Definicja. Pryzmat- jest to wielościan, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach, a w tych samych dwóch płaszczyznach znajdują się dwie ściany pryzmatu, które są równymi wielokątami o odpowiednio równoległych bokach, oraz wszystkie krawędzie, które w nich nie leżą samoloty są równoległe.

Nazywa się dwie równe twarze podstawy pryzmatyczne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Wszystkie inne powierzchnie pryzmatu noszą nazwę twarze boczne(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tworzą się wszystkie ściany boczne boczna powierzchnia pryzmatu .

Wszystkie powierzchnie boczne pryzmatu są równoległobokami .

Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Przekątna pryzmatu nazywa się segment, którego końce są dwoma wierzchołkami pryzmatu, które nie leżą na jednej z jego ścian (AD 1).

Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .

Przeznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw w kolejności obejścia wskazane są wierzchołki jednej podstawy, a następnie, w tej samej kolejności, wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej są oznaczone tymi samymi literami, tylko wierzchołki leżące w jedna podstawa jest oznaczona literami bez indeksu, a druga - z indeksem)

Nazwa pryzmatu jest związana z liczbą kątów w figurze leżących u jego podstawy, np. na rysunku 1 podstawą jest pięciokąt, więc pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Lecz odkąd taki pryzmat ma 7 twarzy, to siedmiościan(2 ściany to podstawy pryzmatu, 5 ścian to równoległoboki, to jego ściany boczne)

Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się prywatny widok: zwykłe pryzmaty.

Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są wielokątami foremnymi.

Równoległościan

prostopadłościan- równoległościan prawy, którego podstawą jest prostokąt.

Własności i twierdzenia:

,

gdzie d jest przekątną kwadratu;
a - bok kwadratu.

Ideę pryzmatu podaje:

• różne konstrukcje architektoniczne;
• Zabawki dla dzieci;
• pudełka do pakowania;
• przedmioty designerskie itp.

Całkowita i boczna powierzchnia pryzmatu

S pełna \u003d S strona + 2S główne,

gdzie S pełne- całkowita powierzchnia, Strona S- powierzchnia boczna, S główne- powierzchnia bazowa

Pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Strona S\u003d P główne * h,

gdzie Strona S to pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego,

P main - obwód podstawy prostego pryzmatu,

h jest wysokością prostego pryzmatu, równą bocznej krawędzi.

Objętość pryzmatu

Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości.

Definicja.

Jest to sześciokąt, którego podstawy są dwoma równymi kwadratami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Boczne żebro jest wspólną stroną dwóch sąsiednich ścian bocznych

Wysokość pryzmatu to odcinek prostopadły do ​​podstawy pryzmatu

Przekątna pryzmatu- odcinek łączący dwa wierzchołki podstaw, które nie należą do tej samej ściany

Płaszczyzna ukośna- płaszczyzna przechodząca przez przekątną pryzmatu i jego boczne krawędzie

Przekrój po przekątnej- granice przecięcia pryzmatu i płaszczyzny przekątnej. Przekątna prawidłowego pryzmat czworokątny jest prostokątem

Przekrój prostopadły (przekrój ortogonalny)- to przecięcie pryzmatu i płaszczyzny narysowanej prostopadle do jego bocznych krawędzi

Elementy zwykłego czworokątnego pryzmatu

Rysunek przedstawia dwa regularne pryzmaty czworokątne, które są oznaczone odpowiednimi literami:

• Podstawy ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są równe i równoległe do siebie
• Powierzchnie boczne AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, z których każda jest prostokątem
• Powierzchnia boczna - suma pól wszystkich powierzchni bocznych pryzmatu
• Powierzchnia całkowita - suma powierzchni wszystkich podstaw i ścian bocznych (suma powierzchni powierzchni bocznych i podstaw)
• Żebra boczne AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Przekątna B 1 D
• Przekątna podstawy BD
• Przekrój skośny BB 1 D 1 D
• Przekrój prostopadły A 2 B 2 C 2 D 2 .

