어떤 숫자가 비합리적입니까? 유리수와 무리수
무리수의 정의
무리수는 십진수 표기법에서 무한한 비주기적인 소수인 숫자입니다.
예를 들어, 제곱근을 취하여 얻은 숫자 자연수는 무리수이며 자연수의 제곱이 아닙니다. 그러나 모든 무리수를 추출하여 얻을 수 있는 것은 아닙니다. 제곱근, 나눗셈으로 얻은 숫자 "pi"도 비합리적이기 때문에 자연수의 제곱근을 추출하려고 할 때 얻을 가능성이 적습니다.
무리수의 속성
무한소수점수로 쓰는 숫자와 달리 무리수만 비주기적 무한소수점으로 쓴다.
음이 아닌 두 무리수의 합은 결국 유리수가 될 수 있습니다.
무리수유리수 집합에서 데데킨트 섹션을 정의합니다. 큰 수, 그리고 위쪽에 더 작은 것이 없습니다.
모든 실제 초월 숫자는 비합리적입니다.
모든 무리수는 대수적이거나 초월적입니다.
선에 있는 무리수 집합은 조밀하게 채워져 있고, 그 숫자 중 임의의 두 수 사이에는 반드시 ir이 있어야 합니다. 유리수.
무리수의 집합은 무한하고 셀 수 없으며 두 번째 범주의 집합입니다.
0으로 나누는 것을 제외하고 유리수에 대한 모든 산술 연산을 수행할 때 그 결과는 유리수가 됩니다.
무리수에 유리수를 더하면 결과는 항상 무리수입니다.
무리수를 더하면 결과적으로 유리수를 얻을 수 있습니다.
무리수의 집합은 짝수가 아닙니다.
숫자는 비합리적이지 않다
때로는 숫자가 비합리적인지 여부에 대한 질문에 대답하는 것이 매우 어렵습니다. 특히 숫자가 소수의 형태이거나 숫자 표현, 근 또는 로그의 형태인 경우에는 더욱 그렇습니다.
따라서 어떤 숫자가 비합리적이지 않은지 아는 것은 불필요하지 않습니다. 무리수의 정의를 따른다면 유리수가 무리가 될 수 없다는 것을 이미 알고 있습니다.
무리수는 다음이 아닙니다.
첫째, 모든 자연수;
둘째, 정수;
셋째, 일반 분수;
넷째, 다른 대분수;
다섯째, 무한 주기 소수입니다.
위의 모든 것 외에도 +, -, , :와 같은 산술 연산의 부호에 의해 수행되는 유리수의 조합은 무리수가 될 수 없습니다. 유리수가 된다.
이제 어떤 숫자가 비합리적인지 봅시다.
이 신비한 수학적 현상의 팬이 Pi에 대한 새로운 정보를 찾고 신비를 풀기 위해 노력하는 팬 클럽의 존재에 대해 알고 있습니까? 소수점 이하 Pi 숫자의 특정 수를 마음으로 알고 있는 사람은 누구나 이 클럽의 회원이 될 수 있습니다.
유네스코의 보호를 받는 독일에는 Pi를 계산할 수 있는 비율 덕분에 Castadel Monte 궁전이 있다는 것을 알고 계셨습니까? 프리드리히 2세 왕은 궁전 전체를 이 숫자에 바쳤습니다.
그들은 바벨탑 건설에 Pi라는 숫자를 사용하려고 시도한 것으로 나타났습니다. 그러나 그 당시 Pi 값의 정확한 계산이 충분히 연구되지 않았기 때문에 이것은 프로젝트의 붕괴로 이어졌습니다.
그녀의 새 디스크에 가수 Kate Bush는 유명한 숫자 시리즈 3, 141에서 124개의 숫자가 들린 "Pi"라는 노래를 녹음했습니다.
모든 자연수의 집합은 문자 N으로 표시됩니다. 자연수는 개체를 계산하는 데 사용하는 숫자입니다. 1,2,3,4, ... 일부 출처에서는 숫자 0을 자연수라고도 합니다.
