Soluzione di disuguaglianze complesse online. Alcuni punti su come si risolvono le disuguaglianze

Per prima cosa, alcuni testi per avere un'idea del problema che il metodo interval risolve. Supponiamo di dover risolvere la seguente disuguaglianza:

(x - 5)(x + 3) > 0

Quali sono le opzioni? La prima cosa che viene in mente alla maggior parte degli studenti sono le regole "più volte più fa più" e "meno volte meno fa più". Pertanto, è sufficiente considerare il caso in cui entrambe le parentesi sono positive: x − 5 > 0 e x + 3 > 0. Consideriamo quindi anche il caso in cui entrambe le parentesi sono negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Gli studenti più avanzati ricorderanno (forse) che a sinistra c'è una funzione quadratica il cui grafico è una parabola. Inoltre, questa parabola interseca l'asse OX nei punti x = 5 e x = −3. Per ulteriori lavori, è necessario aprire le parentesi. Abbiamo:

x 2 - 2 x - 15 > 0

Ora è chiaro che i rami della parabola sono diretti verso l'alto, perché coefficiente a = 1 > 0. Proviamo a tracciare un diagramma di questa parabola:

La funzione è maggiore di zero dove passa sopra l'asse OX. Nel nostro caso, questi sono gli intervalli (−∞ −3) e (5; +∞) - questa è la risposta.

Si prega di notare che l'immagine mostra esattamente diagramma funzionale, non il suo programma. Perché per un grafico reale, devi calcolare le coordinate, calcolare gli offset e altre cazzate, di cui ora non abbiamo più bisogno.

Perché questi metodi sono inefficaci?

Quindi, abbiamo considerato due soluzioni per la stessa disuguaglianza. Entrambi si sono rivelati molto ingombranti. Sorge la prima decisione: pensaci! è un insieme di sistemi di disuguaglianze. Anche la seconda soluzione non è molto semplice: devi ricordare il grafico della parabola e un sacco di altri piccoli fatti.

Era una disuguaglianza molto semplice. Ha solo 2 moltiplicatori. Ora immagina che non ci saranno 2 moltiplicatori, ma almeno 4. Ad esempio:

(x - 7)(x - 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Come risolvere tale disuguaglianza? Passare attraverso tutte le possibili combinazioni di pro e contro? Sì, ci addormenteremo più velocemente di quanto troveremo una soluzione. Anche il disegno di un grafico non è un'opzione, poiché non è chiaro come si comporti tale funzione sul piano delle coordinate.

Per tali disuguaglianze, è necessario uno speciale algoritmo di soluzione, che considereremo oggi.

Qual è il metodo dell'intervallo

Il metodo dell'intervallo è uno speciale algoritmo progettato per risolvere disuguaglianze complesse della forma f (x) > 0 e f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Risolvi l'equazione f (x) \u003d 0. Pertanto, invece di una disuguaglianza, otteniamo un'equazione molto più facile da risolvere;
2. Segna tutte le radici ottenute sulla linea delle coordinate. Così, la retta sarà divisa in più intervalli;
3. Trova il segno (più o meno) della funzione f (x) sull'intervallo più a destra. Per fare ciò è sufficiente sostituire in f(x) qualsiasi numero che sarà a destra di tutte le radici marcate;
4. Segna i segni su altri intervalli. Per fare ciò, è sufficiente ricordare che passando per ogni radice, il segno cambia.

È tutto! Dopodiché, resta solo da scrivere gli intervalli che ci interessano. Sono contrassegnati con un segno "+" se la disuguaglianza era della forma f (x) > 0, o un segno "−" se la disuguaglianza era della forma f (x)< 0.

A prima vista, può sembrare che il metodo dell'intervallo sia una specie di latta. Ma in pratica, tutto sarà molto semplice. Ci vuole un po' di pratica e tutto diventerà chiaro. Dai un'occhiata agli esempi e guarda di persona:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x - 2)(x + 7)< 0

Lavoriamo sul metodo degli intervalli. Passaggio 1: sostituisci la disuguaglianza con un'equazione e risolvila:

(x - 2)(x + 7) = 0

Il prodotto è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero:

x - 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = -7.

Ha due radici. Vai al passaggio 2: segna queste radici sulla linea delle coordinate. Abbiamo:

Ora passaggio 3: troviamo il segno della funzione sull'intervallo più a destra (a destra del punto contrassegnato x = 2). Per fare ciò, devi prendere qualsiasi numero maggiore del numero x = 2. Ad esempio, prendiamo x = 3 (ma nessuno vieta di prendere x = 4, x = 10 e anche x = 10.000). Noi abbiamo:

f(x) = (x - 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Otteniamo che f (3) = 10 > 0, quindi mettiamo un segno più nell'intervallo più a destra.

Passiamo all'ultimo punto: è necessario notare i segni sugli intervalli rimanenti. Ricorda che quando passi per ogni radice, il segno deve cambiare. Ad esempio, a destra della radice x = 2 c'è un più (ci siamo assicurati nel passaggio precedente), quindi deve esserci un meno a sinistra.

Questo meno si estende all'intero intervallo (−7; 2), quindi c'è un meno a destra della radice x = −7. Pertanto, c'è un più a sinistra della radice x = −7. Resta da contrassegnare questi segni sull'asse delle coordinate. Abbiamo:

Torniamo alla disuguaglianza originale, che sembrava:

(x - 2)(x + 7)< 0

Quindi la funzione deve essere minore di zero. Ciò significa che siamo interessati al segno meno, che compare solo su un intervallo: (−7; 2). Questa sarà la risposta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x + 9)(x - 3)(1 - x )< 0

Passaggio 1: equipara il lato sinistro a zero:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 - x = 0 ⇒ x = 1.

Ricorda: il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Ecco perché abbiamo il diritto di equiparare a zero ogni singola fascia.

Passaggio 2: segnare tutte le radici sulla linea delle coordinate:

Passaggio 3: scopri il segno del divario più a destra. Prendiamo qualsiasi numero maggiore di x = 1. Ad esempio, possiamo prendere x = 10. Abbiamo:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

Passaggio 4: posiziona il resto dei segni. Ricorda che quando passi attraverso ogni radice, il segno cambia. Di conseguenza, la nostra immagine sarà simile a questa:

È tutto. Resta solo da scrivere la risposta. Dai un'altra occhiata alla disuguaglianza originale:

(x + 9)(x - 3)(1 - x )< 0

Questa è una disuguaglianza della forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Questa è la risposta.

Una nota sui segni di funzione

La pratica mostra che le maggiori difficoltà nel metodo dell'intervallo sorgono negli ultimi due passaggi, ad es. quando si posizionano i segni. Molti studenti iniziano a confondersi: quali numeri prendere e dove mettere i segni.

Per comprendere finalmente il metodo dell'intervallo, consideriamo due osservazioni su cui è costruito:

1. Una funzione continua cambia segno solo nei punti dove è uguale a zero. Tali punti spezzano l'asse delle coordinate in pezzi, all'interno dei quali il segno della funzione non cambia mai. Ecco perché risolviamo l'equazione f (x) \u003d 0 e segniamo le radici trovate su una linea retta. I numeri trovati sono i punti "di confine" che separano i vantaggi dai meno.
2. Per scoprire il segno di una funzione su qualsiasi intervallo, è sufficiente sostituire nella funzione un numero qualsiasi di questo intervallo. Ad esempio, per l'intervallo (−5; 6) possiamo prendere x = −4, x = 0, x = 4 e anche x = 1,29374 se vogliamo. Perché è importante? Sì, perché molti studenti iniziano a rodere i dubbi. Ad esempio, cosa succede se per x = -4 otteniamo un più e per x = 0 otteniamo un meno? Non accadrà mai niente del genere. Tutti i punti nello stesso intervallo danno lo stesso segno. Ricorda questo.

Questo è tutto ciò che devi sapere sul metodo dell'intervallo. Naturalmente, l'abbiamo smantellato nella sua forma più semplice. Esistono disuguaglianze più complesse: non rigorose, frazionarie e con radici ripetute. Per loro, puoi anche applicare il metodo dell'intervallo, ma questo è un argomento per una grande lezione separata.

Ora vorrei analizzare un trucco avanzato che semplifica drasticamente il metodo dell'intervallo. Più precisamente, la semplificazione riguarda solo il terzo passaggio: il calcolo del segno sul pezzo più a destra della linea. Per qualche ragione, questa tecnica non è praticata nelle scuole (almeno nessuno me lo ha spiegato). Ma invano - in effetti, questo algoritmo è molto semplice.

Quindi, il segno della funzione è sul pezzo destro dell'asse numerico. Questo pezzo ha la forma (a; +∞), dove a è la radice più grande dell'equazione f (x) = 0. Per non farci esplodere il cervello, considera un esempio specifico:

(x - 1)(2 + x )(7 - x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1)(2 + x )(7 - x ) = 0;
x - 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 - x = 0 ⇒ x = 7;

Abbiamo 3 radici. Li elenchiamo in ordine crescente: x = −2, x = 1 e x = 7. Ovviamente, la radice più grande è x = 7.

Per coloro che trovano più facile ragionare graficamente, segnerò queste radici sulla linea delle coordinate. Vediamo cosa succede:

È necessario trovare il segno della funzione f (x) sull'intervallo più a destra, cioè su (7; +∞). Ma come abbiamo già notato, per determinare il segno, puoi prendere qualsiasi numero da questo intervallo. Ad esempio, puoi prendere x = 8, x = 150, ecc. E ora - la stessa tecnica che non viene insegnata nelle scuole: prendiamo l'infinito come numero. Più precisamente, più infinito, cioè. +∞.

"Sei lapidato? Come puoi sostituire l'infinito in una funzione? forse, chiedi. Ma pensaci bene: non abbiamo bisogno del valore della funzione stessa, abbiamo solo bisogno del segno. Pertanto, ad esempio, i valori f (x) = −1 e f (x) = −938 740 576 215 significano la stessa cosa: la funzione è negativa su questo intervallo. Pertanto, tutto ciò che ti è richiesto è trovare il segno che si verifica all'infinito e non il valore della funzione.

In effetti, sostituire l'infinito è molto semplice. Torniamo alla nostra funzione:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Immagina che x sia un numero molto grande. Un miliardo o anche un trilione. Ora vediamo cosa succede in ciascuna parentesi.

Prima parentesi: (x − 1). Cosa succede se sottrai uno da un miliardo? Il risultato sarà un numero non molto diverso da un miliardo, e questo numero sarà positivo. Allo stesso modo con la seconda parentesi: (2 + x). Se aggiungiamo un miliardo a due, otteniamo un miliardo con i copechi: questo è un numero positivo. Infine, la terza parentesi: (7 − x ). Qui ci sarà meno un miliardo, da cui è stato "rosicchiato" un miserabile pezzo a forma di sette. Quelli. il numero risultante non differirà molto da meno un miliardo: sarà negativo.