Właściwości regularnego pryzmatu czworokątnego

• Podstawy to dwa równe kwadraty
• Podstawy są do siebie równoległe
• Boki są prostokątami.
• Boki są sobie równe
• Ściany boczne są prostopadłe do podstaw
• Żebra boczne są do siebie równoległe i równe
• Przekrój prostopadły prostopadły do ​​wszystkich bocznych żeber i równoległy do ​​podstaw
• Kąty przekroju prostopadłego — z prawej
• Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt
• Prostopadły (przekrój ortogonalny) równoległy do ​​podstaw

Wzory na zwykły pryzmat czworokątny

Instrukcje rozwiązywania problemów

Prawidłowy pryzmat- graniastosłup, u którego podstawy leży wielokąt foremny, a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Oznacza to, że u podstawy znajduje się zwykły czworokątny pryzmat kwadrat. (patrz powyżej właściwości zwykłego pryzmatu czworokątnego) Notatka. Jest to część lekcji z zadaniami z geometrii (sekcja geometria bryłowa - pryzmat). Oto zadania, które powodują trudności w rozwiązaniu. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. Aby wskazać akcję ekstrakcji pierwiastek kwadratowy symbol jest używany w rozwiązywaniu problemów√ .

Zadanie.

Przekątna zwykłego graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy i wysokością pryzmatu trójkąt prostokątny. W związku z tym, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przekątna danego regularnego graniastosłupa czworokątnego będzie równa:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpowiedź: 22 cm

Zadanie

Decyzja.
Ponieważ podstawa zwykłego czworokątnego graniastosłupa jest kwadratem, to bok podstawy (oznaczony jako a) znajduje się w twierdzeniu Pitagorasa:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Wysokość ściany bocznej (oznaczona jako h) będzie wtedy równa:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Całkowita powierzchnia będzie równa sumie powierzchni bocznej i dwukrotnej powierzchni bazowej

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpowiedź: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Dział matematyki zajmujący się badaniem właściwości różnych kształtów (punktów, linii, kątów, obiektów dwuwymiarowych i trójwymiarowych), ich rozmiarów i względne położenie. Dla wygody nauczania geometrię dzieli się na planimetrię i geometrię bryłową. W… … Encyklopedia Colliera

Geometria przestrzeni o wymiarze większym niż trzy; termin ten stosuje się do tych przestrzeni, których geometria została pierwotnie opracowana dla przypadku trzech wymiarów, a dopiero potem uogólniona na liczbę wymiarów n> 3, głównie przestrzeń euklidesową, ... ... Encyklopedia matematyczna

N wymiarowa geometria euklidesowa uogólnienie geometrii euklidesowej do przestrzeni jeszcze pomiary. Chociaż przestrzeń fizyczna jest trójwymiarowa, a ludzkie zmysły są zaprojektowane do postrzegania trzech wymiarów, N jest wymiarowe ... ... Wikipedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Pyramidatsu (znaczenia). Zakwestionowano wiarygodność tej części artykułu. Konieczna jest weryfikacja prawdziwości faktów podanych w tej sekcji. Mogą być wyjaśnienia na stronie dyskusji ... Wikipedia

- Technologia (Constructive Solid Geometry, CSG) stosowana w modelowaniu ciała stałe. Geometria bloków konstrukcyjnych jest często, ale nie zawsze, techniką modelowania w grafice 3D i CAD. Pozwala stworzyć złożoną scenę lub... Wikipedia

Konstruktywna geometria bryłowa (CSG) to technologia stosowana w modelowaniu brył. Geometria bloków konstrukcyjnych jest często, ale nie zawsze, techniką modelowania w grafice 3D i CAD. Ona ... ... Wikipedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Zakres (znaczenia). Objętość jest funkcją addytywną zbioru (miar) charakteryzującą pojemność zajmowanego przez niego obszaru przestrzeni. Początkowo powstał i był stosowany bez ścisłych ... ... Wikipedia

Typ sześcianu Wielościan regularny Twarz kwadratowa Wierzchołki Krawędzie Ściany ... Wikipedia

Objętość jest funkcją addytywną zbioru (miar) charakteryzującą pojemność zajmowanego przez niego obszaru przestrzeni. Początkowo powstał i był stosowany bez ścisłej definicji w odniesieniu do trójwymiarowych ciał trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ... ... Wikipedia

