Transformasi ekspresi rasional: jenis transformasi, contoh. ekspresi rasional

Di masa lalu yang jauh, ketika sistem kalkulus belum ditemukan, orang menghitung semuanya dengan jari mereka. Dengan munculnya aritmatika dan dasar-dasar matematika, telah menjadi jauh lebih mudah dan lebih praktis untuk menyimpan catatan barang, produk, dan barang-barang rumah tangga. Namun, seperti apa kelihatannya sistem modern kalkulus: jenis bilangan yang ada dibagi menjadi apa dan apa yang dimaksud dengan "bentuk bilangan rasional"? Mari kita cari tahu.

Ada berapa jenis bilangan dalam matematika?

Konsep "angka" itu sendiri menunjukkan unit tertentu dari objek apa pun, yang mencirikan indikator kuantitatif, komparatif, atau ordinalnya. Untuk menghitung dengan benar jumlah hal-hal tertentu atau untuk melaksanakan tertentu operasi matematika dengan angka (tambah, kalikan, dll.), pertama-tama, Anda harus membiasakan diri dengan varietas angka yang sama ini.

Jadi, angka-angka yang ada dapat dibagi ke dalam kategori berikut:

Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung jumlah benda (bilangan asli terkecil adalah 1, logis bahwa deret bilangan asli tidak terbatas, yaitu, tidak ada bilangan asli terbesar). Himpunan bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf N.
bilangan bulat. Set ini mencakup semua, sementara itu ditambahkan dan nilai negatif, termasuk angka "nol". Notasi himpunan bilangan bulat ditulis sebagai huruf latin Z.
Bilangan rasional adalah bilangan yang secara mental dapat kita ubah menjadi pecahan, yang pembilangnya akan termasuk dalam himpunan bilangan bulat, dan penyebutnya akan menjadi bilangan asli. Di bawah ini kami akan menganalisis secara lebih rinci apa yang dimaksud dengan "bilangan rasional", dan memberikan beberapa contoh.
- himpunan yang mencakup semua rasional dan himpunan ini dilambangkan dengan huruf R.
Bilangan kompleks berisi bagian dari real dan bagian dari variabel. Mereka digunakan dalam memecahkan berbagai persamaan kubik, yang, pada gilirannya, dapat memiliki ekspresi negatif dalam rumus (i 2 = -1).

Apa yang dimaksud dengan "rasional": kami menganalisisnya dengan contoh

Jika bilangan rasional adalah bilangan yang dapat kita nyatakan dalam bentuk pecahan biasa, ternyata semua bilangan bulat positif dan negatif juga termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Bagaimanapun, bilangan bulat apa pun, misalnya 3 atau 15, dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana penyebutnya adalah satu.

Pecahan: -9/3; 7/5, 6/55 adalah contohnya angka rasional.

Apa yang dimaksud dengan "ekspresi rasional"?

Pindah. Kita telah membahas apa arti bentuk bilangan rasional. Sekarang mari kita bayangkan ekspresi matematika yang terdiri dari jumlah, perbedaan, produk, atau hasil bagi berbagai nomor dan variabel. Berikut ini contohnya: pecahan, yang pembilangnya merupakan jumlah dari dua atau lebih bilangan bulat, dan penyebutnya berisi bilangan bulat dan beberapa variabel. Ungkapan inilah yang disebut rasional. Berdasarkan aturan "Anda tidak dapat membagi dengan nol", Anda dapat menebak bahwa nilai variabel ini tidak boleh sedemikian rupa sehingga nilai penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan ekspresi rasional, Anda harus terlebih dahulu menentukan rentang variabel. Misalnya, jika penyebutnya berisi ekspresi berikut: x+5-2, maka ternyata "x" tidak bisa sama dengan -3. Memang, dalam hal ini, seluruh ekspresi berubah menjadi nol, oleh karena itu, ketika menyelesaikan, perlu untuk mengecualikan bilangan bulat -3 untuk variabel ini.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan rasional dengan benar?

Ekspresi rasional dapat berisi beberapa sejumlah besar angka dan bahkan 2 variabel, jadi terkadang solusinya menjadi sulit. Untuk memfasilitasi solusi dari ekspresi seperti itu, disarankan untuk melakukan operasi tertentu secara rasional. Jadi, apa artinya "secara rasional", dan aturan apa yang harus diterapkan saat memutuskan?