모든 정수의 집합은 문자 Z로 표시됩니다. 정수는 모두 자연수, 0 및 음수입니다.
1,-2,-3, -4, …
이제 우리는 모든 정수 집합에 모든 정수 집합을 더합니다. 일반 분수: 2/3, 18/17, -4/5 등. 그런 다음 모든 유리수 집합을 얻습니다.
유리수 집합
모든 유리수 집합은 문자 Q로 표시됩니다. 모든 유리수 집합(Q)은 m/n, -m/n 및 숫자 0 형식의 숫자로 구성된 집합입니다. n,m으로임의의 자연수일 수 있습니다. 모든 유리수는 유한 또는 무한 PERIODIC 소수로 나타낼 수 있습니다. 유한 또는 무한 주기 소수를 유리수로 쓸 수 있다는 역도 마찬가지입니다.
하지만 예를 들어 숫자 2.0100100010은...? 그것은 무한히 비주기적 십진수입니다. 그리고 유리수에는 적용되지 않습니다.
학교 대수학 과정에서는 실수(또는 실수)만 공부합니다. 무엇보다 많은 실수문자 R로 표시됩니다. 집합 R은 모든 유리수와 모든 무리수로 구성됩니다.
무리수 개념
무리수는 모두 무한 십진 비주기적 분수입니다. 무리수에는 특별한 표기법이 없습니다.
예를 들어, 자연수의 제곱이 아닌 자연수의 제곱근을 추출하여 얻은 모든 숫자는 무리수입니다. (√2, √3, √5, √6 등).
그러나 무리수는 제곱근을 추출해야만 얻을 수 있다고 생각하지 마십시오. 예를 들어 숫자 "pi"도 무리수이며 나누기로 얻습니다. 그리고 아무리 노력해도 자연수의 제곱근을 취하면 얻을 수 없습니다.
단위 길이의 세그먼트로 고대 수학자들은 이미 알고 있었습니다. 예를 들어, 숫자의 비합리성에 해당하는 대각선과 정사각형의 변의 비공약성을 알고 있었습니다.
비합리적인 것은:
비합리성 증명 사례
2의 루트
반대로 가정하십시오. 그것은 합리적입니다. 즉, 및 는 정수인 기약 분수로 표시됩니다. 가정된 평등을 제곱해 봅시다.
.이로부터 짝수, 그러므로 짝수 및 . 어디 전체 보자. 그 다음에
따라서 짝수, 따라서 짝수 및 . 분수의 기약성과 모순되는 이고 짝수를 얻었습니다. 따라서 원래 가정은 틀렸고 무리수입니다.
숫자 3의 이진 로그
반대로 가정하십시오. 합리적입니다. 즉, 분수로 표시되며 여기서 및는 정수입니다. , 그리고 양수를 취할 수 있습니다. 그 다음에
그러나 분명한 것은 이상합니다. 우리는 모순을 얻습니다.
이자형
이야기
무리수의 개념은 기원전 7세기 인도 수학자들이 묵시적으로 채택한 것으로, 마나와(BC 750~690 BC)가 2와 61과 같은 자연수의 제곱근을 명시적으로 표현할 수 없다는 사실을 발견했을 때였습니다.
무리수의 존재에 대한 첫 번째 증거는 일반적으로 오각형의 변의 길이를 연구하여 이 증거를 발견한 피타고라스 학파인 메타폰투스의 히파소스(기원전 500년경)에 기인합니다. 피타고라스 학파 시대에는 길이의 단위가 충분히 작고 나눌 수 없는 단일 단위가 있다고 믿었습니다. 그러나 히파수스는 길이의 단일 단위가 없다고 주장했습니다. 그 존재에 대한 가정이 모순을 가져오기 때문입니다. 그는 이등변의 빗변이 정삼각형단위 세그먼트의 정수를 포함하는 경우 이 숫자는 동시에 짝수와 홀수여야 합니다. 그 증거는 다음과 같았습니다.
- 이등변 삼각형의 다리 길이에 대한 빗변의 길이의 비는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. ㅏ:비, 어디 ㅏ그리고 비가장 작은 것으로 선택됩니다.
