Kubo šaknies funkcijos grafikas. Galios funkcija ir šaknys – apibrėžimas, savybės ir formulės

Vaikinai, mes toliau tiriame galios funkcijas. Šios dienos pamokos tema bus funkcija – x ​​kubinė šaknis. Kas yra kubo šaknis? Skaičius y vadinamas x kubine šaknimi (trečiojo laipsnio šaknimi), jei įvykdoma lygybė Pažymėkite:, kur x yra radikalinis skaičius, 3 yra eksponentas.

Kaip matome, iš neigiamų skaičių galima išskirti ir kubo šaknį. Pasirodo, mūsų šaknis egzistuoja visiems skaičiams. Trečioji neigiamo skaičiaus šaknis yra lygi neigiamam skaičiui. Pakėlus iki nelyginės galios, ženklas išsaugomas, trečioji laipsnis yra nelyginis. Patikrinkime lygybę: Tegul. Abu posakius keliame į trečią laipsnį Tada arba Šaknų žymėjime gauname norimą tapatybę.

Vaikinai, nubrėžkime savo funkciją dabar. 1) Apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė. 2) Funkcija yra nelyginė, nes Toliau mes laikome savo funkciją ties x 0, o po to atspindime grafiką, palyginti su kilme. 3) Funkcija didėja ties x 0. Mūsų funkcijai didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o tai reiškia padidėjimą. 4) Funkcija neribojama iš viršaus. Tiesą sakant, nuo bet ko didelis skaičius galime apskaičiuoti trečiojo laipsnio šaknį ir judėti iki begalybės, rasdami vis didesnes argumento reikšmes. 5) x 0 mažiausia reikšmė yra 0. Ši savybė akivaizdi.

Sukurkime savo funkcijos grafiką visoje apibrėžimo srityje. Atminkite, kad mūsų funkcija yra nelyginė. Funkcijos savybės: 1) D(y)=(-;+) 2) nelyginė funkcija. 3) Padidėja (-;+) 4) Neribota. 5) Nėra minimalios ar didžiausios vertės. 6) Funkcija yra ištisinė visoje realioje eilutėje. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Išgaubtas žemyn (-; 0), išgaubtas aukštyn (0; +).

Pavyzdys. Nubraižykite funkciją ir perskaitykite ją. Sprendimas. Sukurkime du funkcijų grafikus toje pačioje koordinačių plokštumoje, atsižvelgdami į mūsų sąlygas. Ties x-1 sudarome kubo šaknies grafiką, ties x-1 – tiesinės funkcijos grafiką. 1) D(y)=(-;+) 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Sumažėja (-;-1), didėja (-1;+) 4) Neribojama iš viršaus, ribojama iš apačios. penki) Didžiausia vertė ne. Mažiausia vertė lygus minus vienetui. 6) Funkcija yra ištisinė visoje realioje eilutėje. 7) E(y)= (-1;+)

Vietoj įžangos

Šiuolaikinių technologijų (CSE) ir mokymo priemonių (multimedijos lentos) naudojimas pamokose padeda mokytojui planuoti ir vesti efektyvias pamokas, sudaro sąlygas mokiniams suprasti, įsiminti ir praktikuoti įgūdžius.

Pamoka pasirodo dinamiška ir įdomi, jei per pamoką derinate įvairias mokymosi formas.

Šiuolaikinėje didaktikoje yra keturios bendrosios organizacinės formos mokymasis:

• tarpininkaujama individualiai;
• garinė pirtis;
• grupė;

kolektyvas (poromis keičiamos kompozicijos). (Dyachenko V.K. Šiuolaikinė didaktika. - M .: Tautinis ugdymas, 2005).

Tradicinėje pamokoje, kaip taisyklė, naudojamos tik pirmosios trys aukščiau išvardintos organizacinės ugdymo formos. kolektyvinė forma mokymo (darbo poromis pamainomis) mokytojas praktiškai nenaudoja. Tačiau ši organizacinė mokymosi forma įgalina komandą apmokyti kiekvieną ir visus aktyviai dalyvauti kitų mokyme. Kolektyvinė ugdymo forma yra pirmaujanti ĮSA technologijų srityje.

Vienas iš labiausiai paplitusių kolektyvinio mokymosi būdo technologijos metodų yra „abipusio mokymo“ metodas.