Tipe pertama, saat itu cukup menyederhanakan ekspresi saja. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan operasi pengurangan pembilang dan penyebut menjadi nilai yang tidak dapat direduksi. Misalnya, jika pembilangnya berisi ekspresi 18x, dan penyebutnya 9x, maka, dengan mengurangi kedua indikator dengan 9x, kita hanya mendapatkan bilangan bulat yang sama dengan 2.
Metode kedua praktis ketika kita memiliki monomial di pembilang dan polinomial di penyebut. Mari kita lihat sebuah contoh: di pembilang kita memiliki 5x, dan di penyebut - 5x + 20x 2 . Dalam hal ini, yang terbaik adalah mengeluarkan variabel penyebut dari tanda kurung, kita mendapatkan bentuk penyebut berikut: 5x(1+4x). Dan sekarang Anda dapat menggunakan aturan pertama dan menyederhanakan ekspresi dengan mengurangi 5x pada pembilang dan penyebut. Hasilnya, kami mendapatkan pecahan dalam bentuk 1/1+4x.

Operasi apa yang dapat dilakukan dengan bilangan rasional?

Himpunan bilangan rasional memiliki sejumlah kekhasan tersendiri. Banyak dari mereka sangat mirip dengan karakteristik yang ada dalam bilangan bulat dan bilangan asli, mengingat fakta bahwa yang terakhir selalu termasuk dalam himpunan rasional. Berikut adalah beberapa sifat bilangan rasional, dengan mengetahui yang mana, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan ekspresi rasional apa pun.

Properti komutatif memungkinkan Anda untuk menjumlahkan dua atau lebih angka, terlepas dari urutannya. Sederhananya, jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat istilah.
Sifat distributif memungkinkan pemecahan masalah menggunakan hukum distributif.
Dan terakhir, operasi penjumlahan dan pengurangan.

Bahkan anak sekolah tahu apa arti "jenis bilangan rasional" dan bagaimana memecahkan masalah berdasarkan ekspresi seperti itu, jadi orang dewasa yang berpendidikan hanya perlu mengingat setidaknya dasar-dasar himpunan bilangan rasional.

ekspresi rasional ekspresi aljabar tidak mengandung radikal. Dengan kata lain, itu adalah satu atau lebih besaran aljabar (angka dan huruf) yang dihubungkan oleh tanda operasi aritmatika: penambahan, pengurangan, perkalian ... ... Wikipedia

Ekspresi aljabar yang tidak mengandung radikal dan hanya mencakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Misalnya, a2 + b, x/(y z2) … Kamus Ensiklopedis Besar

Ekspresi aljabar yang tidak mengandung radikal dan hanya mencakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Misalnya, a2 + b, x/(y z2). * * * EKSPRESI RASIONAL EKSPRESI RASIONAL, ekspresi aljabar yang tidak mengandung ... ... kamus ensiklopedis

Ekspresi aljabar yang tidak mengandung radikal, seperti a2 + b, x/(y z3). Jika termasuk dalam abad R. huruf dianggap variabel, maka R. in. mendefinisikan fungsi rasional (Lihat Fungsi rasional) dari variabel-variabel ini ... Ensiklopedia Besar Soviet

Ekspresi aljabar yang tidak mengandung radikal dan hanya mencakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Misalnya, a2 + b, x/(y z2) ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

EKSPRESI- konsep matematika utama, yang berarti catatan huruf dan angka yang dihubungkan oleh tanda-tanda operasi aritmatika, sementara tanda kurung, penunjukan fungsi, dll. dapat digunakan; biasanya B adalah rumus juta bagiannya. Bedakan Dalam (1) ... ... Ensiklopedia Politeknik Hebat

RASIONAL- (Rasional; Rasional) istilah yang digunakan untuk menggambarkan pikiran, perasaan dan tindakan yang konsisten dengan pikiran; sikap yang didasarkan pada nilai-nilai objektif yang diperoleh sebagai hasil dari pengalaman praktis.“Nilai-nilai objektif terbentuk dalam pengalaman ... ... Kamus Psikologi Analitik

PENGETAHUAN RASIONAL- gambar subjektif dari dunia objektif, diperoleh dengan bantuan pemikiran. Pemikiran - proses aktif refleksi realitas yang digeneralisasi dan dimediasi, yang memastikan penemuan koneksi regulernya berdasarkan data sensorik dan ekspresinya ... Filsafat Sains dan Teknologi: Kamus Tematik

PERSAMAAN, RASIONAL- Ekspresi logis atau matematis berdasarkan asumsi (rasional) tentang proses. Persamaan seperti itu berbeda dari persamaan empiris karena parameternya diperoleh sebagai hasil kesimpulan deduktif dari teori ... ... Kamus dalam psikologi

RASIONAL, rasional, rasional; rasional, rasional, rasional. 1. menyesuaikan rasionalisme (buku). filsafat rasional. 2. Cukup masuk akal, dibenarkan, bijaksana. Dia membuat saran yang rasional. Rasional ... ... Kamus Penjelasan Ushakov

1) persamaan aljabar R. f (x) = 0 derajat p persamaan aljabar g(y)=0 persamaan yang diberikan… … Ensiklopedia Matematika

Ekspresi integer adalah ekspresi matematika yang terdiri dari angka dan variabel literal menggunakan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Bilangan bulat juga mencakup ekspresi yang menyertakan pembagian dengan beberapa angka selain nol.

