Ի՞նչ է ցույց տալիս էքսպոնենցիալ ֆունկցիան: Դաս «Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, նրա հատկությունները և գրաֆիկը

Գիտելիքի հիպերմարկետ >>Մաթեմատիկա >>Մաթեմատիկա 10-րդ դասարան >>

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, դրա հատկությունները և գրաֆիկը

Դիտարկենք 2x արտահայտությունը և գտե՛ք դրա արժեքները x փոփոխականի տարբեր ռացիոնալ արժեքների համար, օրինակ՝ x=2-ի համար;

Ընդհանուր առմամբ, անկախ նրանից, թե ինչ ռացիոնալ արժեք ենք տալիս x փոփոխականին, մենք միշտ կարող ենք հաշվել 2x արտահայտության համապատասխան թվային արժեքը։ Այսպիսով, կարելի է խոսել էքսպոնենցիալի մասին գործառույթները y=2 x սահմանված է Q բազմության վրա ռացիոնալ թվեր:

Դիտարկենք այս ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Գույք 1.աճող ֆունկցիա է։ Ապացուցումն իրականացնում ենք երկու փուլով.
Առաջին փուլ.Ապացուցենք, որ եթե r-ը դրական ռացիոնալ թիվ է, ապա 2 r >1:
Հնարավոր է երկու դեպք՝ 1) r- բնական թիվ, r = n; 2) սովորական անկրճատելի մաս,

Վերջին անհավասարության ձախ կողմում ունենք , իսկ աջ կողմում՝ 1: Այսպիսով, վերջին անհավասարությունը կարող է վերագրվել որպես.

Այսպիսով, ամեն դեպքում, 2 r > 1 անհավասարությունը պահպանվում է, ինչպես պահանջվում է:

Երկրորդ փուլ.Թող x 1 և x 2 թվեր լինեն, իսկ x 1 և x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(x 2 -x 1 տարբերությունը նշել ենք r տառով):

Քանի որ r-ը դրական ռացիոնալ թիվ է, ուրեմն, առաջին փուլում ապացուցվածով, 2 r > 1, այսինքն. 2 r -1 >0: Դրական է նաև 2x» թիվը, ինչը նշանակում է, որ 2 x-1 (2 Г -1) արտադրյալը նույնպես դրական է։ Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ. անհավասարություն 2 Xr -2x "\u003e 0.

Այսպիսով, x 1 անհավասարությունից< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Գույք 2.սահմանափակված է ներքևից և չի սահմանափակվում վերևից:
Ներքևից ֆունկցիայի սահմանափակությունը բխում է 2 x > 0 անհավասարությունից, որը վավեր է ֆունկցիայի տիրույթից x-ի ցանկացած արժեքի համար: Միևնույն ժամանակ, անկախ նրանից, թե որ դրական թիվն է վերցնում մեկը, միշտ կարելի է ընտրել այնպիսի x ցուցիչ, որ կատարվի 2 x > M անհավասարությունը, որը բնութագրում է վերևից ֆունկցիայի անսահմանափակությունը։ Եկեք մի քանի օրինակ բերենք.

Գույք 3.չունի ոչ նվազագույն, ոչ էլ առավելագույն արժեք։

Այն, ինչ այս գործառույթը չունի ամենամեծ արժեքը, ակնհայտորեն, քանի որ, ինչպես նոր տեսանք, այն ի վերևից սահմանափակված չէ։ Բայց ներքեւից սահմանափակ է, ինչու չունի ամենափոքր արժեքը?

Ենթադրենք, որ 2r-ը ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքն է (r-ը ռացիոնալ ցուցիչ է): Վերցրեք ռացիոնալ q թիվ<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Այս ամենը լավ է, ասում եք, բայց ինչո՞ւ ենք y-2 x ֆունկցիան դիտարկում միայն ռացիոնալ թվերի բազմության վրա, ինչո՞ւ այն, ինչպես մյուս հայտնի ֆունկցիաները, չենք համարում ամբողջ թվային տողի կամ ինչ-որ շարունակական միջակայքի վրա։ թվային գիծը? Ի՞նչն է մեզ խանգարում: Եկեք մտածենք իրավիճակի մասին։