Ši „stebuklinga“ technika tinka bet kokiam dalykui ir bet kuriai pamokai. Tikslas yra mokymas.

Mokymas yra savikontrolės paveldėtojas, padedantis studentui užmegzti kontaktą su studijų dalyku, lengviau rasti tinkamus žingsnius-veiksmus. Mokymus įgyti, įtvirtinti, pergrupuoti, peržiūrėti, pritaikyti žinias, vystomi žmogaus pažintiniai gebėjimai. (Yanovitskaya E.V. Kaip mokyti ir mokytis klasėje, kad norėtum mokytis. Žinynas. – Sankt Peterburgas: Edukaciniai projektai, M.: Leidėjas A.M. Kushnir, 2009.-p.14;131)

Tai padės greitai pakartoti bet kurią taisyklę, prisiminti atsakymus į tiriamus klausimus, įtvirtinti reikiamus įgūdžius. Optimalus laikas dirbti pagal metodą yra 5-10 minučių. Paprastai darbas su mokymo kortelėmis atliekamas skaičiuojant žodžiu, tai yra pamokos pradžioje, tačiau mokytojo nuožiūra jis gali būti atliekamas bet kuriame pamokos etape, atsižvelgiant į jos tikslus ir struktūra. Mokymų kortelėje gali būti nuo 5 iki 10 paprastų pavyzdžių (klausimų, užduočių). Kiekvienas klasės mokinys gauna kortelę. Kortos yra skirtingos visiems arba skirtingos kiekvienam „konsoliduotame būryje“ (vaikai sėdi vienoje eilėje). Konsoliduotas būrys (grupė) – tai laikinas mokinių bendradarbiavimas, suformuotas konkrečiai ugdymo užduočiai atlikti. (Yalovets T.V. Kolektyvinio mokymo metodo technologija tobulinant mokytoją: Ugdomasis ir metodinis vadovas. - Novokuzneckas: IPK leidykla, 2005. - P. 122)

Pamokos projektas šia tema „Funkcija y=, jos savybės ir grafikas“

Pamokos projekte, kurios tema: „ Funkcija y=, jos savybės ir grafikas“ pristatomas abipusio mokymo technikos panaudojimas derinant su tradicinių ir daugialypės terpės mokymo priemonių naudojimu.

Pamokos tema: „ Funkcija y=, jo savybės ir grafikas”

Tikslai:

• pasirengimas kontroliniam darbui;
• visų funkcijos savybių žinių patikrinimas ir gebėjimas braižyti funkcijų grafikus bei skaityti jų savybes.

Užduotys: dalyko lygis:

virš dalyko lygis:

• išmokti analizuoti grafinę informaciją;
• ugdyti gebėjimą vesti dialogą;
• ugdyti gebėjimus ir įgūdžius dirbti su interaktyvia lenta, naudojant darbo su grafikais pavyzdį.

Pamokos struktūra	Laikas
1. Mokytojo informacijos įvedimas (ITI)	5 minutės.
2. Bazinių žinių aktualizavimas: darbas poromis pamainomis pagal metodiką “Abipusis mokymas”	8 min.
3. Susipažinimas su tema „Funkcija y=, jos savybės ir grafikas“: mokytojo pristatymas	8 min.
4. Naujai studijuotos ir jau perduotos medžiagos tema „Funkcija“ konsolidavimas: naudojant interaktyvią lentą	15 minučių.
5. Savikontrolė : testo forma	7 min.
6. Namų darbų apibendrinimas, užrašymas.	2 minutės.

Pažvelkime atidžiau į kiekvieno etapo turinį.

1. Mokytojo informacijos įvestis (ITI) apima Laiko organizavimas; temos, tikslo ir pamokos plano išsakymas; rodant darbo pavyzdį poromis pagal tarpusavio mokymo metodą.

Šiame pamokos etape mokiniams demonstruojant darbo poromis pavyzdį, patartina kartoti mums reikalingos technikos darbo algoritmą, nes. kitame pamokos etape suplanuotas visos klasės komandos darbas. Tuo pačiu galite įvardyti darbo klaidas pagal algoritmą (jei yra), taip pat įvertinti šių studentų darbus.

