Kuri iš funkcijų yra pavyzdinė. Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas – Žinių hipermarketas

EKSPONENTINĖS IR LOGARITMINĖS FUNKCIJOS VIII

§ 179 Pagrindinės eksponentinės funkcijos savybės

Šiame skyriuje išnagrinėsime pagrindines eksponentinės funkcijos savybes

y = a x (1)

Prisiminkite, kad žemiau a formulėje (1) turime omenyje bet kurį fiksuotą teigiamą skaičių, išskyrus 1.

1 nuosavybė. Eksponentinės funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.

Iš tiesų, teigiamai a išraiška a x apibrėžtas bet kuriam realiam skaičiui X .

2 nuosavybė. Eksponentinė funkcija ima tik teigiamas vertes.

Tikrai, jei X > 0, tada, kaip buvo įrodyta 176 straipsnyje,

a x > 0.

Jeigu X <. 0, то

a x =

kur - X jau didesnis už nulį. Taigi a - x > 0. Bet tada

a x = > 0.

Galiausiai, val X = 0

a x = 1.

2-oji eksponentinės funkcijos savybė turi paprastą grafinį aiškinimą. Tai slypi tame, kad šios funkcijos grafikas (žr. 246 ir 247 pav.) yra visiškai virš x ašies.

3 nuosavybė. Jeigu a >1, tada prie X > 0 a x > 1, ir pas X < 0 a x < 1. Jeigu a < 1, тoi, priešingai, X > 0 a x < 1, ir pas X < 0 a x > 1.

Ši eksponentinės funkcijos savybė taip pat leidžia atlikti paprastą geometrinę interpretaciją. At a > 1 (246 pav.) kreivės y = a x esantis virš linijos adresu = 1 val X > 0 ir žemiau tiesės adresu = 1 val X < 0.

Jeigu a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x esantis žemiau linijos adresu = 1 val X > 0 ir aukščiau šios tiesios linijos ties X < 0.

Pateiksime griežtą 3-osios nuosavybės įrodymą. Leisti būti a > 1 ir X yra savavališkas teigiamas skaičius. Parodykime tai

a x > 1.

Jei skaičius X racionalus ( X = m / n ), tada a x = a m / n = n √a m .

Tiek, kiek a > 1, tada a m > 1, bet didesnio už vieną šaknis taip pat yra didesnė už 1.

Jeigu X neracionalus, tada yra teigiamų racionalių skaičių X" ir X" , kurie naudojami kaip dešimtainės skaičiaus aproksimacijos x :

X"< х < х" .

Bet tada pagal c laipsnio apibrėžimą neracionalus rodiklis

a x" < a x < a x"" .

Kaip parodyta aukščiau, skaičius a x" daugiau nei vienas. Todėl skaičius a x , daugiau nei a x" , taip pat turi būti didesnis nei 1,

Taigi, mes tai parodėme a >1 ir savavališkai teigiamas X

a x > 1.

Jei numeris X buvo neigiamas, tada turėtume

a x =

kur yra skaičius X būtų teigiamas. Taigi a - x > 1. Todėl

a x = < 1.

Taigi, val a > 1 ir savavališkai neigiamas x

a x < 1.

Atvejis, kai 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

4 nuosavybė. Jei x = 0, tada nepriklausomai nuo a a x =1.

Tai išplaukia iš nulinio laipsnio apibrėžimo; bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį, nulinė galia yra lygi 1. Grafiškai ši savybė išreiškiama tuo, kad bet kuriam a kreivė adresu = a x (žr. 246 ir 247 pav.) kerta ašį adresu taške su 1 ordinate.

5 nuosavybė. At a >1 eksponentinė funkcija = a x monotoniškai didėja, o už a < 1 - monotoniškai mažėja.

Ši savybė taip pat leidžia paprastą geometrinę interpretaciją.

At a > 1 (246 pav.) kreivė adresu = a x su augimu X kyla vis aukščiau ir aukščiau, ir a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Pateiksime griežtą 5-osios nuosavybės įrodymą.

