Diferența și suma unei progresii aritmetice. Progresia aritmetică: ce este

Mulți au auzit de o progresie aritmetică, dar nu toată lumea este conștientă de ce este. În acest articol, vom oferi o definiție adecvată și vom lua în considerare, de asemenea, întrebarea cum să găsim diferența unei progresii aritmetice și vom oferi o serie de exemple.

Definiție matematică

Deci, dacă vorbim despre o progresie aritmetică sau algebrică (aceste concepte definesc același lucru), atunci aceasta înseamnă că există o serie de numere care îndeplinește următoarea lege: fiecare două numere adiacente din serie diferă cu aceeași valoare. Din punct de vedere matematic, aceasta este scrisă astfel:

Aici n înseamnă numărul elementului a n din succesiune, iar numărul d este diferența de progresie (denumirea acestuia decurge din formula prezentată).

Ce înseamnă a cunoaște diferența d? Cam cât de departe sunt numerele adiacente. Cu toate acestea, cunoașterea lui d este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru determinarea (restaurarea) întregii progresii. Trebuie să știți încă un număr, care poate fi absolut orice element al seriei luate în considerare, de exemplu, un 4, a10, dar, de regulă, se folosește primul număr, adică un 1.

Formule pentru determinarea elementelor progresiei

În general, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a trece la rezolvarea unor probleme specifice. Cu toate acestea, înainte de a da o progresie aritmetică și va fi necesar să găsim diferența acesteia, prezentăm câteva formule utile, facilitând astfel procesul ulterior de rezolvare a problemelor.

Este ușor de arătat că orice element al șirului cu număr n poate fi găsit astfel:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Într-adevăr, toată lumea poate verifica această formulă cu o enumerare simplă: dacă înlocuiți n = 1, atunci obțineți primul element, dacă înlocuiți n = 2, atunci expresia dă suma primului număr și diferența și așa mai departe .

Condițiile multor probleme sunt compilate în așa fel încât pentru o pereche cunoscută de numere, ale căror numere sunt și ele date în succesiune, este necesar să se restabilească întreaga serie de numere (găsiți diferența și primul element). Acum vom rezolva această problemă într-un mod general.

Deci, să presupunem că ni se dau două elemente cu numere n și m. Folosind formula obținută mai sus, putem compune un sistem de două ecuații:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

Pentru a găsi cantități necunoscute, folosim o metodă simplă binecunoscută pentru rezolvarea unui astfel de sistem: scădem părțile din stânga și din dreapta în perechi, în timp ce egalitatea rămâne valabilă. Noi avem:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Astfel, am eliminat o necunoscută (a 1). Acum putem scrie expresia finală pentru determinarea d:

d = (a n - a m) / (n - m), unde n > m

Am obținut o formulă foarte simplă: pentru a calcula diferența d în conformitate cu condițiile problemei, este necesar doar să luăm raportul dintre diferențele dintre elementele în sine și numerele lor de serie. Trebuie acordată atenție unui punct important: diferențele sunt luate între membrii „senior” și „junior”, adică n> m („senior” - adică stând mai departe de începutul secvenței, valoarea sa absolută poate fi fie element mai mult sau mai puțin mai „tânăr”).

Expresia diferenței d a progresiei ar trebui înlocuită în oricare dintre ecuațiile de la începutul soluției problemei pentru a obține valoarea primului termen.

În epoca noastră a dezvoltării tehnologiei informatice, mulți școlari încearcă să găsească soluții pentru sarcinile lor pe Internet, așa că apar adesea întrebări de acest tip: găsiți diferența unei progresii aritmetice online. La o astfel de solicitare, motorul de cautare va afisa un numar de pagini web, accesand la care, va trebui sa introduceti datele cunoscute din conditie (pot fi fie doi membri ai progresiei, fie suma unora dintre ei) și obțineți instantaneu un răspuns. Cu toate acestea, o astfel de abordare a rezolvării problemei este neproductivă în ceea ce privește dezvoltarea elevului și înțelegerea esenței sarcinii care i-a fost atribuită.