2. Pamatinių žinių aktualizavimas vykdomas pamainų poromis pagal tarpusavio mokymo metodą.

Metodikos algoritmas apima individualias, porines (statinės poros) ir kolektyvines (pamaininės sudėties poros) organizacines mokymo formas.

Individualus: kiekvienas, gavęs kortelę, susipažįsta su jos turiniu (skaito klausimus ir atsakymus kortelės gale).

• Pirmas(„stažuotojo“ vaidmenyje) skaito užduotį ir atsako į partnerio kortelės klausimus;
• antra(„trenerio“ vaidmenyje) – tikrina atsakymų teisingumą kortelės gale;
• panašiai dirbkite su kita korta, keisdami vaidmenis;
• padaryti ženklą atskirame lape ir pakeisti korteles;
• pereiti prie naujos poros.

Kolektyvas:

• naujoje poroje jie dirba kaip ir pirmoje; perėjimas prie naujos poros ir kt.

Perėjimų skaičius priklauso nuo laiko, kurį skiria mokytojas šis etapas nuo kiekvieno mokinio bei bendradarbiavimo partnerių kruopštumo ir supratimo greičio.

Mokiniai, dirbę poromis, daro pažymius apskaitos lapuose, mokytojas atlieka kiekybinę ir kokybinę darbo analizę.

Sąrašas gali atrodyti taip:

Ivanovas Petya 7 "b" klasė

data	Kortelės numeris	Klaidų skaičius	Su kuo dirbote
20.12.09	№7	0	Sidorovas K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Supažindinimą su tema „Funkcija y =, jos savybės ir grafikas“ mokytojas atlieka pristatymo forma, naudodamas multimedijos mokymosi priemones (4 priedas). Viena vertus, tai šiuolaikiniams studentams suprantamas vizualizacijos variantas, kita vertus, sutaupomas laikas naujos medžiagos aiškinimui.

4. Naujai studijuotos ir jau perduotos medžiagos tema „Funkcija ” organizuojama dviem variantais, naudojant tradicines mokymo priemones (lenta, vadovėlį) ir novatorišką (interaktyvią lentą).

Pirmiausia siūlomos kelios užduotys iš vadovėlio naujai studijuojamai medžiagai įtvirtinti. Naudojamas mokymui naudojamas vadovėlis. Darbas atliekamas vienu metu su visa klase. Šiuo atveju vienas mokinys atlieka užduotį „a“ - ant tradicinės lentos; kita – užduotis „b“ interaktyvioje lentoje, likusieji mokiniai surašo tų pačių užduočių sprendimus į sąsiuvinį ir lygina savo sprendimą su lentose pateiktu sprendimu. Toliau mokytojas įvertina mokinių darbą prie lentos.

Tada, norint greičiau konsoliduoti studijuotą medžiagą tema „Funkcija“, siūlomas frontalinis darbas su interaktyvia lenta, kurį galima organizuoti taip:

• užduotis ir tvarkaraštis pasirodo interaktyvioje lentoje;
• norintis atsakyti mokinys eina prie lentos, atlieka reikiamas konstrukcijas ir įgarsina atsakymą;
• lentoje atsiranda nauja užduotis ir naujas tvarkaraštis;
• Kitas studentas išeina atsakyti.

Taigi per trumpą laiką galima išspręsti gana daug užduočių, įvertinti mokinių atsakymus. Kai kurios dominančios užduotys (panašios į būsimų užduočių kontrolinis darbas), galima įrašyti į sąsiuvinį.

5. Savikontrolės etape studentams siūlomas testas, po kurio seka savęs patikrinimas (3 priedas).

Literatūra

1. Dyachenko, V.K. Šiuolaikinė didaktika [Tekstas] / V.K. Dyachenko - M.: Visuomenės švietimas, 2005 m.
2. Yalovets, T.V. Kolektyvinio mokymo metodo technologija tobulinant mokytoją: Ugdomasis ir metodinis vadovas [Tekstas] / T.V. Jalovecas. - Novokuzneckas: IPC leidykla, 2005 m.
3. Yanovitskaya, E.V. Kaip mokyti ir mokytis klasėje, kad norėtum mokytis. Žinynas [Tekstas] / E.V. Yanovitskaya. - Sankt Peterburgas: edukaciniai projektai, M.: Leidėjas A.M. Kušniras, 2009 m.

