kv 삼항식을 찾는 예. 제곱 삼항식의 인수분해

수업 유형:지식을 통합하고 체계화하는 수업.

수업 유형:지식 및 행동 방법의 검증, 평가 및 수정.

목표:

교육적인:

- 학생들이 제곱 삼항식을 요인으로 분해하는 능력을 개발합니다.
– 해결 과정에서 지식의 통합 다양한 작업지정된 주제에 대해;
– 수학적 사고의 형성;
- 다룬 자료를 반복하는 과정에서 주제에 대한 흥미를 높인다.
교육적인:
- 조직의 교육, 집중;
- 학습에 대한 긍정적인 태도를 육성합니다.
- 호기심을 키운다.
개발 중:
- 자제력을 발휘하는 능력을 개발하십시오.
- 합리적으로 작업을 계획하는 능력을 개발합니다.
- 독립성, 주의력 발달.

장비: 교훈적인 자료구두 작업, 독립 작업, 테스트 작업지식 테스트하기, 숙제 카드, 대수 교과서 Yu.N. 마카리체프.

강의 계획.

수업 단계	시간, 분	기술 및 방법
I. 지식 업데이트 단계. 문제 학습 동기	2	선생님의 대화
Ⅱ. 수업의 주요 내용 확장 공식에 대한 학생들의 아이디어 형성 및 통합 제곱 삼항승수를 위해.	10	선생님의 설명입니다. 휴리스틱 대화
III. 기술과 능력의 형성. 연구 자료의 통합	25	문제 해결. 학생들의 질문에 대한 답변
IV. 지식의 동화를 확인합니다. 반사	5	선생님의 메시지. 학생 메시지
V. 숙제	3	카드 작업

수업 중

I. 지식 업데이트 단계. 교육 문제의 동기.

조직 시간.

오늘 수업에서 우리는 "제곱 삼항식의 인수분해"라는 주제에 대한 지식을 일반화하고 체계화할 것입니다. 다양한 운동을 수행하면서 헌신해야 할 요점을 스스로 기록해야합니다. 특별한 주의방정식과 실제 문제를 풀 때. 이것은 시험을 준비할 때 매우 중요합니다.
공과 주제를 기록하십시오. "제곱 삼항식의 인수분해. 예제 해결.

Ⅱ. 수업의 주요 내용제곱 삼항식을 인수로 분해하는 공식에 대한 학생들의 아이디어 형성 및 통합.

구두 작업.

– 제곱삼항식을 성공적으로 인수분해하기 위해서는 판별식을 구하는 공식과 이차방정식의 근을 구하는 공식, 제곱삼항식을 인수분해하는 공식을 모두 기억하고 실천해야 합니다.

1. "명세서 계속 또는 완성" 카드를 보십시오.

2. 칠판을 보세요.

1. 제안된 다항식 중 제곱이 아닌 것은?

1) 엑스 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2엑스 2 +엑스– 3 = 0;
3) 엑스 4 – 2엑스 3 + 2 = 0;
4)2배 3 – 2엑스 2 + 2 = 0;

제곱 삼항식을 정의합니다. 제곱 삼항식의 근을 정의합니다.

2. 이차방정식의 근을 구하는 공식이 아닌 것은?

1) 엑스 1,2 = ;
2) 엑스 1,2 = – 비+ ;
3) 엑스 1,2 = .

3. 제곱 삼항식의 계수 a, b, c 찾기 - 2 엑스 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. 다음 공식 중 이차 방정식의 근을 계산하는 공식은 무엇입니까?

x2 + 픽셀 + q= 0 비에타의 정리?

1) 엑스 1 + x 2 =피,
엑스하나 · 엑스 2 = q.

2) 엑스 1 + x 2 = –피,
엑스하나 · 엑스 2 = q.

3)엑스 1 + x 2 = –피,
엑스하나 · 엑스 2 = – q .

5. 제곱 삼항식 확장 엑스 2 – 11x +승수의 경우 18.

답변: ( 엑스 – 2)(엑스 – 9)

6. 제곱 삼항식 확장 ~에 2 – 9y +승수의 경우 20

답변: ( 엑스 – 4)(엑스 – 5)

III. 기술과 능력의 형성. 연구 자료의 통합.

1. 제곱 삼항식을 인수분해:
가) 3 엑스 2 – 8엑스 + 2;
나) 6 엑스 2 – 5엑스 + 1;
3에서 엑스 2 + 5엑스 – 2;
라) -5 엑스 2 + 6엑스 – 1.

