Najprostsze kształty geometryczne: punkt, linia prosta, odcinek, promień, linia łamana. Lekcja „Bezpośrednio”

Strona 1 z 3

§jeden. pytania testowe
Pytanie 1. Podaj przykłady kształtów geometrycznych.
Odpowiedź. Przykłady kształtów geometrycznych: trójkąt, kwadrat, koło.

Pytanie 2. Jakie są główne figury geometryczne na powierzchni.
Odpowiedź. Główne figury geometryczne na płaszczyźnie to punkt i linia.

Pytanie 3. Jak definiuje się punkty i linie?
Odpowiedź. Punkty są oznaczone dużymi literami. z literami łacińskimi: A, B, C, D, … . Linie proste są oznaczone małymi literami łacińskimi: a, b, c, d, ....
Linia może być oznaczona dwoma leżącymi na niej punktami. Na przykład linia a na figurze 4 może być oznaczona jako AC, a linia b może być oznaczona jako BC.

Pytanie 4. Sformułuj podstawowe własności przynależności punktów i linii.
Odpowiedź. Niezależnie od linii, istnieją punkty należące do tej linii i punkty, które do niej nie należą.
Przez dowolne dwa punkty możesz narysować linię i tylko jeden.
Pytanie 5. Wyjaśnij, czym jest odcinek z końcami w określonych punktach.
Odpowiedź. Odcinek jest częścią prostej, która składa się ze wszystkich punktów tej prostej, które leżą pomiędzy dwoma określonymi jej punktami. Punkty te nazywane są końcami segmentu. Segment jest wskazywany przez wskazanie jego końców. Kiedy mówią lub piszą: „odcinek AB”, mają na myśli odcinek z końcami w punktach A i B.

Pytanie 6. Sformułuj główną właściwość położenia punktów na linii prostej.
Odpowiedź. Z trzech punktów na linii jeden i tylko jeden leży między pozostałymi dwoma.
Pytanie 7. Sformułuj główne właściwości segmentów pomiarowych.
Odpowiedź. Każdy segment ma określoną długość większą od zera. Długość segmentu jest równa sumie długości części, na które jest podzielony przez dowolny z jego punktów.
Pytanie 8. Jaka jest odległość między dwoma podanymi punktami?
Odpowiedź. Długość odcinka AB nazywana jest odległością między punktami A i B.
Pytanie 9. Jakie są właściwości podziału płaszczyzny na dwie półpłaszczyzny?
Odpowiedź. Podział płaszczyzny na dwie półpłaszczyzny ma następującą właściwość. Jeśli końce dowolnego segmentu należą do tej samej półpłaszczyzny, segment nie przecina linii. Jeśli punkty końcowe segmentu należą do różnych półpłaszczyzn, segment przecina linię.

Pomimo tego, że geometria jest jedną z nauk ścisłych, naukowcy nie mogą jednoznacznie zdefiniować terminu „prosta linia”. W samym ogólny widok można podać tę definicję: „Linia prosta to linia, wzdłuż której ścieżka jest równa odległości między dwoma punktami”.

Czym jest linia prosta w matematyce? Definicja linii prostej w matematyce: linia prosta nie ma końca i może przebiegać w obu kierunkach do nieskończoności.

Podstawowe pojęcia geometrii obejmują punkt, linię i płaszczyznę, są one podane bez definicji, ale definicje innych kształtów geometrycznych są podane za pomocą tych pojęć. Płaszczyzna, podobnie jak linia prosta, jest podstawowym pojęciem, które nie ma definicji. Twierdzenie to potwierdza następujący aksjomat: jeżeli dwa punkty prostej leżą na pewnej płaszczyźnie, to wszystkie punkty tej prostej leżą na tej płaszczyźnie. A samo stwierdzenie, które zostało udowodnione, nazywa się twierdzeniem. Stwierdzenie twierdzenia zwykle składa się z dwóch części.