- 피타고라스 정리에 따르면: ㅏ² = 2 비².
- 처럼 ㅏ² 짝수, ㅏ짝수여야 합니다(홀수의 제곱은 홀수이므로).
- 하는 한 ㅏ:비줄일 수 없는 비이상해야합니다.
- 처럼 ㅏ짝수, 나타내다 ㅏ = 2와이.
- 그 다음에 ㅏ² = 4 와이² = 2 비².
- 비² = 2 와이² 따라서 비짝수이면 비조차.
- 그러나 다음과 같은 사실이 입증되었습니다. 비이상한. 모순.
그리스 수학자들은 이 양의 비라고 불렀습니다. 알로고스(표현할 수 없음) 그러나 전설에 따르면 히파수스는 정당한 존경을 받지 못했습니다. 히파수스가 항해 중에 발견하고 다른 피타고라스 학파에 의해 "우주의 모든 존재가 정수와 그 비율로 축소될 수 있다는 교리를 부정하는 우주의 요소를 창조했다"는 이유로 바다에 버려졌다는 전설이 있습니다. " 피타고라스 수학 이전에 히파스의 발견 심각한 문제, 숫자와 기하학적 대상은 하나이며 분리할 수 없다는 전체 이론의 기초가 되는 가정을 파괴합니다.
또한보십시오
노트
| 수치 체계 | |
|---|---|
| 계산 세트 |
자연수() 정수() |
유리수는 분수로 나타낼 수 있는 숫자입니다. 
. Q는 모든 유리수의 집합입니다.
유리수는 양수, 음수 및 0으로 나뉩니다.
각 유리수는 좌표선의 단일 점과 연관될 수 있습니다. 점에 대한 "왼쪽에 대한" 관계는 이러한 점의 좌표에 대한 "보다 작은" 관계에 해당합니다. 모든 음수는 0보다 작고 모든 양수는 작다는 것을 알 수 있습니다. 두 개의 음수 중에서 계수가 큰 쪽이 더 작습니다. 그래서 -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
모든 유리수는 소수 주기 분수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, .
유리수 연산에 대한 알고리즘은 0 및 양수 분수에 대한 해당 연산에 대한 부호 규칙을 따릅니다. Q는 0으로 나누기 이외의 나눗셈을 수행합니다.
어느 일차 방정식, 즉. ax+b=0 형식의 방정식, 여기서 는 집합 Q에서 풀 수 있지만 어떤 것도 풀 수 없습니다. 이차 방정식친절한 
, 유리수에서 풀 수 있습니다. 좌표선의 모든 점에 합리적인 점이 있는 것은 아닙니다. 기원전 6세기 말에도. N. e 피타고라스 학파에서 정사각형의 대각선이 높이와 비례하지 않는다는 것이 증명되었습니다. 이는 "방정식에는 합리적인 근이 없습니다."라는 진술과 같습니다. 위의 모든 사항으로 인해 집합 Q를 확장할 필요가 있었고 무리수의 개념이 도입되었습니다. 무리수 집합을 문자로 표시 제이
.
좌표선에서 유리 좌표가 없는 모든 점은 무리 좌표를 갖습니다. , 여기서 r은 실수 집합입니다. 보편적인 방법으로실수 할당은 소수입니다. 주기적 소수는 유리수를 정의하고 비주기적 소수는 무리수를 정의합니다. 따라서 2.03(52)은 유리수, 2.03003000300003 ...(다음 숫자 "3"의 마침표는 0을 하나씩 더 씁니다)은 무리수입니다.