2. 인수분해는 분수를 줄일 때 도움이 됩니다.

3. 근 공식을 사용하지 않고 제곱 삼항식의 근을 찾습니다.
ㅏ) 엑스 2 + 3엑스 + 2 = 0;
비) 엑스 2 – 9엑스 + 20 = 0.

4. 근이 숫자인 제곱 삼항식을 만듭니다.
ㅏ) 엑스 1 = 4; 엑스 2 = 2;
비) 엑스 1 = 3; 엑스 2 = -6;

독립적 인 일.

옵션에 따라 독립적으로 작업을 완료한 후 확인합니다. 처음 두 작업은 "예" 또는 "아니오"로 대답해야 합니다. 각 옵션에서 한 명의 학생이 호출됩니다(그들은 보드의 옷깃에서 일합니다). 보드에서 독립적 인 작업이 완료된 후 솔루션에 대한 공동 점검이 수행됩니다. 학생들은 자신의 작업을 평가합니다.

첫 번째 옵션:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. 숫자 2는 방정식 x 2 + 3x - 10 = 0의 근입니다.

3. 제곱 삼항식을 인수 6으로 분해 엑스 2 – 5엑스 + 1;

두 번째 옵션:

1.D>0. 방정식에는 2개의 근이 있습니다.

2. 숫자 3은 이차 방정식 x 2 - x - 12 = 0의 근입니다.

3. 제곱 삼항식을 인수 2로 분해 엑스 2 – 5x + 3

IV. 지식의 동화를 확인합니다. 반사.

– 수업은 기본 사항을 알고 있음을 보여주었습니다. 이론적 자료이 주제. 우리는 지식을 요약했습니다

세상은 수많은 숫자에 잠겨 있습니다. 모든 계산은 도움으로 발생합니다.

사람들은 훗날 속임수에 넘어가지 않기 위해 숫자를 배운다. 교육을 받고 자신의 예산을 계산하는 데 엄청난 시간을 할애해야 합니다.

수학은 인생에서 큰 역할을 하는 정확한 과학입니다. 학교에서 아이들은 숫자를 배운 다음 그에 대한 행동을 배웁니다.

숫자에 대한 작업은 곱셈, 확장, 더하기 등 완전히 다릅니다. 간단한 공식 외에도 더 복잡한 동작도 수학 연구에서 사용됩니다. 모든 값을 알 수 있는 수많은 공식이 있습니다.

학교에서 대수학이 나타나 자마자 단순화 공식이 학생의 삶에 추가됩니다. 미지수가 두 개인 경우 방정식이 있지만 다음을 찾으십시오. 간단한 방법으로작동 안 할 것이다. 삼항식은 다음의 도움으로 3개의 단항식의 합성물입니다. 간단한 방법뺄셈과 덧셈. 비에타 정리와 판별식을 사용하여 삼항식을 풉니다.

제곱 삼항식을 인수로 인수분해하는 공식

두 가지가 정확하고 간단한 솔루션예시:

판별자;
비에타의 정리.

제곱 삼항식에는 미지수의 제곱과 제곱이 없는 숫자가 있습니다. 문제를 해결하기 위한 첫 번째 옵션은 Vieta 공식을 사용합니다. 간단한 공식입니다 unknown 앞에 오는 숫자는 최소값이 됩니다.

숫자가 미지수 앞에 있는 다른 방정식의 경우 판별식을 통해 방정식을 풀어야 합니다. 끝났어 어려운 결정, 그러나 판별식은 Vieta의 정리보다 훨씬 더 자주 사용됩니다.

초기에 방정식의 모든 변수를 찾으려면 예제를 0으로 올려야 합니다. 예제의 솔루션을 확인하고 숫자가 올바르게 조정되었는지 확인할 수 있습니다.

판별자

1. 방정식을 0과 동일시할 필요가 있습니다.

2. x 앞의 각 숫자를 숫자 a, b, c라고 합니다. 첫 번째 제곱 x 앞에 숫자가 없으므로 1과 같습니다.

3. 이제 방정식의 해는 판별식을 통해 시작됩니다.