Soluție fără a folosi formule

Să rezolvăm prima problemă, în timp ce nu vom folosi niciuna dintre formulele de mai sus. Să fie date elementele seriei: a6 = 3, a9 = 18. Aflați diferența progresiei aritmetice.

Elementele cunoscute sunt apropiate unele de altele la rând. De câte ori trebuie adăugată diferența d la cea mai mică pentru a obține cea mai mare? De trei ori (prima dată adăugând d, obținem al 7-lea element, a doua oară - a opta, în sfârșit, a treia oară - a noua). Ce număr trebuie adăugat la trei de trei ori pentru a obține 18? Acesta este numărul cinci. Într-adevăr:

Astfel, diferența necunoscută este d = 5.

Desigur, soluția s-ar putea face folosind formula adecvată, dar acest lucru nu a fost făcut intenționat. O explicație detaliată a soluției problemei ar trebui să devină un exemplu clar și viu a ceea ce este o progresie aritmetică.

O sarcină similară celei anterioare

Acum să rezolvăm o problemă similară, dar să schimbăm datele de intrare. Deci, ar trebui să aflați dacă a3 = 2, a9 = 19.

Desigur, puteți recurge din nou la metoda de rezolvare „pe frunte”. Dar, deoarece sunt date elementele seriei, care sunt relativ îndepărtate, o astfel de metodă nu devine foarte convenabilă. Dar folosirea formulei rezultate ne va conduce rapid la răspuns:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Aici am rotunjit numărul final. Cât de mult a condus această rotunjire la o eroare poate fi judecat verificând rezultatul:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Acest rezultat diferă doar cu 0,1% de valoarea dată în condiție. Prin urmare, rotunjirea la sutimile utilizate poate fi considerată o alegere bună.

Sarcini pentru aplicarea formulei pentru un membru

Să luăm în considerare un exemplu clasic al problemei determinării necunoscutului d: găsiți diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 12, a5 = 40.

Când sunt date două numere dintr-o succesiune algebrică necunoscută și unul dintre ele este elementul a 1 , atunci nu trebuie să vă gândiți mult, dar ar trebui să aplicați imediat formula pentru un membru. În acest caz avem:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Am obținut numărul exact la împărțire, așa că nu are rost să verificăm acuratețea rezultatului calculat, așa cum sa făcut în paragraful anterior.

Să rezolvăm o altă problemă similară: ar trebui să găsim diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 16, a8 = 37.

Folosim o abordare similară cu cea anterioară și obținem:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ce altceva ar trebui să știi despre progresia aritmetică

Pe lângă problemele de găsire a unei diferențe necunoscute sau a elementelor individuale, este adesea necesar să se rezolve problemele sumei primilor termeni ai unei secvențe. Luarea în considerare a acestor probleme depășește domeniul de aplicare al subiectului articolului, totuși, pentru caracterul complet al informațiilor, prezentăm o formulă generală pentru suma n numere ale seriei:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență numerică

Așa că hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență numerică
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr de secvență. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
O astfel de succesiune numerică se numește progresie aritmetică.
Termenul de „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o secvență numerică nesfârșită. Numele „aritmetică” a fost transferat din teoria proporțiilor continue, în care s-au implicat grecii antici.

Aceasta este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia este egal cu cel precedent, adăugat cu același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și se notează.

Încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Comparați răspunsurile noastre:
Este un progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al-lea membru al acesteia. Exista Două mod de a o găsi.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului de progresie până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al-lea membru al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Calea

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar fi luat mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am fi greșit la adunarea numerelor.
Desigur, matematicienii au venit cu o modalitate prin care nu trebuie să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Privește cu atenție imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit model, și anume:

De exemplu, să vedem ce alcătuiește valoarea celui de-al-lea membru al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți în mod independent în acest fel valoarea unui membru al acestei progresii aritmetice.

Calculat? Comparați intrările dvs. cu răspunsul:

Atenție că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat succesiv membrii unei progresii aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o aducem într-o formă generală și obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice sunt fie în creștere, fie în scădere.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere:

De atunci:

Astfel, am fost convinși că formula funcționează atât în progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri membrii --lea și --lea din această progresie aritmetică.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm sarcina - derivăm proprietatea unei progresii aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spuneți, și începeți să numărați după formula pe care o cunoașteți deja:

Fie, a, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face greșeli în calcule.
Acum gândiți-vă, este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Desigur, da, și vom încerca să-l scoatem acum.

