Ką rodo eksponentinė funkcija. Pamoka „Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas

Žinių prekybos centras >>Matematika >>Matematika 10 klasė >>

Eksponentinė funkcija, jo savybės ir grafikas

Apsvarstykite išraišką 2x ir suraskite jos reikšmes įvairioms racionalioms kintamojo x reikšmėms, pavyzdžiui, x=2;

Apskritai, kad ir kokią racionalią reikšmę suteiktume kintamajam x, visada galime apskaičiuoti atitinkamą 2x išraiškos skaitinę reikšmę. Taigi galima kalbėti apie eksponentinį funkcijas y=2 x apibrėžta aibėje Q racionalūs numeriai:

Panagrinėkime kai kurias šios funkcijos savybes.

1 nuosavybė. yra didėjanti funkcija. Įrodinėjimą atliekame dviem etapais.
Pirmas lygmuo.Įrodykime, kad jei r yra teigiamas racionalusis skaičius, tai 2 r >1.
Galimi du atvejai: 1) r - natūralusis skaičius, r = n; 2) eilinis neredukuojamas trupmena,

Paskutinės nelygybės kairėje pusėje turime , o dešinėje 1. Vadinasi, paskutinę nelygybę galima perrašyti į formą

Taigi bet kuriuo atveju, kaip reikia, galioja nelygybė 2 r > 1.

Antrasis etapas. Tegul x 1 ir x 2 yra skaičiai, o x 1 ir x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(skirtumą x 2 -x 1 pažymėjome raide r).

Kadangi r yra teigiamas racionalusis skaičius, pagal tai, kas buvo įrodyta pirmajame etape, 2 r > 1, t. 2 r -1 >0. Skaičius 2x" taip pat yra teigiamas, o tai reiškia, kad sandauga 2 x-1 (2 Г -1) taip pat yra teigiama. Taigi mes įrodėme, kad nelygybė 2 Xr -2x "\u003e 0.

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

2 nuosavybė. apribota iš apačios ir neapribota iš viršaus.
Funkcijos riba iš apačios išplaukia iš nelygybės 2 x > 0, kuri galioja bet kurioms x reikšmėms iš funkcijos srities. Tuo pačiu, kad ir kokį teigiamą skaičių M paimtų, visada galima pasirinkti tokį rodiklį x, kad išsipildytų nelygybė 2 x > M - kuri charakterizuoja funkcijos neribotumą iš viršaus. Pateikime keletą pavyzdžių.

3 nuosavybė. neturi nei minimalios, nei didžiausios vertės.

Ko ši funkcija neturi didžiausia vertybė, akivaizdu, nes, kaip ką tik matėme, jis nėra ribojamas iš viršaus. Bet iš apačios jis ribotas, kodėl gi ne mažiausia vertė?

Tarkime, kad 2r yra mažiausia funkcijos reikšmė (r yra koks nors racionalusis rodiklis). Paimkite racionalųjį skaičių q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Visa tai yra gerai, jūs sakote, bet kodėl mes svarstome funkciją y-2 x tik racionaliųjų skaičių aibėje, kodėl mes jos, kaip ir kitų žinomų funkcijų, nenagrinėjame visoje skaičių eilutėje arba kažkokiame ištisiniame intervale skaičių eilutė? Kas mus stabdo? Pagalvokime apie situaciją.

Skaičių eilutėje yra ne tik racionalieji, bet ir neracionalieji skaičiai. Anksčiau tirtoms funkcijoms tai mūsų netrukdė. Pavyzdžiui, funkcijos y \u003d x 2 reikšmes radome vienodai lengvai ir racionalioms, ir neracionaliosioms x reikšmėms: pakako duotosios x reikšmės kvadratu.

Tačiau naudojant funkciją y \u003d 2 x situacija yra sudėtingesnė. Jei argumentui x suteikta racionali reikšmė, tai iš esmės x galima apskaičiuoti (grįžkite į pastraipos pradžią, kur mes kaip tik tai padarėme). O jei argumentui x suteikiama neracionali reikšmė? Kaip, pavyzdžiui, apskaičiuoti? Mes to dar nežinome.
Matematikai rado išeitį; taip jie kalbėjosi.

Yra žinoma, kad Apsvarstykite racionaliųjų skaičių seką - skaičiaus dešimtainę aproksimaciją pagal trūkumą:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Aišku, kad 1,732 = 1,7320 ir 1,732050 = 1,73205. Kad išvengtume tokių pasikartojimų, atmetame tuos sekos narius, kurie baigiasi skaičiumi 0.

Tada gauname didėjančią seką:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Atitinkamai didėja ir seka.