4. 이제 판별식을 찾았고 두 개의 x를 찾았습니다. 차이점은 어떤 경우에는 b 앞에 플러스가 오고 다른 경우에는 마이너스가 온다는 것입니다.

5. 두 개의 숫자를 풀면 -2와 -1이 나옵니다. 원래 방정식으로 대체:

6. 이 예에서는 두 가지가 밝혀졌습니다. 올바른 옵션. 두 솔루션이 모두 정확하면 각각이 참입니다.

더 복잡한 방정식도 판별식을 통해 풉니다. 그러나 판별식 자체의 값이 0보다 작으면 예제가 잘못된 것입니다. 검색의 판별자는 항상 루트 아래에 있으며 음수 값은 루트에 있을 수 없습니다.

비에타의 정리

첫 번째 x 앞에 숫자가 오지 않는 쉬운 문제, 즉 a=1을 푸는 데 사용됩니다. 옵션이 일치하면 Vieta 정리를 통해 계산이 수행됩니다.

어떤 삼항식을 풀기 위해방정식을 0으로 올릴 필요가 있습니다. 판별식과 Vieta 정리의 첫 번째 단계는 동일합니다.

2. 이제 두 가지 방법 사이에 차이점이 있습니다. Vieta의 정리는 "건조한" 계산뿐만 아니라 논리와 직관도 사용합니다. 각 숫자에는 고유한 문자, b, c가 있습니다. 정리는 두 숫자의 합과 곱을 사용합니다.

기억하다! 숫자 b는 항상 반대 기호로 추가되고 숫자 c는 변경되지 않습니다!

예제에서 데이터 값 대체 , 우리는 얻는다:

3. 논리 방식을 사용하여 가장 적합한 숫자로 대체합니다. 가능한 모든 솔루션을 고려하십시오.

숫자는 1과 2입니다. 더하면 3이 되고 곱하면 4가 되지 않습니다. 적합하지 않습니다.
값 2 및 -2. 곱하면 -4가 되지만 더하면 0이 됩니다. 적합하지 않습니다.
숫자 4와 -1. 곱셈에 음수 값이 포함되어 있으므로 숫자 중 하나에 빼기가 포함됨을 의미합니다. 덧셈과 곱셈에 적합합니다. 올바른 옵션입니다.

4. 숫자를 확인하고 배치하고 선택한 옵션이 올바른지 확인하는 것만 남아 있습니다.

5. 온라인 검사를 통해 -1이 예제의 조건과 일치하지 않는다는 것을 알았습니다. 이는 잘못된 솔루션임을 의미합니다.

추가할 때 음수 값예에서 대괄호 안에 숫자를 넣어야 합니다.

수학에는 항상 간단한 작업그리고 복잡하다. 과학 자체에는 다양한 문제, 정리 및 공식이 포함됩니다. 지식을 이해하고 올바르게 적용하면 계산에 어려움이 있을 것입니다.

수학은 지속적인 암기가 필요하지 않습니다. 솔루션을 이해하고 몇 가지 공식을 배워야 합니다. 점차적으로 논리적 결론에 따라 유사한 문제, 방정식을 푸는 것이 가능합니다. 그러한 과학은 언뜻 보기에는 매우 어려워 보일 수 있지만, 숫자와 과제의 세계에 뛰어들면 관점이 크게 바뀔 것입니다. 더 나은 쪽.

기술 전문항상 세계에서 가장 많이 찾는 것으로 남아 있습니다. 이제 세상에서 현대 기술수학은 모든 분야에서 없어서는 안될 속성이 되었습니다. 에 대해 항상 기억해야 합니다. 유용한 속성수학.

대괄호가 있는 삼항식의 분해

일반적인 방법으로 해결하는 것 외에도 대괄호로 분해하는 또 다른 방법이 있습니다. Vieta의 공식과 함께 사용됩니다.

1. 방정식을 0과 동일시하십시오.

도끼 2 + bx+ c= 0

2. 방정식의 근은 그대로 유지되지만 0 대신 이제 대괄호 확장 공식을 사용합니다.

도끼 2 + bx + c = 에이 (더블 엑스 1) (더블 엑스 2)

2 엑스 2 – 4 엑스 – 6 = 2 (엑스 + 1) (엑스 – 3)

4. 솔루션 x=-1, x=3

제곱 삼항식의 인수분해문제 C3의 부등식이나 매개변수 C5의 문제를 해결할 때 유용할 수 있습니다. 또한 Vieta의 정리를 알면 많은 B13 단어 문제를 훨씬 빨리 풀 수 있습니다.