Część przestrzeni ograniczona zbiorem skończonej liczby płaskich wielokątów (patrz GEOMETRIA) połączonych w taki sposób, że każdy bok dowolnego wielokąta jest bokiem dokładnie jednego innego wielokąta (nazywanego ... ... Encyklopedia Colliera

Książki

• Zestaw stołów. Geometria. Klasa 10. 14 tabel + metodologia, . Tabele drukowane są na grubej tekturze poligraficznej o wymiarach 680 x 980 mm. Broszura z wytyczne dla nauczyciela. Album studyjny z 14 kartkami.…

Pryzmat. Równoległościan

pryzmat nazywa się wielościanem, którego dwie ściany są równe n-gonom (fusy) , leżące w równoległych płaszczyznach, a pozostałe n ścian to równoległoboki (boczne powierzchnie) . Boczne żebro pryzmat to ta strona ściany bocznej, która nie należy do podstawy.

Nazywa się graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstaw prosty pryzmat (rys. 1). Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do płaszczyzn podstaw, wówczas nazywa się pryzmat skośny . prawidłowy Graniastosłup to graniastosłup prosty, którego podstawą są wielokąty foremne.

Wysokość pryzmat nazywany jest odległością między płaszczyznami podstaw. Przekątna Pryzmat to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany. przekrój przekątny Nazywa się odcinek pryzmatu przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany. Przekrój prostopadły nazwany sekcją pryzmatu przez płaszczyznę prostopadłą do bocznej krawędzi pryzmatu.

Powierzchnia boczna pryzmat to suma powierzchni wszystkich ścian bocznych. Pełna powierzchnia nazywana jest suma powierzchni wszystkich ścian pryzmatu (tj. suma powierzchni ścian bocznych i powierzchni podstaw).

Dla dowolnego pryzmatu formuły są prawdziwe:

gdzie ja to długość bocznego żebra;

H- Wysokość;

P

Q

Strona S

S pełne

S główne to powierzchnia baz;

V to objętość pryzmatu.

Dla prostego pryzmatu prawdziwe są następujące wzory:

gdzie p- obwód podstawy;

ja to długość bocznego żebra;

H- Wysokość.

Równoległościan Nazywa się pryzmat, którego podstawą jest równoległobok. Nazywa się równoległościan, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw bezpośredni (rys. 2). Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, nazywa się równoległościan skośny . Prawy równoległościan, którego podstawą jest prostokąt, nazywa się prostokątny. Prostokątny równoległościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcian.

Nazywa się ściany równoległościanu, które nie mają wspólnych wierzchołków naprzeciwko . Długości krawędzi emanujących z jednego wierzchołka nazywane są pomiary równoległościan. Ponieważ pudełko jest pryzmatem, jego główne elementy są definiowane w taki sam sposób, jak w przypadku pryzmatów.

Twierdzenia.

1. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają go.

2. W prostopadłościanie prostokątnym kwadrat długości przekątnej jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów:

3. Wszystkie cztery przekątne prostokątnego równoległościanu są sobie równe.

W przypadku dowolnego równoległościanu prawdziwe są następujące formuły:

gdzie ja to długość bocznego żebra;

H- Wysokość;

P jest obwodem przekroju prostopadłego;

Q– Powierzchnia przekroju prostopadłego;

Strona S to powierzchnia boczna;

S pełne to całkowita powierzchnia;

S główne to powierzchnia baz;

V to objętość pryzmatu.

Dla prawego równoległościanu prawdziwe są następujące formuły:

gdzie p- obwód podstawy;

ja to długość bocznego żebra;

H to wysokość prawego równoległościanu.

W przypadku równoległościanu prostokątnego prawdziwe są następujące formuły:

(3)

gdzie p- obwód podstawy;

H- Wysokość;

d- przekątna;

ABC– pomiary równoległościanu.

Prawidłowe formuły dla kostki to:

gdzie a to długość żebra;

d to przekątna sześcianu.

Przykład 1 Przekątna prostopadłościanu wynosi 33 dm, a jego wymiary są odniesione do 2:6:9 Znajdź wymiary prostopadłościanu.