Visi šios sekos nariai yra teigiami skaičiai, mažesni už 22, t.y. ši seka yra ribota. Pagal Weierstrasso teoremą (žr. § 30), jei seka didėja ir ribojama, tada ji konverguoja. Be to, iš § 30 žinome, kad jei seka susilieja, tada tik iki vienos ribos. Šią vienintelę ribą buvo sutarta laikyti skaitinės išraiškos reikšme. Ir nesvarbu, kad labai sunku rasti net apytikslę skaitinės išraiškos 2 reikšmę; svarbu, kad tai būtų konkretus skaičius (juk nebijojome pasakyti, kad, pavyzdžiui, tai yra racionalios lygties šaknis, trigonometrinės lygties šaknis, tikrai negalvojant apie tai, kas yra šie skaičiai:
Taigi, mes išsiaiškinome, kokią reikšmę matematikai įvedė į simbolį 2 ^. Panašiai galima nustatyti, kas yra ir apskritai kas yra a a, kur a yra neracionalus skaičius, o a > 1.
Bet ką daryti, kai 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Dabar galime kalbėti ne tik apie laipsnius su savavališkais racionaliais rodikliais, bet ir apie laipsnius su savavališkais realiaisiais eksponentais. Įrodyta, kad laipsniai su bet kuriais realiaisiais rodikliais turi visas įprastas laipsnių savybes: laipsnius dauginant su tomis pačiomis bazėmis, laipsniai pridedami, dalijant - atimami, laipsnį didinant iki laipsnio - dauginami ir tt . Tačiau svarbiausia yra tai, kad dabar galime kalbėti apie funkciją y-ax, apibrėžtą visų realiųjų skaičių aibėje.
Grįžkime prie funkcijos y \u003d 2 x, sukurkime jos grafiką. Norėdami tai padaryti, sudarysime funkcijų reikšmių lentelę \u200b\u200d 2 x:

Koordinačių plokštumoje pažymėkime taškus (194 pav.), jie nubrėžia tam tikrą liniją, nubrėžkite ją (195 pav.).

Funkcijos savybės y - 2 x:
1)
2) nėra nei lyginis, nei nelyginis; 248
3) didėja;

5) neturi nei didžiausių, nei mažiausių verčių;
6) nuolatinis;
7)
8) išgaubtas žemyn.

Kurso metu pateikiami griežti išvardintų funkcijos y-2 x savybių įrodymai aukštoji matematika. Kai kurias iš šių savybių vienu ar kitu laipsniu aptarėme anksčiau, kai kurios iš jų aiškiai parodo sudarytą grafiką (žr. 195 pav.). Pavyzdžiui, funkcijos pariteto arba nelygumo nebuvimas yra geometriškai susijęs su grafiko simetrijos stoka atitinkamai apie y ašį arba apie pradžią.

Bet kuri y=a x formos funkcija, kur a >1, turi panašių savybių. Ant pav. Sukonstruoti 196 vienoje koordinačių sistemoje, funkcijų grafikai y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Dabar apsvarstykime funkciją, sudarykime jos verčių lentelę:

Koordinačių plokštumoje pažymėkime taškus (197 pav.), jie nubrėžia tam tikrą liniją, nubrėžkite ją (198 pav.).

Funkcijų savybės

1)
2) nėra nei lyginis, nei nelyginis;
3) mažėja;
4) neribojama iš viršaus, ribojama iš apačios;
5) nėra nei didžiausių, nei mažiausių verčių;
6) nuolatinis;
7)
8) išgaubtas žemyn.
Bet kuri y \u003d a x formos funkcija, kur O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Atkreipkite dėmesį: funkcijų grafikai tie. y \u003d 2 x, simetriškas y ašiai (201 pav.). Tai bendro teiginio pasekmė (žr. § 13): funkcijų y = f(x) ir y = f(-x) grafikai yra simetriški y ašiai. Panašiai, funkcijų grafikai y \u003d 3 x ir

Apibendrindami tai, kas pasakyta, pateiksime eksponentinės funkcijos apibrėžimą ir išryškinsime svarbiausias jos savybes.

Apibrėžimas. Rodinio funkcija vadinama eksponentine funkcija.
Pagrindinės eksponentinės funkcijos y \u003d a x savybės

Funkcijos y \u003d a x grafikas, kai a> 1 parodytas fig. 201, o už 0<а < 1 - на рис. 202.

Kreivė, parodyta fig. 201 arba 202 vadinamas eksponentu. Tiesą sakant, matematikai pačią eksponentinę funkciją dažniausiai vadina y = a x. Taigi terminas „rodiklis“ vartojamas dviem prasmėmis: ir eksponentinės funkcijos pavadinimui, ir eksponentinės funkcijos grafiko pavadinimui. Paprastai aišku, ar kalbame apie eksponentinę funkciją, ar apie jos grafiką.

Atkreipkite dėmesį į geometrinę eksponentinės funkcijos y \u003d ax grafiko ypatybę: x ašis yra horizontali grafiko asimptotė. Tiesa, šis teiginys dažniausiai tikslinamas taip.
X ašis yra horizontali funkcijos grafiko asimptotė

Kitaip tariant

Pirma svarbi pastaba. Mokiniai dažnai painioja terminus: galios funkcija, eksponentinė funkcija. Palyginti:

Tai galios funkcijų pavyzdžiai;

yra eksponentinių funkcijų pavyzdžiai.