Resta da trovare il segno dell'intera opera. Dato che avevamo un più nelle prime parentesi e un meno nell'ultima parentesi, otteniamo la seguente costruzione:

(+) · (+) · (−) = (−)

Il segno finale è meno! Non importa quale sia il valore della funzione stessa. La cosa principale è che questo valore è negativo, ad es. sull'intervallo più a destra c'è un segno meno. Resta da completare il quarto passaggio del metodo dell'intervallo: disporre tutti i segni. Abbiamo:

La disuguaglianza originale sembrava:

(x - 1)(2 + x )(7 - x )< 0

Pertanto, siamo interessati agli intervalli contrassegnati da un segno meno. Scriviamo la risposta:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Questo è tutto il trucco che volevo raccontare. In conclusione, c'è un'altra disuguaglianza, che viene risolta con il metodo dell'intervallo usando l'infinito. Per abbreviare visivamente la soluzione, non scriverò numeri di passaggio e commenti dettagliati. Scriverò solo ciò che è veramente necessario scrivere quando si risolvono problemi reali:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

x (2x + 8)(x - 3) > 0

Sostituiamo la disuguaglianza con un'equazione e la risolviamo:

x (2x + 8)(x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Segniamo tutte e tre le radici sulla linea delle coordinate (immediatamente con i segni):

C'è un vantaggio sul lato destro dell'asse delle coordinate, perché la funzione si presenta come:

f(x) = x(2x + 8)(x - 3)

E se sostituiamo l'infinito (ad esempio un miliardo), otteniamo tre parentesi positive. Poiché l'espressione originale deve essere maggiore di zero, ci interessano solo i vantaggi. Resta da scrivere la risposta:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

E oggi non tutti possono risolvere le disuguaglianze razionali. Più precisamente, non solo tutti possono decidere. Poche persone possono farlo.
Klitschko

Questa lezione sarà dura. Così duro che solo i Prescelti arriveranno alla fine. Pertanto, prima di leggere, consiglio di rimuovere donne, gatti, bambini in gravidanza e ...

Va bene, in realtà è abbastanza semplice. Supponiamo di aver imparato il metodo dell'intervallo (se non lo hai imparato, ti consiglio di tornare indietro e leggerlo) e di aver imparato a risolvere le disuguaglianze della forma $P\left(x \right) \gt 0$, dove $P \left(x \right)$ è un polinomio o prodotto di polinomi.

Credo che non sarà difficile per te risolvere, ad esempio, un gioco del genere (a proposito, provalo per un riscaldamento):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\sinistra(2((x)^(2))-3x-20 \destra)\sinistra(x-1 \destra)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Ora complichiamo un po' il compito e consideriamo non solo i polinomi, ma le cosiddette frazioni razionali della forma:

dove $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ sono gli stessi polinomi della forma $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o il prodotto di tali polinomi.

Questa sarà una disuguaglianza razionale. Il punto fondamentale è la presenza della variabile $x$ al denominatore. Ad esempio, ecco le disuguaglianze razionali:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(11x+2 \destra))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

E questa non è una disuguaglianza razionale, ma la più comune, che viene risolta con il metodo dell'intervallo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Guardando al futuro, dico subito: ci sono almeno due modi per risolvere le disuguaglianze razionali, ma tutte in un modo o nell'altro si riducono al metodo degli intervalli a noi già noto. Pertanto, prima di analizzare questi metodi, ricordiamo i vecchi fatti, altrimenti non avrà senso dal nuovo materiale.

Quello che devi già sapere

Non ci sono molti fatti importanti. Ne servono davvero solo quattro.

Formule di moltiplicazione abbreviate

Sì, sì: ci perseguiteranno per tutto il curriculum di matematica della scuola. E anche all'università. Ci sono alcune di queste formule, ma abbiamo solo bisogno di quanto segue:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\sinistra(a-b \destra)\sinistra(a+b \destra); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\sinistra(a+b \destra)\sinistra(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\destra); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\sinistra(a-b \destra)\sinistra(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\destra). \\ \fine(allineamento)\]

Presta attenzione alle ultime due formule: questa è la somma e la differenza dei cubi (e non il cubo della somma o della differenza!). Sono facili da ricordare se si nota che il segno nella prima parentesi è lo stesso del segno nell'espressione originale e nella seconda parentesi è l'opposto del segno nell'espressione originale.

Equazioni lineari

Queste sono le equazioni più semplici della forma $ax+b=0$, dove $a$ e $b$ sono numeri ordinari e $a\ne 0$. Questa equazione è facile da risolvere:

\[\begin(allineamento) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \fine(allineamento)\]

Noto che abbiamo il diritto di dividere per il coefficiente $a$, perché $a\ne 0$. Questo requisito è abbastanza logico, poiché con $a=0$ otteniamo questo:

Innanzitutto, non esiste una variabile $x$ in questa equazione. Questo, in generale, non dovrebbe confonderci (questo accade, diciamo, in geometria, e abbastanza spesso), ma ancora non siamo più un'equazione lineare.

In secondo luogo, la soluzione di questa equazione dipende esclusivamente dal coefficiente $b$. Se anche $b$ è zero, la nostra equazione è $0=0$. Questa uguaglianza è sempre vera; quindi $x$ è qualsiasi numero (di solito scritto come $x\in \mathbb(R)$). Se il coefficiente $b$ non è uguale a zero, allora l'uguaglianza $b=0$ non è mai soddisfatta, cioè nessuna risposta (scrivi $x\in \varnothing $ e leggi "il set di soluzioni è vuoto").

Per evitare tutte queste complicazioni, assumiamo semplicemente $a\ne 0$, il che non ci impedisce in alcun modo di ulteriori riflessioni.

Equazioni quadratiche

Lascia che ti ricordi che questa è chiamata equazione di secondo grado:

Qui a sinistra c'è un polinomio di secondo grado, e ancora $a\ne 0$ (altrimenti, invece di un'equazione quadratica, otteniamo un'equazione lineare). Le seguenti equazioni vengono risolte attraverso il discriminante:

1. Se $D \gt 0$, otteniamo due radici diverse;
2. Se $D=0$, allora la radice sarà uno, ma della seconda molteplicità (che tipo di molteplicità è e come tenerne conto - ne parleremo più avanti). Oppure possiamo dire che l'equazione ha due radici identiche;
3. Per $D \lt 0$ non ci sono radici e il segno del polinomio $a((x)^(2))+bx+c$ per ogni $x$ coincide con il segno del coefficiente $a $. Questo, tra l'altro, è un fatto molto utile, che per qualche ragione viene dimenticato di essere raccontato nelle lezioni di algebra.

Le radici stesse sono calcolate secondo la famosa formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Da qui, tra l'altro, le restrizioni al discriminante. Dopotutto, la radice quadrata di un numero negativo non esiste. Per quanto riguarda le radici, molti studenti hanno un terribile pasticcio in testa, quindi ho registrato appositamente un'intera lezione: cos'è una radice in algebra e come calcolarla - consiglio vivamente di leggerla. :)

Operazioni con frazioni razionali

Tutto ciò che è stato scritto sopra, lo sai già se hai studiato il metodo degli intervalli. Ma ciò che analizzeremo ora non ha analoghi in passato: questo è un fatto completamente nuovo.

Definizione. Una frazione razionale è un'espressione della forma

\[\frac(P\sinistra(x \destra))(Q\sinistra(x \destra))\]

dove $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ sono polinomi.

È ovvio che è facile ottenere una disuguaglianza da una tale frazione: è sufficiente attribuire il segno "maggiore di" o "minore di" a destra. E un po' più avanti scopriremo che risolvere questi problemi è un piacere, lì è tutto molto semplice.

I problemi iniziano quando ci sono diverse frazioni di questo tipo in un'espressione. Devono essere ridotti a un denominatore comune - ed è in questo momento che si commettono un gran numero di errori offensivi.

Pertanto, per risolvere con successo le equazioni razionali, è necessario padroneggiare saldamente due abilità:

1. Fattorizzazione del polinomio $P\left(x \right)$;
2. In realtà, portare le frazioni a un denominatore comune.

Come fattorizzare un polinomio? Molto semplice. Si abbia un polinomio della forma

Parliamo a zero. Otteniamo l'equazione di $n$-esimo grado:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Diciamo che abbiamo risolto questa equazione e ottenuto le radici $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (non preoccuparti: nella maggior parte dei casi non ci saranno più di due di queste radici) . In questo caso, il nostro polinomio originale può essere riscritto in questo modo:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-(x)_( n)) \right) \end(align)\]

È tutto! Nota: il coefficiente principale $((a)_(n))$ non è scomparso da nessuna parte - sarà un fattore separato prima delle parentesi e, se necessario, può essere inserito in una qualsiasi di queste parentesi (esercitazioni che con $((a)_ (n))\ne \pm 1$ ci sono quasi sempre frazioni tra le radici).

Compito. Semplifica l'espressione:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Decisione. Per prima cosa, diamo un'occhiata ai denominatori: sono tutti binomi lineari e non c'è nulla da fattorizzare qui. Quindi fattorizziamo i numeratori:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\sinistra(x-\frac(3)(2) \destra)\sinistra(x-1 \destra)=\sinistra(2x- 3\destra)\sinistra(x-1\destra); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sinistra(x+2 \destra)\sinistra(x-\frac(2)(5) \destra)=\sinistra(x +2 \destra)\sinistra(2-5x \destra). \\\fine(allineamento)\]

Nota: nel secondo polinomio, il coefficiente senior "2", in piena conformità con il nostro schema, è apparso prima davanti alla parentesi, quindi è stato incluso nella prima parentesi, poiché una frazione è uscita lì.

La stessa cosa è successa nel terzo polinomio, solo che lì si confonde anche l'ordine dei termini. Tuttavia, il coefficiente "−5" è finito per essere incluso nella seconda parentesi (ricorda: puoi inserire un fattore in una e solo una parentesi!), che ci ha risparmiato l'inconveniente associato alle radici frazionarie.

Per quanto riguarda il primo polinomio, lì tutto è semplice: le sue radici si cercano o in modo standard attraverso il discriminante, o usando il teorema di Vieta.

Torniamo all'espressione originaria e la riscriviamo con i numeratori scomposti in fattori:

\[\begin(matrice) \frac(\sinistra(x+5 \destra)\sinistra(x-4 \destra))(x-4)-\frac(\sinistra(2x-3 \destra)\sinistra( x-1 \destra))(2x-3)-\frac(\sinistra(x+2 \destra)\sinistra(2-5x \destra))(x+2)= \\ =\sinistra(x+5 \destra)-\sinistra(x-1 \destra)-\sinistra(2-5x \destra)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \fine(matrice)\]

Risposta: $5x+4$.

Come puoi vedere, niente di complicato. Un po' di matematica tra la settima e l'ottava elementare e basta. Il punto di tutte le trasformazioni è trasformare un'espressione complessa e spaventosa in qualcosa di semplice e facile con cui lavorare.

Tuttavia, questo non sarà sempre il caso. Quindi ora prenderemo in considerazione un problema più serio.

Ma prima, scopriamo come portare due frazioni a un denominatore comune. L'algoritmo è estremamente semplice:

1. Fattorizzare entrambi i denominatori;
2. Considera il primo denominatore e aggiungi ad esso i fattori presenti nel secondo denominatore, ma non nel primo. Il prodotto risultante sarà il denominatore comune;
3. Scopri quali fattori mancano a ciascuna delle frazioni originali in modo che i denominatori diventino uguali a quello comune.

Forse questo algoritmo ti sembrerà solo un testo in cui ci sono "molte lettere". Quindi diamo un'occhiata a un esempio specifico.

Compito. Semplifica l'espressione:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \destra)\]

Decisione. Tali compiti voluminosi si risolvono meglio in parti. Scriviamo cosa c'è nella prima parentesi:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

A differenza del problema precedente, qui i denominatori non sono così semplici. Fattorizziamo ciascuno di essi.

Il trinomio quadrato $((x)^(2))+2x+4$ non può essere fattorizzato perché l'equazione $((x)^(2))+2x+4=0$ non ha radici (il discriminante è negativo) . Lo lasciamo invariato.