집합 Q와 R은 양의 속성을 갖습니다. 임의의 두 유리수 사이에는 유리수가 있습니다(예: ecoi a 모든 무리수에 대해 α
결핍과 초과가 있는 합리적인 근사치를 모든 정확도로 지정할 수 있습니다.< α
일부 유리수에서 근을 추출하는 작업은 무리수로 이어집니다. 자연 차수의 근을 추출하는 것은 대수적 연산입니다. 그 도입은 다음 형식의 대수 방정식의 해와 연결됩니다. 음수가 아닌 수 a의 n차 산술근(간단함을 위해 근)은 방정식의 근인 음수가 아닌 수 b입니다. 숫자 a에서 n차의 근은 기호로 표시됩니다. n=2의 경우 근 2의 차수는 표시되지 않습니다. . 예를 들어 , 왜냐하면 2 2 =4 및 2>0; , 왜냐하면 3 3 =27 및 3>0; 때문에 존재하지 않는다 -4<0. n=2k 및 a>0의 경우 방정식(1)의 근은 및 로 작성됩니다. 예를 들어, 방정식 x 2 \u003d 4의 근은 2와 -2입니다. n 홀수에 대해 방정식 (1)은 임의의 . ≥0이면 - 이 방정식의 근입니다. 만약<0, то –а>0 및 - 방정식의 근. 따라서 방정식 x 3 \u003d 27에는 근이 있습니다. 무리수는 무엇입니까? 왜 그렇게 불려요? 그들은 어디에 사용되며 무엇입니까? 이 질문에 주저 없이 대답할 수 있는 사람은 거의 없습니다. 그러나 사실, 그들에 대한 대답은 매우 간단하지만 모든 사람이 그것을 필요로 하는 것은 아니며 매우 드문 경우입니다. 무리수는 무한 비주기적 이 개념을 도입할 필요성은 새로운 문제를 해결하기 위해 기존의 실수 또는 실수, 정수, 자연수 및 유리수 개념이 더 이상 충분하지 않았기 때문입니다. 예를 들어, 2의 제곱이 무엇인지 계산하려면 반복되지 않는 무한 소수를 사용해야 합니다. 또한 가장 단순한 방정식의 대부분은 무리수 개념을 도입하지 않고는 해가 없습니다. 이 세트는 I로 표시됩니다. 그리고 이미 분명한 바와 같이 이러한 값은 단순한 분수로 나타낼 수 없으며 분자에는 정수가 있고 분모에는 - 어떤 식으로든 처음으로 인도 수학자들은 7세기에 이 현상에 직면했습니다. 그 때 일부 양의 제곱근은 명시적으로 표시될 수 없다는 것이 발견되었습니다. 그리고 그러한 숫자의 존재에 대한 첫 번째 증거는 이등변 삼각형을 연구하는 과정에서 이것을 한 피타고라스 히파수스에 기인합니다. 우리 시대 이전에 살았던 다른 과학자들이 이 세트의 연구에 중대한 공헌을 했습니다. 무리수 개념의 도입은 기존 수학적 체계의 수정을 수반했고, 이것이 그들이 그토록 중요한 이유입니다. 라틴어의 비율이 "fraction", "ratio"인 경우 접두사 "ir" 무리수는 유리수와 함께 실수 또는 실수 그룹에 속하며 차례로 복소수입니다. 하위 집합은 없지만 대수 및 초월 품종이 있으며 아래에서 설명합니다. 무리수는 실수 집합의 일부이므로 산술(기본 대수법이라고도 함)에서 연구하는 모든 속성이 실수에 적용됩니다. a + b = b + a (가환성); (a + b) + c = a + (b + c) (결합성); a + (-a) = 0 (반대 숫자의 존재); ab = ba(변위 법칙); (ab)c = a(bc) (분포도); a(b+c) = ab + ac(분배 법칙); a x 1/a = 1(역수의 존재); 비교는 일반 법률 및 원칙에 따라 수행됩니다. a > b 및 b > c이면 a > c(관계의 전이성) 및. 등. 물론 모든 무리수는 기본을 사용하여 변환될 수 있습니다. 산술 연산. 이에 대한 특별한 규칙은 없습니다. 