Să notăm termenul dorit al progresiei aritmetice, deoarece știm formula pentru a-l găsi - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, apoi:

membrul anterior al progresiei este:
următorul termen al progresiei este:

Să însumăm membrii anteriori și următorii ai progresiei:

Rezultă că suma membrilor anteriori și următori ai progresiei este de două ori mai mare decât valoarea membrului progresiei situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, este necesar să le adunăm și să le împărțim la.

Așa e, avem același număr. Să reparăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, pentru că nu este deloc dificil.

Foarte bine! Știi aproape totul despre progresie! Rămâne să aflăm o singură formulă, pe care, potrivit legendei, unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss, a dedus-o cu ușurință pentru el însuși...

Când Carl Gauss avea 9 ani, profesorul, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a cerut următoarea sarcină la lecție: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la până la (după alte surse până la) inclusiv. " Care a fost surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (era Karl Gauss) după un minut a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerului după calcule lungi au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un model pe care îl puteți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică formată din membri -ti: Trebuie să găsim suma membrilor dați ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă trebuie să găsim suma termenilor săi în sarcină, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Priviți cu atenție numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.

Încercat? Ce ai observat? Corect! Sumele lor sunt egale

Acum răspunde, câte astfel de perechi vor fi în progresia dată nouă? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală și perechi egale similare, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme, nu cunoaștem al treilea termen, dar cunoaștem diferența de progresie. Încercați să înlocuiți în formula sumei formula celui de-al-lea membru.
Ce ai primit?

Foarte bine! Acum să revenim la problema care i-a fost dată lui Carl Gauss: calculați singuri care este suma numerelor care încep de la -th și suma numerelor începând de la -th.

Cât ai primit?
Gauss a dovedit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asa te-ai hotarat?

De fapt, formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit proprietățile unei progresii aritmetice cu putere și principal.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare șantier de construcție din acea vreme - construcția unei piramide ... Figura arată o parte a acesteia.

Unde este progresia aici spui tu? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.

De ce nu o progresie aritmetică? Numărați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate în bază. Sper că nu vei număra mișcând degetul pe monitor, îți amintești ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel:
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de membri ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (numărăm numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula și pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. A fost de acord? Bravo, ai stăpânit suma celor trei termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocurile de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

A face exerciţii fizice

Sarcini:

Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori se va ghemui Masha în săptămâni dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament.
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când depozitează buștenii, tăietorii de lemne le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă baza zidăriei este bușteni.

Raspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să se ghemuiască o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Cu toate acestea, numărul de numere impare din - jumătate, verificați acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al-lea membru al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Înlocuim datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală cu.
Amintiți-vă problema despre piramide. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, există doar o grămadă de straturi, adică.
Înlocuiți datele din formula:
Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Rezumând

- o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Este în creștere și în scădere.
Găsirea formulei Al-lea membru al unei progresii aritmetice se scrie prin formula - , unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde - numărul de numere din progresie.
Suma membrilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MIJLOCIU

Secvență numerică

Să ne așezăm și să începem să scriem niște numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți. Dar poți spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență numerică este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și doar unul. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al-lea membru al secvenței poate fi dat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o secvență (primul termen aici este egal și diferența). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim recurentă o formulă în care, pentru a afla al --lea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau pe mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, al treilea termen al progresiei folosind o astfel de formulă, trebuie să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa. Apoi:

Ei bine, acum e clar care este formula?

În fiecare linie, adunăm la, înmulțit cu un anumit număr. Pentru ce? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai confortabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Decizie:

Primul termen este egal. Și care este diferența? Și iată ce:

(la urma urmei, se numește diferență deoarece este egală cu diferența membrilor succesivi ai progresiei).