Il secondo denominatore, il polinomio cubico $((x)^(3))-8$, ad un esame più attento è la differenza di cubi e può essere facilmente scomposto usando le formule di moltiplicazione abbreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x) ^(2))+2x+4 \destra)\]

Nient'altro può essere scomposto, poiché la prima parentesi contiene un binomio lineare, e la seconda è una costruzione a noi già familiare, che non ha vere radici.

Infine, il terzo denominatore è un binomio lineare che non può essere scomposto. Pertanto, la nostra equazione assumerà la forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \destra))-\frac(1)(x-2)\]

È abbastanza ovvio che $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ sarà il denominatore comune, e per ridurre ad esso tutte le frazioni, è necessario moltiplicare la prima frazione per $\left(x-2 \right)$ e l'ultima per $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Quindi resta solo da portare quanto segue:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ destra))+\frac(((x)^(2))+8)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \destra))= \\ =\frac(x\cdot \sinistra(x-2 \destra)+\sinistra(((x)^(2))+8 \destra)-\sinistra(((x )^(2))+2x+4 \destra))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra (((x)^(2))+2x+4 \destra))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sinistra(x-2 \destra)\ sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra)). \\ \fine(matrice)\]

Presta attenzione alla seconda riga: quando il denominatore è già comune, cioè invece di tre frazioni separate, ne abbiamo scritta una grande, non dovresti sbarazzarti immediatamente delle parentesi. È meglio scrivere una riga in più e notare che, ad esempio, c'era un meno prima della terza frazione - e non andrà da nessuna parte, ma si "bloccherà" nel numeratore davanti alla parentesi. Questo ti farà risparmiare molti errori.

Bene, nell'ultima riga è utile fattorizzare il numeratore. Inoltre, questo è un quadrato esatto e le formule di moltiplicazione abbreviate vengono di nuovo in nostro aiuto. Abbiamo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ora affrontiamo la seconda parentesi allo stesso modo. Qui scriverò semplicemente una catena di uguaglianze:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))+\frac(2\cdot \sinistra(x+2 \destra))(\sinistra(x-2 \destra) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra) ). \\ \fine(matrice)\]

Torniamo al problema originale e guardiamo il prodotto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))=\frac(1)(x+2)\]

Risposta: \[\frac(1)(x+2)\].

Il significato di questo problema è lo stesso del precedente: mostrare quanto le espressioni razionali possono essere semplificate se ci si avvicina con saggezza alla loro trasformazione.

E ora, quando saprai tutto questo, passiamo all'argomento principale della lezione di oggi: risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie. Inoltre, dopo tale preparazione, le disuguaglianze stesse scatteranno come matti. :)

Il modo principale per risolvere le disuguaglianze razionali

Ci sono almeno due approcci per risolvere le disuguaglianze razionali. Ora ne considereremo uno, quello generalmente accettato nel corso di matematica della scuola.

Ma prima, notiamo un dettaglio importante. Tutte le disuguaglianze sono divise in due tipi:

1. Rigoroso: $f\sinistra(x \destra) \gt 0$ o $f\sinistra(x \destra) \lt 0$;
2. Non restrittivo: $f\sinistra(x \destra)\ge 0$ o $f\sinistra(x \destra)\le 0$.

Le disuguaglianze del secondo tipo si riducono facilmente al primo, così come l'equazione:

Questa piccola "aggiunta" $f\left(x \right)=0$ porta a una cosa spiacevole come i punti pieni: li abbiamo incontrati nel metodo interval. Altrimenti, non ci sono differenze tra disuguaglianze rigorose e non rigorose, quindi analizziamo l'algoritmo universale:

1. Raccogli tutti gli elementi diversi da zero su un lato del segno di disuguaglianza. Ad esempio, a sinistra;
2. Porta tutte le frazioni a un denominatore comune (se ce ne sono diverse di queste frazioni), porta quelle simili. Quindi, se possibile, fattorizzare nel numeratore e denominatore. In un modo o nell'altro, otteniamo una disuguaglianza della forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, dove il segno di spunta è il segno di disuguaglianza.
3. Uguaglia il numeratore a zero: $P\left(x \right)=0$. Risolviamo questa equazione e otteniamo le radici $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Quindi richiediamo che il denominatore non fosse uguale a zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Ovviamente, in sostanza, dobbiamo risolvere l'equazione $Q\left(x \right)=0$, e otteniamo le radici $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (nei problemi reali difficilmente ci saranno più di tre di queste radici).
4. Contrassegniamo tutte queste radici (sia con che senza asterischi) su una singola linea numerica e le radici senza stelle vengono dipinte e quelle con le stelle vengono ritagliate.
5. Posizioniamo i segni più e meno, selezioniamo gli intervalli di cui abbiamo bisogno. Se la disuguaglianza ha la forma $f\left(x \right) \gt 0$, la risposta saranno gli intervalli contrassegnati da un "più". Se $f\left(x \right) \lt 0$, allora esaminiamo gli intervalli con "meno".

La pratica mostra che i punti 2 e 4 causano le maggiori difficoltà: trasformazioni competenti e la corretta disposizione dei numeri in ordine crescente. Bene, nell'ultimo passaggio, stai estremamente attento: posizioniamo sempre i segni in base a l'ultima disuguaglianza scritta prima di passare alle equazioni. Questa è una regola universale ereditata dal metodo interval.

Quindi, c'è uno schema. Facciamo un pò di pratica.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Decisione. Abbiamo una stretta disuguaglianza nella forma $f\left(x \right) \lt 0$. Ovviamente i punti 1 e 2 del nostro schema sono già stati completati: tutti gli elementi di disuguaglianza sono raccolti a sinistra, nulla deve essere ridotto a un denominatore comune. Passiamo quindi al terzo punto.

Imposta il numeratore a zero:

\[\begin(allinea) & x-3=0; \\ &x=3. \fine(allineamento)\]

E il denominatore:

\[\begin(allinea) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \fine(allineamento)\]

In questo posto molte persone si bloccano, perché in teoria devi scrivere $x+7\ne 0$, come richiesto dall'ODZ (non puoi dividere per zero, tutto qui). Ma dopotutto, in futuro tireremo fuori i punti che provengono dal denominatore, quindi non dovresti complicare ancora una volta i tuoi calcoli: scrivi un segno di uguale ovunque e non preoccuparti. Nessuno detrarrà punti per questo. :)

Quarto punto. Segnaliamo le radici ottenute sulla linea dei numeri:

Tutti i punti sono forati perché la disuguaglianza è rigorosa

Nota: tutti i punti sono forati perché la disuguaglianza originale è rigorosa. E qui non importa più: questi punti provenivano dal numeratore o dal denominatore.

Bene, guarda i segni. Prendi un numero qualsiasi $((x)_(0)) \gt 3$. Ad esempio, $((x)_(0))=100$ (ma avresti potuto anche prendere $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Noi abbiamo:

Quindi, a destra di tutte le radici abbiamo un'area positiva. E passando per ogni radice, il segno cambia (non sarà sempre così, ma ne parleremo più avanti). Pertanto, procediamo al quinto punto: posizioniamo i segni e scegliamo quello giusto:

Torniamo all'ultima disuguaglianza, che era prima di risolvere le equazioni. In realtà, coincide con quello originale, perché non abbiamo eseguito alcuna trasformazione in questo compito.

Poiché è necessario risolvere una disuguaglianza della forma $f\left(x \right) \lt 0$, ho ombreggiato l'intervallo $x\in \left(-7;3 \right)$ - è l'unico contrassegnato da un segno meno. Questa è la risposta.

Risposta: $x\in \left(-7;3 \right)$

È tutto! È difficile? No, non è difficile. In effetti, è stato un compito facile. Ora complichiamo un po' la missione e consideriamo una disuguaglianza più "fantasiosa". Quando lo risolverò, non fornirò più calcoli così dettagliati: delineerò semplicemente i punti chiave. In generale, lo organizzeremo come lo avremmo fatto su un lavoro o un esame indipendente. :)

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(11x+2 \destra))(13x-4)\ge 0\]

Decisione. Questa è una disuguaglianza non rigida della forma $f\left(x \right)\ge 0$. Tutti gli elementi diversi da zero sono raccolti a sinistra, non ci sono denominatori diversi. Passiamo alle equazioni.

Numeratore:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Freccia destra ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Freccia destra ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \fine(allineamento)\]

Denominatore:

\[\begin(allinea) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \fine(allineamento)\]

Non so che razza di pervertito abbia creato questo problema, ma le radici non sono venute molto bene: sarà difficile disporle su una linea numerica. E se tutto è più o meno chiaro con la radice $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (questo è l'unico numero positivo - sarà a destra), allora $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ e $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ richiedono ulteriori studi: quale è più grande?

Puoi scoprirlo, ad esempio:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=--\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Spero non sia necessario spiegare perché la frazione numerica $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Se necessario, consiglio di ricordare come eseguire azioni con le frazioni.

E segniamo tutte e tre le radici sulla linea dei numeri:

I punti del numeratore sono ombreggiati, dal denominatore sono ritagliati

Mettiamo dei cartelli. Ad esempio, puoi prendere $((x)_(0))=1$ e scoprire il segno a questo punto:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

L'ultima disuguaglianza prima delle equazioni era $f\left(x \right)\ge 0$, quindi siamo interessati al segno più.

Abbiamo due insiemi: uno è un segmento normale e l'altro è un raggio aperto sulla linea dei numeri.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Una nota importante sui numeri che sostituiamo per trovare il segno sull'intervallo più a destra. Non è necessario sostituire un numero vicino alla radice più a destra. Puoi prendere miliardi o addirittura "più-infinito" - in questo caso, il segno del polinomio tra parentesi, numeratore o denominatore è determinato esclusivamente dal segno del coefficiente principale.

Diamo un'altra occhiata alla funzione $f\left(x \right)$ dall'ultima disuguaglianza:

Contiene tre polinomi:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\sinistra(x \destra)=11x+2; \\ & Q\sinistra(x\destra)=13x-4. \fine(allineamento)\]

Sono tutti binomi lineari e tutti hanno coefficienti positivi (numeri 7, 11 e 13). Pertanto, quando si sostituiscono numeri molto grandi, anche i polinomi stessi saranno positivi. :)

Questa regola può sembrare eccessivamente complicata, ma solo all'inizio, quando analizziamo problemi molto facili. In gravi disuguaglianze, la sostituzione "più-infinito" ci permetterà di capire i segni molto più velocemente dello standard $((x)_(0))=100$.

Affronteremo queste sfide molto presto. Ma prima, diamo un'occhiata a un modo alternativo per risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie.

Modo alternativo

Questa tecnica mi è stata suggerita da uno dei miei studenti. Io stesso non l'ho mai usato, ma la pratica ha dimostrato che è davvero più conveniente per molti studenti risolvere le disuguaglianze in questo modo.

Quindi, i dati originali sono gli stessi. Dobbiamo risolvere una disuguaglianza razionale frazionaria:

\[\frac(P\sinistra(x \destra))(Q\sinistra(x \destra)) \gt 0\]

Pensiamo: perché il polinomio $Q\left(x \right)$ è "peggiore" del polinomio $P\left(x \right)$? Perché dobbiamo considerare gruppi separati di radici (con e senza un asterisco), pensare a punti perforati, ecc.? È semplice: una frazione ha un dominio di definizione, secondo il quale la frazione ha senso solo quando il suo denominatore è diverso da zero.