Contoh Ekspresi Bilangan Bulat

Di bawah ini adalah beberapa contoh ekspresi integer:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Ekspresi pecahan

Jika ekspresi berisi pembagian oleh variabel atau ekspresi lain yang berisi variabel, maka ekspresi tersebut bukan bilangan bulat. Ekspresi seperti itu disebut ekspresi fraksional. Mari kita berikan definisi lengkap dari ekspresi pecahan.

Ekspresi pecahan adalah ekspresi matematika yang, selain operasi penambahan, pengurangan dan perkalian yang dilakukan dengan angka dan variabel alfabet, serta pembagian dengan angka, tidak nol, juga berisi pembagian ke dalam ekspresi dengan variabel literal.

Contoh ekspresi pecahan:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Ekspresi pecahan dan bilangan bulat membentuk dua set besar ekspresi matematika. Jika himpunan ini digabungkan, maka kita mendapatkan himpunan baru, yang disebut ekspresi rasional. Artinya, ekspresi rasional adalah semua ekspresi bilangan bulat dan pecahan.

Kita tahu bahwa ekspresi integer masuk akal untuk setiap nilai variabel yang disertakan di dalamnya. Ini mengikuti dari fakta bahwa untuk menemukan nilai ekspresi bilangan bulat, perlu untuk melakukan tindakan yang selalu mungkin: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dengan angka selain nol.

Ekspresi pecahan, tidak seperti bilangan bulat, mungkin tidak masuk akal. Karena ada operasi pembagian dengan variabel atau ekspresi yang mengandung variabel, dan ekspresi ini dapat berubah menjadi nol, tetapi pembagian dengan nol tidak mungkin. Nilai variabel yang ekspresi pecahan akan masuk akal, panggil nilai variabel yang valid.

pecahan rasional

Salah satu kasus khusus ekspresi rasional adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya polinomial. Untuk pecahan seperti itu dalam matematika, ada juga nama - pecahan rasional.

Pecahan rasional akan masuk akal jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Artinya, semua nilai variabel yang penyebut pecahannya berbeda dari nol akan valid.

Pelajaran ini akan mencakup informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya, serta contoh transformasi ekspresi rasional. Topik ini merangkum topik yang telah kita pelajari selama ini. Transformasi ekspresi rasional meliputi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial pecahan aljabar, reduksi, faktorisasi, dll. Sebagai bagian dari pelajaran, kita akan melihat apa itu ekspresi rasional, dan kita juga akan menganalisis contoh transformasinya.

Subjek:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya

Definisi

ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, operasi aritmatika dan eksponensial.

Perhatikan contoh ekspresi rasional:

Kasus khusus dari ekspresi rasional:

derajat 1: ;

2. monomial: ;

3. pecahan: .

Transformasi Ekspresi Rasional merupakan penyederhanaan dari ekspresi rasional. Urutan operasi saat mengubah ekspresi rasional: pertama, ada tindakan dalam tanda kurung, lalu operasi perkalian (pembagian), dan kemudian operasi penambahan (pengurangan).

Mari kita perhatikan beberapa contoh tentang transformasi ekspresi rasional.

Contoh 1

Keputusan:

Mari kita selesaikan contoh ini langkah demi langkah. Tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Menjawab:

Contoh 2

Keputusan:

Menjawab:

Contoh 3

Keputusan:

Menjawab: .

Catatan: mungkin ketika Anda melihat contoh ini sebuah ide muncul: untuk mengurangi pecahan sebelum mengarah ke penyebut yang sama. Memang, itu sepenuhnya benar: pertama, diinginkan untuk menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin, dan kemudian mengubahnya. Mari kita coba selesaikan contoh yang sama dengan cara kedua.

Seperti yang Anda lihat, jawabannya ternyata sangat mirip, tetapi solusinya ternyata agak lebih sederhana.