Apskritai, y \u003d x r, kur r yra konkretus skaičius, yra galios funkcija (argumentas x yra laipsnio bazėje);
y \u003d a", kur a yra konkretus skaičius (teigiamas ir skiriasi nuo 1), yra eksponentinė funkcija (argumentas x yra eksponente).

Atakuojanti „egzotiška“ funkcija, tokia kaip y = x“, nelaikoma nei eksponentine, nei galios dėsniu (ji kartais vadinama eksponentinės galios funkcija).

Antra svarbi pastaba. Paprastai nenagrinėjama eksponentinė funkcija, kurios bazė a = 1 arba bazė a, tenkinanti nelygybę a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0ir a Faktas yra tas, kad jei a \u003d 1, tai bet kuriai reikšmei x lygybė Ix \u003d 1 yra teisinga. Taigi eksponentinė funkcija y \u003d a "už a \u003d 1" išsigimsta "į pastovią funkciją y \ u003d 1 - tai neįdomu. Jei a \u003d 0, tada 0x \u003d 0 bet kuriai teigiamai x reikšmei, t.y. gauname funkciją y \u003d 0, apibrėžtą x\u003e 0 - tai taip pat neįdomu.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Prieš pereidami prie pavyzdžių sprendimo, pažymime, kad eksponentinė funkcija žymiai skiriasi nuo visų funkcijų, kurias iki šiol tyrėte. Norint nuodugniai išstudijuoti naują objektą, reikia jį apsvarstyti iš skirtingų pusių, skirtingose ​​situacijose, todėl pavyzdžių bus daug.
1 pavyzdys

Sprendimas, a) Nubraižę funkcijų y \u003d 2 x ir y \u003d 1 grafikus vienoje koordinačių sistemoje, pastebime (203 pav.), kad jos turi vieną bendrą tašką (0; 1). Taigi lygtis 2x = 1 turi vieną šaknį x = 0.

Taigi iš lygties 2x = 2° gavome x = 0.

b) Sukūrę funkcijų y \u003d 2 x ir y \u003d 4 grafikus vienoje koordinačių sistemoje, pastebime (203 pav.), kad jie turi vieną bendrą tašką (2; 4). Taigi lygtis 2x = 4 turi vieną šaknį x = 2.

Taigi iš lygties 2 x \u003d 2 2 gavome x \u003d 2.

c) ir d) Remdamiesi tais pačiais samprotavimais, darome išvadą, kad lygtis 2 x \u003d 8 turi vieną šaknį, ir norint ją rasti, atitinkamų funkcijų grafikai negali būti sudaryti;

aišku, kad x=3, nes 2 3 =8. Panašiai randame vienintelę lygties šaknį

Taigi iš lygties 2x = 2 3 gavome x = 3, o iš lygties 2 x = 2 x gavome x = -4.
e) Funkcijos y \u003d 2 x grafikas yra virš funkcijos y \u003d 1 grafiko, kai x\u003e 0 - tai gerai perskaityta pav. 203. Vadinasi, nelygybės 2x > 1 sprendinys yra intervalas
f) Funkcijos y \u003d 2 x grafikas yra žemiau funkcijos y \u003d 4 grafiku ties x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Tikriausiai pastebėjote, kad visų išvadų, padarytų sprendžiant 1 pavyzdį, pagrindas buvo funkcijos y \u003d 2 x monotoniškumo (padidėjimo) savybė. Panašūs samprotavimai leidžia patikrinti šių dviejų teoremų pagrįstumą.

Sprendimas. Galite elgtis taip: sukurkite funkcijos y-3 x grafiką, tada ištempkite jį nuo x ašies koeficientu 3, o gautą grafiką pakelkite 2 mastelio vienetais. Bet patogiau naudoti faktą, kad 3-3* \u003d 3 * + 1, ir todėl nubraižykite funkciją y \u003d 3 x * 1 + 2.

Pereikime, kaip ne kartą darėme tokiais atvejais, prie pagalbinės koordinačių sistemos, kurios pradžia yra taške (-1; 2) - punktyrinės linijos x = - 1 ir 1x = 2 pav. 207. „Prisegkime“ funkciją y=3* prie nauja sistema koordinates. Norėdami tai padaryti, pasirenkame funkcijos valdymo taškus , bet jas statysime ne senoje, o naujoje koordinačių sistemoje (šie taškai pažymėti 207 pav.). Tada taškais sukonstruosime eksponentą – tai bus reikalingas grafikas (žr. 207 pav.).
Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią tam tikros funkcijos reikšmes segmente [-2, 2], naudojame faktą, kad duota funkcija didėja, todėl ji atitinkamai paima mažiausią ir didžiausią reikšmes kairėje ir dešinieji segmento galai.
Taigi:

4 pavyzdys Išspręskite lygtį ir nelygybes:

Sprendimas, a) Vienoje koordinačių sistemoje sudarykime funkcijų y \u003d 5 * ir y \u003d 6-x grafikus (208 pav.). Jie susikerta viename taške; sprendžiant iš piešinio, tai taškas (1; 5). Patikrinimas rodo, kad iš tikrųjų taškas (1; 5) tenkina ir lygtį y = 5*, ir lygtį y=6x. Šio taško abscisė yra vienintelė šaknis duota lygtis.