Leisti būti a > 1 ir X 2 > X vienas . Parodykime tai

a x 2 > a x 1

Tiek, kiek X 2 > X 1., tada X 2 = X 1 + d , kur d yra kažkoks teigiamas skaičius. Taigi

a x 2 - a x 1 = a x 1 + d - a x 1 = a x 1 (a d - 1)

Pagal 2-ąją eksponentinės funkcijos savybę a x 1 > 0. Kadangi d > 0, tada pagal 3-ąją eksponentinės funkcijos savybę a d > 1. Abu gaminio veiksniai a x 1 (a d - 1) yra teigiami, todėl šis produktas yra teigiamas. Reiškia, a x 2 - a x 1 > 0 arba a x 2 > a x 1 , kuris turėjo būti įrodytas.

Taigi, at a > 1 funkcija adresu = a x monotoniškai didėja. Panašiai įrodyta, kad a < 1 функция adresu = a x monotoniškai mažėja.

Pasekmė. Jei dvi to paties teigiamo skaičiaus, išskyrus 1, laipsnius yra lygios, tada jų rodikliai taip pat yra lygūs.

Kitaip tariant, jei

a b = a c (a > 0 ir a =/= 1),

b = c .

Iš tiesų, jei skaičiai b ir su nebuvo vienodi, tada dėl funkcijos monotoniškumo adresu = a x dauguma jų atitiktų a >1 yra didesnis, o esant a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a b > a c , arba a b < a c . Abu šie dalykai prieštarauja sąlygai a b = a c . Belieka tai pripažinti b = c .

6 nuosavybė. Jeigu > 1, tada neribotai didėjant argumentui X (X -> ∞ ) funkcijų reikšmės adresu = a x taip pat auga neribotą laiką (adresu -> ∞ ). Neribotai sumažėjus ginčui X (X -> -∞ ) šios funkcijos reikšmės linkusios į nulį, o išlieka teigiamos (adresu->0; adresu > 0).

Atsižvelgiant į aukščiau įrodytą funkcijos monotoniškumą adresu = a x , galime teigti, kad nagrinėjamu atveju funkcija adresu = a x monotoniškai didėja nuo 0 iki ∞ .

Jeigu 0 <a < 1, tada neribotai padidinus argumentą x (x -> ∞), funkcijos y \u003d a x reikšmės linkusios į nulį, o išlieka teigiamos (adresu->0; adresu > 0). Su neribotu argumento x sumažėjimu (X -> -∞ ) šios funkcijos reikšmės auga neribotą laiką (adresu -> ∞ ).

Dėl funkcijos monotoniškumo y = kirvis galime pasakyti, kad šiuo atveju funkcija adresu = a x monotoniškai mažėja nuo ∞ iki 0.

6-oji eksponentinės funkcijos savybė aiškiai atsispindi 246 ir 247 paveiksluose. Griežtai to neįrodysime.

Mums tereikia nustatyti eksponentinės funkcijos diapazoną y = kirvis (a > 0, a =/= 1).

Aukščiau mes įrodėme, kad funkcija y = kirvis ima tik teigiamas reikšmes ir arba monotoniškai didėja nuo 0 iki ∞ (at a > 1), arba monotoniškai mažėja nuo ∞ iki 0 (prie 0< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = kirvis kai pakeisi kokius šuolius? Ar tam reikia kokių nors teigiamų vertybių? Į šį klausimą atsakyta teigiamai. Jeigu a > 0 ir a =/= 1, tada bet koks teigiamas skaičius adresu 0 reikia rasti X 0, toks

a x 0 = adresu 0 .

(Dėl funkcijos monotoniškumo y = kirvis nurodytą vertę X Žinoma, 0 būtų vienintelis.)

Šio fakto įrodymas nepatenka į mūsų programos taikymo sritį. Jo geometrinė interpretacija yra bet kokia teigiama vertė adresu 0 funkcijų grafikas y = kirvis turi susikirsti su linija adresu = adresu 0 ir, be to, tik viename taške (248 pav.).

Iš to galime padaryti tokią išvadą, kurią suformuluojame 7 nuosavybės forma.

7 nuosavybė. Eksponentinės funkcijos kitimo sritis y \u003d a x (a > 0, a =/= 1)yra visų teigiamų skaičių aibė.

Pratimai

1368. Raskite šių funkcijų sritis:

1369. Kuris iš pateiktų skaičių didesnis už 1, o kuris mažesnis už 1:

1370. Kokia eksponentinės funkcijos savybe remiantis galima teigti, kad

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Kuris skaičius didesnis:

a) π - √3 arba (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 arba (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 arba ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 arba (√3) √3 - 2 ?

