Co leży u podstaw prawidłowego pryzmatu. Pryzmat

Dział matematyki zajmujący się badaniem właściwości różnych kształtów (punktów, linii, kątów, obiektów dwuwymiarowych i trójwymiarowych), ich rozmiarów i względne położenie. Dla wygody nauczania geometrię dzieli się na planimetrię i geometrię bryłową. W… … Encyklopedia Colliera

Geometria przestrzeni o wymiarze większym niż trzy; termin ten stosuje się do tych przestrzeni, których geometria została pierwotnie opracowana dla przypadku trzech wymiarów, a dopiero potem uogólniona na liczbę wymiarów n> 3, głównie przestrzeń euklidesową, ... ... Encyklopedia matematyczna

N wymiarowa geometria euklidesowa uogólnienie geometrii euklidesowej do przestrzeni jeszcze pomiary. Chociaż przestrzeń fizyczna jest trójwymiarowa, a ludzkie zmysły są zaprojektowane do postrzegania trzech wymiarów, N jest wymiarowe ... ... Wikipedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Pyramidatsu (znaczenia). Zakwestionowano wiarygodność tej części artykułu. Konieczna jest weryfikacja prawdziwości faktów podanych w tej sekcji. Mogą być wyjaśnienia na stronie dyskusji ... Wikipedia

- Technologia (Constructive Solid Geometry, CSG) stosowana w modelowaniu ciała stałe. Geometria bloków konstrukcyjnych jest często, ale nie zawsze, techniką modelowania w grafice 3D i CAD. Pozwala stworzyć złożoną scenę lub... Wikipedia

Konstruktywna geometria bryłowa (CSG) to technologia stosowana w modelowaniu brył. Geometria bloków konstrukcyjnych jest często, ale nie zawsze, techniką modelowania w grafice 3D i CAD. Ona ... ... Wikipedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Zakres (znaczenia). Objętość jest funkcją addytywną zbioru (miar) charakteryzującą pojemność zajmowanego przez niego obszaru przestrzeni. Początkowo powstał i był stosowany bez ścisłych ... ... Wikipedia

Typ sześcianu Wielościan regularny Twarz kwadratowa Wierzchołki Krawędzie Ściany ... Wikipedia

Objętość jest funkcją addytywną zbioru (miar) charakteryzującą pojemność zajmowanego przez niego obszaru przestrzeni. Początkowo powstał i był stosowany bez ścisłej definicji w odniesieniu do trójwymiarowych ciał trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ... ... Wikipedia

Część przestrzeni ograniczona zbiorem skończonej liczby płaskich wielokątów (patrz GEOMETRIA) połączonych w taki sposób, że każdy bok dowolnego wielokąta jest bokiem dokładnie jednego innego wielokąta (nazywanego ... ... Encyklopedia Colliera

Książki

Zestaw stołów. Geometria. Klasa 10. 14 tabel + metodologia, . Tabele drukowane są na grubej tekturze poligraficznej o wymiarach 680 x 980 mm. Broszura z wytyczne dla nauczyciela. Album studyjny z 14 kartkami.…

Wykład: Pryzmat, jego podstawy, krawędzie boczne, wysokość, powierzchnia boczna; pryzmat prosty; prawy pryzmat

Pryzmat

Jeśli nauczyłeś się z nami płaskich figur z poprzednich pytań, jesteś całkowicie gotowy do studiowania trójwymiarowych figur. Pierwszą bryłą, której się nauczymy będzie pryzmat.

Pryzmat jest obszernym ciałem, które ma duża liczba twarze.

Ta figura ma u podstawy dwa wielokąty, które znajdują się w równoległych płaszczyznach, a wszystkie ściany boczne mają kształt równoległoboku.

Ryc. 1. Ryc. 2

Zastanówmy się więc, z czego składa się pryzmat. Aby to zrobić, zwróć uwagę na rys.1

Jak wspomniano wcześniej, pryzmat ma dwie równoległe do siebie podstawy - są to pięciokąty ABCEF i GMNJK. Co więcej, te wielokąty są sobie równe.

Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są ścianami bocznymi - składają się z równoległoboków. Na przykład BMNC, AGKF, FKJE itp.

Wspólna powierzchnia wszystkich powierzchni bocznych nazywa się powierzchnia boczna.

Każda para sąsiednich ścian ma wspólną stronę. Taka wspólna strona nazywana jest krawędzią. Na przykład MB, CE, AB itp.

Jeśli górna i dolna podstawa pryzmatu są połączone prostopadle, będzie to nazywane wysokością pryzmatu. Na rysunku wysokość oznaczono linią prostą OO 1.

Istnieją dwa główne rodzaje pryzmatów: skośny i prosty.