Deci formula este:

Atunci al sutelea termen este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, fiind un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. El a observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Decizie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare următor se obține prin adăugarea unui număr la cel precedent. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula pentru al treilea termen pentru această progresie este:

Câți termeni sunt în progresie dacă toți trebuie să fie de două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

În fiecare zi, sportivul aleargă cu 1 m mai mult decât în ziua precedentă. Câți kilometri va alerga în săptămâni dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist parcurge mai multe mile în fiecare zi decât precedentul. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să conducă pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi de călătorie?
Prețul unui frigider în magazin este redus cu aceeași sumă în fiecare an. Stabiliți cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Aici este dat:, este necesar să se găsească.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
Rădăcina evident nu se potrivește, deci răspunsul.
Să calculăm distanța parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al-lea membru:
(km).
Răspuns:
Dat: . A găsi: .
Nu devine mai ușor:
(freca).
Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Aceasta este o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică este în creștere () și în scădere ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice

se scrie sub formă de formulă, unde este numărul de numere din progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Ușurează găsirea unui membru al progresiei dacă membrii săi vecini sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma membrilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Tema „progresiune aritmetică” este studiată la cursul general de algebră în școlile din clasa a IX-a. Acest subiect este important pentru studiul aprofundat al matematicii seriilor de numere. În acest articol, ne vom familiariza cu progresia aritmetică, diferența acesteia, precum și cu sarcinile tipice cu care se pot confrunta școlarii.

Conceptul de progresie algebrică

O progresie numerică este o succesiune de numere în care fiecare element ulterior poate fi obținut din cel anterior dacă se aplică o lege matematică. Există două tipuri simple de progresie: geometrică și aritmetică, care se mai numește și algebrică. Să ne oprim asupra ei mai detaliat.

Imaginați-vă un număr rațional, notați-l prin simbolul a 1 , unde indicele indică numărul său ordinal din seria luată în considerare. Să adăugăm un alt număr la un 1, să-l notăm d. Apoi al doilea element al seriei poate fi reflectat astfel: a 2 = a 1 + d. Acum adăugați din nou d, obținem: a 3 = a 2 + d. Continuând această operație matematică, puteți obține o serie întreagă de numere, care se vor numi progresie aritmetică.

După cum se poate înțelege din cele de mai sus, pentru a găsi al n-lea element al acestei secvențe, trebuie să utilizați formula: a n = a 1 + (n-1) * d. Într-adevăr, înlocuind n=1 în expresie, obținem a 1 = a 1, dacă n = 2, atunci formula implică: a 2 = a 1 + 1*d, și așa mai departe.

De exemplu, dacă diferența progresiei aritmetice este 5 și a 1 = 1, atunci aceasta înseamnă că seria de numere a tipului în cauză are forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... După cum se poate vedea, fiecare dintre membrii săi este cu 5 mai mult decât precedentul.

Formule aritmetice de diferență de progresie

Din definiția de mai sus a seriei de numere luate în considerare, rezultă că pentru a o determina, trebuie să cunoașteți două numere: a 1 și d. Aceasta din urmă se numește diferența acestei progresii. Determină în mod unic comportamentul întregii serii. Într-adevăr, dacă d este pozitiv, atunci seria de numere va crește constant, dimpotrivă, în cazul d negativ, numerele din serie vor crește doar modulo, în timp ce valoarea lor absolută va scădea odată cu creșterea numărului n.

Care este diferența dintre o progresie aritmetică? Luați în considerare cele două formule principale care sunt utilizate pentru a calcula această valoare:

d = a n+1 -a n , această formulă rezultă direct din definiția seriei de numere considerate.
d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), această expresie se obține prin exprimarea d din formula dată în paragraful anterior al articolului. Rețineți că această expresie devine nedeterminată (0/0) dacă n=1. Acest lucru se datorează faptului că este necesar să cunoașteți cel puțin 2 elemente ale seriei pentru a determina diferența acesteia.

Aceste două formule de bază sunt folosite pentru a rezolva orice problemă de găsire a diferenței de progresie. Cu toate acestea, există o altă formulă despre care trebuie să știți.