Altrimenti non ci sono differenze tra numeratore e denominatore: lo eguagliamo anche a zero, cerchiamo le radici, quindi le segniamo sulla linea dei numeri. Allora perché non sostituire la barra frazionaria (in effetti, il segno di divisione) con la solita moltiplicazione e scrivere tutti i requisiti del DHS come disuguaglianza separata? Ad esempio, in questo modo:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Freccia destra \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Nota: questo approccio ti consentirà di ridurre il problema al metodo degli intervalli, ma non complicherà affatto la soluzione. Dopotutto, comunque, eguaglieremo il polinomio $Q\left(x \right)$ a zero.

Vediamo come funziona su compiti reali.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Decisione. Quindi, passiamo al metodo dell'intervallo:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Freccia destra \sinistra\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

La prima disuguaglianza è risolta in modo elementare. Basta impostare ogni parentesi su zero:

\[\begin(allineamento) & x+8=0\Freccia destra ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Freccia destra ((x)_(2))=11. \\ \fine(allineamento)\]

Con la seconda disuguaglianza, anche tutto è semplice:

Contrassegniamo i punti $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$ sulla linea reale. Tutti loro sono forati perché la disuguaglianza è rigorosa:

Il punto giusto si è rivelato essere perforato due volte. Questo va bene.

Presta attenzione al punto $x=11$. Si scopre che è "cancellato due volte": da un lato, lo eliminiamo a causa della gravità della disuguaglianza, dall'altro, a causa del requisito aggiuntivo di ODZ.

In ogni caso, sarà solo un punto bucato. Pertanto, mettiamo i segni per la disuguaglianza $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - l'ultima che abbiamo visto prima di iniziare a risolvere le equazioni:

Siamo interessati alle regioni positive, poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza della forma $f\left(x \right) \gt 0$, e le coloreremo. Resta solo da scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Utilizzando questa soluzione come esempio, vorrei mettervi in ​​guardia contro un errore comune tra gli studenti alle prime armi. Vale a dire: mai aprire parentesi nelle disuguaglianze! Al contrario, prova a calcolare tutto: questo semplificherà la soluzione e ti farà risparmiare molti problemi.

Ora proviamo qualcosa di più difficile.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(\sinistra(2x-13 \destra)\sinistra(12x-9 \destra))(15x+33)\le 0\]

Decisione. Questa è una disuguaglianza non rigida della forma $f\left(x \right)\le 0$, quindi qui è necessario monitorare attentamente i punti riempiti.

Passiamo al metodo dell'intervallo:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Passiamo all'equazione:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Freccia destra ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Freccia destra ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Freccia destra ((x)_(3))=-2,2. \\ \fine(allineamento)\]

Prendiamo in considerazione il requisito aggiuntivo:

Segniamo tutte le radici ottenute sulla linea dei numeri:

Se un punto è sia perforato che compilato allo stesso tempo, è considerato perforato.

Ancora una volta, due punti si "sovrappongono" l'un l'altro: è normale, sarà sempre così. È solo importante capire che un punto contrassegnato sia come perforato che come compilato è in realtà un punto perforato. Quelli. La "scriccatura" è un'azione più forte del "dipingere".

Questo è assolutamente logico, perché punendo segniamo punti che influiscono sul segno della funzione, ma non partecipano essi stessi alla risposta. E se a un certo punto il numero smette di adattarsi a noi (ad esempio, non rientra nell'ODZ), lo cancelliamo dalla considerazione fino alla fine dell'attività.

In generale, smettila di filosofare. Disponiamo i segni e dipingiamo su quegli intervalli contrassegnati da un segno meno:

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

E ancora una volta volevo attirare la vostra attenzione su questa equazione:

\[\sinistra(2x-13 \destra)\sinistra(12x-9 \destra)\sinistra(15x+33 \destra)=0\]

Ancora una volta: mai aprire parentesi in tali equazioni! Lo stai solo rendendo più difficile per te stesso. Ricorda: il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Di conseguenza, questa equazione semplicemente "si sfalda" in molte altre più piccole, che abbiamo risolto nel problema precedente.

Tenendo conto della molteplicità delle radici

Dai problemi precedenti, è facile vedere che sono le disuguaglianze non rigorose a essere le più difficili, perché in esse devi tenere traccia dei punti riempiti.

Ma c'è un male ancora più grande nel mondo: queste sono radici multiple nelle disuguaglianze. Qui è già necessario seguire non alcuni punti pieni lì - qui il segno di disuguaglianza potrebbe non cambiare improvvisamente quando si passa per questi stessi punti.

Non abbiamo ancora considerato nulla di simile in questa lezione (sebbene un problema simile sia stato spesso riscontrato nel metodo dell'intervallo). Quindi introduciamo una nuova definizione:

Definizione. La radice dell'equazione $((\left(x-a \right))^(n))=0$ è uguale a $x=a$ ed è chiamata radice della $n$esima molteplicità.

In realtà, non siamo particolarmente interessati al valore esatto della molteplicità. L'unica cosa importante è se questo stesso numero $n$ è pari o dispari. Perché:

1. Se $x=a$ è una radice di molteplicità pari, allora il segno della funzione non cambia al suo passaggio;
2. E viceversa, se $x=a$ è una radice di molteplicità dispari, il segno della funzione cambierà.

Un caso speciale di una radice di molteplicità dispari sono tutti i precedenti problemi considerati in questa lezione: lì la molteplicità è uguale a uno ovunque.

E inoltre. Prima di iniziare a risolvere i problemi, vorrei attirare la vostra attenzione su una sottigliezza che sembra ovvia a uno studente esperto, ma che porta molti principianti allo stupore. Vale a dire:

La radice della molteplicità $n$ si verifica solo quando l'intera espressione è elevata a questa potenza: $((\left(x-a \right))^(n))$, e non $\left(((x)^( n) )-a\destra)$.

Ancora una volta: la parentesi $((\left(x-a \right))^(n))$ ci dà la radice $x=a$ della molteplicità $n$, ma la parentesi $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, come spesso accade, $(a-((x)^(n)))$ ci dà una radice (o due radici, se $n$ è pari) della prima molteplicità , non importa cosa sia uguale a $n$.

Confrontare:

\[((\sinistra(x-3 \destra))^(5))=0\Freccia destra x=3\sinistra(5k \destra)\]

Qui tutto è chiaro: l'intera parentesi è stata innalzata alla quinta potenza, quindi all'uscita abbiamo ottenuto la radice del quinto grado. E adesso:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Freccia destra ((x)^(2))=4\Freccia destra x=\pm 2\]

Abbiamo due radici, ma entrambe hanno la prima molteplicità. Oppure eccone un altro:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Freccia destra ((x)^(10))=1024\Freccia destra x=\pm 2\]

E non lasciarti confondere dal decimo grado. La cosa principale è che 10 è un numero pari, quindi abbiamo due radici in uscita, ed entrambi hanno di nuovo la prima molteplicità.

In generale, attenzione: la molteplicità si verifica solo quando il grado si applica all'intera parentesi, non solo alla variabile.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((x)^(2))((\sinistra(6-x \destra))^(3))\sinistra(x+4 \destra))(((\sinistra(x+7) \destra))^(5)))\ge 0\]

Decisione. Proviamo a risolverlo in modo alternativo - attraverso il passaggio dal particolare al prodotto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\giusto.\]

Trattiamo la prima disuguaglianza usando il metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \destra))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Freccia destra x=0\sinistra(2k \destra); \\ & ((\sinistra(6-x \destra))^(3))=0\Freccia destra x=6\sinistra(3k \destra); \\ & x+4=0\Freccia destra x=-4; \\ & ((\sinistra(x+7 \destra))^(5))=0\Freccia destra x=-7\sinistra(5k \destra). \\ \fine(allineamento)\]

Inoltre, risolviamo la seconda disuguaglianza. In effetti, l'abbiamo già risolto, ma affinché i revisori non trovino difetti nella soluzione, è meglio risolverla di nuovo:

\[((\sinistra(x+7 \destra))^(5))\ne 0\Freccia destra x\ne -7\]

Si noti che non ci sono molteplicità nell'ultima disuguaglianza. Infatti: che differenza fa quante volte barrare il punto $x=-7$ sulla retta dei numeri? Almeno una volta, almeno cinque volte - il risultato sarà lo stesso: un punto forato.

Prendiamo nota di tutto ciò che abbiamo ottenuto sulla linea dei numeri:

Come ho detto, il punto $x=-7$ verrà eventualmente eliminato. Le molteplicità sono disposte in base alla soluzione della disuguaglianza con il metodo dell'intervallo.

Resta da posizionare i segni:

Poiché il punto $x=0$ è una radice di molteplicità pari, il segno non cambia quando lo attraversa. I punti rimanenti hanno una molteplicità dispari e tutto è semplice con loro.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Presta nuovamente attenzione a $x=0$. A causa della molteplicità uniforme, sorge un effetto interessante: tutto a sinistra di esso è dipinto, anche a destra, e il punto stesso è completamente dipinto.

Di conseguenza, non è necessario isolarlo durante la registrazione di una risposta. Quelli. non è necessario scrivere qualcosa come $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (sebbene formalmente anche una risposta del genere sarebbe corretta). Invece, scriviamo immediatamente $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tali effetti sono possibili solo per radici di una molteplicità pari. E nel prossimo compito, incontreremo la "manifestazione" inversa di questo effetto. Pronto?

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((\sinistra(x-3 \destra))^(4))\sinistra(x-4 \destra))(((\sinistra(x-1 \destra))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Decisione. Questa volta seguiremo lo schema standard. Imposta il numeratore a zero:

\[\begin(allineamento) & ((\sinistra(x-3 \destra))^(4))\sinistra(x-4 \destra)=0; \\ & ((\sinistra(x-3 \destra))^(4))=0\Freccia destra ((x)_(1))=3\sinistra(4k \destra); \\ & x-4=0\Freccia destra ((x)_(2))=4. \\ \fine(allineamento)\]

E il denominatore:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\sinistra(x-1 \destra))^(2))=0\Freccia destra x_(1)^(*)=1\sinistra(2k \destra); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Freccia destra x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \fine(allineamento)\]

Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza non rigida della forma $f\left(x \right)\ge 0$, le radici del denominatore (che hanno asterischi) verranno tagliate e quelle del numeratore verranno sovrascritte .

Sistemiamo la segnaletica e accarezziamo le aree contrassegnate da un "più":

Il punto $x=3$ è isolato. Questo fa parte della risposta

Prima di scrivere la risposta finale, dai un'occhiata da vicino all'immagine:

1. Il punto $x=1$ ha una molteplicità pari, ma è esso stesso perforato. Pertanto, dovrà essere isolato nella risposta: devi scrivere $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, e non $x\in \sinistra(-\ infty ;2\destra)$.
2. Anche il punto $x=3$ ha una molteplicità pari ed è ombreggiato. La disposizione dei segni indica che il punto stesso ci si addice, ma un passo a sinistra ea destra - e ci troviamo in un'area che sicuramente non ci si addice. Tali punti sono chiamati isolati e sono scritti come $x\in \left\( 3 \right\)$.

Uniamo tutti i pezzi ottenuti in un set comune e scriviamo la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definizione. Risolvere la disuguaglianza significa trova l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo set è vuoto.