Pamoka ir pranešimas tema: "Galios funkcijos. Kubinė šaknis. Kubinės šaknies savybės"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 klasei
Mokomasis kompleksas 1C: „Algebrinės problemos su parametrais, 9-11 klasės“ Programinė aplinka „1C: Matematinis konstruktorius 6.0“

Galios funkcijos apibrėžimas – kubo šaknis

Vaikinai, mes toliau tiriame galios funkcijas. Šiandien mes kalbėsime apie x funkcijos kubo šaknį.
Kas yra kubo šaknis?
Skaičius y vadinamas x kubine šaknimi (trečiojo laipsnio šaknis), jei $y^3=x$ yra teisinga.
Jie žymimi kaip $\sqrt(x)$, kur x yra šakninis skaičius, 3 yra eksponentas.
$\sqrt(27)=3$; $ 3^3 = 27 $.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3 = -8 $.
Kaip matome, iš neigiamų skaičių galima išskirti ir kubo šaknį. Pasirodo, mūsų šaknis egzistuoja visiems skaičiams.
Trečioji neigiamo skaičiaus šaknis yra lygi neigiamam skaičiui. Pakėlus iki nelyginės galios, ženklas išsaugomas, trečioji laipsnis yra nelyginis.

Patikrinkime lygybę: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Tegul $\sqrt((-x))=a$ ir $\sqrt(x)=b$. Pakelkime abu posakius į trečią laipsnį. $–x=a^3$ ir $x=b^3$. Tada $a^3=-b^3$ arba $a=-b$. Šaknų žymėjime gauname norimą tapatybę.

Kubo šaknų savybės

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Įrodykime antrąją savybę. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Mes nustatėme, kad skaičius $\sqrt(\frac(a)(b))$ kube yra lygus $\frac(a)(b)$, o tada jis lygus $\sqrt(\frac(a) (b))$, kurią ir reikėjo įrodyti.

Vaikinai, nubraižykime savo funkcijų grafiką.
1) Apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė.
2) Funkcija yra nelyginė, nes $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Tada apsvarstykite mūsų funkciją $x≥0$, tada atspindėkite grafiką, palyginti su kilme.
3) Funkcija didėja $х≥0$. Mūsų funkcijai didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o tai reiškia didėjimą.
4) Funkcija neribojama iš viršaus. Tiesą sakant, iš savavališkai didelio skaičiaus galite apskaičiuoti trečiojo laipsnio šaknį, o mes galime judėti iki begalybės, surasdami vis didesnes argumento reikšmes.
5) $x≥0$ mažiausia reikšmė yra 0. Ši savybė akivaizdi.
Sukurkime funkcijos grafiką taškais, kai x≥0.

Sukurkime savo funkcijos grafiką visoje apibrėžimo srityje. Atminkite, kad mūsų funkcija yra nelyginė.

Funkcijos savybės:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Nelyginė funkcija.
3) Padidėja (-∞;+∞).
4) Neribota.
5) Nėra minimalios ar didžiausios vertės.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Išgaubtas žemyn (-∞;0), išgaubtas į viršų (0;+∞).

Galios funkcijų sprendimo pavyzdžiai

Pavyzdžiai
1. Išspręskite lygtį $\sqrt(x)=x$.
Sprendimas. Sukurkime du grafikus toje pačioje koordinačių plokštumoje $y=\sqrt(x)$ ir $y=x$.

Kaip matote, mūsų grafikai susikerta trijuose taškuose.
Atsakymas: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Sudarykite funkcijos grafiką. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Sprendimas. Mūsų grafikas gaunamas iš funkcijos $y=\sqrt(x)$ grafiko, lygiagrečiai perkeliant du vienetus į dešinę ir trimis vienetais žemyn.

3. Nubraižykite funkciją ir perskaitykite ją. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Sprendimas. Sukurkime du funkcijų grafikus toje pačioje koordinačių plokštumoje, atsižvelgdami į mūsų sąlygas. $х≥-1$ sudarome kubinės šaknies grafiką, $х≤-1$ tiesinės funkcijos grafiką.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Mažėja (-∞;-1), didėja (-1;+∞).
4) Neribota iš viršaus, ribota iš apačios.
5) Didžiausios vertės nėra. Mažiausia vertė yra minus vienas.
6) Funkcija yra ištisinė visoje realioje eilutėje.
7) E(y)= (-1;+∞).

