Valori delle equazioni trigonometriche. Risoluzione di equazioni trigonometriche

Richiede la conoscenza delle formule di base della trigonometria: la somma dei quadrati del seno e del coseno, l'espressione della tangente attraverso il seno e il coseno e altri. Per coloro che li hanno dimenticati o non li conoscono, consigliamo la lettura dell'articolo "".
Quindi, conosciamo le formule trigonometriche di base, è ora di metterle in pratica. Risoluzione di equazioni trigonometriche con il giusto approccio, è un'attività piuttosto eccitante, come, ad esempio, risolvere un cubo di Rubik.

In base al nome stesso, è chiaro che un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è sotto il segno di una funzione trigonometrica.
Ci sono i cosiddetti semplici equazioni trigonometriche. Ecco come appaiono: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Tenere conto, come risolvere tali equazioni trigonometriche, per chiarezza utilizzeremo il già noto cerchio trigonometrico.

sinx = a

cos x = a

abbronzatura x = a

lettino x = a

Qualsiasi equazione trigonometrica viene risolta in due fasi: portiamo l'equazione nella forma più semplice e quindi la risolviamo come l'equazione trigonometrica più semplice.
Esistono 7 metodi principali con cui vengono risolte le equazioni trigonometriche.

1. Sostituzione di variabili e metodo di sostituzione

Risolvi l'equazione 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Usando le formule di riduzione otteniamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Sostituiamo cos(x + /6) con y per semplicità e otteniamo la solita equazione quadratica:

2 anni 2 – 3 anni + 1 + 0

Le radici di cui y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ora andiamo indietro

Sostituiamo i valori trovati di y e otteniamo due risposte:

2. Risolvere equazioni trigonometriche attraverso la fattorizzazione

Come risolvere l'equazione sin x + cos x = 1?

Spostiamo tutto a sinistra in modo che 0 rimanga a destra:

sin x + cos x - 1 = 0

Usiamo le identità di cui sopra per semplificare l'equazione:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Facciamo la fattorizzazione:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2peccato(x/2) * = 0

Otteniamo due equazioni

3. Riduzione ad un'equazione omogenea

Un'equazione è omogenea rispetto a seno e coseno se tutti i suoi termini rispetto a seno e coseno sono dello stesso grado dello stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea, procedere come segue:

a) trasferire tutti i suoi membri sul lato sinistro;

b) mettere fuori parentesi tutti i fattori comuni;

c) equiparare tutti i fattori e le parentesi a 0;

d) tra parentesi si ottiene un'equazione omogenea di grado minore, che a sua volta è divisa per un seno o coseno in grado maggiore;

e) risolvere l'equazione risultante per tg.

Risolvi l'equazione 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Usiamo la formula sin 2 x + cos 2 x = 1 ed eliminiamo i due aperti a destra:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividi per cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Sostituiamo tg x con y e otteniamo un'equazione quadratica:

y 2 + 4y +3 = 0 le cui radici sono y 1 =1, y 2 = 3

Da qui troviamo due soluzioni all'equazione originale:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Risolvere equazioni, attraverso il passaggio a un mezzo angolo

Risolvi l'equazione 3sin x - 5cos x = 7

Passiamo a x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Spostando tutto a sinistra:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividi per cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduzione di un angolo ausiliario

Per considerazione, prendiamo un'equazione della forma: a sin x + b cos x \u003d c,

dove a, b, c sono dei coefficienti arbitrari e x è un'incognita.

Dividi entrambi i membri dell'equazione per:



Ora i coefficienti dell'equazione, secondo formule trigonometriche, hanno le proprietà di sin e cos, ovvero: il loro modulo non è maggiore di 1 e la somma dei quadrati = 1. Indichiamoli rispettivamente come cos e sin, dove è il cosiddetto angolo ausiliario. Quindi l'equazione assumerà la forma:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

o sin(x + ) = C

La soluzione a questa semplice equazione trigonometrica è

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, dove



Va notato che le designazioni cos e sin sono intercambiabili.