물론 이 정리는 처음 통과하는 8학년 입장에서 생각해 볼 수 있다. 그러나 우리의 임무는 시험을 잘 준비하고 가능한 한 효율적으로 시험 과제를 해결하는 방법을 배우는 것입니다. 따라서 이 수업에서는 접근 방식이 학교 접근 방식과 약간 다릅니다.

Vieta의 정리에 따른 방정식의 근에 대한 공식많은 것을 알고 있습니다(또는 적어도 본 적이 있습니다):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

여기서 'a, b' 및 'c'는 제곱 삼항식 'ax^2+bx+c'의 계수입니다.

정리를 쉽게 사용하는 방법을 배우기 위해 그것이 어디에서 왔는지 이해합시다(이 방법을 기억하는 것이 정말 쉬울 것입니다).

방정식 `ax^2+ bx+ c = 0`이 있다고 합시다. 더 많은 편의를 위해 `a`로 나누고 `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`을 얻습니다. 이러한 방정식 축소 이차 방정식이라고합니다.

중요한 수업 포인트: 근이 있는 모든 정방 다항식은 대괄호로 분해될 수 있습니다.우리의 것이 `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`로 표현될 수 있다고 가정합니다. 여기서 `k`와 ` l` - 일부 상수.

대괄호가 어떻게 열리는지 봅시다.

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

따라서 `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`입니다.

이것은 고전적인 해석과 약간 다릅니다. 비에타의 정리- 그것에서 우리는 방정식의 뿌리를 찾고 있습니다. 에 대한 조건을 찾을 것을 제안합니다. 브래킷 확장- 그래서 공식에서 빼기를 기억할 필요가 없습니다(`x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`를 의미). 그러한 두 개의 숫자를 선택하는 것으로 충분합니다. 그 합은 평균 계수와 같고 곱은 자유 항과 같습니다.

방정식에 대한 솔루션이 필요하면 루트 `x=-k` 또는 `x=-l`(이 경우 대괄호 중 하나가 0이므로 전체 표현식이 0과 동일).

예를 들어 알고리즘을 보여 드리겠습니다. 정방 다항식을 대괄호로 분해하는 방법.

예 1. 제곱 삼항식을 인수분해하는 알고리즘

우리가 가진 경로는 제곱 삼항식 `x^2+5x+4`입니다.

감소합니다(`x^2`의 계수 하나와 같은). 그는 뿌리가 있습니다. (확실히 판별식을 추정하고 0보다 큰지 확인할 수 있습니다.)

다음 단계(모든 작업을 수행하여 학습해야 함 훈련 작업):

다음 표기법을 만드십시오. $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ 점 대신에 여유 공간을 두십시오. 적절한 숫자와 기호를 추가할 것입니다.
모두보기 가능한 옵션, 숫자 `4`를 두 숫자의 곱으로 분해하는 방법. 우리는 방정식의 근에 대한 "후보" 쌍을 얻습니다: `2, 2` 및 `1, 4`.
평균 계수를 얻을 수 있는 쌍을 추정하십시오. 분명히 '1, 4'입니다.
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$라고 쓰세요.
다음 단계는 삽입된 숫자 앞에 기호를 배치하는 것입니다.
괄호 안의 숫자 앞에 어떤 표시가 있어야 하는지 영원히 이해하고 기억하는 방법은 무엇입니까? 그것들을 확장하십시오(대괄호). 첫 번째 거듭제곱에 대한 `x` 이전의 계수는 `(± 4 ± 1)`(아직 부호를 알지 못함 - 선택해야 함)이며 `5`와 같아야 합니다. 분명히 여기에 $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$에 두 개의 플러스가 있습니다.
이 작업을 여러 번 수행하면(안녕하세요, 교육 작업!) 더 이상 문제가 발생하지 않습니다.

방정식 `x^2+5x+4`를 풀어야 한다면 이제 그 해법은 어렵지 않습니다. 그 뿌리는 `-4, -1`입니다.

두 번째 예. 서로 다른 부호의 계수를 사용하여 제곱 삼항식의 인수분해

방정식 `x^2-x-2=0`을 풀어야 합니다. 반면 판별식은 양수입니다.