Taigi, lygtis 5 x = 6-x turi vieną šaknį x = 1.

b) ir c) Rodiklis y-5x yra virš tiesės y=6-x, jei x>1, - tai aiškiai matyti fig. 208. Vadinasi, nelygybės 5*>6-x sprendinį galima parašyti taip: x>1. Ir nelygybės 5x sprendimas<6 - х можно записать так: х < 1.
Atsakymas: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.

5 pavyzdys Suteikta funkcija Įrodyk tai
Sprendimas. Pagal sąlygas turime.

Daugumos matematinių uždavinių sprendimas yra kažkaip susijęs su skaitmeninių, algebrinių ar funkcinių išraiškų transformavimu. Tai ypač pasakytina apie sprendimą. Matematikos USE variantuose šio tipo užduotys visų pirma apima C3 užduotį. Išmokti spręsti C3 užduotis svarbu ne tik norint sėkmingai išlaikyti egzaminą, bet ir dėl to, kad šis įgūdis pravers studijuojant matematikos kursą aukštojoje mokykloje.

Atlikdami užduotis C3, turite išspręsti įvairių tipų lygtis ir nelygybes. Tarp jų yra racionalūs, neracionalūs, eksponentiniai, logaritminiai, trigonometriniai, turintys modulius (absoliučiąsias reikšmes), taip pat kombinuotus. Šiame straipsnyje aptariami pagrindiniai eksponentinių lygčių ir nelygybių tipai bei įvairūs jų sprendimo būdai. Skaitykite apie kitų tipų lygčių ir nelygybių sprendimą antraštėje "" straipsniuose, skirtuose C3 uždavinių sprendimo būdams iš USE variantų matematikoje.

Prieš pradedant analizuoti konkrečius eksponentinės lygtys ir nelygybės, kaip matematikos dėstytojas, siūlau jums pasisemti šiek tiek teorinės medžiagos, kurios mums prireiks.

Eksponentinė funkcija

Kas yra eksponentinė funkcija?

Peržiūros funkcija y = a x, kur a> 0 ir a≠ 1, paskambino eksponentinė funkcija.

Pagrindinis eksponentinės funkcijos savybės y = a x:

Eksponentinės funkcijos grafikas

Eksponentinės funkcijos grafikas yra parodos dalyvis:

Eksponentinių funkcijų grafikai (rodikliai)

Eksponentinių lygčių sprendimas

orientacinis vadinamos lygtimis, kuriose nežinomas kintamasis randamas tik bet kokių laipsnių rodikliuose.

Dėl sprendimų eksponentinės lygtys turite žinoti ir mokėti naudoti šią paprastą teoremą:

1 teorema. eksponentinė lygtis a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) yra lygiavertė lygčiai f(x) = g(x).

Be to, naudinga atsiminti pagrindines formules ir veiksmus su laipsniais:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: naudokite aukščiau pateiktas formules ir pakeiskite:

Tada lygtis tampa tokia:

Gautas diskriminantas kvadratinė lygtis teigiamas:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Tai reiškia, kad ši lygtis turi dvi šaknis. Mes juos randame:

Grįžtant prie pakeitimo, gauname:

Antroji lygtis neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama visoje apibrėžimo srityje. Išspręskime antrąjį:

Atsižvelgdami į tai, kas buvo pasakyta 1 teoremoje, pereiname prie lygiavertės lygties: x= 3. Tai bus užduoties atsakymas.

Atsakymas: x = 3.

2 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: lygtis neturi jokių apribojimų leistinų verčių sričiai, nes radikali išraiška turi prasmę bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija y = 9 4 -x teigiamas ir nelygus nuliui).

Lygtį išsprendžiame lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo taisyklėmis:

Paskutinis perėjimas buvo atliktas pagal 1 teoremą.

Atsakymas:x= 6.

3 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: abi pradinės lygties pusės gali būti padalytos iš 0,2 x. Šis perėjimas bus lygiavertis, nes ši išraiška yra didesnė už nulį bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama savo srityje). Tada lygtis įgauna tokią formą:

Atsakymas: x = 0.

4 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: lygtį supaprastiname iki elementariosios lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi straipsnio pradžioje pateiktomis galių dalybos ir daugybos taisyklėmis:

Abi lygties puses padalijus iš 4 x, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, yra lygiavertė transformacija, nes ši išraiška nėra lygi nuliui jokioms reikšmėms x.