Jeśli boczne krawędzie pryzmatu nie są prostopadłe do podstaw, nazywa się taki pryzmat skośny.

Jeśli wszystkie krawędzie pryzmatu są prostopadłe do podstaw, wówczas taki pryzmat nazywa się prosty.

Jeśli podstawy pryzmatu są wielokątami foremnymi (te o równych bokach), to taki pryzmat nazywa się prawidłowy.

Jeśli podstawy pryzmatu nie są do siebie równoległe, wówczas taki pryzmat zostanie nazwany kadłubowy.

Możesz to zobaczyć na ryc. 2

Wzory do znajdowania objętości, pola pryzmatu

Istnieją trzy podstawowe sposoby znajdowania objętości. Różnią się między sobą zastosowaniem:

Podobne wzory na znalezienie pola powierzchni pryzmatu:

U podstawy pryzmatu może leżeć dowolny wielokąt - trójkąt, czworokąt itp. Obie podstawy są dokładnie takie same, a zatem, dzięki czemu kąty równoległych ścian są ze sobą połączone, są one zawsze równoległe. U podstawy pryzmatu foremnego leży wielokąt foremny, czyli taki, w którym wszystkie boki są równe. W prostym pryzmacie krawędzie między bocznymi ścianami są prostopadłe do podstawy. W takim przypadku wielokąt o dowolnej liczbie kątów może leżeć u podstawy prostego pryzmatu. Pryzmat, którego podstawą jest równoległobok, nazywany jest równoległościanem. Prostokąt — szczególny przypadek równoległobok. Jeśli ta figura leży u podstawy, a ściany boczne są ustawione pod kątem prostym do podstawy, równoległościan nazywa się prostokątnym. Druga nazwa tego geometrycznego ciała jest prostokątna.

Jak ona wygląda

Prostokątne pryzmaty otoczone nowoczesny mężczyzna całkiem sporo. To na przykład zwykła tektura spod butów, elementy komputera itp. Rozejrzeć się. Nawet w pomieszczeniu na pewno zobaczysz wiele prostokątnych pryzmatów. To jest obudowa komputera, regał, lodówka, szafka i wiele innych przedmiotów. Forma cieszy się ogromną popularnością przede wszystkim dlatego, że pozwala jak najefektywniej wykorzystać przestrzeń, niezależnie od tego, czy dekorujesz wnętrze, czy pakujesz rzeczy w karton przed przeprowadzką.

Właściwości prostopadłościanu

Prostokątny pryzmat ma numer specyficzne właściwości. Dowolna para twarzy może służyć jako jej, ponieważ wszystkie sąsiednie twarze znajdują się pod tym samym kątem do siebie, a kąt ten wynosi 90 °. Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu jest łatwiejsze do obliczenia niż jakikolwiek inny. Weź dowolny przedmiot, który ma kształt prostokątnego graniastosłupa. Zmierz jego długość, szerokość i wysokość. Aby znaleźć objętość, wystarczy pomnożyć te pomiary. Oznacza to, że wzór wygląda tak: V \u003d a * b * h, gdzie V to objętość, a i b to boki podstawy, h to wysokość, która pokrywa się z boczną krawędzią tego geometrycznego ciała. Powierzchnia bazowa jest obliczana ze wzoru S1=a*b. Aby otrzymać powierzchnię boczną należy najpierw obliczyć obwód podstawy ze wzoru P=2(a+b), a następnie pomnożyć go przez wysokość. Okazuje się, że formuła S2=P*h=2(a+b)*h. Liczyć pełna powierzchnia W przypadku graniastosłupa prostokątnego dodaj dwukrotnie powierzchnię podstawy i powierzchnię bocznej powierzchni. Wzór to S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

W program nauczania w trakcie geometrii bryłowej badanie figur trójwymiarowych zwykle rozpoczyna się od prostego ciała geometrycznego - wielościanu graniastosłupowego. Rolę jego podstaw pełnią 2 równe wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach. Szczególnym przypadkiem jest zwykły czworokątny pryzmat. Jego podstawy to 2 identyczne regularne czworokąty, do których prostopadłe są boki, mające kształt równoległoboków (lub prostokątów, jeśli graniastosłup nie jest pochylony).

Jak wygląda pryzmat

Graniastosłup regularny czworokątny to sześciokąt, u którego podstaw znajdują się 2 kwadraty, a ściany boczne są reprezentowane przez prostokąty. Inna nazwa tego figura geometryczna- prosty równoległościan.

Rysunek przedstawiający czworokątny pryzmat pokazano poniżej.