우리는 알고리즘을 따릅니다.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2의 정수 인수분해는 `2 · 1`뿐입니다.
우리는 요점을 건너 뜁니다. 선택할 것이 없습니다.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
우리 숫자의 곱은 음수입니다(`-2`는 자유 항). 즉, 하나는 음수이고 다른 하나는 양수입니다.
그들의 합이 `-1`(`x`의 계수)과 같기 때문에 `2`는 음수가 됩니다(직관적인 설명 - 2는 두 숫자 중 더 큰 숫자이며 음의 방향으로 더 "끌어당길" 것입니다). 우리는 $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$를 얻습니다.

세 번째 예. 제곱 삼항식의 인수분해

방정식 `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84를 정수 인수로 분해: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
숫자의 차이(또는 합)가 5가 되어야 하므로 '7, 12' 쌍이 됩니다.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

희망, 이 제곱 삼항식을 대괄호로 분해당연하게도.

방정식에 대한 해가 필요하면 `12, -7`입니다.

훈련을 위한 작업

다음은 쉽게 할 수 있는 몇 가지 예입니다. Vieta의 정리를 사용하여 해결됩니다.(Mathematics, 2002에서 가져온 예)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

기사가 작성된 지 몇 년 후 Vieta 정리를 사용하여 이차 다항식을 확장하기 위한 150개의 작업 모음이 나타났습니다.

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온라인 계산기.
이항 제곱의 선택 및 제곱 삼항의 인수분해.

이 수학 프로그램은 제곱 삼항식에서 이항식의 제곱을 추출합니다., 즉. 다음과 같이 형식을 변형합니다.
$ax^2+bx+c \right화살표 a(x+p)^2+q $ 및 제곱 삼항식을 인수분해: $ax^2+bx+c \오른쪽화살표 a(x+n)(x+m) $

저것들. 문제는 숫자 $p, q $ 및 $n, m $를 찾는 것으로 축소됩니다.

프로그램은 문제에 대한 답을 제시할 뿐만 아니라 해결 과정도 표시합니다.

이 프로그램은 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 일반 교육 학교에 대비하여 제어 작업그리고 시험, 시험 전에 지식을 시험할 때, 부모는 수학 및 대수학에서 많은 문제의 해결을 제어합니다. 아니면 교사를 고용하거나 새 교과서를 구입하는 데 너무 비용이 많이 듭니까? 아니면 가능한 한 빨리 끝내고 싶습니까? 숙제수학이나 대수? 이 경우 자세한 솔루션으로 당사 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

이러한 방식으로 자신의 훈련 및/또는 동생의 훈련을 수행할 수 있으며 해결해야 할 과제 분야의 교육 수준을 높일 수 있습니다.

제곱 삼항식 입력 규칙에 익숙하지 않은 경우 숙지하는 것이 좋습니다.

정방 다항식 입력 규칙

모든 라틴 문자는 변수로 사용할 수 있습니다.
예: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ 등

숫자는 정수 또는 분수로 입력할 수 있습니다.
더구나, 분수소수뿐만 아니라 일반 분수로도 입력할 수 있습니다.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수에서 정수의 소수 부분은 점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같이 소수를 입력할 수 있습니다. 2.5x - 3.5x^2

일반 분수 입력 규칙.
정수만이 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.

분모는 음수일 수 없습니다.

숫자 분수를 입력할 때 분자는 분모와 구분 기호로 구분됩니다. /
정수 부분은 앰퍼샌드로 분수와 구분됩니다. &
입력: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
결과: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 $

식을 입력할 때 대괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 풀이할 때 먼저 도입된 표현을 단순화한다.
예: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

예시 상세한 솔루션

이항 제곱의 선택.$$ ax^2+bx+c \right화살표 a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ 답변:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ 채권 차압 통고.$$ ax^2+bx+c \right화살표 a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \오른쪽) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ 답변:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

결정하다

이 작업을 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않아 프로그램이 작동하지 않을 수 있습니다.
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왜냐하면 문제를 해결하려는 사람들이 많이 있으며 귀하의 요청이 대기 중입니다.
몇 초 후에 솔루션이 아래에 나타납니다.
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만약 너라면 솔루션에서 오류를 발견했습니다.그런 다음 피드백 양식에 이에 대해 작성할 수 있습니다.
잊지 마요 어떤 작업을 표시당신은 무엇을 결정 필드에 입력.

