Nuo ko priklauso galios funkcijos savybės? Maitinimo funkcija

Šioje pamokoje mes tęsime galios funkcijų tyrimą racionalus rodiklis, apsvarstykite funkcijas su neigiamu racionaliuoju rodikliu.

1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Prisiminkite laipsnio funkcijų su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes ir grafikus.

Netgi n:

Funkcijos pavyzdys:

Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;1). Šio tipo funkcijų bruožas yra jų paritetas, grafikai yra simetriški op-y ašies atžvilgiu.

Ryžiai. 1. Funkcijos grafikas

Nelyginiam n:

Funkcijos pavyzdys:

Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;-1). Šio tipo funkcijų bruožas yra jų keistumas, grafikai yra simetriški kilmės atžvilgiu.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikas

2. Funkcija su neigiamu racionaliuoju rodikliu, grafikai, savybės

Prisiminkime pagrindinį apibrėžimą.

Neneigiamo skaičiaus a laipsnis su racionaliu teigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.

Teigiamojo skaičiaus a laipsnis su racionaliu neigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.

Šioms lygybėms galioja:

Pavyzdžiui: ; - išraiška neegzistuoja pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu racionaliuoju rodikliu; egzistuoja, nes eksponentas yra sveikasis skaičius,

Pereikime prie galios funkcijų su racionaliu neigiamu eksponentu svarstymo.

Pavyzdžiui:

Norėdami pavaizduoti šią funkciją, galite sudaryti lentelę. Darysime kitaip: pirmiausia sukursime ir išnagrinėsime vardiklio grafiką – mes jį žinome (3 pav.).

Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas

Vardiklio funkcijos grafikas eina per fiksuotą tašką (1;1). Konstruojant pradinės funkcijos grafiką, šis taškas išlieka, kai šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija linkusi į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (4 pav.).

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas

Apsvarstykite dar vieną funkciją iš tiriamų funkcijų šeimos.

Svarbu, kad pagal apibrėžimą

Apsvarstykite funkcijos grafiką vardiklyje: , žinome šios funkcijos grafiką, ji didėja savo apibrėžimo srityje ir eina per tašką (1; 1) (5 pav.).

Ryžiai. 5. Funkcijų grafikas

Konstruojant pradinės funkcijos grafiką, išlieka taškas (1; 1), kai šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija linkusi į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (6 pav.).

Ryžiai. 6. Funkcijų grafikas

Nagrinėjami pavyzdžiai padeda suprasti, kaip vyksta grafikas ir kokios yra tiriamos funkcijos – funkcijos su neigiamu racionaliuoju rodikliu – savybės.

Šios šeimos funkcijų grafikai eina per tašką (1;1), funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje.

Funkcijos apimtis:

Funkcija ribojama ne iš viršaus, o iš apačios. Funkcija neturi nei maksimumo, nei mažiausia vertė.

Funkcija yra nuolatinė, ji paima visas teigiamas reikšmes nuo nulio iki plius begalybės.

Išgaubta žemyn funkcija (15.7 pav.)

Taškai A ir B paimti į kreivę, per juos nubrėžta atkarpa, visa kreivė yra žemiau atkarpos, ši sąlyga tenkinama savavališkiems dviem kreivės taškams, todėl funkcija yra išgaubta žemyn. Ryžiai. 7.

Ryžiai. 7. Funkcijos išgaubtumas

3. Tipinių problemų sprendimas

Svarbu suprasti, kad šios šeimos funkcijos iš apačios ribojamos nuliu, tačiau jos neturi pačios mažiausios vertės.

1 pavyzdys – suraskite funkcijos maksimumą ir minimumą intervale \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafikas (2 pav.).

2 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n)$ grafikas

Laipsniškos funkcijos su natūraliuoju nelyginiu rodikliu savybės

Apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ yra nelyginė funkcija.

$f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

Diapazonas yra visi realūs skaičiai.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

$f\left(x\right)0$, už $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija yra įgaubta $x\in (-\infty ,0)$ ir išgaubta $x\in (0,+\infty)$.