Atsakymas: x = 0.

5 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: funkcija y = 3x, stovintis kairėje lygties pusėje, didėja. Funkcija y = —x-2/3, stovintis dešinėje lygties pusėje, mažėja. Tai reiškia, kad jei šių funkcijų grafikai susikerta, tai daugiausia viename taške. Šiuo atveju nesunku atspėti, kad grafikai taške susikerta x= -1. Nebus kitų šaknų.

Atsakymas: x = -1.

6 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: lygtį supaprastiname lygiavertėmis transformacijomis, visur turėdami omenyje, kad eksponentinė funkcija yra griežtai didesnė už nulį bet kuriai reikšmei x ir naudojantis straipsnio pradžioje pateiktomis sandaugos ir dalinių galių apskaičiavimo taisyklėmis:

Atsakymas: x = 2.

Eksponentinių nelygybių sprendimas

orientacinis vadinamos nelygybėmis, kuriose nežinomas kintamasis yra tik kai kurių laipsnių eksponentuose.

Dėl sprendimų eksponentinės nelygybės būtina žinoti šią teoremą:

2 teorema. Jeigu a> 1, tada nelygybė a f(x) > a g(x) yra lygiavertis tos pačios reikšmės nelygybei: f(x) > g(x). Jei 0< a < 1, то eksponentinė nelygybė a f(x) > a g(x) yra lygiavertis priešingos reikšmės nelygybei: f(x) < g(x).

7 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas: pavaizduokite pradinę nelygybę formoje:

Abi šios nelygybės puses padalinkite iš 3 2 x, ir (dėl funkcijos teigiamo y= 3 2x) nelygybės ženklas nepasikeis:

Naudokime pakaitalą:

Tada nelygybė įgauna tokią formą:

Taigi, nelygybės sprendimas yra intervalas:

pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, gauname:

Kairioji nelygybė dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo išsipildo automatiškai. Pasinaudojus žinomas turtas logaritmu pereiname prie ekvivalentinės nelygybės:

Kadangi laipsnio pagrindas yra skaičius, didesnis už vieną, ekvivalentas (pagal 2 teoremą) bus perėjimas prie šios nelygybės:

Taigi pagaliau gauname atsakymas:

8 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas: naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo savybėmis, nelygybę perrašome į formą:

Pristatykime naują kintamąjį:

Šiuo pakeitimu nelygybė įgauna tokią formą:

Padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 7, gausime tokią ekvivalentinę nelygybę:

Taigi nelygybė tenkinama šias vertes kintamasis t:

Tada, grįžtant prie pakeitimo, gauname:

Kadangi laipsnio bazė čia yra didesnė už vienetą, tai ekvivalentiška (pagal 2 teoremą) pereiti į nelygybę:

Pagaliau gauname atsakymas:

9 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas:

Abi nelygybės puses padalijame iš išraiškos:

Jis visada didesnis už nulį (nes eksponentinė funkcija yra teigiama), todėl nelygybės ženklo keisti nereikia. Mes gauname:

t , kurie yra intervale:

Pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, matome, kad pradinė nelygybė suskaidoma į du atvejus:

Pirmoji nelygybė neturi sprendinių dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo. Išspręskime antrąjį:

10 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas:

Parabolės šakos y = 2x+2-x 2 yra nukreipti žemyn, todėl iš viršaus jį riboja vertė, kurią pasiekia savo viršūnėje:

Parabolės šakos y = x 2 -2x Rodiklyje esantys +2 yra nukreipti į viršų, o tai reiškia, kad iš apačios jį riboja vertė, kurią jis pasiekia viršuje:

Tuo pačiu metu pasirodo, kad funkcija yra apribota iš apačios y = 3 x 2 -2x+2 dešinėje lygties pusėje. Ji pasiekia mažiausią reikšmę tame pačiame taške kaip parabolė eksponente, ir ši reikšmė yra 3 1 = 3. Taigi pradinė nelygybė gali būti teisinga tik tuo atveju, jei funkcija kairėje ir funkcija dešinėje įgyja reikšmę , lygus 3 (šių funkcijų diapazonų sankirta yra tik šis skaičius). Ši sąlyga tenkinama vienu tašku x = 1.

Atsakymas: x= 1.

Norėdami išmokti išspręsti eksponentinės lygtys ir nelygybės, reikia nuolat lavinti jų sprendimą. Šiuo sudėtingu klausimu įvairios mokymo priemonės, pradinės matematikos probleminės knygos, konkursinių uždavinių rinkiniai, matematikos pamokos mokykloje, taip pat individualūs užsiėmimai su profesionaliu mokytoju. Nuoširdžiai linkiu sėkmės ruošiantis ir puikių rezultatų ant egzamino.