Suma primelor elemente

Formula, care poate fi folosită pentru a determina suma oricărui număr de membri ai unei progresii algebrice, conform dovezilor istorice, a fost obținută pentru prima dată de „prințul” matematicii din secolul al XVIII-lea, Carl Gauss. Un om de știință german, pe când era încă băiat în clasele elementare ale unei școli din sat, a observat că pentru a adăuga numere naturale în seria de la 1 la 100, trebuie mai întâi să însumați primul element și ultimul (valoarea rezultată va fi egală). la suma penultimului și al doilea, penultimul și al treilea elemente și așa mai departe), iar apoi acest număr ar trebui înmulțit cu numărul acestor sume, adică cu 50.

Formula care reflectă rezultatul declarat pe un anumit exemplu poate fi generalizată la un caz arbitrar. Va arăta astfel: S n = n/2*(a n + a 1). Rețineți că pentru a găsi valoarea specificată, cunoașterea diferenței d nu este necesară dacă sunt cunoscuți doi membri ai progresiei (a n și a 1).

Exemplul #1. Determinați diferența cunoscând cei doi termeni ai seriei a1 și an

Vom arăta cum să aplicați formulele indicate mai sus în articol. Să dăm un exemplu simplu: diferența progresiei aritmetice este necunoscută, este necesar să se determine cu ce va fi egală dacă 13 \u003d -5,6 și 1 \u003d -12,1.

Deoarece cunoaștem valorile a două elemente ale șirului numeric, iar unul dintre ele este primul număr, putem folosi formula nr. 2 pentru a determina diferența d. Avem: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. În expresie am folosit valoarea n=13, deoarece membrul cu acest număr ordinal este cunoscut.

Diferența rezultată indică faptul că progresia este în creștere, în ciuda faptului că elementele date în starea problemei au o valoare negativă. Se poate observa că a 13 >a 1 , deși |a 13 |<|a 1 |.

Exemplul #2. Termeni de progresie pozitivi din exemplul #1

Să folosim rezultatul obținut în exemplul anterior pentru a rezolva o nouă problemă. Se formulează astfel: de la ce număr ordinal elementele progresiei din exemplul nr.1 încep să ia valori pozitive?

După cum sa arătat, progresia în care a 1 = -12,1 și d = 0,54167 este în creștere, astfel încât de la un anumit număr numerele vor lua doar valori pozitive. Pentru a determina acest număr n este necesar să rezolvăm o inegalitate simplă, care se scrie matematic astfel: a n>0 sau, folosind formula corespunzătoare, rescriem inegalitatea: a 1 + (n-1)*d>0. Este necesar să găsim necunoscutul n, să-l exprimăm: n>-1*a 1 /d + 1. Acum rămâne să înlocuim valorile cunoscute ale diferenței și primul membru al șirului. Se obține: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 sau n>23,338. Deoarece n poate lua numai valori întregi, din inegalitatea obținută rezultă că orice termeni ai seriei care au un număr mai mare de 23 vor fi pozitivi.

Să verificăm răspunsul nostru folosind formula de mai sus pentru a calcula al 23-lea și al 24-lea elemente ale acestei progresii aritmetice. Avem: a 23 \u003d -12,1 + 22 * 0,54167 \u003d -0,18326 (număr negativ); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (valoare pozitivă). Astfel, rezultatul obținut este corect: pornind de la n=24, toți membrii seriei numerice vor fi mai mari decât zero.

Exemplul #3. Câți bușteni vor potrivi?

Iată o problemă interesantă: în timpul tăierii, s-a decis să stivuiți buștenii tăiați unul peste altul, așa cum se arată în figura de mai jos. Câți bușteni pot fi stivuiți în acest fel, știind că se vor încadra în total 10 rânduri?

În acest mod de pliere a buștenilor, se poate observa un lucru interesant: fiecare rând următor va conține un buștean mai puțin decât cel anterior, adică există o progresie algebrică, a cărei diferență este d=1. Presupunând că numărul de bușteni din fiecare rând este un membru al acestei progresii și, de asemenea, ținând cont de faptul că un 1 = 1 (doar un buștean va încadra în partea de sus), găsim numărul a 10 . Avem: un 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Adică, în al 10-lea rând, care se află pe pământ, vor fi 10 bușteni.

Cantitatea totală a acestei construcții „piramidale” poate fi obținută folosind formula Gauss. Obținem: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 de busteni.