Grafikas (3 pav.).

3 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ grafikas

Galios funkcija su sveikuoju rodikliu

Pirmiausia pristatome laipsnio sąvoką su sveikuoju rodikliu.

3 apibrėžimas

Laipsnis tikras numeris$a$ su sveikojo skaičiaus indeksu $n$ nustatoma pagal formulę:

4 pav

Dabar apsvarstykite galios funkciją su sveikuoju rodikliu, jos savybes ir grafiką.

4 apibrėžimas

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ vadinama galios funkcija su sveikuoju rodikliu.

Jei laipsnis didesnis už nulį, tada pasiekiame laipsnio funkcijos atvejį su natūraliuoju rodikliu. Mes tai jau svarstėme aukščiau. Jei $n=0$ gauname tiesinę funkciją $y=1$. Paliekame ją apsvarstyti skaitytojui. Belieka atsižvelgti į laipsnio funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes

Laipsninės funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybės

Taikymo sritis yra $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jei eksponentas lyginis, tada funkcija yra lyginė, jei nelyginė, tada funkcija nelyginė.

$f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

Vertės diapazonas:

Jei rodiklis lyginis, tada $(0,+\infty)$, jei nelyginis, tada $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jei eksponentas yra nelyginis, funkcija sumažėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jei eksponentas lygus, funkcija sumažėja kaip $x\in (0,+\infty)$. ir didėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ visame domene

Pamoka ir pristatymas tema: "Galios funkcijos. Savybės. Grafikai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9-11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10-11 klasėms „Logaritmai“

Galios funkcijos, apibrėžimo sritis.

Vaikinai, paskutinėje pamokoje išmokome dirbti su skaičiais su racionaliuoju rodikliu. Šioje pamokoje mes apsvarstysime galios funkcijas ir apsiribosime tuo atveju, kai rodiklis yra racionalus.
Nagrinėsime šios formos funkcijas: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Pirmiausia panagrinėkime funkcijas, kurių eksponentas yra $\frac(m)(n)>1$.
Duokime konkrečią funkciją $y=x^2*5$.
Pagal apibrėžimą, kurį pateikėme paskutinėje pamokoje: jei $x≥0$, tai mūsų funkcijos sritis yra spindulys $(x)$. Pavaizduokime savo funkcijų grafiką schematiškai.

Funkcijos $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 savybės 2. Nėra nei lyginės, nei nelyginės.
3. Padidėja $$,
b) $(2,10)$,
c) ant spindulio $$.
Sprendimas.
Vaikinai, ar prisimenate, kaip 10 klasės segmente radome didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę?
Teisingai, mes panaudojome išvestinę. Išspręskime savo pavyzdį ir pakartokime algoritmą, kaip rasti mažiausią ir didžiausią reikšmę.
1. Raskite duotosios funkcijos išvestinę:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Išvestinė egzistuoja visoje pradinės funkcijos srityje, tada kritinių taškų nėra. Raskime stacionarius taškus:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 USD*\sqrt(x^3)=x^3$.
64 USD x ^ 3 = x ^ 6 USD.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ir $x_2=\sqrt(64)=4$.
Pateiktam segmentui priklauso tik vienas sprendimas $x_2=4$.
Sukurkime savo funkcijos verčių lentelę segmento galuose ir ekstremumo taške:
Atsakymas: $y_(vardas)=-862.65$ su $x=9$; $y_(maks.) = 38,4 $, jei $x = 4 $.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Sprendimas. Funkcijos $y=x^(\frac(4)(3))$ grafikas didėja, o funkcijos $y=24-x$ grafikas mažėja. Vaikinai, jūs ir aš žinome: jei viena funkcija didėja, o kita mažėja, tada jos susikerta tik viename taške, tai yra, turime tik vieną sprendimą.
Pastaba:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Tai reiškia, kad $х=8$ gavome teisingą lygybę $16=16$, tai yra mūsų lygties sprendimas.
Atsakymas: $x=8$.