1372. Ar nelygybės lygiavertės:

1373. Ką galima pasakyti apie skaičius X ir adresu , jei a x = ir y , kur a yra teigiamas skaičius?

1374. 1) Ar įmanoma tarp visų funkcijos reikšmių adresu = 2x paryškinti:

2) Ar įmanoma tarp visų funkcijų reikšmių adresu = 2 | x| paryškinti:

a) didžiausia vertė; b) mažiausia vertė?

Eksponentinė funkcija yra n skaičių sandaugos, lygios a, apibendrinimas:
y (n) = a n = a a a a,
į realiųjų skaičių x aibę:
y (x) = x.
Čia a yra fiksuota tikras numeris, kuris vadinamas eksponentinės funkcijos pagrindas.
Taip pat vadinama eksponentinė funkcija su baze a eksponentinis bazei a.

Apibendrinimas atliekamas taip.
Natūraliam x = 1, 2, 3,... , eksponentinė funkcija yra x faktorių sandauga:
.
Be to, jis turi savybių (1,5–8) (), kurios išplaukia iš skaičių dauginimo taisyklių. Prie nulio ir neigiamos reikšmės sveikieji skaičiai , eksponentinė funkcija nustatoma pagal formules (1.9-10). Trupmeninėms reikšmėms x = m/n racionalūs numeriai, , jis nustatomas pagal (1.11) formulę. Realiai eksponentinė funkcija apibrėžiama kaip sekos riba:
,
kur yra savavališka racionaliųjų skaičių seka, konverguojanti į x : .
Naudojant šį apibrėžimą, eksponentinė funkcija yra apibrėžta visiems ir atitinka savybes (1,5–8), taip pat natūraliam x .

Griežta matematinė eksponentinės funkcijos apibrėžimo formuluotė ir jos savybių įrodymas pateiktas puslapyje „Rodinio funkcijos savybių apibrėžimas ir įrodymas“.

Eksponentinės funkcijos savybės

Eksponentinė funkcija y = a x turi šias realiųjų skaičių () aibės savybes:
(1.1) yra apibrėžtas ir tęstinis , visiems ;
(1.2) kai a ≠ 1 turi daug reikšmių;
(1.3) griežtai didėja ties , griežtai mažėja ties ,
yra pastovus ties ;
(1.4) adresu ;
adresu ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Kitos naudingos formulės
.
Konvertavimo į eksponentinę funkciją su skirtinga galios baze formulė:

Jei b = e , gauname eksponentinės funkcijos išraišką eksponentu:

Privačios vertybės

, , , , .

Paveiksle pavaizduoti eksponentinės funkcijos grafikai
y (x) = x
keturioms vertėms laipsnių pagrindus:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 ir a = 1/8 . Galima pastebėti, kad už > 1 eksponentinė funkcija monotoniškai didėja. Kuo didesnis a laipsnio pagrindas, tuo stipresnis augimas. At 0 < a < 1 eksponentinė funkcija monotoniškai mažėja. Kaip mažiau rodiklio laipsnis a, tuo stipresnis sumažėjimas.

Didėjimo tvarka Mažėjimo tvarka

Eksponentinė funkcija at yra griežtai monotoniška, todėl ji neturi ekstremalių. Pagrindinės jo savybės pateiktos lentelėje.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domenas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vertybių diapazonas	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotoniškas	didėja monotoniškai	mažėja monotoniškai
Nuliai, y= 0	Nr	Nr
Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Atvirkštinė funkcija

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra a, atvirkštinė vertė yra logaritmas su baze a.

Jei tada
.
Jei tada
.

Eksponentinės funkcijos diferenciacija

Norint diferencijuoti eksponentinę funkciją, jos bazę reikia sumažinti iki skaičiaus e, taikyti išvestinių lentelę ir kompleksinės funkcijos diferencijavimo taisyklę.

Norėdami tai padaryti, turite naudoti logaritmų savybę
ir formulė iš išvestinių lentelės:
.