Sergejus Valerjevičius

P.S. Mieli svečiai! Prašome komentaruose nerašyti prašymų išspręsti savo lygtis. Deja, aš tam visai neturiu laiko. Tokie pranešimai bus ištrinti. Prašome perskaityti straipsnį. Galbūt jame rasite atsakymus į klausimus, kurie neleido jums savarankiškai išspręsti užduoties.

Eksponentinė funkcija

Formos y = a funkcija x , kur a yra didesnis už nulį, o a nelygus vienetui, vadinama eksponentine funkcija. Pagrindinės eksponentinės funkcijos savybės:

1. Eksponentinės funkcijos sritis bus realiųjų skaičių aibė.

2. Eksponentinės funkcijos diapazonas bus visų teigiamų realiųjų skaičių aibė. Kartais šis rinkinys trumpam žymimas kaip R+.

3. Jei eksponentinėje funkcijoje bazė a yra didesnė už vienetą, tada funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Jei bazės a eksponentinė funkcija tenkina šią sąlygą 0

4. Galios visos pagrindinės laipsnių savybės. Pagrindinės laipsnių savybės vaizduojamos šiomis lygybėmis:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Šios lygybės galios visoms tikrosioms x ir y reikšmėms.

5. Eksponentinės funkcijos grafikas visada eina per tašką, kurio koordinatės (0;1)

6. Priklausomai nuo to, ar eksponentinė funkcija didėja, ar mažėja, jos grafikas turės vieną iš dviejų tipų.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas didėjančios eksponentinės funkcijos grafikas: a>0.

Šis paveikslas yra mažėjančios eksponentinės funkcijos grafikas: 0

Tiek didėjančios, tiek mažėjančios eksponentinės funkcijos grafikas pagal penktoje pastraipoje aprašytą savybę eina per tašką (0; 1).

7. Eksponentinė funkcija neturi ekstremumo taškų, tai yra, kitaip tariant, ji neturi funkcijos minimumo ir maksimumo. Jei atsižvelgsime į funkciją bet kuriame konkrečiame segmente, tada funkcija šio intervalo pabaigoje įgis mažiausią ir didžiausią reikšmes.

8. Funkcija nėra lyginė arba nelyginė. Eksponentinė funkcija yra funkcija bendras vaizdas. Tai matyti ir iš grafikų, nė vienas iš jų nėra simetriškas nei Oy ašiai, nei pradžiai.

Logaritmas

Logaritmai visada buvo laikomi sunkia tema mokykliniame matematikos kurse. Yra daug skirtingų logaritmo apibrėžimų, tačiau dėl tam tikrų priežasčių daugumoje vadovėlių naudojami patys sudėtingiausi ir apgailėtiniausi.

Logaritmą apibrėžsime paprastai ir aiškiai. Sukurkime tam lentelę:

Taigi, mes turime dviejų galių. Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du iki ketvirtos laipsnio. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

Apibrėžimas

Logaritmas pagrįsti a iš argumento x yra galia, iki kurios skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį x.

Paskyrimas

log a x = b
kur a yra bazė, x yra argumentas, b Kas tiksliai yra logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Taip pat galėtų log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Vadinamasis skaičiaus logaritmo pagal duotąją bazę radimo operacijalogaritmas . Taigi į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apmąstomi. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika diktuoja, kad logaritmas bus kažkur atkarpoje. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi neribotą laiką, ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Vengti nelaimingi nesusipratimai tiesiog pažiūrėk į nuotrauką:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Atminkite: logaritmas yra galia , kuriai reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę pasakoju savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Išsiaiškinom apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia atkreipiame dėmesį į tai Iš apibrėžimo išplaukia du dalykai. svarbius faktus:

Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionalus rodiklis, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.

Pagrindas turi skirtis nuo vienybės, nes bet kurios galios vienetas vis tiek yra vienetas. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai paskambino galiojantis diapazonas(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Pastebėti, kad neribojamas skaičius b (logaritmo reikšmė) nesutampa. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2 -1 .

Tačiau dabar mes svarstome tik skaitines išraiškas, kur nereikia žinoti logaritmo ODZ. Į visus apribojimus problemų rengėjai jau atsižvelgė. Tačiau kai pradės veikti logaritminės lygtys ir nelygybės, DHS reikalavimai taps privalomi. Iš tiesų, pagrinde ir argumente gali būti labai stiprios konstrukcijos, kurios nebūtinai atitinka aukščiau nurodytus apribojimus.

Dabar apsvarstykite generolą logaritmų skaičiavimo schema. Jį sudaro trys žingsniai:

Pateikti fondą a ir argumentas x kaip galia, kurios mažiausia bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsikratyti dešimtainių trupmenų;

Nuspręskite dėl kintamojo b lygtis: x = a b ;

Gautas numeris b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matyti jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai aktualus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Panašiai ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į paprastas, klaidų bus daug kartų mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia konkrečių pavyzdžių:

Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Gavau atsakymą: 2.