Decyzja. Aby znaleźć wymiary równoległościanu, używamy wzoru (3), tj. fakt, że kwadrat przeciwprostokątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego wymiarów. Oznacz przez k współczynnik proporcjonalności. Wtedy wymiary równoległościanu będą równe 2 k, 6k i 9 k. Na dane problemu piszemy wzór (3):

Rozwiązywanie tego równania dla k, otrzymujemy:

Stąd wymiary równoległościanu to 6 dm, 18 dm i 27 dm.

Odpowiedź: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Przykład 2 Znajdź objętość nachylonego trójkątnego graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 8 cm, jeśli krawędź boczna jest równa boku podstawy i jest nachylona pod kątem 60º do podstawy.

Decyzja . Zróbmy rysunek (ryc. 3).

Aby znaleźć objętość pochylonego pryzmatu, musisz znać obszar jego podstawy i wysokość. Powierzchnia podstawy tego pryzmatu to powierzchnia trójkąta równobocznego o boku 8 cm, policzmy to:

Wysokość pryzmatu to odległość między jego podstawami. Z góry ALE 1 górnej podstawy obniżamy prostopadle do płaszczyzny dolnej podstawy ALE 1 D. Jego długość będzie wysokością pryzmatu. Rozważ D ALE 1 OGŁOSZENIE: ponieważ jest to kąt nachylenia żebra bocznego ALE 1 ALE do płaszczyzny bazowej ALE 1 ALE= 8 cm Z tego trójkąta znajdujemy ALE 1 D:

Teraz obliczamy objętość za pomocą wzoru (1):

Odpowiedź: 192 cm3.

Przykład 3 Boczna krawędź regularnego sześciokątnego pryzmatu wynosi 14 cm, a powierzchnia największego przekroju przekątnej wynosi 168 cm 2. Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 4)

Największy przekrój przekątnej to prostokąt AA 1 DD 1 , ponieważ przekątna OGŁOSZENIE regularny sześciokąt ALFABET jest największy. Aby obliczyć powierzchnię boczną pryzmatu, konieczne jest poznanie boku podstawy i długości bocznego żebra.

Znając obszar przekroju przekątnego (prostokąt), znajdujemy przekątną podstawy.

Ponieważ wtedy

Od tego czasu AB= 6 cm.

Wtedy obwód podstawy to:

Znajdź obszar bocznej powierzchni pryzmatu:

Powierzchnia sześciokąta foremnego o boku 6 cm to:

Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu:

Odpowiedź:

Przykład 4 Podstawą prawego równoległościanu jest romb. Pola przekrojów to 300 cm2 i 875 cm2. Znajdź obszar bocznej powierzchni równoległościanu.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 5).

Oznacz bok rombu przez a, przekątne rombu d 1 i d 2, wysokość pudełka! h. Aby znaleźć powierzchnię boczną prostego równoległościanu, należy pomnożyć obwód podstawy przez wysokość: (wzór (2)). Obwód podstawy p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jak ABCD- romb. H = AA 1 = h. To. Trzeba znaleźć a oraz h.

Rozważ przekroje przekątne. AA 1 SS 1 - prostokąt, którego jedna strona jest przekątną rombu AC = d 1, druga krawędź boczna AA 1 = h, następnie

Podobnie dla sekcji nocleg ze śniadaniem 1 DD 1 otrzymujemy:

Używając własności równoległoboku takiej, że suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich jego boków, otrzymujemy równość.

Wielościany

Głównym przedmiotem badań stereometrii są ciała trójwymiarowe. Ciało to część przestrzeni ograniczona jakąś powierzchnią.

wielościan Nazywa się ciało, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów. Wielościan nazywamy wypukłym, jeśli leży po jednej stronie płaszczyzny każdego płaskiego wielokąta na jego powierzchni. Nazywa się wspólną częścią takiej płaszczyzny i powierzchni wielościanu krawędź. Ściany wielościanu wypukłego są płaskimi wielokątami wypukłymi. Boki twarzy nazywane są krawędzie wielościanu, a wierzchołki wierzchołki wielościanu.

Na przykład sześcian składa się z sześciu kwadratów, które są jego ścianami. Zawiera 12 krawędzi (boków kwadratów) i 8 wierzchołków (wierzchołki kwadratów).

Najprostszymi wielościanami są pryzmaty i piramidy, które będziemy dalej badać.