Dalam pelajaran ini, kita melihat ekspresi rasional dan transformasinya, serta beberapa contoh konkret data transformasi.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Aljabar kelas 8. - M.: Pencerahan, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 8. - edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.

Dari kursus aljabar kurikulum sekolah Mari kita turun ke spesifik. Pada artikel ini, kita akan mempelajarinya secara detail jenis khusus ekspresi rasional - pecahan rasional, dan juga menganalisis karakteristik apa yang identik transformasi pecahan rasional terjadi.

Kami segera mencatat bahwa pecahan rasional dalam arti yang kami definisikan di bawah ini disebut pecahan aljabar di beberapa buku teks aljabar. Artinya, dalam artikel ini kita akan memahami hal yang sama di bawah pecahan rasional dan aljabar.

Seperti biasa, kita mulai dengan definisi dan contoh. Selanjutnya, mari kita bicara tentang membawa pecahan rasional ke penyebut baru dan tentang mengubah tanda-tanda anggota pecahan. Setelah itu, kami akan menganalisis bagaimana pengurangan pecahan dilakukan. Akhirnya, mari kita membahas representasi pecahan rasional sebagai jumlah dari beberapa pecahan. Kami akan menyediakan semua informasi dengan contoh dengan deskripsi rinci solusi.

Navigasi halaman.

Pengertian dan contoh pecahan rasional

Pecahan rasional dipelajari dalam pelajaran aljabar di kelas 8. Kami akan menggunakan definisi pecahan rasional, yang diberikan dalam buku teks aljabar untuk kelas 8 oleh Yu. N. Makarychev dan lainnya.

Definisi ini tidak menentukan apakah polinomial dalam pembilang dan penyebut pecahan rasional harus polinomial. tampilan standar atau tidak. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa pecahan rasional dapat berisi polinomial standar dan non-standar.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan rasional. Jadi , x/8 dan - pecahan rasional. Dan pecahan dan tidak cocok dengan definisi pecahan rasional, karena yang pertama pembilangnya bukan polinomial, dan yang kedua pembilang dan penyebutnya mengandung ekspresi yang bukan polinomial.

Mengubah pembilang dan penyebut pecahan rasional

Pembilang dan penyebut pecahan apa pun adalah ekspresi matematika mandiri, dalam kasus pecahan rasional mereka polinomial, dalam kasus tertentu mereka adalah monomial dan angka. Oleh karena itu, dengan pembilang dan penyebut pecahan rasional, seperti halnya ekspresi apa pun, transformasi identik dapat dilakukan. Dengan kata lain, ekspresi pembilang pecahan rasional dapat diganti dengan ekspresi yang identik sama dengan itu, seperti penyebutnya.

Dalam pembilang dan penyebut pecahan rasional, transformasi identik dapat dilakukan. Misalnya, di pembilang, Anda dapat mengelompokkan dan mengurangi suku yang serupa, dan dalam penyebut, produk dari beberapa angka dapat diganti dengan nilainya. Dan karena pembilang dan penyebut pecahan rasional adalah polinomial, dimungkinkan untuk melakukan transformasi karakteristik polinomial dengan mereka, misalnya, pengurangan ke bentuk standar atau representasi sebagai produk.

Untuk kejelasan, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Mengubah pecahan rasional sehingga pembilangnya adalah polinomial dari bentuk standar, dan penyebutnya adalah produk dari polinomial.

Keputusan.

Mengurangi pecahan rasional ke penyebut baru terutama digunakan saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan rasional.

Mengubah tanda di depan pecahan, serta pembilang dan penyebutnya

Sifat dasar pecahan dapat digunakan untuk mengubah tanda-tanda suku pecahan. Memang, mengalikan pembilang dan penyebut pecahan rasional dengan -1 sama saja dengan mengubah tanda-tandanya, dan hasilnya adalah pecahan yang identik sama dengan yang diberikan. Transformasi seperti itu harus sering digunakan ketika bekerja dengan pecahan rasional.

Jadi, jika Anda secara bersamaan mengubah tanda pembilang dan penyebut suatu pecahan, Anda akan mendapatkan pecahan yang sama dengan pecahan aslinya. Pernyataan ini sesuai dengan kesetaraan.

Mari kita ambil contoh. Pecahan rasional dapat diganti dengan pecahan yang identik sama dengan tanda pembilang dan penyebut bentuk yang dibalik.

Dengan pecahan, Anda dapat melakukan satu lagi transformasi identitas, di mana tanda berubah baik dalam pembilang atau penyebut. Mari kita membahas aturan yang sesuai. Jika Anda mengganti tanda pecahan dengan tanda pembilang atau penyebut, Anda mendapatkan pecahan yang sama persis dengan aslinya. Pernyataan tertulis sesuai dengan persamaan dan .