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Išspręskite lygtį $\sqrt(x)=2-x$.
2. Nubraižykite funkciją $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Sudarykite funkcijos grafiką ir perskaitykite jį. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(atvejai)$.

Pateikiamos pagrindinės galios funkcijos savybės, įskaitant formules ir šaknų savybes. Pateikta laipsnio funkcijos išvestinė, integralas, plėtinys laipsnių eilutėje ir vaizdavimas kompleksiniais skaičiais.

Apibrėžimas

Apibrėžimas
Maitinimo funkcija su eksponentu p yra funkcija f (x) = xp, kurios reikšmė taške x yra lygi reikšmei eksponentinė funkcija su pagrindu x p.
Be to, f (0) = 0 p = 0 už p > 0 .

Natūralioms eksponento vertėms laipsnio funkcija yra n skaičių, lygių x, sandauga:
.
Jis apibrėžiamas visiems realiems.

Esant teigiamoms racionaliosioms eksponento vertėms, galios funkcija yra n laipsnio šaknų sandauga iš skaičiaus x:
.
Jei nelyginis m , jis apibrėžiamas visiems realiesiems x . Net m , galios funkcija yra apibrėžta neneigiamam .

Neigiamai galios funkcija apibrėžiama pagal formulę:
.
Todėl jis neapibrėžiamas taške.

Iracionalioms eksponento p reikšmėms eksponentinė funkcija nustatoma pagal formulę:
,
kur a yra savavališkas teigiamas skaičius, o ne lygus vienam: .
, jis apibrėžiamas .
Galios funkcija yra apibrėžta .

Tęstinumas. Galios funkcija yra nuolatinė savo apibrėžimo srityje.

Laipsnio funkcijos, kai x ≥ 0, savybės ir formulės

Čia nagrinėjame galios funkcijos ypatybes ne neigiamos reikšmės argumentas x . Kaip minėta pirmiau, kai kurioms eksponento p reikšmėms eksponentinė funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms x reikšmėms. Šiuo atveju jo savybes galima gauti iš savybių , naudojant lyginį arba nelyginį paritetą. Šie atvejai aptariami ir išsamiai iliustruojami puslapyje „“.

Laipsnio funkcija y = x p su eksponentu p turi šias savybes:
(1.1) apibrėžtas ir nenutrūkstamas filmavimo aikštelėje
,
adresu ;
(1.2) turi daug reikšmių
,
adresu ;
(1.3) griežtai didėja
griežtai mažėja ties ;
(1.4) adresu ;
adresu ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Savybių įrodymas pateikiamas puslapyje " Galios funkcija (tęstinumo ir savybių įrodymas) »

Šaknys – apibrėžimas, formulės, savybės

Apibrėžimas
x šaknis iki n laipsnio yra skaičius, kurį padidinus iki laipsnio n, gaunama x:
.
Čia n = 2, 3, 4, ... - natūralusis skaičius, didesnis nei vienas.

Taip pat galite sakyti, kad n laipsnio skaičiaus x šaknis yra lygties šaknis (tai yra sprendinys).
.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcija yra atvirkštinė funkcijai .

Kvadratinė šaknis iš x yra 2 laipsnio šaknis: .

kubo šaknis nuo x skaičiaus yra 3 laipsnio šaknis: .

Tolygus laipsnis

Lyginiams laipsniams n = 2 m, šaknis apibrėžta x ≥ 0 . Dažnai naudojama formulė galioja ir teigiamam, ir neigiamam x:
.
Kvadratinė šaknis:
.

Čia svarbi operacijų atlikimo tvarka – tai yra pirmiausia atliekamas kvadratavimas, gaunamas neneigiamas skaičius, o tada iš jo ištraukiama šaknis (iš neneigiamo skaičiaus galite išgauti Kvadratinė šaknis). Jei pakeistume tvarką: , tada neigiamo x šaknis būtų neapibrėžta, o kartu ir visa išraiška būtų neapibrėžta.

nelyginis laipsnis

Nelyginių laipsnių šaknis yra apibrėžta visiems x:
;
.