Apskaičiuokite logaritmą:

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip trijų laipsnį: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:

Gavau atsakymą: -4.

−4

Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Gavau atsakymą: 3.

Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Gautas atsakymas: 0.

Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 nevaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;

Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad į logaritmą neatsižvelgiama;

Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

žurnalas 7 14

Maža pastaba apie paskutinį pavyzdį. Kaip įsitikinti, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Labai paprasta – tiesiog išskaidykite jį į pirminius veiksnius. Jei yra bent du skirtingi plėtimosi veiksniai, skaičius nėra tiksli galia.

Išsiaiškinkite, ar tikslios skaičiaus laipsniai yra: 8; 48; 81; 35; keturiolika.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 5 - vėlgi ne tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

8, 81 - tikslus laipsnis; 48, 35, 14 - Nr.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir pavadinimą.

Apibrėžimas

Dešimtainis logaritmas iš argumento x yra logaritmas iki 10 bazės, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių 10, kad gautumėte skaičių x.

Paskyrimas

lg x

Pavyzdžiui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol vadovėlyje pasirodžius tokiai frazei kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau jei nesate įpratę prie tokio pavadinimo, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainėms dalims.

natūralusis logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo žymėjimą. Tam tikra prasme tai net svarbesnė nei dešimtainė. Tai apie apie natūralųjį logaritmą.

Apibrėžimas

natūralusis logaritmas iš argumento x yra bazinis logaritmas e , t.y. galia, iki kurios turi būti padidintas skaičius e norėdami gauti numerį x.

Paskyrimas

ln x

Daugelis klaus: koks yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius tiksli vertė neįmanoma rasti ir įrašyti. Štai tik pirmieji skaičiai:
e = 2,718281828459...

Mes nesigilinsime, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tik atminkite, kad e - bazė natūralusis logaritmas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; log e 2 = 2; 16 val = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vienybę: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Tačiau kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinėmis savybėmis.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: log a x ir log a y . Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

žurnalas a x +logas a y = žurnalas a ( x · y );

žurnalas a x −log a y = žurnalas a ( x : y ).

Taigi, logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas – koeficiento logaritmui. Pastaba: pagrindinis momentasčia tos pačios bazės. Jei pagrindai skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. “). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatysite:

Raskite išraiškos reikšmę: log 6 4 + log 6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Remiantis šiuo faktu, daugelis bandomieji darbai. Taip, ta kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo in šias taisykles:

Tai nesunku pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma Visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0 prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mes turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Visą kelią paskutinė akimirka dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Teorema

Tegul logaritmas registruojasi a x . Tada už bet kokį skaičių c, kad c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Visų pirma, jei įdėtume c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kaip jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti tam tikros bazės logaritmu. Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumento eksponentu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:pagrindinė logaritminė tapatybė.

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio gautų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daug kas ant jos „kabina“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis

Raskite išraiškos reikšmę:

Sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 - tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo taisykles ta pati bazė, mes gauname:

200

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

log a a = 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmą bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo lygus vienam.

log a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kas, bet jei argumentas vienas - logaritmas lygus nuliui! nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai!

Raskite išraiškos reikšmę įvairioms racionalioms kintamojo x=2 reikšmėms; 0; -3; -

Atminkite, kad ir kokį skaičių pakeisime vietoj kintamojo x, visada galite rasti šios išraiškos reikšmę. Taigi, mes svarstome eksponentinę funkciją (y lygus trims laipsniui x), apibrėžtą racionaliųjų skaičių aibėje: .

Sukurkime šios funkcijos grafiką, sudarydami jos reikšmių lentelę.

Per šiuos taškus nubrėžkime lygią liniją (1 pav.)

Naudodamiesi šios funkcijos grafiku, apsvarstykite jos savybes:

3. Padidėja visoje apibrėžimo srityje.

1. diapazonas nuo nulio iki plius begalybės.

8. Funkcija išgaubta žemyn.

Jei vienoje koordinačių sistemoje sudaryti funkcijų grafikus; y=(y lygus du x laipsniui, y lygus penkiems laipsniui x, y lygus septynių laipsniui x), matote, kad jie turi tas pačias savybes kaip ir y=(y lygus trims x laipsniui) ( .2 pav.), tai yra, visos y = formos funkcijos (y yra lygios a laipsniui x, kai yra didesnis nei vienas) turės tokias savybes

Nubraižykime funkciją:

1. Jo reikšmių lentelės sudarymas.

Gautus taškus pažymime koordinačių plokštumoje.

Per šiuos taškus nubrėžkime lygią liniją (3 pav.).

Naudodamiesi šios funkcijos grafiku, nurodome jos savybes:

1. Apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.

2. Nėra nei lyginis, nei nelyginis.

3. Sumažėja visoje apibrėžimo srityje.

4. Neturi nei didžiausių, nei mažiausių vertybių.

5. Apribota iš apačios, bet neribota iš viršaus.

6. Nepertraukiamas visoje apibrėžimo srityje.

7. reikšmės diapazonas nuo nulio iki plius begalybės.