Pateikiame eksponentinę funkciją:
.
Pristatome į bazę e:

Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę. Norėdami tai padaryti, pristatome kintamąjį

Tada

Iš išvestinių lentelės turime (kintamąjį x pakeiskite z ):
.
Kadangi yra konstanta, z išvestinė x atžvilgiu yra
.
Pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:
.

Eksponentinės funkcijos išvestinė

.
n-osios eilės vedinys:
.
Formulių išvedimas >>>

Eksponentinės funkcijos diferencijavimo pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę
y= 35 x

Sprendimas

Eksponentinės funkcijos bazę išreiškiame skaičiumi e.
3 = e log 3
Tada
.
Pristatome kintamąjį
.
Tada

Iš darinių lentelės randame:
.
Tiek, kiek 5ln 3 yra konstanta, tada z išvestinė x atžvilgiu yra:
.
Pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę turime:
.

Atsakymas

Integralinis

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Apsvarstykite kompleksinio skaičiaus funkciją z:
f (z) = az
kur z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Kompleksinę konstantą a išreiškiame moduliu r ir argumentu φ:
a = r e i φ
Tada


.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. AT bendras vaizdas
φ = φ 0 + 2 pn,
kur n yra sveikas skaičius. Todėl funkcija f (z) taip pat yra dviprasmiškas. Dažnai laikomas pagrindine jo svarba
.

Serijos išplėtimas

.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

Daugumos matematinių uždavinių sprendimas yra kažkaip susijęs su skaitmeninių, algebrinių ar funkcinių išraiškų transformavimu. Tai ypač pasakytina apie sprendimą. Matematikos USE variantuose šio tipo užduotys visų pirma apima C3 užduotį. Išmokti spręsti C3 užduotis svarbu ne tik dėl tikslo sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis egzaminas, bet ir dėl to, kad šis įgūdis naudingas studijuojant matematikos kursą aukštojoje mokykloje.

Atlikdami užduotis C3, turite apsispręsti Skirtingos rūšys lygtys ir nelygybės. Tarp jų yra racionalūs, neracionalūs, eksponentiniai, logaritminiai, trigonometriniai, turintys modulius (absoliučiąsias reikšmes), taip pat kombinuotus. Šiame straipsnyje aptariami pagrindiniai eksponentinių lygčių ir nelygybių tipai, taip pat įvairių metodų jų sprendimus. Skaitykite apie kitų tipų lygčių ir nelygybių sprendimą antraštėje "" straipsniuose, skirtuose C3 uždavinių sprendimo būdams nuo NAUDOTI parinktis matematika.

Prieš pradedant analizuoti konkrečius eksponentinės lygtys ir nelygybės, kaip matematikos mokytojas, siūlau kai kuriuos atnaujinti teorinė medžiaga kurios mums prireiks.

Eksponentinė funkcija

Kas yra eksponentinė funkcija?

Peržiūros funkcija y = a x, kur a> 0 ir a≠ 1, paskambino eksponentinė funkcija.

Pagrindinis eksponentinės funkcijos savybės y = a x:

Eksponentinės funkcijos grafikas

Eksponentinės funkcijos grafikas yra parodos dalyvis:

Eksponentinių funkcijų grafikai (rodikliai)

Eksponentinių lygčių sprendimas

orientacinis vadinamos lygtimis, kuriose nežinomas kintamasis randamas tik bet kokių laipsnių rodikliuose.

Dėl sprendimų eksponentinės lygtys turite žinoti ir mokėti naudoti šią paprastą teoremą:

1 teorema. eksponentinė lygtis a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) yra lygiavertė lygčiai f(x) = g(x).

Be to, naudinga atsiminti pagrindines formules ir veiksmus su laipsniais:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: naudokite aukščiau pateiktas formules ir pakeiskite:

Tada lygtis tampa tokia:

Gautas diskriminantas kvadratinė lygtis teigiamas:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Tai reiškia, kad ši lygtis turi dvi šaknis. Mes juos randame:

Grįžtant prie pakeitimo, gauname:

Antroji lygtis neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama visoje apibrėžimo srityje. Išspręskime antrąjį:

Atsižvelgdami į tai, kas buvo pasakyta 1 teoremoje, pereiname prie lygiavertės lygties: x= 3. Tai bus užduoties atsakymas.

Atsakymas: x = 3.