Թվային տողը պարունակում է ոչ միայն ռացիոնալ, այլև իռացիոնալ թվեր։ Նախկինում ուսումնասիրված գործառույթների համար սա մեզ չէր անհանգստացնում։ Օրինակ, մենք հավասարապես հեշտությամբ գտանք y \u003d x 2 ֆունկցիայի արժեքները և՛ ռացիոնալ, և՛ իռացիոնալ x-ի արժեքների համար. բավական էր քառակուսի դնել x-ի տրված արժեքը:

Բայց y \u003d 2 x ֆունկցիայի դեպքում իրավիճակն ավելի բարդ է: Եթե ​​x արգումենտին տրվում է ռացիոնալ արժեք, ապա սկզբունքորեն x-ը կարող է հաշվարկվել (վերադառնալ պարբերության սկիզբ, որտեղ մենք հենց դա արեցինք): Իսկ եթե x արգումենտին տրվի իռացիոնալ արժեք. Ինչպե՞ս, օրինակ, հաշվարկել: Մենք սա դեռ չգիտենք:
Մաթեմատիկոսները ելք են գտել. այսպես էին խոսում.

Հայտնի է, որ Դիտարկենք ռացիոնալ թվերի հաջորդականություն՝ թվի տասնորդական մոտարկումներ ըստ թերության.

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Հասկանալի է, որ 1,732 = 1,7320 և 1,732050 = 1,73205: Նման կրկնություններից խուսափելու համար մենք հեռացնում ենք հաջորդականության այն անդամները, որոնք ավարտվում են 0 թվով:

Այնուհետև մենք ստանում ենք աճող հաջորդականություն.

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Համապատասխանաբար ավելանում է նաև հաջորդականությունը։

Այս հաջորդականության բոլոր անդամները 22-ից փոքր դրական թվեր են, այսինքն. այս հաջորդականությունը սահմանափակ է: Վայերշտրասի թեորեմով (տե՛ս § 30), եթե հաջորդականությունը մեծանում է և սահմանափակվում, ապա այն համընկնում է: Ավելին, § 30-ից մենք գիտենք, որ եթե հաջորդականությունը համընկնում է, ապա միայն մեկ սահմանի: Այս մեկ սահմանը համաձայնեցվել է համարվել թվային արտահայտության արժեք: Եվ կարևոր չէ, որ 2 թվային արտահայտության նույնիսկ մոտավոր արժեքը գտնելը շատ դժվար է. Կարևոր է, որ սա կոնկրետ թիվ է (ի վերջո, մենք չվախեցանք ասել, որ, օրինակ, ռացիոնալ հավասարման արմատն է, եռանկյունաչափական հավասարման արմատը՝ առանց իրականում մտածելու, թե կոնկրետ ինչ թվեր են.
Այսպիսով, մենք պարզեցինք, թե ինչ նշանակություն են տալիս մաթեմատիկոսները 2 ^ նշանի մեջ: Նմանապես, կարելի է որոշել, թե որն է և ընդհանրապես ինչ է a-ն, որտեղ a-ն իռացիոնալ թիվ է և a > 1:
Բայց ինչ վերաբերում է, երբ 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Այժմ մենք կարող ենք խոսել ոչ միայն կամայական ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճանների, այլև կամայական իրական ցուցիչներով աստիճանների մասին։ Ապացուցված է, որ ցանկացած իրական ցուցիչով աստիճաններն ունեն աստիճանների բոլոր սովորական հատկությունները. աստիճանները միևնույն հիմքերով բազմապատկելիս ցուցիչները գումարվում են, բաժանելիս՝ հանվում, աստիճանը աստիճանի հասցնելիս՝ բազմապատկվում են և այլն։ . Բայց ամենակարևորն այն է, որ այժմ կարելի է խոսել բոլոր իրական թվերի բազմության վրա սահմանված y-ax ֆունկցիայի մասին։
Եկեք վերադառնանք y \u003d 2 x ֆունկցիային, կառուցենք դրա գրաֆիկը: Դա անելու համար մենք կկազմենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ 2 x-ով:

Նկատենք կոորդինատային հարթության կետերը (նկ. 194), ուրվագծում են որոշակի գիծ, ​​գծում (նկ. 195)։

Ֆունկցիայի հատկությունները y - 2 x:
1)
2) ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ. 248
3) ավելանում է.

5) չունի ոչ ամենամեծ, ոչ ամենափոքր արժեքները.
6) շարունակական;
7)
8) ուռուցիկ ներքեւ.