Zadanie: gdzie jest prosta, promień, odcinek, krzywa? Wierzchołki polilinii (podobnie jak wierzchołki gór) to punkt, od którego zaczyna się polilinia, punkty, w których łączą się segmenty tworzące polilinię, punkt, w którym polilinia się kończy. Zadanie: która polilinia jest dłuższa, a która ma więcej wierzchołków? Przyległe boki wielokąta są sąsiadującymi ogniwami linii łamanej. Wierzchołki wielokąta są wierzchołkami polilinii. Sąsiednie wierzchołki to punkty końcowe jednej strony wielokąta.

Na lekcjach matematyki można usłyszeć następujące wyjaśnienie: segment matematyczny ma długość i końce. Odcinek w matematyce to zbiór wszystkich punktów leżących na linii prostej między końcami odcinka.

W dalszej części będą definicje dla różne postacie z wyjątkiem dwóch - punkt i linia. Czasami więc możemy wyznaczyć linię prostą za pomocą dwóch wielkich liter łacińskich, na przykład linię prostą\(AB\), ponieważ żadna inna linia nie może być poprowadzona przez te dwa punkty. Symbolicznie zapisujemy segment \(AB\).

Jaki jest sens w matematyce?

Twierdzenie: Linia środkowa trójkąta jest równoległa do jednego z jego boków i równa połowie tego boku. C. Wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka prosty kąt, dzieli trójkąt na dwa podobne trójkąt prostokątny, z których każdy jest podobny do danego trójkąta. C. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Tutaj zebrano główne definicje, twierdzenia, właściwości figur na płaszczyźnie.

Wektor ze współrzędnymi punktu nazywany jest wektorem normalnym, jest prostopadły do ​​prostej.

W systematycznym przedstawieniu geometrii jako jedno z pojęć początkowych przyjmuje się zwykle linię prostą, którą tylko pośrednio określają aksjomaty geometrii.

4. Dwie nie zbiegające się linie proste na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są równoległe. Promień jest częścią linii prostej ograniczonej z jednej strony. Odcinek, podobnie jak linia prosta, jest oznaczony jedną lub dwiema literami. W tym drugim przypadku litery te wskazują końce segmentu.

Punkt to abstrakcyjny obiekt, który nie ma cech pomiarowych: bez wysokości, bez długości, bez promienia. W ramach zadania ważna jest tylko jego lokalizacja

Punkt jest oznaczony liczbą lub dużą (dużą) literą łacińską. Kilka kropek - różne liczby lub różne litery aby można je było odróżnić

punkt A, punkt B, punkt C

A B C

punkt 1, punkt 2, punkt 3

1 2 3

Możesz narysować trzy punkty „A” na kartce papieru i poprosić dziecko, aby narysowało linię przez dwa punkty „A”. Ale jak rozumieć przez który? A A A

Linia to zbiór punktów. Mierzy tylko długość. Nie ma szerokości ani grubości.

Oznaczone małymi (małymi) literami łacińskimi

linia a, linia b, linia c

a b c

Linia może być

1. zamknięty, jeśli jego początek i koniec są w tym samym miejscu,
2. otwarte, jeśli jego początek i koniec nie są połączone

zamknięte linie

otwarte linie

Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie i wróciłeś do mieszkania. Jaką linię dostałeś? Zgadza się, zamknięte. Wróciłeś do punktu wyjścia. Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie, wszedłeś do wejścia i rozmawiałeś z sąsiadem. Jaką linię dostałeś? Otwarty. Nie wróciłeś do punktu wyjścia. Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie. Jaką linię dostałeś? Otwarty. Nie wróciłeś do punktu wyjścia.