당사의 게임, 퍼즐, 에뮬레이터:

약간의 이론.

제곱 삼항식에서 제곱 이항식 추출

제곱 삼항 ax 2 +bx+c 가 a(x+p) 2 +q 로 표현된다면, 여기서 p와 q는 실수, 그들은 말한다 제곱 삼항식, 이항식의 제곱이 강조 표시됩니다..

삼항식 2x 2 +12x+14에서 이항식의 제곱을 추출해 보겠습니다.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

이를 위해 6x를 2 * 3 * x의 곱으로 표현한 다음 3 2 를 더하고 뺍니다. 우리는 다음을 얻습니다:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

저것. 우리 제곱 삼항식에서 이항식의 제곱을 선택했습니다., 그리고 다음을 보여주었습니다.
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

제곱 삼항식의 인수분해

제곱 삼항 ax 2 +bx+c가 a(x+n)(x+m)로 표현되면, 여기서 n과 m은 실수이고, 다음 연산이 수행된다고 합니다. 제곱 삼항식의 인수분해.

이 변환이 수행되는 방법을 보여주기 위해 예제를 사용하겠습니다.

제곱 삼항식 2x2 +4x-6을 인수분해해 보겠습니다.

대괄호에서 계수를 빼자. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

괄호 안의 표현식을 변환해 보겠습니다.
이를 위해 2x를 차이 3x-1x로 나타내고 -3을 -1*3으로 나타냅니다. 우리는 다음을 얻습니다:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

저것. 우리 제곱 삼항식을 인수분해, 그리고 다음을 보여주었습니다.
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

제곱 삼항식의 인수분해는 이 삼항식에 해당하는 2차 방정식에 근이 있는 경우에만 가능합니다.
저것들. 우리의 경우 이차 방정식 2x2 +4x-6 =0에 근이 있으면 삼항식 2x2 +4x-6을 인수분해하는 것이 가능합니다. 인수분해 과정에서 우리는 방정식 2x2 +4x-6 =0이 두 개의 근 1과 -3을 갖는다는 것을 발견했습니다. 이 값을 사용하면 방정식 2(x-1)(x+3)=0이 진정한 평등으로 바뀝니다.

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제곱 삼항은 ax^2+bx+c 형식의 다항식입니다. 여기서 x는 변수이고, a, b 및 c는 일부 숫자이며, a는 0이 아닙니다.
사실 불운의 삼항식을 인수분해하기 위해 가장 먼저 알아야 할 것은 정리입니다. "x1과 x2가 제곱 삼항 ax^2+bx+c의 근이면 ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)"와 같습니다. 물론 이 정리의 증명도 있지만 약간의 이론적 지식이 필요합니다(다항식 ax^2+bx+c에서 인수 a를 빼면 ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Viette의 정리 x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, 따라서 b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), 그래서 ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 때때로 교사들은 당신에게 증명을 배우게 하지만, 만약 그렇다면 필수는 아니지만 최종 공식만 기억하는 것이 좋습니다.

2단계

삼항식 3x^2-24x+21을 예로 들어 보겠습니다. 가장 먼저 해야 할 일은 삼항식을 0과 동일시하는 것입니다: 3x^2-24x+21=0. 결과 이차 방정식의 근은 각각 삼항식의 근이 됩니다.

3단계

방정식 3x^2-24x+21=0을 풉니다. a=3, b=-24, c=21. 결정합시다. 결정하는 방법을 모르는 사람 이차 방정식, 예제와 같은 방정식을 사용하여 문제를 푸는 2가지 방법으로 내 지시를 살펴보세요. 근 x1=7, x2=1을 얻었습니다.

4단계

이제 삼항식 근이 있으므로 공식 =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)로 안전하게 대입할 수 있습니다.
우리는 다음을 얻습니다: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
대괄호 안에 넣어 용어를 제거할 수 있습니다: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
결과적으로 우리는 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3)을 얻습니다. 참고: 얻은 각 인수((x-7), (3x-3)는 1차 다항식입니다. 이것이 전체 분해입니다 =) 얻은 답이 의심스럽다면 대괄호를 곱하여 항상 확인할 수 있습니다.