Դասընթացում տրված են y-2 x ֆունկցիայի թվարկված հատկությունների խիստ ապացույցներ բարձրագույն մաթեմատիկա. Այս հատկություններից մի քանիսը, որոնք մենք ավելի վաղ քննարկել ենք այս կամ այն ​​չափով, դրանցից մի քանիսը հստակորեն ցուցադրվում են կառուցված գրաֆիկով (տես նկ. 195): Օրինակ՝ ֆունկցիայի հավասարության կամ տարօրինակության բացակայությունը երկրաչափորեն կապված է գրաֆիկի համաչափության բացակայության հետ, համապատասխանաբար, y առանցքի կամ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ։

y=a x ձևի ցանկացած ֆունկցիա, որտեղ a >1, ունի նմանատիպ հատկություններ: Նկ. Մեկ կոորդինատային համակարգում կառուցված են 196, y=2 x, y=3 x, y=5 x ֆունկցիաների գրաֆիկները։

Հիմա եկեք դիտարկենք գործառույթը, եկեք դրա համար կազմենք արժեքների աղյուսակ.

Կոորդինատային հարթության վրա նշենք կետերը (նկ. 197), ուրվագծում են որոշակի գիծ, ​​գծում (նկ. 198)։

Ֆունկցիայի հատկությունները

1)
2) ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ.
3) նվազում;
4) վերևից չսահմանափակված, ներքևից սահմանափակված.
5) չկա ոչ ամենամեծ, ոչ ամենափոքր արժեքները.
6) շարունակական;
7)
8) ուռուցիկ ներքեւ.
y \u003d a x ձևի ցանկացած ֆունկցիա, որտեղ O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ֆունկցիայի գրաֆիկները դրանք. y \u003d 2 x, սիմետրիկ y առանցքի նկատմամբ (Նկար 201): Սա ընդհանուր հայտարարության հետևանք է (տես § 13). y = f(x) և y = f(-x) ֆունկցիաների գրաֆիկները սիմետրիկ են y առանցքի նկատմամբ: Նմանապես, y \u003d 3 x և գործառույթների գրաֆիկները

Ամփոփելով ասվածը՝ կտանք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և կառանձնացնենք նրա ամենակարևոր հատկությունները։

Սահմանում.Դիտման ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։
y \u003d a x էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

y \u003d a x ֆունկցիայի գրաֆիկը a> 1-ի համար ներկայացված է նկ. 201, իսկ 0-ի համար<а < 1 - на рис. 202.

Կորը ցույց է տրված Նկ. 201-ը կամ 202-ը կոչվում է ցուցիչ: Իրականում, մաթեմատիկոսները սովորաբար ինքնին էքսպոնենցիալ ֆունկցիան անվանում են y = a x: Այսպիսով, «ցուցանիշ» տերմինը օգտագործվում է երկու իմաստով՝ և՛ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի անվան համար, և՛ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկի անվան համար: Սովորաբար, իմաստով պարզ է դառնում՝ մենք խոսում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի, թե դրա գրաֆիկի մասին։

Ուշադրություն դարձրեք y \u003d կացին էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկի երկրաչափական հատկանիշին. x-առանցքը գրաֆիկի հորիզոնական ասիմպտոտն է: Ճիշտ է, այս հայտարարությունը սովորաբար զտվում է հետևյալ կերպ.
X առանցքը ֆունկցիայի գրաֆիկի հորիզոնական ասիմպտոտն է

Այլ կերպ ասած

Առաջին կարևոր նշում. Դպրոցականները հաճախ շփոթում են տերմինները՝ ուժային ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Համեմատել.

Սրանք ուժային ֆունկցիաների օրինակներ են.

էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների օրինակներ են։

Ընդհանուր առմամբ, y \u003d x r, որտեղ r-ը որոշակի թիվ է, ուժային ֆունկցիա է (x փաստարկը պարունակվում է աստիճանի հիմքում);
y \u003d a», որտեղ a-ն որոշակի թիվ է (դրական և տարբերվում է 1-ից), էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիա է (x արգումենտը պարունակվում է ցուցիչում):

Հարձակվող «էկզոտիկ» ֆունկցիան, ինչպիսին y = x»-ն է, համարվում է ոչ էքսպոնենցիալ, ոչ էլ հզորության օրենքը (այն երբեմն անվանում են էքսպոնենցիալ ուժային ֆունկցիա):