2 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: lygtis neturi jokių apribojimų leistinų verčių sričiai, nes radikali išraiška turi prasmę bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija y = 9 4 -x teigiamas ir nelygus nuliui).

Lygtį išsprendžiame lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo taisyklėmis:

Paskutinis perėjimas buvo atliktas pagal 1 teoremą.

Atsakymas:x= 6.

3 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: abi pradinės lygties pusės gali būti padalytos iš 0,2 x. Šis perėjimas bus lygiavertis, nes ši išraiška yra didesnė už nulį bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama savo srityje). Tada lygtis įgauna tokią formą:

Atsakymas: x = 0.

4 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: lygtį supaprastiname iki elementariosios lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi straipsnio pradžioje pateiktomis galių dalybos ir daugybos taisyklėmis:

Abi lygties puses padalijus iš 4 x, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, yra lygiavertė transformacija, nes ši išraiška nėra lygi nuliui jokioms reikšmėms x.

Atsakymas: x = 0.

5 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: funkcija y = 3x, stovintis kairėje lygties pusėje, didėja. Funkcija y = —x-2/3, stovintis dešinėje lygties pusėje, mažėja. Tai reiškia, kad jei šių funkcijų grafikai susikerta, tai daugiausia viename taške. Šiuo atveju nesunku atspėti, kad grafikai taške susikerta x= -1. Kitų šaknų nebus.

Atsakymas: x = -1.

6 pavyzdys Išspręskite lygtį:

Sprendimas: lygtį supaprastiname lygiavertėmis transformacijomis, visur turėdami omenyje, kad eksponentinė funkcija yra griežtai didesnė už nulį bet kuriai reikšmei x ir naudojantis straipsnio pradžioje pateiktomis sandaugos ir dalinių galių apskaičiavimo taisyklėmis:

Atsakymas: x = 2.

Eksponentinių nelygybių sprendimas

orientacinis vadinamos nelygybėmis, kuriose nežinomas kintamasis yra tik kai kurių laipsnių eksponentuose.

Dėl sprendimų eksponentinės nelygybės būtina žinoti šią teoremą:

2 teorema. Jeigu a> 1, tada nelygybė a f(x) > a g(x) yra lygiavertis tos pačios reikšmės nelygybei: f(x) > g(x). Jei 0< a < 1, то eksponentinė nelygybė a f(x) > a g(x) yra lygiavertis priešingos reikšmės nelygybei: f(x) < g(x).

7 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas: pavaizduokite pradinę nelygybę formoje:

Abi šios nelygybės dalis padalinkite iš 3 2 x, ir (dėl funkcijos teigiamo y= 3 2x) nelygybės ženklas nepasikeis:

Naudokime pakaitalą:

Tada nelygybė įgauna tokią formą:

Taigi, nelygybės sprendimas yra intervalas:

pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, gauname:

Kairioji nelygybė dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo išsipildo automatiškai. Pasinaudodamas žinomas turtas logaritmu pereiname prie ekvivalentinės nelygybės:

Kadangi laipsnio pagrindas yra skaičius, didesnis už vieną, ekvivalentas (pagal 2 teoremą) bus perėjimas prie šios nelygybės:

Taigi pagaliau gauname atsakymas:

8 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas: naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo savybėmis, nelygybę perrašome į formą:

Pristatykime naują kintamąjį:

Šiuo pakeitimu nelygybė įgauna tokią formą:

Padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 7, gausime tokią ekvivalentinę nelygybę:

Taigi nelygybė patenkinta šias vertes kintamasis t:

Tada, grįžtant prie pakeitimo, gauname:

Kadangi laipsnio bazė čia yra didesnė už vienetą, tai ekvivalentiška (pagal 2 teoremą) pereiti į nelygybę:

Pagaliau gauname atsakymas:

9 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas:

Abi nelygybės puses padalijame iš išraiškos:

Jis visada didesnis už nulį (nes eksponentinė funkcija yra teigiama), todėl nelygybės ženklo keisti nereikia. Mes gauname:

t , kurie yra intervale:

Pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, matome, kad pradinė nelygybė suskaidoma į du atvejus:

Pirmoji nelygybė neturi sprendinių dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo. Išspręskime antrąjį:

10 pavyzdys Išspręskite nelygybę:

Sprendimas:

Parabolės šakos y = 2x+2-x 2 yra nukreipti žemyn, todėl iš viršaus jį riboja vertė, kurią pasiekia savo viršūnėje:

Parabolės šakos y = x 2 -2x Rodiklyje esantys +2 yra nukreipti į viršų, o tai reiškia, kad iš apačios jį riboja vertė, kurią jis pasiekia viršuje:

Tuo pačiu metu pasirodo, kad funkcija yra apribota iš apačios y = 3 x 2 -2x+2 dešinėje lygties pusėje. Ji pasiekia ją mažiausia vertė tame pačiame taške kaip parabolė eksponente, o ši reikšmė yra 3 1 = 3. Taigi pradinė nelygybė gali būti teisinga tik tuo atveju, jei funkcija kairėje ir funkcija dešinėje įgauna reikšmę 3 viename taške (pagal šių funkcijų diapazonų sankirta yra tik šis skaičius). Ši sąlyga tenkinama vienu tašku x = 1.

Atsakymas: x= 1.

Norėdami išmokti išspręsti eksponentinės lygtys ir nelygybės, reikia nuolat lavinti jų sprendimą. Šiuo sudėtingu klausimu įvairios mokymo priemones, pradinės matematikos probleminės knygos, konkursinių uždavinių rinkiniai, matematikos pamokos mokykloje, taip pat individualūs užsiėmimai su profesionaliu mokytoju. Nuoširdžiai linkiu sėkmės ruošiantis ir puikių rezultatų ant egzamino.

Sergejus Valerjevičius

P.S. Mieli svečiai! Prašome komentaruose nerašyti prašymų išspręsti savo lygtis. Deja, aš tam visai neturiu laiko. Tokie pranešimai bus ištrinti. Prašome perskaityti straipsnį. Galbūt jame rasite atsakymus į klausimus, kurie neleido jums savarankiškai išspręsti užduoties.

Raskite išraiškos reikšmę įvairioms racionalioms kintamojo x=2 reikšmėms; 0; -3; -

Atminkite, kad ir kokį skaičių pakeisime vietoj kintamojo x, visada galite rasti šios išraiškos reikšmę. Taigi, mes svarstome eksponentinę funkciją (y lygus trims laipsniui x), apibrėžtą racionaliųjų skaičių aibėje: .

Sukurkime šios funkcijos grafiką, sudarydami jos reikšmių lentelę.

Per šiuos taškus nubrėžkime lygią liniją (1 pav.)

Naudodamiesi šios funkcijos grafiku, apsvarstykite jos savybes:

3. Padidėja visoje apibrėžimo srityje.

1. diapazonas nuo nulio iki plius begalybės.

8. Funkcija išgaubta žemyn.

Jei vienoje koordinačių sistemoje sudaryti funkcijų grafikus; y=(y lygus du x laipsniui, y lygus penkiems laipsniui x, y lygus septynių laipsniui x), matote, kad jie turi tas pačias savybes kaip ir y=(y lygus trims x laipsnei) ( .2 pav.), tai yra, visos y = formos funkcijos (y yra lygios a laipsniui x, kai yra didesnis nei vienas) turės tokias savybes

Nubraižykime funkciją:

1. Jo reikšmių lentelės sudarymas.

Gautus taškus pažymime koordinačių plokštumoje.

Per šiuos taškus nubrėžkime lygią liniją (3 pav.).

Naudodamiesi šios funkcijos grafiku, nurodome jos savybes:

1. Apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.

2. Nėra nei lyginis, nei nelyginis.

3. Sumažėja visoje apibrėžimo srityje.

4. Neturi nei didžiausių, nei mažiausių vertybių.

5. Apribota iš apačios, bet neribota iš viršaus.

6. Nepertraukiamas visoje apibrėžimo srityje.

7. reikšmės diapazonas nuo nulio iki plius begalybės.

8. Funkcija išgaubta žemyn.

Panašiai, jei vienoje koordinačių sistemoje sukurti funkcijų grafikus; y=(y lygus vienai sekundei x laipsnio, y lygus penktadaliui x laipsnio, y lygus vienai septintajai x laipsnio), matote, kad jie turi tokias pačias savybes kaip ir y=(y lygus trečdaliui laipsnio x x galia). x) (4 pav.), tai yra, visos y \u003d formos funkcijos (y yra lygios vienetui, padalytam iš a iki x laipsnio, kai yra didesnis už nulį, bet mažesnis už vienetą) turi tokių savybių

Sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje

tai reiškia, kad funkcijų y=y= grafikai taip pat bus simetriški (y lygus a x ir y laipsniškai lygus vienam padalytas iš a iki laipsnio x), kai a reikšme yra ta pati.