Możesz również zobaczyć na zdjęciu niezbędne elementy, które tworzą geometryczne ciało. Są one powszechnie określane jako:

Czasami w problemach z geometrią można znaleźć pojęcie przekroju. Definicja będzie brzmiała tak: przekrój to wszystkie punkty bryły objętościowej, które należą do płaszczyzny cięcia. Przekrój jest prostopadły (przecina krawędzie figury pod kątem 90 stopni). W przypadku prostokątnego graniastosłupa brany jest również pod uwagę przekrój przekątny (maksymalna liczba przekrojów, które można zbudować, wynosi 2), przechodząc przez 2 krawędzie i przekątne podstawy.

Jeśli przekrój jest narysowany w taki sposób, że płaszczyzna cięcia nie jest równoległa ani do podstaw, ani do ścian bocznych, wynikiem jest ścięty pryzmat.

Do znalezienia zredukowanych elementów pryzmatycznych stosuje się różne proporcje i wzory. Niektóre z nich są znane z przebiegu planimetrii (np. aby znaleźć pole podstawy pryzmatu, wystarczy przypomnieć wzór na pole kwadratu).

Powierzchnia i objętość

Aby określić objętość pryzmatu za pomocą wzoru, musisz znać obszar jego podstawy i wysokości:

V = Sprim h

Ponieważ podstawą regularnego graniastosłupa czworościennego jest kwadrat o boku a, Możesz napisać wzór w bardziej szczegółowej formie:

V = a² h

Jeśli mówimy o sześcianie - zwykłym pryzmacie o równej długości, szerokości i wysokości, objętość oblicza się w następujący sposób:

Aby zrozumieć, jak znaleźć boczną powierzchnię pryzmatu, musisz wyobrazić sobie jego przeciągnięcie.

Z rysunku widać, że boczna powierzchnia składa się z 4 równych prostokątów. Jego powierzchnia jest obliczana jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości figury:

Strona = Poz h

Ponieważ obwód kwadratu wynosi P = 4a, formuła ma postać:

Strona = 4a h

Na kostkę:

Bok = 4a²

Aby obliczyć całkowitą powierzchnię pryzmatu, dodaj 2 obszary bazowe do powierzchni bocznej:

Sfull = Side + 2Sbase

W odniesieniu do czworokątnego pryzmatu regularnego wzór ma postać:

Sfull = 4ah + 2a²

Dla powierzchni sześcianu:

Pełna = 6a²

Znając objętość lub powierzchnię, możesz obliczyć poszczególne elementy geometryczne ciało.

Znajdowanie elementów pryzmatycznych

Często pojawiają się problemy, w których podawana jest objętość lub znana jest wartość pola powierzchni bocznej, gdzie konieczne jest określenie długości boku podstawy lub wysokości. W takich przypadkach można wyprowadzić wzory:

długość boku podstawy: a = strona / 4h = √(V/h);
wysokość lub długość bocznego żebra: h = Strona / 4a = V / a²;
powierzchnia bazowa: Sprim = V / h;
powierzchnia boczna: Strona gr = Strona / 4.

Aby określić, ile powierzchni ma sekcja po przekątnej, musisz znać długość przekątnej i wysokość figury. Na kwadrat d = a√2. W związku z tym:

Sdiag = ah√2

Do obliczenia przekątnej pryzmatu stosuje się wzór:

dprice = √(2a² + h²)

Aby zrozumieć, jak stosować powyższe proporcje, możesz przećwiczyć i rozwiązać kilka prostych zadań.

Przykłady problemów z rozwiązaniami

Oto niektóre z zadań, które pojawiają się na państwowych egzaminach końcowych z matematyki.

Ćwiczenie 1.

Piasek wsypywany jest do pudełka w kształcie zwykłego czworokątnego graniastosłupa. Wysokość jego poziomu wynosi 10 cm Jaki będzie poziom piasku, jeśli przeniesiesz go do pojemnika o tym samym kształcie, ale o długości podstawy 2 razy dłuższej?

Należy argumentować w następujący sposób. Ilość piasku w pierwszym i drugim pojemniku nie uległa zmianie, tzn. jego objętość w nich jest taka sama. Możesz zdefiniować długość podstawy jako a. W tym przypadku w pierwszym polu objętość substancji będzie wynosić:

V₁ = ha² = 10a²

W przypadku drugiego pudełka długość podstawy wynosi 2a, ale wysokość poziomu piasku jest nieznana:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

O ile V₁ = V₂, wyrażenia można porównać:

10a² = 4ha²

Po zmniejszeniu obu stron równania o a² otrzymujemy:

W rezultacie nowy poziom piasek będzie h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadanie 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to zwykły pryzmat. Wiadomo, że BD = AB₁ = 6√2. Znajdź całkowitą powierzchnię ciała.

Aby ułatwić zrozumienie, które elementy są znane, możesz narysować figurę.