Երկրորդ կարևոր նշում. Սովորաբար, չի դիտարկվում էքսպոնենցիալ ֆունկցիան a = 1 հիմքով կամ a հիմքով, որը բավարարում է a անհավասարությունը:<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 և a Փաստն այն է, որ եթե a \u003d 1, ապա x ցանկացած արժեքի համար Ix \u003d 1 հավասարությունը ճիշտ է: Այսպիսով, էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիան y \u003d a «a \u003d 1-ի համար» վերածվում է «հաստատուն y \u003d ֆունկցիայի: u003d 1 - սա հետաքրքիր չէ: Եթե \u003d 0, ապա 0x \u003d 0 x-ի ցանկացած դրական արժեքի համար, այսինքն, մենք ստանում ենք y \u003d 0 ֆունկցիան, որը սահմանված է x\u003e 0-ի համար, սա նույնպես հետաքրքիր չէ:<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Նախքան օրինակների լուծմանը անցնելը, մենք նշում ենք, որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան էապես տարբերվում է բոլոր այն ֆունկցիաներից, որոնք մինչ այժմ ուսումնասիրել եք։ Նոր օբյեկտը մանրակրկիտ ուսումնասիրելու համար հարկավոր է այն դիտարկել տարբեր տեսանկյուններից, տարբեր իրավիճակներում, ուստի օրինակները շատ կլինեն:
Օրինակ 1

Որոշում, ա) y \u003d 2 x և y \u003d 1 ֆունկցիաների գրաֆիկները գծելով մեկ կոորդինատային համակարգում, մենք նկատում ենք (նկ. 203), որ դրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ (0; 1): Այսպիսով, 2x = 1 հավասարումը ունի մեկ արմատ x = 0:

Այսպիսով, 2x = 2° հավասարումից ստացանք x = 0:

բ) Կառուցելով y \u003d 2 x և y \u003d 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում, մենք նկատում ենք (նկ. 203), որ դրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ (2; 4): Այսպիսով, 2x = 4 հավասարումը ունի մեկ արմատ x = 2:

Այսպիսով, 2 x \u003d 2 2 հավասարումից մենք ստացանք x \u003d 2:

գ) և դ) Նույն նկատառումներից ելնելով ՝ մենք եզրակացնում ենք, որ 2 x \u003d 8 հավասարումը ունի մեկ արմատ, և այն գտնելու համար համապատասխան գործառույթների գրաֆիկները չեն կարող կառուցվել.

պարզ է, որ x=3, քանի որ 2 3 =8: Նմանապես, մենք գտնում ենք հավասարման միակ արմատը

Այսպիսով, 2x = 2 3 հավասարումից ստացանք x = 3, իսկ 2 x = 2 x հավասարումից ստացանք x = -4:
ե) y \u003d 2 x ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y \u003d 1 ֆունկցիայի գրաֆիկի վերևում x\u003e 0-ի համար - սա լավ կարդացվում է Նկ. 203. Այսպիսով, 2x > 1 անհավասարության լուծումը միջակայքն է
զ) y \u003d 2 x ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y \u003d 4 ֆունկցիայի գծապատկերից ներքև՝ x-ում<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Դուք հավանաբար նկատեցիք, որ օրինակ 1-ը լուծելիս արված բոլոր եզրակացությունների հիմքը y \u003d 2 x ֆունկցիայի միապաղաղության (աճի) հատկությունն էր: Նմանատիպ դատողությունները մեզ թույլ են տալիս ստուգել հետևյալ երկու թեորեմների վավերականությունը.

Որոշում.Կարող եք գործել այսպես՝ y-3 x ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցեք, այնուհետև այն x-ի առանցքից ձգեք 3 գործակցով և ստացված գրաֆիկը բարձրացրեք 2 սանդղակի միավորով: Բայց ավելի հարմար է օգտագործել այն փաստը, որ 3- 3* \u003d 3 * + 1, և, հետևաբար, գծեք y \u003d 3 x * 1 + 2 ֆունկցիան:

Եկեք անցնենք, ինչպես բազմիցս արել ենք նման դեպքերում, դեպի օժանդակ կոորդինատային համակարգ, որի սկզբնաղբյուրը կետն է (-1; 2) - կետագծեր x = - 1 և 1x = 2 նկ. 207. «կցենք» y=3* ֆունկցիան նոր համակարգկոորդինատները։ Դա անելու համար մենք ընտրում ենք գործառույթի կառավարման կետերը , բայց դրանք կկառուցենք ոչ թե հին, այլ նոր կոորդինատային համակարգում (այս կետերը նշված են նկ. 207-ում)։ Այնուհետև մենք կկառուցենք ցուցիչ՝ ըստ կետերի. սա կլինի պահանջվող գրաֆիկը (տե՛ս նկ. 207):
[-2, 2] հատվածի վրա տրված ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ տվյալ ֆունկցիան աճում է, հետևաբար այն վերցնում է իր ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները, համապատասխանաբար, ձախ և ձախ կողմում: հատվածի աջ ծայրերը:
Այսպիսով.