Sembrerebbe: cosa può esserci di incomprensibile qui? Sì, il fatto è che gli insiemi possono essere specificati in diversi modi. Riscriviamo la risposta all'ultimo problema:

Leggiamo letteralmente ciò che è scritto. La variabile "x" appartiene ad un certo insieme, che si ottiene dall'unione (simbolo "U") di quattro insiemi separati:

• L'intervallo $\left(-\infty ;1 \right)$, che letteralmente significa "tutti i numeri minori di uno, ma non uno stesso";
• L'intervallo è $\left(1;2 \right)$, ovvero "tutti i numeri compresi tra 1 e 2, ma non i numeri 1 e 2 stessi";
• L'insieme $\left\( 3 \right\)$, costituito da un unico numero - tre;
• L'intervallo $\left[ 4;5 \right)$ contenente tutti i numeri compresi tra 4 e 5, più 4 stesso, ma non 5.

Il terzo punto è interessante qui. A differenza degli intervalli, che definiscono insiemi infiniti di numeri e denotano solo i limiti di questi insiemi, l'insieme $\left\( 3 \right\)$ definisce esattamente un numero per enumerazione.

Per capire che stiamo elencando i numeri specifici inclusi nel set (e non impostando limiti o altro), vengono utilizzate le parentesi graffe. Ad esempio, la notazione $\left\( 1;2 \right\)$ significa esattamente "un insieme composto da due numeri: 1 e 2", ma non un segmento da 1 a 2. In nessun caso non confondere questi concetti .

Regola di addizione della molteplicità

Bene, alla fine della lezione di oggi, una lattina di Pavel Berdov. :)

Gli studenti attenti si sono probabilmente già posti la domanda: cosa accadrà se si trovano le stesse radici nel numeratore e nel denominatore? Quindi funziona la seguente regola:

Si aggiungono molteplicità di radici identiche. Sempre. Anche se questa radice è presente sia al numeratore che al denominatore.

A volte è meglio decidere che parlare. Pertanto, risolviamo il seguente problema:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \destra))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \fine(allineamento)\]

Finora, niente di speciale. Metti a zero il denominatore:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Freccia destra x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Freccia destra x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \fine(allineamento)\]

Si trovano due radici identiche: $((x)_(1))=-2$ e $x_(4)^(*)=-2$. Entrambi hanno la prima molteplicità. Pertanto, li sostituiamo con una radice $x_(4)^(*)=-2$, ma con una molteplicità di 1+1=2.

Inoltre, ci sono anche radici identiche: $((x)_(2))=-4$ e $x_(2)^(*)=-4$. Sono anche della prima molteplicità, quindi rimane solo $x_(2)^(*)=-4$ di molteplicità 1+1=2.

Nota: in entrambi i casi, abbiamo lasciato esattamente la radice "ritagliata" e abbiamo eliminato quella "dipinta" per considerazione. Perché anche all'inizio della lezione eravamo d'accordo: se un punto è sia fustellato che ridipinto allo stesso tempo, allora lo consideriamo comunque cancellato.

Di conseguenza, abbiamo quattro radici e tutte si sono rivelate scavate:

\[\begin(allineamento) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sinistra(2k \destra); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sinistra(2k \destra). \\ \fine(allineamento)\]

Li contrassegniamo sulla linea dei numeri, tenendo conto della molteplicità:

Posizioniamo i segni e dipingiamo sopra le aree di nostro interesse:

Qualunque cosa. Nessun punto isolato e altre perversioni. Puoi scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regola di moltiplicazione

A volte si verifica una situazione ancora più spiacevole: un'equazione che ha radici multiple viene essa stessa elevata a un certo potere. Questo cambia le molteplicità di tutte le radici originali.

Questo è raro, quindi la maggior parte degli studenti non ha esperienza nella risoluzione di tali problemi. E la regola qui è:

Quando un'equazione è elevata a una potenza $n$, anche la molteplicità di tutte le sue radici aumenta di un fattore di $n$.

In altre parole, l'elevazione a una potenza porta a moltiplicare le molteplicità per la stessa potenza. Prendiamo questa regola come esempio:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\sinistra(2-x \destra))^(3))((\sinistra(x-1 \destra))^(2)))\le 0\]

Decisione. Imposta il numeratore a zero:

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Tutto è chiaro con il primo moltiplicatore: $x=0$. Ed ecco dove iniziano i problemi:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\sinistra(2k \destra); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\sinistra(2k \destra)\sinistra(2k \destra) \ \ & ((x)_(2))=3\sinistra(4k \destra) \\ \end(allineamento)\]

Come puoi vedere, l'equazione $((x)^(2))-6x+9=0$ ha una radice univoca della seconda molteplicità: $x=3$. L'intera equazione è quindi al quadrato. Pertanto, la molteplicità della radice sarà $2\cdot 2=4$, che alla fine abbiamo annotato.

\[((\sinistra(x-4 \destra))^(5))=0\Freccia destra x=4\sinistra(5k \destra)\]

Nessun problema nemmeno con il denominatore:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\sinistra(2-x \destra))^(3))=0\Freccia destra x_(1)^(*)=2\sinistra(3k \destra); \\ & ((\sinistra(x-1 \destra))^(2))=0\Freccia destra x_(2)^(*)=1\sinistra(2k \destra). \\ \fine(allineamento)\]

In totale, abbiamo ottenuto cinque punti: due eliminati e tre riempiti. Non ci sono radici coincidenti nel numeratore e nel denominatore, quindi le segniamo semplicemente sulla linea dei numeri:

Organizziamo i segni tenendo conto delle molteplicità e dipingiamo negli intervalli che ci interessano:

Ancora un punto isolato e uno bucato

A causa delle radici della molteplicità uniforme, abbiamo ricevuto ancora un paio di elementi "non standard". Questo è $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, non $x\in \left[ 0;2 \right)$, e anche un punto isolato $ x\in \sinistra\( 3 \destra\)$.

Risposta. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Come puoi vedere, tutto non è così difficile. La cosa principale è l'attenzione. L'ultima sezione di questa lezione è dedicata alle trasformazioni, proprio quelle di cui abbiamo discusso all'inizio.

Preconversioni

Le disuguaglianze di cui parleremo in questa sezione non sono complesse. Tuttavia, a differenza dei compiti precedenti, qui dovrai applicare le abilità della teoria delle frazioni razionali: fattorizzazione e riduzione a un denominatore comune.

Abbiamo discusso questo problema in dettaglio proprio all'inizio della lezione di oggi. Se non sei sicuro di aver capito di cosa si tratta, ti consiglio vivamente di tornare indietro e ripetere. Perché non ha senso stipare i metodi per risolvere le disuguaglianze se "nuoti" nella conversione delle frazioni.

Nei compiti, tra l'altro, ci saranno anche molti compiti simili. Sono inseriti in una sottosezione separata. E lì troverai esempi molto non banali. Ma questo sarà nei compiti, ma ora analizziamo un paio di queste disuguaglianze.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Decisione. Spostando tutto a sinistra:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Riduciamo a un denominatore comune, apriamo le parentesi, diamo termini simili al numeratore:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ destra))(x\cdot \sinistra(x-1 \destra))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\sinistra(x-1 \destra))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ora abbiamo una classica disuguaglianza razionale frazionaria, la cui soluzione non è più difficile. Propongo di risolverlo con un metodo alternativo - attraverso il metodo degli intervalli:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \fine(allineamento)\]

Non dimenticare il vincolo che deriva dal denominatore:

Contrassegniamo tutti i numeri e le restrizioni sulla linea dei numeri:

Tutte le radici hanno prima molteplicità. Nessun problema. Mettiamo semplicemente i segni e dipingiamo sulle aree di cui abbiamo bisogno:

È tutto. Puoi scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Naturalmente, questo era un esempio molto semplice. Quindi ora diamo un'occhiata più da vicino al problema. E a proposito, il livello di questo compito è abbastanza coerente con il lavoro indipendente e di controllo su questo argomento nell'ottavo anno.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Decisione. Spostando tutto a sinistra:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Prima di portare entrambe le frazioni a un denominatore comune, scomponiamo questi denominatori in fattori. Improvvisamente usciranno le stesse parentesi? Con il primo denominatore è facile:

\[((x)^(2))+8x-9=\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\]

Il secondo è un po' più difficile. Sentiti libero di aggiungere un moltiplicatore costante alla parentesi in cui è stata trovata la frazione. Ricorda: il polinomio originale aveva coefficienti interi, quindi è molto probabile che la fattorizzazione avrà anche coefficienti interi (infatti, lo farà sempre, tranne quando il discriminante è irrazionale).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(3x-2 \destra) \end(allineamento)\]

Come puoi vedere, esiste una parentesi comune: $\left(x-1 \right)$. Torniamo alla disuguaglianza e portiamo entrambe le frazioni a un denominatore comune:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ sinistra(3x-2\destra))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ \fine(allineamento)\]

Metti a zero il denominatore:

\[\begin(allineamento) & \sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\sinistra(3x-2 \destra)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( allineare)\]

Nessuna molteplicità e nessuna radice coincidente. Segniamo quattro numeri su una linea retta:

Posizioniamo i segni:

Scriviamo la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ giusto)$.

Qualunque cosa! Così, ho letto fino a questa riga. :)

Nell'articolo considereremo soluzione delle disuguaglianze. Parliamo chiaramente di come costruire una soluzione alle disuguaglianze con esempi chiari!

Prima di considerare la soluzione delle disuguaglianze con esempi, affrontiamo i concetti di base.

Introduzione alle disuguaglianze

disuguaglianzaè chiamata un'espressione in cui le funzioni sono collegate da segni di relazione >, . Le disuguaglianze possono essere sia numeriche che alfabetiche.
Le disuguaglianze con due segni di relazione sono dette doppie, con tre - triple, ecc. Per esempio:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Le disuguaglianze che contengono il segno > o or non sono rigorose.
Soluzione di disuguaglianzaè qualsiasi valore della variabile per cui questa disuguaglianza è vera.
"Risolvi la disuguaglianza" significa che devi trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni. Ce ne sono varie metodi per risolvere le disuguaglianze. Per soluzioni di disuguaglianza usa una retta numerica infinita. Per esempio, risolvere la disuguaglianza x > 3 è un intervallo da 3 a +, e il numero 3 non è incluso in questo intervallo, quindi il punto sulla linea è indicato da un cerchio vuoto, perché la disuguaglianza è severa.
+
La risposta sarà: x (3; +).
Il valore x=3 non è incluso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi è rotonda. Il segno di infinito è sempre racchiuso tra parentesi. Il segno significa "appartenenza".
Considera come risolvere le disuguaglianze usando un altro esempio con il segno:
x2
-+
Il valore x=2 è incluso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi quadra e il punto sulla retta sono indicati da un cerchio pieno.
La risposta sarà: x

In parole povere, il modulo è "un numero senza meno". Ed è in questa dualità (da qualche parte non è necessario fare nulla con il numero originale, ma da qualche parte devi rimuovere qualche segno negativo lì) e tutte le difficoltà per gli studenti alle prime armi si trovano.

C'è anche una definizione geometrica. È utile anche conoscerlo, ma vi faremo riferimento solo in casi complessi e in alcuni casi particolari, dove l'approccio geometrico è più conveniente di quello algebrico (spoiler: non oggi).

Definizione. Sia segnato il punto $a$ sulla retta reale. Quindi il modulo $\left| x-a \right|$ è la distanza dal punto $x$ al punto $a$ su questa linea.

Se disegni un'immagine, ottieni qualcosa del genere:

Definizione grafica del modulo

In un modo o nell'altro, la sua proprietà chiave segue immediatamente dalla definizione del modulo: il modulo di un numero è sempre un valore non negativo. Questo fatto sarà un filo rosso che attraversa tutta la nostra storia di oggi.