8. Funkcija išgaubta žemyn.

Panašiai, jei vienoje koordinačių sistemoje sukurti funkcijų grafikus; y=(y lygus vienai sekundei x laipsnio, y lygus penktadaliui x laipsnio, y lygus vienai septintajai x laipsnio), matote, kad jie turi tokias pačias savybes kaip ir y=(y lygus trečdaliui laipsnio x x galia). x) (4 pav.), tai yra, visos y \u003d formos funkcijos (y yra lygios vienetui, padalytam iš a iki x laipsnio, kurių dydis didesnis už nulį, bet mažesnis už vienetą) turi tokių savybių

Sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje

tai reiškia, kad funkcijų y \u003d y \u003d (y lygus a laipsniui x, o y lygus vienetui, padalintam iš a laipsnio x) grafikai taip pat bus simetriški tai pačiai a reikšmei. .

Apibendriname tai, kas buvo pasakyta, pateikdami eksponentinės funkcijos apibrėžimą ir nurodydami pagrindines jos savybes:

Apibrėžimas: Funkcija, kurios forma yra y \u003d, kur (y lygus a laipsniui x, kur a yra teigiama ir skiriasi nuo vieno), vadinama eksponentine funkcija.

Būtina prisiminti skirtumus tarp eksponentinės funkcijos y= ir laipsnio funkcijos y=, a=2,3,4,…. tiek fonetine, tiek vizualine prasme. Eksponentinė funkcija X yra laipsnis ir galios funkcija X yra pagrindas.

1 pavyzdys: išspręskite lygtį (trys iki x laipsnio lygi devyniems)

(y lygus trims laipsniui x, o y lygus devyniems) pav.7

Atkreipkite dėmesį, kad jie turi vieną bendrą tašką M (2; 9) (em su koordinatėmis dvi; devynios), o tai reiškia, kad taško abscisė bus šios lygties šaknis. Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį x = 2.

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Vienoje koordinačių sistemoje sudarysime du funkcijos y \u003d grafikus (y lygus penkiems iki x laipsnio, o y lygus vienam dvidešimt penktadaliui) 8 pav. Grafikai susikerta viename taške T (-2; (te su koordinatėmis atėmus dvi; vienas dvidešimt penktoji). Vadinasi, lygties šaknis yra x \u003d -2 (skaičius atėmus du).

3 pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Vienoje koordinačių sistemoje sudarome du funkcijos y grafikus \u003d

(y lygus trims x laipsniui, o y lygus dvidešimt septyniems).

9 pav. Funkcijos grafikas yra virš funkcijos y=when grafiko

x Todėl nelygybės sprendimas yra intervalas (nuo minus begalybės iki trijų)

4 pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Vienoje koordinačių sistemoje sukonstruosime du funkcijos y \u003d grafikus (y lygus ketvirtadaliui x laipsnio, o y lygus šešiolikai). (10 pav.). Grafikai susikerta viename taške K (-2;16). Tai reiškia, kad nelygybės sprendimas yra intervalas (-2; (nuo minus dviejų iki plius begalybės), nes funkcijos y \u003d grafikas yra žemiau funkcijos grafiko ties x

Mūsų samprotavimai leidžia patikrinti šių teoremų pagrįstumą:

1 punktas: Jei tiesa, tada ir tik tada, kai m=n.

2 teorema: Jei teisinga tada ir tik tada, tada nelygybė teisinga tada ir tik tada (* pav.)

4 teorema: Jei teisinga tada ir tik tada, kai (** pav.), nelygybė teisinga tada ir tik tada, kai 3 teorema: Jei teisinga tada ir tik tada, kai m=n.

5 pavyzdys: Nubraižykite funkciją y=

Modifikuojame funkciją taikydami laipsnio savybę y=

Pastatykime papildoma sistema koordinates ir naujoje koordinačių sistemoje sukonstruosime funkcijos y \u003d grafiką (y lygus dviem x laipsniui) 11 pav.

6 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Vienoje koordinačių sistemoje sudarome du funkcijos y grafikus \u003d

(Y lygus septyniems iki x laipsnio, o Y lygus aštuoniems minus x) 12 pav.

Grafikai susikerta viename taške E (1; (e su koordinatėmis viena; septynios). Vadinasi, lygties šaknis x = 1 (x lygus vienetui).

7 pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Vienoje koordinačių sistemoje sudarome du funkcijos y grafikus \u003d

(Y lygus ketvirtadaliui x laipsnio, o Y lygus x plius penki). Funkcijos y \u003d grafikas yra po funkcijos y \u003d x + 5 at grafiku, nelygybės sprendimas yra intervalas x (nuo minus vieno iki plius begalybės).