Օրինակ 4Լուծե՛ք հավասարումը և անհավասարությունները.

Որոշում, ա) Կառուցենք y=5* և y=6-x ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում (նկ. 208)։ Նրանք հատվում են մի կետում; Դատելով գծագրությունից՝ սա է կետը (1; 5): Ստուգումը ցույց է տալիս, որ իրականում (1; 5) կետը բավարարում է և՛ y = 5*, և՛ y=6x հավասարումը։ Այս կետի աբսցիսսը ծառայում է որպես միակ արմատ տրված հավասարումը.

Այսպիսով, 5 x = 6-x հավասարումը ունի մեկ արմատ x = 1:

բ) և գ) y-5x ցուցիչը գտնվում է y=6-x ուղիղ գծի վերևում, եթե x>1, - սա պարզ երևում է նկ. 208. Այսպիսով, 5*>6-x անհավասարության լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ x>1. Իսկ անհավասարության լուծումը 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Պատասխան՝ ա) x = 1; բ) x>1; գ) x<1.

Օրինակ 5Տրվում է ֆունկցիա Ապացուցեք դա
Որոշում.Պայմանով Ունենք.

Մաթեմատիկական խնդիրների մեծ մասի լուծումը ինչ-որ կերպ կապված է թվային, հանրահաշվական կամ ֆունկցիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման հետ։ Սա վերաբերում է հատկապես լուծմանը։ Մաթեմատիկայի USE տարբերակներում առաջադրանքների այս տեսակը ներառում է, մասնավորապես, առաջադրանք C3: C3 առաջադրանքները լուծելու սովորելը կարևոր է ոչ միայն քննությունը հաջող հանձնելու համար, այլ նաև այն պատճառով, որ այս հմտությունը օգտակար կլինի բարձրագույն կրթության մաթեմատիկայի դասընթաց սովորելիս:

C3 առաջադրանքները կատարելով, դուք պետք է լուծեք տարբեր տեսակի հավասարումներ և անհավասարություններ: Դրանցից են ռացիոնալ, իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, պարունակող մոդուլներ (բացարձակ արժեքներ), ինչպես նաև համակցված։ Այս հոդվածում քննարկվում են էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների հիմնական տեսակները, ինչպես նաև դրանց լուծման տարբեր մեթոդներ։ Կարդացեք այլ տեսակի հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մասին «» վերնագրում հոդվածներում, որոնք նվիրված են մաթեմատիկայի USE տարբերակներից C3 խնդիրների լուծման մեթոդներին:

Նախքան կոնկրետի վերլուծությանը անցնելը էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններՈրպես մաթեմատիկայի դասավանդող, ես առաջարկում եմ ձեզ ծանոթանալ որոշ տեսական նյութերի վրա, որոնք մեզ անհրաժեշտ կլինեն:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

Ի՞նչ է էքսպոնենցիալ ֆունկցիան:

Դիտել գործառույթը y = կացին, որտեղ ա> 0 և ա≠ 1, կոչ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

Հիմնական էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները y = կացին:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկն է ցուցադրող:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկներ (ցուցանիշներ)

Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում

ցուցիչկոչվում են հավասարումներ, որոնցում անհայտ փոփոխականը գտնվում է միայն ցանկացած հզորության ցուցիչներում:

Լուծումների համար էքսպոնենցիալ հավասարումներդուք պետք է իմանաք և կարողանաք օգտագործել հետևյալ պարզ թեորեմը.

Թեորեմ 1.էքսպոնենցիալ հավասարում ա զ(x) = ա է(x) (որտեղ ա > 0, ա≠ 1) համարժեք է հավասարմանը զ(x) = է(x).

Բացի այդ, օգտակար է հիշել հիմնական բանաձևերը և գործողությունները աստիճաններով.

Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Օրինակ 1Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:օգտագործել վերը նշված բանաձևերը և փոխարինումը.