Pavyzdys.
Nubraižykite funkciją: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Sprendimas.
Mūsų funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos $y=x^(\frac(3)(4))$ grafiko, perkeliant jį 3 vienetais į dešinę ir 2 vienetais aukštyn.

Pavyzdys. Parašykite tiesės $y=x^(-\frac(4)(5))$ liestinės lygtį taške $x=1$.
Sprendimas. Tangento lygtis nustatoma pagal mums žinomą formulę:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mūsų atveju $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Raskime išvestinę:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Paskaičiuokime:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Raskite liestinės lygtį:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Atsakymas: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $y=x^\frac(4)(3)$ reikšmę segmente:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) ant spindulio $$.
3. Išspręskite lygtį: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Nubraižykite funkciją: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Parašykite tiesės $y=x^(-\frac(3)(7))$ liestinės lygtį taške $x=1$.

Prisiminkite laipsnio funkcijų su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes ir grafikus.

Netgi n:

Funkcijos pavyzdys:

Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;1). Šio tipo funkcijų bruožas yra jų paritetas, grafikai yra simetriški op-y ašies atžvilgiu.

Ryžiai. 1. Funkcijos grafikas

Nelyginiam n:

Funkcijos pavyzdys:

Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;-1). Šio tipo funkcijų bruožas yra jų keistumas, grafikai yra simetriški kilmės atžvilgiu.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikas

Prisiminkime pagrindinį apibrėžimą.

Neneigiamo skaičiaus a laipsnis su racionaliu teigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.

Teigiamojo skaičiaus a laipsnis su racionaliu neigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.

Šioms lygybėms galioja:

Pavyzdžiui: ; - išraiška neegzistuoja pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu racionaliuoju rodikliu; egzistuoja, nes eksponentas yra sveikasis skaičius,

Pereikime prie galios funkcijų su racionaliu neigiamu eksponentu svarstymo.

Pavyzdžiui:

Norėdami pavaizduoti šią funkciją, galite sudaryti lentelę. Darysime kitaip: pirmiausia sukursime ir išnagrinėsime vardiklio grafiką – mes jį žinome (3 pav.).

Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas

Vardiklio funkcijos grafikas eina per fiksuotą tašką (1;1). Konstruojant pradinės funkcijos grafiką, šis taškas išlieka, kai šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija linkusi į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (4 pav.).

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas

Apsvarstykite dar vieną funkciją iš tiriamų funkcijų šeimos.

Svarbu, kad pagal apibrėžimą

Apsvarstykite funkcijos grafiką vardiklyje: , žinome šios funkcijos grafiką, ji didėja savo apibrėžimo srityje ir eina per tašką (1; 1) (5 pav.).

Ryžiai. 5. Funkcijų grafikas

Konstruojant pradinės funkcijos grafiką, išlieka taškas (1; 1), kai šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija linkusi į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (6 pav.).

Ryžiai. 6. Funkcijų grafikas

Nagrinėjami pavyzdžiai padeda suprasti, kaip vyksta grafikas ir kokios yra tiriamos funkcijos – funkcijos su neigiamu racionaliuoju rodikliu – savybės.

Šios šeimos funkcijų grafikai eina per tašką (1;1), funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje.

Funkcijos apimtis:

Funkcija ribojama ne iš viršaus, o iš apačios. Funkcija neturi nei didžiausios, nei minimalios reikšmės.

Funkcija yra nuolatinė, ji paima visas teigiamas reikšmes nuo nulio iki plius begalybės.

Išgaubta žemyn funkcija (15.7 pav.)

Taškai A ir B paimti į kreivę, per juos nubrėžta atkarpa, visa kreivė yra žemiau atkarpos, ši sąlyga tenkinama savavališkiems dviem kreivės taškams, todėl funkcija yra išgaubta žemyn. Ryžiai. 7.

Ryžiai. 7. Funkcijos išgaubtumas

Svarbu suprasti, kad šios šeimos funkcijos iš apačios ribojamos nuliu, tačiau jos neturi pačios mažiausios vertės.

1 pavyzdys – suraskite funkcijos maksimumą ir minimumą intervale)