Apibendriname tai, kas buvo pasakyta, pateikdami eksponentinės funkcijos apibrėžimą ir nurodydami pagrindines jos savybes:

Apibrėžimas: Funkcija, kurios forma yra y \u003d, kur (y lygus a laipsniui x, kur a yra teigiama ir skiriasi nuo vieno), vadinama eksponentine funkcija.

Būtina prisiminti skirtumus tarp eksponentinės funkcijos y= ir laipsnio funkcijos y=, a=2,3,4,…. tiek fonetine, tiek vizualine prasme. Eksponentinė funkcija X yra laipsnis ir galios funkcija X yra pagrindas.

1 pavyzdys: išspręskite lygtį (trys iki x laipsnio lygi devyniems)

(y lygus trims laipsniui x, o y lygus devyniems) pav.7

Atkreipkite dėmesį, kad jie turi vieną bendrą tašką M (2; 9) (em su koordinatėmis dvi; devynios), o tai reiškia, kad taško abscisė bus šaknis duota lygtis. Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį x = 2.

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Vienoje koordinačių sistemoje sukonstruosime du funkcijos y \u003d grafikus (y lygus penkiems iki x laipsnio, o y lygus vienam dvidešimt penktadaliui) 8 pav. Grafikai susikerta viename taške T (-2; (te su koordinatėmis atėmus dvi; vienas dvidešimt penktoji). Vadinasi, lygties šaknis yra x \u003d -2 (skaičius atėmus du).

3 pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Vienoje koordinačių sistemoje sudarome du funkcijos y grafikus \u003d

(y lygus trims x laipsniui, o y lygus dvidešimt septyniems).

9 pav. Funkcijos grafikas yra virš funkcijos y=when grafiko

x Todėl nelygybės sprendimas yra intervalas (nuo minus begalybės iki trijų)

4 pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Vienoje koordinačių sistemoje sukonstruosime du funkcijos y \u003d grafikus (y lygus ketvirtadaliui x laipsnio, o y lygus šešiolikai). (10 pav.). Grafikai susikerta viename taške K (-2;16). Tai reiškia, kad nelygybės sprendimas yra intervalas (-2; (nuo minus dviejų iki plius begalybės), nes funkcijos y \u003d grafikas yra žemiau funkcijos grafiko ties x

Mūsų samprotavimai leidžia patikrinti šių teoremų pagrįstumą:

1 punktas: Jei tiesa, tada ir tik tada, kai m=n.

2 teorema: Jei teisinga tada ir tik tada, tada nelygybė teisinga tada ir tik tada (* pav.)

4 teorema: Jei teisinga tada ir tik tada, kai (** pav.), nelygybė teisinga tada ir tik tada, kai 3 teorema: Jei teisinga tada ir tik tada, kai m=n.

5 pavyzdys: Nubraižykite funkciją y=

Modifikuojame funkciją taikydami laipsnio savybę y=

Pastatykime papildoma sistema koordinates ir in nauja sistema koordinates, nubraižysime funkciją y \u003d (y lygus dviem x laipsniui) 11 pav.

6 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Vienoje koordinačių sistemoje sudarome du funkcijos y grafikus \u003d

(Y lygus septyniems iki x laipsnio, o Y lygus aštuoniems minus x) 12 pav.

Grafikai susikerta viename taške E (1; (e su koordinatėmis viena; septynios). Vadinasi, lygties šaknis x = 1 (x lygus vienetui).

7 pavyzdys: Išspręskite nelygybę

Vienoje koordinačių sistemoje sudarome du funkcijos y grafikus \u003d

(Y lygus ketvirtadaliui x laipsnio, o Y lygus x plius penki). Funkcijos y \u003d grafikas yra po funkcijos y \u003d x + 5 at grafiku, nelygybės sprendimas yra intervalas x (nuo minus vieno iki plius begalybės).