Šaknų savybės ir formulės

X šaknis yra galios funkcija:
.
Jei x ≥ 0 galioja šios formulės:
;
;
, ;
.

Šios formulės taip pat gali būti taikomos neigiamoms kintamųjų reikšmėms. Reikia tik užtikrinti, kad radikali lygiųjų galių išraiška nebūtų neigiama.

Privačios vertybės

0 šaknis yra 0: .
1 šaknis yra 1: .
Kvadratinė šaknis iš 0 yra 0: .
Kvadratinė šaknis iš 1 yra 1: .

Pavyzdys. Šaknis nuo šaknų

Apsvarstykite šaknų kvadratinės šaknies pavyzdį:
.
Konvertuokite vidinę kvadratinę šaknį naudodami aukščiau pateiktas formules:
.
Dabar pakeiskime pradinę šaknį:
.
Taigi,
.

y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Čia pateikiami ne neigiamų argumento x verčių funkcijos grafikai. Galios funkcijos grafikai, apibrėžti neigiamoms x reikšmėms, pateikiami puslapyje " Galios funkcija, jos savybės ir grafikai »

Atvirkštinė funkcija

Atvirkštinė laipsnio funkcija su laipsniu p yra laipsnio funkcija su laipsniu 1/p .

Jei tada .

Galios funkcijos išvestinė

n-osios eilės vedinys:
;

Formulių išvedimas >>>

Galios funkcijos integralas

P≠- 1 ;
.

Galios serijos išplėtimas

- 1 < x < 1 vyksta toks skilimas:

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Apsvarstykite sudėtingo kintamojo z funkciją:
f (z) = z t.
Kompleksinį kintamąjį z išreiškiame moduliu r ir argumentu φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Kompleksinį skaičių t pavaizduojame kaip tikrąją ir įsivaizduojamą dalis:
t = p + i q .
Mes turime:

Be to, atsižvelgiame į tai, kad argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas:
,

Apsvarstykite atvejį, kai q = 0 , tai yra eksponentas tikras numeris, t = p . Tada
.

Jei p yra sveikas skaičius, tada kp taip pat yra sveikas skaičius. Tada dėl trigonometrinių funkcijų periodiškumo:
.
T.y eksponentinė funkcija su sveikuoju skaičiumi, nurodytam z, turi tik vieną reikšmę, todėl yra vienos reikšmės.

Jei p yra neracionalus, tai kp sandaugai neduoda sveikojo skaičiaus nė vienam k. Kadangi k eina per begalinę reikšmių seką k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p turi be galo daug reikšmių. Kai argumentas z padidinamas 2 π(vienas posūkis), pereiname prie naujos funkcijos šakos.

Jei p yra racionalus, jis gali būti pavaizduotas taip:
, kur m,n yra sveikieji skaičiai be bendrų daliklių. Tada
.
Pirmosios n reikšmės, kai k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, duok n skirtingos reikšmės kp :
.
Tačiau paskesnės reikšmės suteikia reikšmes, kurios nuo ankstesnių skiriasi sveikuoju skaičiumi. Pavyzdžiui, jei k = k 0+n mes turime:
.
Trigonometrinės funkcijos, kurių argumentai skiriasi kartotiniais 2 π, turi vienodas reikšmes. Todėl, toliau didinant k, gauname tas pačias z p reikšmes kaip ir k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Taigi, eksponentinė funkcija su racionalus rodiklis laipsnis yra daugiareikšmis ir turi n reikšmių (šakų). Kai argumentas z padidinamas 2 π(vienas posūkis), pereiname prie naujos funkcijos šakos. Po n tokių posūkių grįžtame prie pirmosios atšakos, nuo kurios prasidėjo atgalinis skaičiavimas.

Visų pirma, n laipsnio šaknis turi n reikšmių. Kaip pavyzdį apsvarstykite tikrojo teigiamo skaičiaus n-ąją šaknį z = x. Šiuo atveju φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Taigi kvadratinei šaknei n = 2 ,
.
Net k, (- 1 ) k = 1. Nelyginiam k, (- 1 ) k = - 1.
Tai reiškia, kad kvadratinė šaknis turi dvi reikšmes: + ir -.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.