Այնուհետև հավասարումը դառնում է.

Ստացել է խտրական քառակուսի հավասարումդրական:

Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Սա նշանակում է, որ այս հավասարումն ունի երկու արմատ։ Մենք գտնում ենք դրանք.

Վերադառնալով փոխարինմանը, մենք ստանում ենք.

Երկրորդ հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան խիստ դրական է սահմանման ողջ տիրույթում: Եկեք լուծենք երկրորդը.

Հաշվի առնելով թեորեմ 1-ում ասվածը՝ անցնում ենք համարժեք հավասարմանը. x= 3. Սա կլինի առաջադրանքի պատասխանը:

Պատասխան. x = 3.

Օրինակ 2Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:հավասարումը չունի թույլատրելի արժեքների տարածքի սահմանափակումներ, քանի որ արմատական ​​արտահայտությունը իմաստ ունի ցանկացած արժեքի համար x(էքսպոնենցիալ ֆունկցիա y = 9 4 -xդրական և ոչ զրոյի):

Հավասարումը լուծում ենք համարժեք փոխակերպումներով՝ օգտագործելով ուժերի բազմապատկման և բաժանման կանոնները.

Վերջին անցումը կատարվել է 1-ին թեորեմի համաձայն:

Պատասխան.x= 6.

Օրինակ 3Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:սկզբնական հավասարման երկու կողմերը կարելի է բաժանել 0,2-ի x. Այս անցումը կլինի համարժեք, քանի որ ցանկացած արժեքի համար այս արտահայտությունը զրոյից մեծ է x(էքսպոնենցիալ ֆունկցիան իր տիրույթում խիստ դրական է): Այնուհետև հավասարումը ստանում է ձև.

Պատասխան. x = 0.

Օրինակ 4Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:մենք պարզեցնում ենք տարրականի հավասարումը համարժեք փոխակերպումների միջոցով՝ օգտագործելով հոդվածի սկզբում տրված հզորությունների բաժանման և բազմապատկման կանոնները.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 4-ի x, ինչպես նախորդ օրինակում, համարժեք փոխակերպում է, քանի որ այս արտահայտությունը ոչ մի արժեքի համար հավասար չէ զրոյի x.

Պատասխան. x = 0.

Օրինակ 5Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:ֆունկցիան y = 3x, որը կանգնած է հավասարման ձախ կողմում, աճում է: Գործառույթ y = —x-2/3-ը, կանգնած հավասարման աջ կողմում, նվազում է: Սա նշանակում է, որ եթե այս ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են, ապա առավելագույնը մեկ կետում։ Այս դեպքում հեշտ է կռահել, որ գրաֆիկները հատվում են կետում x= -1. Ուրիշ արմատներ չեն լինի։

Պատասխան. x = -1.

Օրինակ 6Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:մենք պարզեցնում ենք հավասարումը համարժեք փոխակերպումների միջոցով՝ ամենուր նկատի ունենալով, որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան խիստ մեծ է զրոյից ցանկացած արժեքի համար։ xև օգտագործելով հոդվածի սկզբում տրված արտադրանքի և մասնակի հզորությունների հաշվարկման կանոնները.

Պատասխան. x = 2.

Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում

ցուցիչկոչվում են անհավասարություններ, որոնցում անհայտ փոփոխականը պարունակվում է միայն որոշ հզորությունների ցուցիչներում:

Լուծումների համար էքսպոնենցիալ անհավասարություններՊահանջվում է հետևյալ թեորեմի իմացությունը.

Թեորեմ 2.Եթե ա> 1, ապա անհավասարությունը ա զ(x) > ա է(x) համարժեք է նույն նշանակության անհավասարությանը. զ(x) > է(x): Եթե ​​0< ա < 1, то էքսպոնենցիալ անհավասարություն ա զ(x) > ա է(x) համարժեք է հակառակ նշանակության անհավասարությանը. զ(x) < է(x).

Օրինակ 7Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Որոշում:ներկայացնել սկզբնական անհավասարությունը ձևով.

Այս անհավասարության երկու մասերը բաժանեք 3 2-ի x, և (գործառույթի դրականության շնորհիվ y= 3 2x) անհավասարության նշանը չի փոխվի.

Եկեք օգտագործենք փոխարինում.

Այնուհետև անհավասարությունը ստանում է ձև.

Այսպիսով, անհավասարության լուծումը միջակայքն է.