Risolvi l'equazione sin 3x - cos 3x = 1

In questa equazione, i coefficienti sono:

a \u003d, b \u003d -1, quindi dividiamo entrambe le parti per \u003d 2

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Non è un segreto che il successo o il fallimento nel processo di risoluzione di quasi tutti i problemi dipenda principalmente dalla correttezza della definizione del tipo. data equazione, nonché sulla corretta riproduzione della sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Tuttavia, nel caso delle equazioni trigonometriche, non è affatto difficile determinare il fatto che l'equazione sia trigonometrica. Ma nel processo di determinazione della sequenza di azioni che dovrebbero portarci alla risposta corretta, potremmo incontrare alcune difficoltà. Scopriamo come risolvere correttamente le equazioni trigonometriche fin dall'inizio.

Risoluzione di equazioni trigonometriche

Per risolvere l'equazione trigonometrica, devi provare a eseguire i seguenti punti:

• Portiamo tutte le funzioni che sono incluse nella nostra equazione agli "stessi angoli";
• Necessità di portare per data equazione a "stesse funzioni";
• Scomponiamo il lato sinistro dell'equazione data in fattori o altri componenti necessari.

Metodi

Metodo 1. È necessario risolvere tali equazioni in due fasi. Innanzitutto, trasformiamo l'equazione per ottenere la sua forma più semplice (semplificata). Equazione: Cosx = a, Sinx = a e simili sono dette le equazioni trigonometriche più semplici. Il secondo passo è risolvere la semplice equazione risultante. Va notato che l'equazione più semplice può essere risolta con il metodo algebrico, che ci è ben noto dal corso di algebra scolastica. Viene anche chiamato metodo di sostituzione e sostituzione variabile. Con l'aiuto delle formule di riduzione, devi prima trasformare, quindi fare una sostituzione e quindi trovare le radici.

Successivamente, devi scomporre la nostra equazione in possibili fattori, per questo devi spostare tutti i termini a sinistra e quindi puoi scomporre in fattori. Ora devi portare questa equazione a una omogenea, in cui tutti i termini sono uguali allo stesso grado e il coseno e il seno hanno lo stesso angolo.

Prima di risolvere le equazioni trigonometriche, devi trasferire i suoi termini sul lato sinistro, prendendoli dal lato destro, quindi togliamo tutti i denominatori comuni tra parentesi. Uguagliamo le nostre parentesi e i nostri fattori a zero. Le nostre parentesi equiparate sono un'equazione omogenea di grado ridotto da dividere per sin(cos) alla potenza più alta. Ora decidiamo equazione algebrica, che è stato ottenuto, in relazione all'abbronzatura.

Metodo 2. Un altro metodo con cui puoi risolvere l'equazione trigonometrica è il passaggio a un mezzo angolo. Ad esempio, risolviamo l'equazione: 3sinx-5cosx=7.

Dobbiamo andare a metà angolo, nel nostro caso è: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) E dopo, riduciamo tutti i termini in una parte (per comodità, è meglio scegliere quello giusto) e procediamo a risolvere l'equazione.

Se necessario, è possibile inserire un angolo ausiliario. Questo viene fatto quando è necessario sostituire il valore intero sin (a) o cos (a) e il segno "a" funge solo da angolo ausiliario.

prodotto da sommare

Come risolvere le equazioni trigonometriche usando il prodotto somma? Il metodo noto come conversione da prodotto a somma può essere utilizzato anche per risolvere tali equazioni. In questo caso, è necessario utilizzare le formule corrispondenti all'equazione.

Ad esempio, abbiamo un'equazione: 2sinx * sin3x= cos4x

Dobbiamo risolvere questo problema convertendo il lato sinistro in una somma, ovvero:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Se i metodi precedenti non sono adatti e non sai ancora come risolvere le equazioni trigonometriche più semplici, puoi utilizzare un altro metodo: la sostituzione universale. Con esso, puoi trasformare l'espressione e fare una sostituzione. Ad esempio: Cos(x/2)=u. Ora possiamo risolvere l'equazione con il parametro dato u. E dopo aver ricevuto il risultato desiderato, non dimenticare di tradurre questo valore nel contrario.