Pryzmat

Definicja i właściwości pryzmatu

pryzmat nazywa się wielościanem składającym się z dwóch płaskich wielokątów leżących w równoległych płaszczyznach połączonych równoległym przesunięciem i wszystkich odcinków łączących odpowiednie punkty tych wielokątów. Wielokąty nazywają się podstawy pryzmatyczne, a segmenty łączące odpowiednie wierzchołki wielokątów to boczne krawędzie pryzmatu.

Wysokość pryzmatu zwany odległością między płaszczyznami jego podstaw (). Odcinek łączący dwa wierzchołki pryzmatu, które nie należą do tej samej ściany, nazywa się przekątna pryzmatu(). Pryzmat nazywa się n-węgiel jeśli jego podstawą jest n-gon.

Każdy pryzmat ma następujące właściwości, które wynikają z faktu, że podstawy pryzmatu są połączone translacją równoległą:

1. Podstawy pryzmatu są równe.

2. Boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.

Powierzchnia pryzmatu składa się z podstaw i powierzchnia boczna. Boczna powierzchnia pryzmatu składa się z równoległoboków (wynika to z właściwości pryzmatu). Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest sumą pól powierzchni bocznych.

prosty pryzmat

Pryzmat nazywa się prosty jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw. W przeciwnym razie pryzmat nazywa się skośny.

Twarze prostego pryzmatu to prostokąty. Wysokość prostego pryzmatu jest równa jego powierzchniom bocznym.

pełna powierzchnia pryzmaty to suma pola powierzchni bocznej i pola podstaw.

Prawidłowy pryzmat nazywa się graniastosłupem prawym z wielokątem foremnym u podstawy.

Twierdzenie 13.1. Pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego jest równe iloczynowi obwodu i wysokości pryzmatu (lub równoważnie krawędzi bocznej).

Dowód. Boczne ściany pryzmatu prostego to prostokąty, których podstawy są bokami wielokątów przy podstawie pryzmatu, a wysokości są bocznymi krawędziami pryzmatu. Wtedy, z definicji, powierzchnia boczna to:

,

gdzie jest obwód podstawy prostego pryzmatu.

Równoległościan

Jeśli równoległoboki leżą u podstaw pryzmatu, nazywa się to równoległościan. Wszystkie ściany równoległościanu są równoległobokami. W tym przypadku przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.

Twierdzenie 13.2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie, a punkt przecięcia jest podzielony na pół.

Dowód. Rozważmy na przykład dwie dowolne przekątne i . Ponieważ ściany równoległościanu są równoległobokami, to i , co oznacza, że ​​według T około dwóch linii prostych równoległych do trzeciej . Ponadto oznacza to, że linie i leżą w tej samej płaszczyźnie (płaszczyźnie). Ta płaszczyzna przecina równoległe płaszczyzny i wzdłuż równoległych linii i . Tak więc czworokąt jest równoległobokiem, a dzięki właściwości równoległoboku jego przekątne i przecinają się oraz punkt przecięcia są podzielone na pół, co wymagało udowodnienia.

Prawy równoległościan, którego podstawą jest prostokąt, nazywa się prostopadłościan. Wszystkie ściany prostopadłościanu są prostokątami. Długości nierównoległych krawędzi prostopadłościanu nazywamy its wymiary liniowe(pomiary). Dostępne są trzy rozmiary (szerokość, wysokość, długość).

Twierdzenie 13.3. W prostopadłościanie kwadrat dowolnej przekątnej jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów (udowodniono przez dwukrotne zastosowanie T pitagorejskiego).

Prostokątny równoległościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcian.

Zadania

13.1 Ile przekątnych ma? n- pryzmat węglowy

13.2 W nachylonym trójkątnym pryzmacie odległości między krawędziami bocznymi wynoszą 37, 13 i 40. Znajdź odległość między większą powierzchnią boczną a przeciwległą krawędzią boczną.

13.3 Przez bok dolnej podstawy regularnego trójkątnego graniastosłupa narysowana jest płaszczyzna przecinająca ściany boczne wzdłuż segmentów, między którymi kąt wynosi . Znajdź kąt nachylenia tej płaszczyzny do podstawy pryzmatu.