Tidak sulit untuk membuktikan persamaan ini. Pembuktian didasarkan pada sifat-sifat perkalian bilangan. Mari kita buktikan yang pertama: . Dengan bantuan transformasi serupa, kesetaraan juga terbukti.

Misalnya, pecahan dapat diganti dengan ekspresi atau .

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kami menyajikan dua persamaan yang lebih berguna dan . Artinya, jika Anda mengubah tanda pembilangnya saja atau penyebutnya saja, maka pecahan itu akan berubah tandanya. Sebagai contoh, dan .

Transformasi yang dipertimbangkan, yang memungkinkan perubahan tanda suku-suku pecahan, sering digunakan saat mentransformasikan ekspresi rasional pecahan.

Pengurangan pecahan rasional

Transformasi pecahan rasional berikut, yang disebut pengurangan pecahan rasional, didasarkan pada sifat dasar pecahan yang sama. Transformasi ini sesuai dengan persamaan , di mana a , b dan c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol.

Dari persamaan di atas, menjadi jelas bahwa pengurangan pecahan rasional berarti menghilangkan faktor persekutuan dalam pembilang dan penyebutnya.

Contoh.

Kurangi pecahan rasional.

Keputusan.

Faktor umum 2 segera terlihat, mari kita kurangi (saat menulis, lebih mudah untuk mencoret faktor umum yang digunakan untuk membuat pengurangan). Kita punya . Karena x 2 \u003d x x dan y 7 \u003d y 3 y 4 (lihat jika perlu), jelaslah bahwa x adalah faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan, seperti y 3 . Mari kita kurangi dengan faktor-faktor ini: . Ini menyelesaikan pengurangan.

Di atas, kami melakukan pengurangan pecahan rasional secara berurutan. Dan dimungkinkan untuk melakukan pengurangan dalam satu langkah, dengan segera mengurangi pecahan sebesar 2·x·y 3 . Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini: .

Menjawab:

Saat mengurangi pecahan rasional, masalah utama adalah bahwa faktor persekutuan pembilang dan penyebut tidak selalu terlihat. Apalagi itu tidak selalu ada. Untuk menemukan faktor persekutuan atau memastikan bahwa itu tidak ada, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan rasional. Jika tidak ada faktor persekutuan, maka fraksi rasional asli tidak perlu direduksi, jika tidak, reduksi dilakukan.

Dalam proses pengurangan pecahan rasional, mungkin timbul berbagai nuansa. Seluk-beluk utama dengan contoh dan detail dibahas dalam artikel pengurangan pecahan aljabar.

Mengakhiri percakapan tentang pengurangan pecahan rasional, kami mencatat bahwa transformasi ini identik, dan kesulitan utama dalam implementasinya terletak pada faktorisasi polinomial dalam pembilang dan penyebut.

Representasi pecahan rasional sebagai jumlah pecahan

Cukup spesifik, tetapi dalam beberapa kasus sangat berguna, adalah transformasi pecahan rasional, yang terdiri dari representasi sebagai jumlah dari beberapa pecahan, atau jumlah dari ekspresi bilangan bulat dan pecahan.

Pecahan rasional, yang pembilangnya terdapat polinomial, yang merupakan jumlah dari beberapa monomial, selalu dapat ditulis sebagai jumlah pecahan dengan penyebut yang sama, yang pembilangnya mengandung monomial yang sesuai. Sebagai contoh, . Representasi ini dijelaskan oleh aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut yang sama.

Secara umum, setiap pecahan rasional dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan dalam berbagai cara. Misalnya, pecahan a/b dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua pecahan - pecahan sembarang c/d dan pecahan yang sama dengan selisih antara pecahan a/b dan c/d. Pernyataan ini benar, karena persamaan . Misalnya, pecahan rasional dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan cara yang berbeda: Kami mewakili pecahan asli sebagai jumlah dari ekspresi bilangan bulat dan pecahan. Setelah membagi pembilang dengan penyebut dengan kolom, kita mendapatkan persamaan . Nilai ekspresi n 3 +4 untuk sembarang bilangan bulat n adalah bilangan bulat. Dan nilai suatu pecahan adalah bilangan bulat jika dan hanya jika penyebutnya adalah 1, 1, 3, atau 3. Nilai-nilai ini sesuai dengan nilai masing-masing n=3 , n=1 , n=5 dan n=−1.

Menjawab:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-13, Pdt. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.