Si consiglia a molti studenti "esperti" di rivolgersi a persone online per risolvere le equazioni. Come risolvere un'equazione trigonometrica online, chiedi. Per soluzioni in linea problemi, puoi rivolgerti ai forum degli argomenti rilevanti, dove possono aiutarti con consigli o nella risoluzione del problema. Ma la cosa migliore è provare a cavarsela da soli.

Abilità e abilità nel risolvere equazioni trigonometriche sono molto importanti e utili. Il loro sviluppo richiederà molto impegno da parte tua. Molti problemi di fisica, stereometria, ecc. sono associati alla soluzione di tali equazioni. E il processo stesso di risoluzione di tali problemi implica la presenza di abilità e conoscenze che possono essere acquisite studiando gli elementi della trigonometria.

Impara le formule trigonometriche

Nel processo di risoluzione di un'equazione, potresti riscontrare la necessità di utilizzare qualsiasi formula dalla trigonometria. Puoi, ovviamente, iniziare a cercarlo nei tuoi libri di testo e cheat sheet. E se queste formule ti vengono messe in testa, non solo risparmierai i tuoi nervi, ma renderai anche il tuo compito molto più semplice, senza perdere tempo a cercare le informazioni necessarie. Pertanto, avrai l'opportunità di pensare al modo più razionale per risolvere il problema.

Lezione applicazione complessa conoscenza.

Obiettivi della lezione.

1. Tenere conto vari metodi soluzioni di equazioni trigonometriche.
2. Sviluppo creatività studenti risolvendo equazioni.
3. Incoraggiare gli studenti all'autocontrollo, al controllo reciproco, all'autoanalisi delle loro attività educative.

Dotazioni: schermo, proiettore, materiale di riferimento.

Durante le lezioni

Conversazione introduttiva.

Il metodo principale per risolvere le equazioni trigonometriche è la loro riduzione più semplice. In questo caso vengono utilizzati i metodi usuali, ad esempio la fattorizzazione, nonché le tecniche utilizzate solo per risolvere le equazioni trigonometriche. Esistono molti di questi trucchi, ad esempio varie sostituzioni trigonometriche, trasformazioni angolari, trasformazioni di funzioni trigonometriche. L'applicazione indiscriminata di qualsiasi trasformazione trigonometrica di solito non semplifica l'equazione, ma la complica disastrosamente. Per allenarsi in termini generali pianificare per risolvere l'equazione, delineare un modo per ridurre l'equazione al più semplice, è necessario prima analizzare gli angoli - gli argomenti delle funzioni trigonometriche incluse nell'equazione.

Oggi parleremo dei metodi per risolvere le equazioni trigonometriche. Un metodo scelto correttamente spesso permette una notevole semplificazione della soluzione, quindi tutti i metodi che abbiamo studiato dovrebbero essere sempre tenuti nell'area della nostra attenzione per risolvere le equazioni trigonometriche nel modo più appropriato.

II. (Usando un proiettore, ripetiamo i metodi per risolvere le equazioni.)

1. Un metodo per ridurre un'equazione trigonometrica ad una algebrica.

Tutto deve essere espresso funzioni trigonometriche attraverso uno, con lo stesso argomento. Questo può essere fatto utilizzando l'identità trigonometrica di base e i suoi corollari. Otteniamo un'equazione con una funzione trigonometrica. Prendendolo come una nuova incognita, otteniamo un'equazione algebrica. Troviamo le sue radici e torniamo all'antica incognita, risolvendo le più semplici equazioni trigonometriche.

2. Metodo di fattorizzazione.

Per modificare gli angoli, sono spesso utili formule di riduzione, somme e differenze di argomenti, nonché formule per convertire la somma (differenza) di funzioni trigonometriche in un prodotto e viceversa.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Metodo per introdurre un angolo aggiuntivo.

4. Metodo di utilizzo della sostituzione universale.

Le equazioni della forma F(sinx, cosx, tgx) = 0 sono ridotte ad equazioni algebriche usando la sostituzione trigonometrica universale

Esprimere seno, coseno e tangente in termini di tangente di un semiangolo. Questo trucco può portare a un'equazione di ordine superiore. La cui decisione è difficile.

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