Ponieważ mówimy o zwykłym pryzmacie, możemy wywnioskować, że podstawą jest kwadrat o przekątnej 6√2. Przekątna lica bocznego ma taką samą wartość, dlatego lica boczna również ma kształt kwadratu równej podstawie. Okazuje się, że wszystkie trzy wymiary – długość, szerokość i wysokość – są sobie równe. Możemy stwierdzić, że ABCDA₁B₁C₁D₁ jest sześcianem.

Długość każdej krawędzi jest określana przez znaną przekątną:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Całkowitą powierzchnię określa wzór na sześcian:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Zadanie 3.

Pokój jest w remoncie. Wiadomo, że jego podłoga ma kształt kwadratu o powierzchni 9 m². Wysokość pomieszczenia wynosi 2,5 m. Jaki jest najniższy koszt tapetowania pokoju, jeśli 1 m² kosztuje 50 rubli?

Ponieważ podłoga i sufit są kwadratami, czyli regularnymi czworokątami, a jej ściany są prostopadłe do powierzchni poziomych, możemy wnioskować, że jest to graniastosłup regularny. Konieczne jest określenie obszaru jego powierzchni bocznej.

Długość pokoju wynosi a = √9 = 3 m.

Plac zostanie pokryty tapetą bok = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniższy koszt tapety do tego pokoju będzie 50 30 = 1500 rubli.

Tak więc do rozwiązywania problemów na prostopadłościanie wystarczy umieć obliczyć pole i obwód kwadratu i prostokąta, a także znać wzory na obliczanie objętości i pola powierzchni.

Jak znaleźć obszar sześcianu

Definicja. Pryzmat- jest to wielościan, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach, a w tych samych dwóch płaszczyznach znajdują się dwie ściany pryzmatu, które są równymi wielokątami o odpowiednio równoległych bokach, oraz wszystkie krawędzie, które w nich nie leżą samoloty są równoległe.

Nazywa się dwie równe twarze podstawy pryzmatyczne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Wszystkie inne powierzchnie pryzmatu noszą nazwę twarze boczne(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tworzą się wszystkie ściany boczne powierzchnia boczna pryzmaty .

Wszystkie powierzchnie boczne pryzmatu są równoległobokami .

Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Przekątna pryzmatu nazywa się segment, którego końce są dwoma wierzchołkami pryzmatu, które nie leżą na jednej z jego ścian (AD 1).

Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .

Przeznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw w kolejności obejścia wskazane są wierzchołki jednej podstawy, a następnie, w tej samej kolejności, wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej są oznaczone tymi samymi literami, tylko wierzchołki leżące w jedna podstawa jest oznaczona literami bez indeksu, a druga - z indeksem)

Nazwa pryzmatu jest związana z liczbą kątów w figurze leżących u jego podstawy, np. na rysunku 1 podstawą jest pięciokąt, więc pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Lecz odkąd taki pryzmat ma 7 twarzy, to siedmiościan(2 ściany to podstawy pryzmatu, 5 ścian to równoległoboki, to jego ściany boczne)

Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się prywatny widok: zwykłe pryzmaty.

Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są wielokątami foremnymi.

Zwykły pryzmat ma ze wszystkich stron równe prostokąty. Szczególnym przypadkiem pryzmatu jest równoległościan.

Równoległościan

Równoległościan- Ten pryzmat czworokątny, który jest oparty na równoległoboku (ukośnym równoległościanie). Prawy równoległościan- równoległościan, którego boczne krawędzie są prostopadłe do płaszczyzn podstawy.

prostopadłościan- równoległościan prawy, którego podstawą jest prostokąt.

Własności i twierdzenia:

Niektóre właściwości równoległościanu są podobne znane właściwości równoległobok Prostokątny równoległościan mający równe pomiary, są nazywane sześcian .Kwadrat ma wszystkie ściany równe kwadraty Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów

gdzie d jest przekątną kwadratu;
a - bok kwadratu.

Ideę pryzmatu podaje:

różne konstrukcje architektoniczne;
Zabawki dla dzieci;
pudełka do pakowania;
przedmioty designerskie itp.

Całkowita i boczna powierzchnia pryzmatu

Całkowita powierzchnia pryzmatu to suma obszarów wszystkich jego twarzy Powierzchnia boczna nazywana jest sumą pól powierzchni bocznych. podstawy pryzmatu są równymi wielokątami, to ich pola są równe. Więc

S pełna \u003d S strona + 2S główne,

gdzie S pełne- całkowita powierzchnia, Strona S- powierzchnia boczna, S główne- powierzchnia bazowa

Pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Strona S\u003d P główne * h,

gdzie Strona S to pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego,

P main - obwód podstawy prostego pryzmatu,

h jest wysokością prostego pryzmatu, równą bocznej krawędzi.