또한 아르키메데스 공리의 작용은 무리수까지 확장됩니다. 임의의 두 양과 b에 대해 항으로 충분한 시간을 취함으로써 b를 능가할 수 있다는 진술이 참이라고 합니다. 에 있다는 사실에도 불구하고 평범한 인생그렇게 자주 당신이 그것들을 다루어야 하는 것은 아니며, 무리수는 셀 수 없습니다. 그것들은 많이 있지만 거의 보이지 않습니다. 우리는 어디에서나 무리한 숫자에 둘러싸여 있습니다. 모두에게 친숙한 예는 기본적으로 기본인 3.1415926... 또는 e인 pi입니다. 자연 로그, 2.718281828... 대수, 삼각법, 기하학에서는 항상 사용해야 합니다. 그건 그렇고, "황금 부분"의 유명한 의미, 즉 큰 부분과 작은 부분의 비율과 그 반대의 비율도 마찬가지입니다. 이 세트에 속합니다. 덜 알려진 "실버"도 마찬가지입니다. 숫자 라인에서 그들은 매우 조밀하게 위치하므로 합리적인 양의 집합과 관련된 두 양 사이에는 반드시 비합리적인 양이 발생합니다. 이 세트와 관련하여 아직 해결되지 않은 문제가 많이 있습니다. 비합리성의 척도와 숫자의 정규성과 같은 기준이 있습니다. 수학자들은 한 그룹 또는 다른 그룹에 속하는 가장 중요한 예를 계속 조사합니다. 예를 들어, e는 일반 숫자로 간주됩니다. 즉, 입력에 다른 숫자가 나타날 확률은 동일합니다. 파이에 대해서는 아직 연구가 진행 중입니다. 비합리성의 척도는 특정 숫자가 유리수로 얼마나 잘 근사될 수 있는지를 보여주는 값입니다. 이미 언급했듯이 무리수는 조건부로 대수와 초월로 나뉩니다. 조건부로 엄밀히 말하면 이 분류는 집합 C를 나누는 데 사용되기 때문입니다. 이 지정에서는 실수 또는 실수를 포함하는 복소수가 숨겨집니다. 따라서 대수적 값은 동일하게 0이 아닌 다항식의 근인 값입니다. 예를 들어, 2의 제곱근은 방정식 x 2 - 2 = 0에 대한 솔루션이기 때문에 이 범주에 속합니다. 이 조건을 만족하지 않는 다른 모든 실수를 초월이라고 합니다. 이 다양성에는 또한 가장 유명하고 이미 언급된 예인 숫자 pi와 자연 로그 e의 밑이 포함됩니다. 흥미롭게도, 둘 중 어느 것도 원래 이 능력으로 수학자에 의해 추론되지 않았으며, 그들의 비합리성과 초월성은 발견된 지 여러 해 후에 증명되었습니다. 파이의 경우 1882년에 증명이 제공되었고 1894년에 단순화되어 원의 제곱 문제에 대한 2,500년 간의 논쟁이 종식되었습니다. 그것은 아직 완전히 이해되지 않았기 때문에 현대 수학자들이 연구해야 할 것이 있습니다. 그건 그렇고,이 값에 대한 첫 번째 충분히 정확한 계산은 아르키메데스에 의해 수행되었습니다. 그 이전에는 모든 계산이 너무 근사했습니다. e(오일러 또는 네이피어 수)의 경우 1873년에 그 초월의 증거가 발견되었습니다. 로그 방정식을 푸는 데 사용됩니다. 다른 예로는 0이 아닌 대수 값에 대한 사인, 코사인 및 탄젠트 값이 있습니다.
. n이 홀수이면, 즉 n=2k+1, 여기서 , 방정식은 단일 근을 갖습니다. n이 짝수이면 n=2k입니다. 여기서 a=0인 경우 방정식은 단일 근 x=0을 갖습니다.<0 корней нет, при a>0은 서로 반대되는 두 개의 근을 가지고 있습니다. 뿌리 뽑는 것은 자연력으로 키우는 역동작이다.본질과 명칭
이름의 유래
단어에 반대 의미를 제공합니다. 따라서 이러한 숫자 집합의 이름은 정수 또는 분수와 상관 관계가 없으며 별도의 장소가 있음을 나타냅니다. 이것은 그들의 본성에서 비롯된 것입니다.일반 분류에 배치
속성
용법
대수 및 초월
로드 중...