Soluzione delle disuguaglianze. Metodo di spaziatura

Ora affrontiamo le disuguaglianze. Ce ne sono moltissimi, ma il nostro compito ora è riuscire a risolverli almeno nel più semplice. Quelle che si riducono alle disuguaglianze lineari, così come al metodo degli intervalli.

Ho due grandi tutorial su questo argomento (a proposito, molto, MOLTO utili - consiglio di studiare):

1. Il metodo dell'intervallo per le disuguaglianze (soprattutto guarda il video);
2. Le disuguaglianze frazionarie e razionali sono una lezione molto voluminosa, ma dopo non avrai più domande.

Se sai tutto questo, se la frase "passiamo dalla disuguaglianza all'equazione" non ti fa vagamente desiderare di ucciderti contro il muro, allora sei pronto: benvenuto all'inferno all'argomento principale della lezione. :)

1. Disuguaglianze della forma "Modulo inferiore alla funzione"

Questa è una delle attività più frequenti con i moduli. È necessario risolvere una disuguaglianza della forma:

\[\sinistra| paura| \ltg\]

Qualsiasi cosa può agire come funzioni $f$ e $g$, ma di solito sono polinomi. Esempi di tali disuguaglianze:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\destra| \ltx+7; \\ & \sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra|+3\sinistra(x+1 \destra) \lt 0; \\ & \sinistra| ((x)^(2))-2\sinistra| x \destra|-3 \destra| \lt 2. \\\end(align)\]

Tutti sono risolti letteralmente in una riga secondo lo schema:

\[\sinistra| paura| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \giusto giusto)\]

È facile vedere che ci liberiamo del modulo, ma invece otteniamo una doppia disuguaglianza (o, che è lo stesso, un sistema di due disuguaglianze). Ma questa transizione tiene assolutamente conto di tutti i possibili problemi: se il numero sotto il modulo è positivo, il metodo funziona; se negativo, funziona ancora; e anche con la funzione più inadeguata al posto di $f$ o $g$, il metodo funzionerà comunque.

Naturalmente sorge la domanda: non è più facile? Sfortunatamente, non puoi. Questo è il punto centrale del modulo.

Ma basta con il filosofare. Risolviamo un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 2x+3\destra| \ltx+7\]

Decisione. Quindi, abbiamo una disuguaglianza classica della forma "il modulo è inferiore a" - non c'è nemmeno nulla da trasformare. Lavoriamo secondo l'algoritmo:

\[\begin(align) & \left| paura| \lt g\Freccia destra -g \lt f \lt g; \\ & \sinistra| 2x+3\destra| \lt x+7\Freccia destra -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Non affrettarti ad aprire le parentesi precedute da un "meno": è del tutto possibile che a causa della fretta commetti un errore offensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Il problema è stato ridotto a due disuguaglianze elementari. Notiamo le loro soluzioni su rette reali parallele:

Intersezione di molti

L'intersezione di questi insiemi sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra|+3\sinistra(x+1 \destra) \lt 0\]

Decisione. Questo compito è un po' più difficile. Per cominciare, isoliamo il modulo spostando il secondo termine a destra:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \lt -3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ovviamente, abbiamo ancora una disuguaglianza della forma "il modulo è minore", quindi ci liberiamo del modulo secondo l'algoritmo già noto:

\[-\sinistra(-3\sinistra(x+1 \destra) \destra) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ora attenzione: qualcuno dirà che sono un po' un pervertito con tutte queste parentesi. Ma ancora una volta vi ricordo che il nostro obiettivo principale è risolvere correttamente la disuguaglianza e ottenere la risposta. Più tardi, quando avrai imparato perfettamente tutto ciò che è descritto in questa lezione, puoi pervertire te stesso a tuo piacimento: aprire le parentesi, aggiungere aspetti negativi, ecc.

E per cominciare, ci liberiamo del doppio meno a sinistra:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sinistra(x+1\destra)\]

Ora apriamo tutte le parentesi nella doppia disuguaglianza:

Passiamo alla doppia disuguaglianza. Questa volta i calcoli saranno più seri:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \fine(allineamento) \destra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( allinea)\destra.\]

Entrambe le disuguaglianze sono quadrate e si risolvono con il metodo dell'intervallo (ecco perché dico: se non sai di cosa si tratta, è meglio non assumere ancora i moduli). Passiamo all'equazione nella prima disuguaglianza:

\[\begin(allineamento) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sinistra(x+5 \destra)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fine(allineamento)\]

Come puoi vedere, l'output si è rivelato essere un'equazione quadratica incompleta, che viene risolta in modo elementare. Ora affrontiamo la seconda disuguaglianza del sistema. Lì devi applicare il teorema di Vieta:

\[\begin(allineamento) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sinistra(x-3 \destra)\sinistra(x+2 \destra)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fine(allineamento)\]

Segnaliamo i numeri ottenuti su due rette parallele (separate per la prima disuguaglianza e separate per la seconda):

Di nuovo, poiché stiamo risolvendo un sistema di disuguaglianze, siamo interessati all'intersezione degli insiemi ombreggiati: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Questa è la risposta.

Risposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Penso che dopo questi esempi lo schema della soluzione sia molto chiaro:

1. Isolare il modulo spostando tutti gli altri termini sul lato opposto della disuguaglianza. Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma $\left| paura| \ltg$.
2. Risolvi questa disuguaglianza eliminando il modulo come descritto sopra. Ad un certo punto sarà necessario passare da una doppia disuguaglianza a un sistema di due espressioni indipendenti, ognuna delle quali può essere già risolta separatamente.
3. Infine, non resta che incrociare le soluzioni di queste due espressioni indipendenti - e basta, otterremo la risposta finale.

Un algoritmo simile esiste per le disuguaglianze del tipo seguente, quando il modulo è maggiore della funzione. Tuttavia, ci sono un paio di seri "ma". Parleremo ora di questi “ma”.

2. Disuguaglianze della forma "Il modulo è maggiore della funzione"

Sembrano così:

\[\sinistra| paura| \gt g\]

Simile al precedente? Sembrano essere. Tuttavia, tali compiti vengono risolti in un modo completamente diverso. Formalmente lo schema è il seguente:

\[\sinistra| paura| \gt g\Freccia destra \sinistra[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

In altre parole, consideriamo due casi:

1. Innanzitutto, ignoriamo semplicemente il modulo: risolviamo la consueta disuguaglianza;
2. Quindi, infatti, apriamo il modulo con il segno meno, e quindi moltiplichiamo entrambe le parti della disuguaglianza per −1, con un segno.

In questo caso, le opzioni sono combinate con una parentesi quadra, ad es. Abbiamo una combinazione di due requisiti.

Attenzione ancora: davanti a noi non c'è un sistema, ma un aggregato, quindi nella risposta, gli insiemi sono combinati, non intersecati. Questa è una differenza fondamentale rispetto al paragrafo precedente!

In generale, molti studenti hanno molta confusione con i sindacati e le intersezioni, quindi esaminiamo questo problema una volta per tutte:

• "∪" è un segno di concatenazione. In effetti, questa è una lettera stilizzata "U", che ci è arrivata dalla lingua inglese ed è un'abbreviazione di "Union", cioè "Associazioni".
• "∩" è il segno di intersezione. Questa merda non veniva da nessuna parte, ma appariva solo come un'opposizione a "∪".

Per rendere ancora più facile ricordare, basta aggiungere le gambe a questi segni per fare gli occhiali (basta non accusarmi di promuovere la tossicodipendenza e l'alcolismo ora: se stai seriamente studiando questa lezione, allora sei già un tossicodipendente):

Differenza tra intersezione e unione di insiemi

Tradotto in russo, significa quanto segue: l'unione (raccolta) include elementi di entrambi gli insiemi, quindi non meno di ciascuno di essi; ma l'intersezione (sistema) include solo quegli elementi che sono sia nel primo insieme che nel secondo. Pertanto, l'intersezione degli insiemi non è mai maggiore degli insiemi di origine.

Quindi è diventato più chiaro? È grandioso. Passiamo alla pratica.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\]

Decisione. Agiamo secondo lo schema:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ giusto.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza di popolazione:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Contrassegniamo ogni insieme risultante sulla linea dei numeri, quindi li combiniamo:

Unione di insiemi

Ovviamente la risposta è $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Risposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gtx\]

Decisione. Bene? No, è tutto uguale. Si passa da una disuguaglianza con modulo a un insieme di due disuguaglianze:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gt x\Freccia destra \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fine(allineamento) \destra.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza. Sfortunatamente, le radici non saranno molto buone lì:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fine(allineamento)\]

Nella seconda disuguaglianza c'è anche un po' di gioco:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fine(allineamento)\]

Ora dobbiamo contrassegnare questi numeri su due assi: un asse per ogni disuguaglianza. Tuttavia, è necessario contrassegnare i punti nell'ordine corretto: maggiore è il numero, più il punto si sposta a destra.

E qui stiamo aspettando un setup. Se tutto è chiaro con i numeri $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (i termini nel numeratore del primo frazione sono minori dei termini nel numeratore del secondo , quindi anche la somma è più piccola), con i numeri $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ inoltre non ci saranno difficoltà (un numero positivo ovviamente più negativo), ma con l'ultima coppia non tutto è così semplice. Quale è più grande: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? La disposizione dei punti sulle linee dei numeri e, in effetti, la risposta dipenderanno dalla risposta a questa domanda.

Quindi confrontiamo:

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Abbiamo isolato la radice, ottenuto numeri non negativi su entrambi i lati della disuguaglianza, quindi abbiamo il diritto di quadrare entrambi i lati:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Penso che sia un gioco da ragazzi $4\sqrt(13) \gt 3$, quindi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, infine i punti sugli assi saranno disposti in questo modo:

Caso di brutte radici

Lascia che ti ricordi che stiamo risolvendo un set, quindi la risposta sarà l'unione e non l'intersezione degli insiemi ombreggiati.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\destra)$

Come puoi vedere, il nostro schema funziona alla grande sia per compiti semplici che per compiti molto difficili. L'unico "punto debole" in questo approccio è che è necessario confrontare correttamente i numeri irrazionali (e credetemi: queste non sono solo radici). Ma una lezione a parte (e molto seria) sarà dedicata alle questioni di confronto. E andiamo avanti.

3. Disuguaglianze con "code" non negative

Quindi siamo arrivati ​​al più interessante. Queste sono le disuguaglianze della forma:

\[\sinistra| paura| \gt\sinistra| g\destra|\]

In generale, l'algoritmo di cui parleremo ora è vero solo per il modulo. Funziona in tutte le disuguaglianze dove sono garantite espressioni non negative a sinistra e a destra:

Cosa fare con questi compiti? Ricorda:

Nelle disuguaglianze con code non negative, entrambe le parti possono essere elevate a qualsiasi potenza naturale. Non ci saranno ulteriori restrizioni.