1. samoprzecinające się
2. bez samoskrzyżowań

linie samoprzecinające się

linie bez samoprzecięć

1. prosty
2. linia przerywana
3. krzywy

proste linie

linie przerywane

zakrzywione linie

Linia prosta to linia, która nie jest zakrzywiona, nie ma początku ani końca, można ją przedłużyć w nieskończoność w obu kierunkach

Nawet gdy jest widziany mała działka prosto, zakłada się, że biegnie w nieskończoność w obu kierunkach

Jest oznaczony małą (małą) literą łacińską. Lub dwie wielkie (duże) litery łacińskie - punkty leżące na linii prostej

linia prosta a

a

prosta AB

B A

proste linie mogą być

1. przecinają się, jeśli mają wspólny punkt. Dwie linie mogą się przecinać tylko w jednym punkcie.
   • prostopadłe, jeśli przecinają się pod kątem prostym (90°).
2. równolegle, jeśli się nie przecinają, nie mają wspólnego punktu.

równoległe linie

Przecinające się linie

prostopadłe linie

Promień jest częścią prostej, która ma początek, ale nie ma końca, może być przedłużona w nieskończoność tylko w jednym kierunku

Punktem wyjścia dla wiązki światła na zdjęciu jest słońce.

słońce

Punkt dzieli linię na dwie części - dwa promienie A A

Wiązka jest oznaczona małą (małą) literą łacińską. Lub dwie wielkie (duże) litery łacińskie, gdzie pierwsza to punkt, od którego zaczyna się promień, a druga to punkt leżący na promieniu

wiązka

a

belka AB

B A

Belki pasują, jeśli

1. znajduje się na tej samej linii prostej
2. zacznij od jednego punktu
3. skierowane w jedną stronę

promienie AB i AC pokrywają się

promienie CB i CA pokrywają się

C B A

Odcinek to odcinek prostej ograniczony dwoma punktami, to znaczy mający zarówno początek, jak i koniec, co oznacza, że ​​można zmierzyć jego długość. Długość segmentu to odległość między jego punktem początkowym i końcowym.

Przez jeden punkt można poprowadzić dowolną liczbę linii, w tym linie proste.

Przez dwa punkty - nieograniczona ilość krzywych, ale tylko jedna prosta

zakrzywione linie przechodzące przez dwa punkty

B A

prosta AB

B A

Kawałek został „odcięty” od linii prostej, a odcinek pozostał. Z powyższego przykładu widać, że jego długość to najkrótsza odległość między dwoma punktami. B A ✂

Segment jest oznaczony dwiema dużymi (dużymi) literami łacińskimi, gdzie pierwsza to punkt, od którego zaczyna się segment, a druga to punkt, od którego ten segment się kończy

odcinek AB

B A

Zadanie: gdzie jest prosta, promień, odcinek, krzywa?

Linia przerywana to linia składająca się z kolejno połączonych odcinków nie pod kątem 180°

Długi segment został „rozbity” na kilka krótkich.

Ogniwa polilinii (podobnie jak ogniwa łańcucha) to segmenty tworzące polilinię. Łącza przylegające to łącza, w których koniec jednego łącza jest początkiem drugiego. Sąsiadujące ogniwa nie powinny leżeć na tej samej linii prostej.

Wierzchołki polilinii (podobnie jak wierzchołki gór) to punkt, od którego zaczyna się polilinia, punkty, w których łączą się segmenty tworzące polilinię, punkt, w którym polilinia się kończy.

Polilinia jest oznaczana poprzez wymienienie wszystkich jej wierzchołków.

linia przerywana ABCDE

wierzchołek polilinii A, wierzchołek polilinii B, wierzchołek polilinii C, wierzchołek polilinii D, wierzchołek polilinii E

ogniwo łamanej AB, ogniwo łamanej BC, ogniwo łamanej CD, ogniwo łamanej DE

łącze AB i łącze BC sąsiadują ze sobą

link BC i link CD są obok siebie

link CD i link DE sąsiadują ze sobą

A B C D E 64 62 127 52

Długość polilinii jest sumą długości jej połączeń: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Zadanie: która linia przerywana jest dłuższa?, a który ma więcej szczytów? W pierwszym wierszu wszystkie linki mają tę samą długość, czyli 13 cm. W drugiej linii znajdują się wszystkie linki o tej samej długości, czyli 49 cm. Trzecia linia zawiera wszystkie linki tej samej długości, czyli 41 cm.

