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca oricare numar natural poate fi reprezentat ca produs al tuturor factorilor primi p 1 , p 2 , …, pm sub forma p 1 p 2 pm , iar numărul radical a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 pm) n. Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Soluţie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate dat în paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcinii 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . În acest fel, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracție comună 25/169 .

Soluţie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor rădăcinii cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Soluţie.

Să reprezentăm zecimala inițială ca o fracție comună: 474,552=474552/1000 . Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. pentru că 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci Și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci un număr negativ poate fi sub semnul rădăcinii. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuim numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină se află un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar, în același timp, este nevoie să cunoaștem valoarea unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Pe primul pas acest algoritm trebuie să aflați care este cel mai semnificativ bit din valoarea rădăcinii. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii din primul pas este 2 , în al doilea - 2,2 , în al treilea - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea cifrelor se realizează prin enumerarea lor valori posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9 , calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >cinci). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Așa găsit următoarea valoare rădăcina lui cinci, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).