Prima di tutto, saremo interessati alla quadratura: brucia moduli e radici:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fine(allineamento)\]

Basta non confonderlo con la radice del quadrato:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sinistra| f \destra|\ne f\]

Sono stati commessi innumerevoli errori quando uno studente ha dimenticato di installare un modulo! Ma questa è una storia completamente diversa (queste sono, per così dire, equazioni irrazionali), quindi non ne parleremo ora. Risolviamo meglio un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra|\ge \sinistra| 1-2x \destra|\]

Decisione. Notiamo subito due cose:

1. Questa è una disuguaglianza non rigida. I punti sulla linea dei numeri verranno perforati.
2. Entrambi i lati della disuguaglianza sono ovviamente non negativi (questa è una proprietà del modulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Pertanto, possiamo quadrare entrambi i lati della disuguaglianza per eliminare il modulo e risolvere il problema usando il solito metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\sinistra(x+2 \destra))^(2))\ge ((\sinistra(2x-1 \destra))^(2)). \\\fine(allineamento)\]

Nell'ultimo passaggio ho barato un po': ho cambiato la sequenza dei termini, usando la parità del modulo (infatti ho moltiplicato l'espressione $1-2x$ per −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ destra)\destra)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Risolviamo con il metodo dell'intervallo. Passiamo dalla disuguaglianza all'equazione:

\[\begin(allineamento) & \sinistra(x-3 \destra)\sinistra(3x+1 \destra)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fine(allineamento)\]

Segnaliamo le radici trovate sulla linea dei numeri. Ancora una volta: tutti i punti sono ombreggiati perché la disuguaglianza originale non è rigorosa!

Sbarazzarsi del segno del modulo

Ve lo ricordo per i particolarmente testardi: prendiamo i segni dall'ultima disuguaglianza, che è stata messa per iscritto prima di passare all'equazione. E dipingiamo sulle aree richieste nella stessa disuguaglianza. Nel nostro caso, questo è $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Questo è tutto. Problema risolto.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+x+1 \destra|\le \sinistra| ((x)^(2))+3x+4 \destra|\]

Decisione. Facciamo tutto lo stesso. Non commenterò - guarda solo la sequenza di azioni.

Mettiamola al quadrato:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \destra| \destra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \destra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ destra))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \destra)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metodo di spaziatura:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Freccia destra x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Freccia destra D=16-40 \lt 0\Freccia destra \varnothing . \\\fine(allineamento)\]

C'è solo una radice sulla linea dei numeri:

La risposta è un'intera gamma

Risposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una piccola nota sull'ultimo compito. Come ha osservato accuratamente uno dei miei studenti, entrambe le espressioni del sottomodulo in questa disuguaglianza sono ovviamente positive, quindi il segno del modulo può essere omesso senza danni alla salute.

Ma questo è già un livello di pensiero completamente diverso e un approccio diverso: può essere chiamato condizionatamente il metodo delle conseguenze. Su di lui - in una lezione separata. E ora passiamo alla parte finale della lezione di oggi e consideriamo un algoritmo universale che funziona sempre. Anche quando tutti gli approcci precedenti erano impotenti. :)

4. Metodo di enumerazione delle opzioni

E se tutti questi trucchi non funzionassero? Se la disuguaglianza non si riduce a code non negative, se è impossibile isolare il modulo, se non del tutto dolore-tristezza-desiderio?

Quindi entra in scena "l'artiglieria pesante" di tutta la matematica: il metodo di enumerazione. Per quanto riguarda le disuguaglianze con il modulo, si presenta così:

1. Scrivi tutte le espressioni del sottomodulo e associale a zero;
2. Risolvi le equazioni risultanti e segna le radici trovate su una linea numerica;
3. La retta sarà suddivisa in più tratti, all'interno dei quali ogni modulo ha un segno fisso e quindi si espande inequivocabilmente;
4. Risolvi la disuguaglianza su ciascuna di queste sezioni (puoi considerare separatamente le radici di confine ottenute nel paragrafo 2 - per affidabilità). Combina i risultati: questa sarà la risposta. :)

Bene, come? Debole? Facilmente! Solo per molto tempo. Vediamo in pratica:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra| \lt\sinistra| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Decisione. Questa merda non si riduce a disuguaglianze come $\left| paura| \lt g$, $\sinistra| paura| \gt g$ o $\sinistra| paura| \lt\sinistra| g \right|$, quindi andiamo avanti.

Scriviamo le espressioni del sottomodulo, le uguagliamo a zero e troviamo le radici:

\[\begin(allineamento) & x+2=0\Freccia destra x=-2; \\ & x-1=0\Freccia destra x=1. \\\fine(allineamento)\]

In totale abbiamo due radici che dividono la linea dei numeri in tre sezioni, all'interno delle quali ogni modulo si svela in modo univoco:

Dividere la retta dei numeri per zeri di funzioni sottomodulari

Consideriamo ogni sezione separatamente.

1. Sia $x \lt -2$. Quindi entrambe le espressioni del sottomodulo sono negative e la disuguaglianza originale viene riscritta come segue:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Abbiamo un vincolo abbastanza semplice. Intersechiamolo con l'assunto originale che $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ovviamente, la variabile $x$ non può essere contemporaneamente minore di −2 ma maggiore di 1,5. Non ci sono soluzioni in questo settore.

1.1. Consideriamo separatamente il caso limite: $x=-2$. Sostituiamo questo numero nella disuguaglianza originale e controlliamo: vale?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \sinistra| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Freccia destra \varniente . \\\fine(allineamento)\]

Ovviamente, la catena di calcoli ci ha portato alla disuguaglianza sbagliata. Pertanto, anche la disuguaglianza originale è falsa e $x=-2$ non è inclusa nella risposta.

2. Ora lascia $-2 \lt x \lt 1$. Il modulo di sinistra si aprirà già con un "più", ma quello di destra è ancora con un "meno". Abbiamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fine(allineamento)\]

Ancora una volta intersechiamo il requisito originale:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E ancora, l'insieme vuoto delle soluzioni, poiché non esistono numeri minori di −2,5 e maggiori di −2.

2.1. E ancora un caso speciale: $x=1$. Sostituiamo nella disuguaglianza originale:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \sinistra| 3\destra| \lt\sinistra| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Freccia destra \varniente . \\\fine(allineamento)\]

Analogamente al precedente "caso speciale", il numero $x=1$ non è chiaramente incluso nella risposta.

3. L'ultimo pezzo della riga: $x \gt 1$. Qui tutti i moduli sono espansi con un segno più:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E di nuovo intersechiamo l'insieme trovato con il vincolo originale:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \giusto)\]

Infine! Abbiamo trovato l'intervallo, che sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Infine, una nota che potrebbe salvarti da stupidi errori quando risolvi problemi reali:

Le soluzioni delle disuguaglianze con i moduli sono generalmente insiemi continui sulla linea dei numeri: intervalli e segmenti. I punti isolati sono molto più rari. E ancor più raramente accade che i confini della soluzione (la fine del segmento) coincidano con il limite dell'intervallo considerato.

Di conseguenza, se i confini (quelli stessi "casi speciali") non sono inclusi nella risposta, anche le aree a sinistra-destra di questi confini quasi certamente non saranno incluse nella risposta. E viceversa: il confine è entrato in risposta, il che significa che anche alcune aree intorno ad esso saranno risposte.

Tienilo a mente quando controlli le tue soluzioni.

Dopo aver ricevuto le informazioni iniziali sulle disuguaglianze con le variabili, passiamo alla questione della loro soluzione. Analizziamo la soluzione delle disuguaglianze lineari con una variabile e tutti i metodi per la loro risoluzione con algoritmi ed esempi. Saranno considerate solo le equazioni lineari con una variabile.

Che cos'è una disuguaglianza lineare?

Per prima cosa devi definire un'equazione lineare e scoprire la sua forma standard e come differirà dalle altre. Dal corso scolastico abbiamo che le disuguaglianze non hanno una differenza fondamentale, quindi devono essere utilizzate diverse definizioni.

Definizione 1

Disuguaglianza lineare con una variabile x è una disuguaglianza della forma a x + b > 0 quando viene utilizzato qualsiasi segno di disuguaglianza invece di >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definizione 2

Disuguaglianze a x< c или a · x >c , dove x è una variabile e a e c dei numeri, viene chiamato disequazioni lineari con una variabile.

Poiché non si dice se il coefficiente può essere uguale a 0 , allora una stretta disuguaglianza della forma 0 x > c e 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Le loro differenze sono:

• notazione a · x + b > 0 nella prima, e a · x > c – nella seconda;
• ammissibilità del coefficiente zero a , a ≠ 0 - nella prima, e a = 0 - nella seconda.

Si ritiene che le disuguaglianze a x + b > 0 e a x > c siano equivalenti, perché si ottengono trasferendo il termine da una parte all'altra. Risolvere la disuguaglianza 0 · x + 5 > 0 porterà al fatto che dovrà essere risolto e il caso a = 0 non funzionerà.

Definizione 3

Si ritiene che le disuguaglianze lineari in una variabile x siano disuguaglianze della forma ax + b< 0 , a · x + b >0 , una x + b ≤ 0 e a x + b ≥ 0, dove a e b sono numeri reali. Invece di x, può esserci un numero ordinario.

In base alla regola, abbiamo che 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 sono detti lineari.

Come risolvere una disuguaglianza lineare

Il modo principale per risolvere tali disuguaglianze è utilizzare trasformazioni equivalenti per trovare le disuguaglianze elementari x< p (≤ , >, ≥) , essendo p un numero, per a ≠ 0 , e della forma a< p (≤ , >, ≥) per a = 0 .

Per risolvere una disuguaglianza con una variabile, puoi applicare il metodo dell'intervallo o rappresentarlo graficamente. Ognuno di loro può essere utilizzato in isolamento.

Utilizzo di trasformazioni equivalenti

Per risolvere una disuguaglianza lineare della forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , è necessario applicare trasformazioni equivalenti della disuguaglianza. Il coefficiente può o non può essere zero. Consideriamo entrambi i casi. Per chiarire, è necessario aderire a uno schema composto da 3 punti: l'essenza del processo, l'algoritmo, la soluzione stessa.

Definizione 4

Algoritmo per risolvere una disuguaglianza lineare ax + b< 0 (≤ , >, ≥) per a ≠ 0

• il numero b sarà trasferito a destra della disuguaglianza di segno opposto, il che ci permetterà di arrivare all'equivalente a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• entrambe le parti della disuguaglianza saranno divise per un numero diverso da 0. Inoltre, quando a è positivo, il segno rimane, quando a è negativo cambia in contrario.

Considera l'applicazione di questo algoritmo alla risoluzione di esempi.

Esempio 1

Risolvi una disuguaglianza della forma 3 · x + 12 ≤ 0 .

Decisione

Questa disuguaglianza lineare ha a = 3 e b = 12 . Quindi, il coefficiente a di x non è uguale a zero. Applichiamo gli algoritmi di cui sopra e risolviamo.

È necessario trasferire il termine 12 in un'altra parte della disuguaglianza con un cambio di segno davanti. Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 3 · x ≤ − 12 . È necessario dividere entrambe le parti per 3. Il segno non cambierà perché 3 è un numero positivo. Otteniamo che (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , che darà il risultato x ≤ − 4 .

Una disuguaglianza della forma x ≤ − 4 è equivalente. Cioè, la soluzione per 3 x + 12 ≤ 0 è qualsiasi numero reale minore o uguale a 4 . La risposta è scritta come una disuguaglianza x ≤ − 4 , o un intervallo numerico della forma (− ∞ , − 4 ] .

L'intero algoritmo sopra descritto è scritto come segue:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Risposta: x ≤ − 4 o (− ∞ , − 4 ] .

Esempio 2

Indica tutte le soluzioni disponibili della disuguaglianza − 2 , 7 · z > 0 .

Decisione

Dalla condizione vediamo che il coefficiente a a z è uguale a - 2, 7 e b è esplicitamente assente o uguale a zero. Non è possibile utilizzare il primo passaggio dell'algoritmo, ma passare immediatamente al secondo.