Wielokąt to zamknięta polilinia

Boki wielokąta (pomogą zapamiętać wyrażenia: „idź na wszystkie cztery strony”, „biegnij w stronę domu”, „po której stronie stołu usiądziesz?”) są ogniwami łamanej linii. Przyległe boki wielokąta są sąsiadującymi ogniwami linii łamanej.

Wierzchołki wielokąta są wierzchołkami polilinii. Sąsiednie wierzchołki to punkty końcowe jednej strony wielokąta.

Wielokąt jest oznaczony przez wymienienie wszystkich jego wierzchołków.

zamknięta polilinia bez samoprzecięcia, ABCDEF

wielokąt ABCDEF

wierzchołek wieloboku A, wierzchołek wieloboku B, wierzchołek wieloboku C, wierzchołek wielokąta D, wierzchołek wieloboku E, wierzchołek wieloboku F

wierzchołek A i wierzchołek B sąsiadują ze sobą

wierzchołek B i wierzchołek C sąsiadują ze sobą

wierzchołek C i wierzchołek D sąsiadują ze sobą

wierzchołek D i wierzchołek E sąsiadują ze sobą

wierzchołek E i wierzchołek F sąsiadują ze sobą

wierzchołek F i wierzchołek A sąsiadują ze sobą

strona wielokąta AB, strona wielokąta BC, strona wielokąta CD, strona wielokąta DE, strona wielokąta EF

strona AB i strona BC sąsiadują ze sobą

bok BC i bok CD sąsiadują ze sobą

strona CD i strona DE sąsiadują ze sobą

bok DE i bok EF sąsiadują ze sobą

bok EF i bok FA sąsiadują ze sobą

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Obwód wielokąta to długość polilinii: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Wielokąt z trzema wierzchołkami nazywa się trójkątem, z czterema - czworobokiem, z pięcioma - pięciokątem i tak dalej.

W geometrii głównymi figurami geometrycznymi są punkt i linia. Aby wyznaczyć punkty, zwyczajowo używa się wielkich liter łacińskich: A, B, C, D, E, F .... Do oznaczenia linii prostych używane są małe litery łacińskie: a, b, c, d, e, f .... Poniższy rysunek przedstawia linię prostą a oraz kilka punktów A, B, C, D.

Aby przedstawić linię prostą na rysunku, używamy linijki, ale nie przedstawiamy całej linii, a tylko jej fragment. Ponieważ linia z naszego punktu widzenia rozciąga się w nieskończoność w obu kierunkach, jest nieskończona.

Na powyższym rysunku widzimy, że punkty A i C leżą na linii prostej. a. W takich przypadkach mówimy, że punkty A i C należą do prostej a. Albo mówią, że linia przechodzi przez punkty A i C. Podczas pisania przynależność punktu do linii jest oznaczona specjalną ikoną. A fakt, że punkt nie należy do linii zaznaczony jest tą samą ikonką, tylko przekreślony.

W naszym przypadku punkty B i D nie należą do prostej a.

Jak zauważono powyżej, na rysunku punkty A i C należą do prostej a. Część prostej, która składa się ze wszystkich punktów na tej prostej, które leżą między dwoma podanymi punktami, nazywa się człon. Innymi słowy, odcinek jest częścią prostej ograniczonej dwoma punktami.

W naszym przypadku mamy segment AB. Punkty A i B nazywane są końcami segmentu. W celu wyznaczenia odcinka wskazujemy jego końce, w naszym przypadku AB. Jedną z głównych właściwości przynależności punktów i linii jest następująca: własność: przez dowolne dwa punkty można narysować linię, a ponadto tylko jeden.

Jeśli dwie linie mają wspólny punkt, mówi się, że te dwie linie się przecinają. Na rysunku linie aib przecinają się w punkcie A. Linie a i c nie przecinają się.

Dowolne dwie linie mają tylko jeden punkt wspólny lub nie mają punktów wspólnych. Jeśli przyjmiemy odwrotnie, że dwie proste mają dwa punkty wspólne, to przechodzą przez nie dwie. Ale jest to niemożliwe, ponieważ tylko jedna linia może być poprowadzona przez dwa punkty.