Dividiamo entrambe le parti dell'equazione per il numero - 2, 7. Poiché il numero è negativo, è necessario modificare il segno di disuguaglianza nel contrario. Cioè, otteniamo che (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Scriviamo l'intero algoritmo in una forma breve:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Risposta: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Esempio 3

Risolvi la disuguaglianza - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Decisione

Secondo la condizione, vediamo che occorre risolvere la disuguaglianza con il coefficiente a per la variabile x, che è uguale a -5, con il coefficiente b, che corrisponde alla frazione -15 22 . È necessario risolvere la disuguaglianza seguendo l'algoritmo, ovvero: trasferire - 15 22 in un'altra parte con segno opposto, dividere entrambe le parti per - 5, modificare il segno di disuguaglianza:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

All'ultima transizione, per il lato destro, viene utilizzata la regola per dividere un numero con segni diversi 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, dopodiché dividiamo la frazione ordinaria per un numero naturale - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Risposta: x ≥ - 3 22 e [ - 3 22 + ∞) .

Considera il caso in cui a = 0. Espressione lineare della forma a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Tutto si basa sulla definizione della soluzione della disuguaglianza. Per ogni valore di x, otteniamo una disuguaglianza numerica della forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Consideriamo tutti i giudizi sotto forma di un algoritmo per risolvere le disuguaglianze lineari 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definizione 5

Disuguaglianza numerica della forma b< 0 (≤ , >, ≥) è vero, allora la disuguaglianza originale ha una soluzione per qualsiasi valore e falso quando la disuguaglianza originale non ha soluzioni.

Esempio 4

Risolvi la disuguaglianza 0 · x + 7 > 0 .

Decisione

Questa disuguaglianza lineare 0 · x + 7 > 0 può assumere qualsiasi valore x . Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 7 > 0 . L'ultima disuguaglianza è considerata vera, quindi qualsiasi numero può essere la sua soluzione.

Risposta: intervallo (− ∞ , + ∞) .

Esempio 5

Trova una soluzione alla disuguaglianza 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Decisione

Sostituendo la variabile x con qualsiasi numero, otteniamo che la disuguaglianza assumerà la forma − 12 , 7 ≥ 0 . Non è corretto. Cioè, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 non ha soluzioni.

Risposta: non ci sono soluzioni.

Si consideri la soluzione delle disuguaglianze lineari, dove entrambi i coefficienti sono uguali a zero.

Esempio 6

Determina una disuguaglianza irrisolvibile da 0 · x + 0 > 0 e 0 · x + 0 ≥ 0 .

Decisione

Sostituendo un numero qualsiasi invece di x, otteniamo due disuguaglianze della forma 0 > 0 e 0 ≥ 0 . Il primo non è corretto. Ciò significa che 0 x + 0 > 0 non ha soluzioni e 0 x + 0 ≥ 0 ha un numero infinito di soluzioni, cioè qualsiasi numero.

Risposta: la disuguaglianza 0 x + 0 > 0 non ha soluzioni e 0 x + 0 ≥ 0 ha soluzioni.

Questo metodo è considerato nel corso scolastico di matematica. Il metodo dell'intervallo è in grado di risolvere vari tipi di disuguaglianze, comprese quelle lineari.

Il metodo dell'intervallo viene utilizzato per le disuguaglianze lineari quando il valore del coefficiente x non è uguale a 0 . Altrimenti, dovrai calcolare usando un altro metodo.

Definizione 6

Il metodo di spaziatura è:

• introduzione della funzione y = a x + b ;
• cercare zeri per dividere il dominio di definizione in intervalli;
• determinazione di segni per il concetto di loro su intervalli.

Assembliamo un algoritmo per la risoluzione di equazioni lineari a x + b< 0 (≤ , >, ≥) per a ≠ 0 utilizzando il metodo dell'intervallo:

• trovare gli zeri della funzione y = a · x + b per risolvere un'equazione della forma a · x + b = 0 . Se a ≠ 0, allora la soluzione sarà l'unica radice che prenderà la designazione x 0;
• costruzione di una linea di coordinate con l'immagine di un punto con una coordinata x 0, con una disuguaglianza rigorosa, il punto è indicato da un fustellato, con una disuguaglianza non rigorosa, è ombreggiato;
• determinazione dei segni della funzione y = a x + b sugli intervalli, per questo è necessario trovare i valori della funzione nei punti dell'intervallo;
• la soluzione della disuguaglianza con i segni > o ≥ sulla linea delle coordinate, il tratteggio viene aggiunto sopra lo spazio positivo,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Considera diversi esempi di risoluzione di una disuguaglianza lineare usando il metodo dell'intervallo.

Esempio 6

Risolvi la disuguaglianza − 3 · x + 12 > 0 .

Decisione

Segue dall'algoritmo che prima devi trovare la radice dell'equazione − 3 · x + 12 = 0 . Otteniamo che − 3 · x = − 12 , x = 4 . È necessario rappresentare la linea delle coordinate, dove segniamo il punto 4. Sarà perforato poiché la disuguaglianza è rigorosa. Considera il disegno qui sotto.

È necessario determinare i segni sugli intervalli. Per determinarlo sull'intervallo (− ∞ , 4) , è necessario calcolare la funzione y = − 3 · x + 12 per x = 3 . Da qui otteniamo che − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Il segno sull'intervallo è positivo.

Determiniamo il segno dall'intervallo (4, + ∞), quindi sostituiamo il valore x \u003d 5. Abbiamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Eseguiamo la soluzione della disuguaglianza con il segno > , e il tratteggio viene eseguito sul gap positivo. Considera il disegno qui sotto.

Si può vedere dal disegno che la soluzione desiderata ha la forma (− ∞ , 4) oppure x< 4 .

Risposta: (− ∞ , 4) o x< 4 .

Per capire come rappresentare graficamente, è necessario considerare come esempio 4 disuguaglianze lineari: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 e 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Le loro soluzioni saranno x< 2 , x ≤ 2 , x >2 e x ≥ 2 . Per fare ciò, traccia un grafico della funzione lineare y = 0 , 5 · x − 1 sotto.

È chiaro che

Definizione 7

• soluzione della disuguaglianza 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• la soluzione 0 , 5 x − 1 ≤ 0 è l'intervallo in cui la funzione y = 0 , 5 x − 1 è inferiore a 0 x o coincide;
• la soluzione 0 , 5 x − 1 > 0 è considerata l'intervallo, dove la funzione si trova al di sopra di O x;
• la soluzione 0 , 5 x − 1 ≥ 0 è l'intervallo in cui il grafico è maggiore di O x o coincide.

Il significato della soluzione grafica delle disuguaglianze è trovare le lacune, che devono essere rappresentate sul grafico. In questo caso, otteniamo che il lato sinistro ha y \u003d a x + b e il lato destro ha y \u003d 0 e coincide con About x.

Definizione 8

Il tracciamento della funzione y = a x + b viene eseguito:

• risolvendo la disuguaglianza a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• risolvendo la disuguaglianza a x + b ≤ 0, viene determinato l'intervallo in cui il grafico viene visualizzato sotto l'asse O x o coincide;
• risolvendo la disuguaglianza a x + b > 0, viene determinato l'intervallo, in cui il grafico viene visualizzato sopra O x;
• risolvendo la disuguaglianza a x + b ≥ 0, viene determinato l'intervallo in cui il grafico è al di sopra di O x o coincide.

Esempio 7

Risolvi la disuguaglianza - 5 · x - 3 > 0 usando il grafico.

Decisione

È necessario costruire un grafico di una funzione lineare - 5 · x - 3 > 0 . Questa linea è decrescente perché il coefficiente di x è negativo. Per determinare le coordinate del punto della sua intersezione con O x - 5 · x - 3 > 0, otteniamo il valore - 3 5 . Facciamo un grafico.

La soluzione della disuguaglianza con il segno >, allora bisogna prestare attenzione all'intervallo sopra O x. Evidenziamo la parte necessaria dell'aereo in rosso e la prendiamo

Lo spazio necessario è la parte O x del colore rosso. Quindi, il raggio del numero aperto - ∞ , - 3 5 sarà la soluzione della disuguaglianza. Se, per condizione, avessero una disuguaglianza non stretta, anche il valore del punto - 3 5 sarebbe una soluzione alla disuguaglianza. E coinciderebbe con O x.

Risposta: - ∞ , - 3 5 o x< - 3 5 .

La soluzione grafica viene utilizzata quando il lato sinistro corrisponderà alla funzione y = 0 x + b , ovvero y = b . Quindi la linea sarà parallela a O x o coincidente con b \u003d 0. Questi casi mostrano che una disuguaglianza può non avere soluzioni o qualsiasi numero può essere una soluzione.

Esempio 8

Determina dalle disuguaglianze 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Decisione

La rappresentazione y = 0 x + 7 è y = 7 , quindi verrà fornito un piano di coordinate con una retta parallela a O x e superiore a O x. Quindi 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Il grafico della funzione y \u003d 0 x + 0 è considerato y \u003d 0, ovvero la linea coincide con O x. Quindi, la disuguaglianza 0 · x + 0 ≥ 0 ha molte soluzioni.

Risposta: la seconda disuguaglianza ha una soluzione per qualsiasi valore di x .

Disuguaglianze lineari

La soluzione delle disuguaglianze può essere ridotta alla soluzione di un'equazione lineare, dette disuguaglianze lineari.

Queste disuguaglianze sono state prese in considerazione nel percorso scolastico, poiché si trattava di un caso particolare di risoluzione delle disuguaglianze, che ha portato all'apertura di parentesi e alla riduzione di termini simili. Ad esempio, considera che 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Le disuguaglianze sopra riportate sono sempre ridotte alla forma di un'equazione lineare. Dopodiché, le parentesi vengono aperte e vengono forniti termini simili, trasferiti da parti diverse, cambiando il segno nell'opposto.

Quando riduciamo la disuguaglianza 5 − 2 x > 0 a lineare, la rappresentiamo in modo tale che abbia la forma − 2 x + 5 > 0 , e per ridurre il secondo otteniamo che 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . È necessario aprire le parentesi, portare termini simili, spostare tutti i termini sul lato sinistro e portare termini simili. Si presenta così:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Questo porta la soluzione a una disuguaglianza lineare.

Queste disuguaglianze sono considerate lineari, poiché hanno lo stesso principio di soluzione, dopodiché è possibile ridurle a disuguaglianze elementari.

Per risolvere questo tipo di disuguaglianza di questo tipo, è necessario ridurla a una disuguaglianza lineare. Dovrebbe essere fatto in questo modo:

Definizione 9

• parentesi aperte;
• raccogliere variabili a sinistra e numeri a destra;
• portare termini simili;
• dividi entrambe le parti per il coefficiente di x .

Esempio 9

Risolvi la disuguaglianza 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Decisione

Espandiamo le parentesi, quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Dopo aver ridotto termini simili, abbiamo che 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Dopo aver spostato i termini da sinistra a destra, otteniamo che 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Quindi, ha una disuguaglianza della forma 32 ≤ 0 dal risultato ottenuto nel calcolo 0 · x + 32 ≤ 0 . Si può vedere che la disuguaglianza è falsa, il che significa che la disuguaglianza data dalla condizione non ha soluzioni.

Risposta: nessuna soluzione.

Vale la pena notare che esistono molte disuguaglianze di altro tipo, che possono essere ridotte a una diseguaglianza lineare oa una disuguaglianza del tipo sopra mostrato. Ad esempio, 5 2 x − 1 ≥ 1 è un'equazione esponenziale che si riduce a una soluzione lineare 2 · x − 1 ≥ 0 . Questi casi saranno presi in considerazione quando si risolvono disuguaglianze di questo tipo.

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