անցնելով հակադարձ փոխարինմանը, մենք ստանում ենք.

Ձախ անհավասարությունը, պայմանավորված էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի դրականությամբ, կատարվում է ավտոմատ կերպով։ Օգտվել առավելությունից հայտնի գույքլոգարիթմ, մենք անցնում ենք համարժեք անհավասարության.

Քանի որ աստիճանի հիմքը մեկից մեծ թիվ է, համարժեք (2-րդ թեորեմով) կլինի անցումը հետևյալ անհավասարությանը.

Այսպիսով, մենք վերջապես ստանում ենք պատասխանել:

Օրինակ 8Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Որոշում:օգտագործելով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման հատկությունները, մենք անհավասարությունը վերագրում ենք ձևով.

Ներկայացնենք նոր փոփոխական.

Այս փոխարինմամբ անհավասարությունը ստանում է ձև.

Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք 7-ով, ստանում ենք հետևյալ համարժեք անհավասարությունը.

Այսպիսով, անհավասարությունը բավարարված է հետեւյալ արժեքներըփոփոխական տ:

Այնուհետև, վերադառնալով փոխարինմանը, մենք ստանում ենք.

Քանի որ այստեղ աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, այն համարժեք է (2-րդ թեորեմով) անհավասարության անցնելը.

Վերջապես մենք ստանում ենք պատասխանել:

Օրինակ 9Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Որոշում:

Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք արտահայտությամբ.

Այն միշտ զրոյից մեծ է (քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան դրական է), ուստի անհավասարության նշանը պետք չէ փոխել։ Մենք ստանում ենք.

t, որոնք գտնվում են միջակայքում.

Անցնելով հակադարձ փոխարինմանը, մենք գտնում ենք, որ սկզբնական անհավասարությունը բաժանվում է երկու դեպքի.

Առաջին անհավասարությունը լուծումներ չունի՝ պայմանավորված էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի դրականությամբ։ Եկեք լուծենք երկրորդը.

Օրինակ 10Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Որոշում:

Պարաբոլայի ճյուղեր y = 2x+2-x 2-ն ուղղված են դեպի ներքև, հետևաբար այն վերևից սահմանափակված է այն արժեքով, որը հասնում է իր գագաթին.

Պարաբոլայի ճյուղեր y = x 2 -2x+2-ը, որը ցուցիչում է, ուղղված են դեպի վեր, ինչը նշանակում է, որ այն ներքևից սահմանափակվում է այն արժեքով, որը հասնում է իր վերևում.

Միևնույն ժամանակ, ստացվում է, որ ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից y = 3 x 2 -2x+2 հավասարման աջ կողմում: Այն հասնում է իր ամենափոքր արժեքին նույն կետում, ինչ պարաբոլան ցուցիչում, և այս արժեքը 3 1 = 3 է: Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը կարող է ճշմարիտ լինել միայն այն դեպքում, եթե ձախ և աջ ֆունկցիան վերցնեն արժեքը, հավասար է 3-ի (այս ֆունկցիաների միջակայքերի հատումը միայն այս թիվն է): Այս պայմանը բավարարվում է մեկ կետով x = 1.

Պատասխան. x= 1.

Սովորելու, թե ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարումներ,պետք է անընդհատ մարզվել դրանց լուծման մեջ: Այս դժվարին հարցում տարբեր ուսումնական նյութեր, տարրական մաթեմատիկայի խնդրագրքեր, մրցակցային խնդիրների ժողովածուներ, մաթեմատիկայի պարապմունքներ դպրոցում, ինչպես նաև. անհատական ​​նիստերպրոֆեսիոնալ դաստիարակի հետ։ Անկեղծորեն հաջողություն եմ մաղթում նախապատրաստական ​​աշխատանքներում և փայլուն արդյունքներքննության վրա։

Սերգեյ Վալերիևիչ

P.S. Հարգելի հյուրեր: Խնդրում ենք մեկնաբանություններում մի գրեք ձեր հավասարումները լուծելու հարցումներ։ Ցավոք սրտի, ես ընդհանրապես ժամանակ չունեմ սրա համար։ Նման հաղորդագրությունները կջնջվեն: Խնդրում ենք կարդալ հոդվածը։ Միգուցե դրա մեջ դուք կգտնեք հարցերի պատասխաններ, որոնք թույլ չեն տվել ինքնուրույն լուծել ձեր խնդիրը։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

y = a ձևի ֆունկցիա x , որտեղ a-ն զրոյից մեծ է, իսկ a-ն հավասար չէ մեկին, կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տիրույթը կլինի իրական թվերի բազմությունը։

2. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի միջակայքը կլինի բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունը: Երբեմն այս հավաքածուն հակիրճության համար նշվում է որպես R+:

3. Եթե էքսպոնենցիալ ֆունկցիայում a հիմքը մեկից մեծ է, ապա ֆունկցիան կաճի ամբողջ սահմանման տիրույթում: Եթե ​​a բազայի էքսպոնենցիալ ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ 0 պայմանը

4. Աստիճանների բոլոր հիմնական հատկությունները վավեր կլինեն: Աստիճանների հիմնական հատկությունները ներկայացված են հետևյալ հավասարումներով.

ա x *ա y = ա (x+y) ;

(ա x )/(ա y ) = ա (x-y) ;

(a*b) x = (ա x )*(ա y );

(ա/բ) x = ա x /բ x ;

(ա x ) y = ա (x*y) .

Այս հավասարությունները վավեր կլինեն x և y-ի բոլոր իրական արժեքների համար:

5. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը միշտ անցնում է (0;1) կոորդինատներով կետով:

6. Կախված նրանից, թե արդյոք էքսպոնենցիալ ֆունկցիան մեծանում է, թե նվազում, նրա գրաֆիկը կունենա երկու տեսակներից մեկը։

Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս աճող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ a>0:

Հետևյալ նկարը նվազող էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկ է՝ 0

Ե՛վ աճող էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկը, և՛ նվազող էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկը, ըստ հինգերորդ պարբերությունում նկարագրված հատկության, անցնում են (0; 1) կետով։

7. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան չունի ծայրահեղ կետեր, այսինքն՝ չունի ֆունկցիայի նվազագույն և առավելագույն կետեր։ Եթե ​​դիտարկենք ֆունկցիան որևէ կոնկրետ հատվածի վրա, ապա ֆունկցիան այս միջակայքի ծայրերում կընդունի նվազագույն և առավելագույն արժեքները:

8. Ֆունկցիան զույգ կամ կենտ չէ: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ֆունկցիա է ընդհանուր տեսարան. Դա երևում է նաև գրաֆիկներից, դրանցից ոչ մեկը սիմետրիկ չէ ոչ Oy առանցքի, ոչ էլ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ։

Լոգարիթմ

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում լոգարիթմները միշտ համարվել են բարդ թեմա։ Լոգարիթմի շատ տարբեր սահմանումներ կան, բայց ինչ-ինչ պատճառներով դասագրքերից շատերն օգտագործում են դրանցից ամենաբարդն ու դժբախտությունը:

Մենք պարզ ու հստակ կսահմանենք լոգարիթմը։ Եկեք դրա համար աղյուսակ ստեղծենք.

Այսպիսով, մենք ունենք երկու ուժ: Եթե ​​թիվը վերցնում եք ներքևի տողից, ապա հեշտությամբ կարող եք գտնել այն հզորությունը, որի վրա դուք պետք է երկու բարձրացնեք այս թիվը ստանալու համար: Օրինակ, 16 ստանալու համար անհրաժեշտ է երկուսը հասցնել չորրորդ աստիճանի: Իսկ 64 ստանալու համար պետք է երկուսը հասցնել վեցերորդ աստիճանի։ Սա երևում է աղյուսակից։

Եվ հիմա, փաստորեն, լոգարիթմի սահմանումը.

Սահմանում

Լոգարիթմհիմնել a-ն x արգումենտից այն ուժն է, որին պետք է բարձրացնել թիվըա համարը ստանալու համար x.

Նշանակում

log a x = b
որտեղ a-ն հիմքն է, x-ը՝ փաստարկը, բ Ինչ է կոնկրետ լոգարիթմը:

Օրինակ՝ 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ի 2-րդ լոգարիթմը երեքն է, քանի որ 2 3 = 8): Կարող է նաև գրանցել 2 64 = 6, քանի որ 2 6 = 64:

Տրված հիմքում թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում էլոգարիթմ . Այսպիսով, եկեք նոր տող ավելացնենք մեր աղյուսակում.

Ցավոք, ոչ բոլոր լոգարիթմներն են այդքան հեշտությամբ համարվում: Օրինակ, փորձեք գտնել մատյան 2 5: 5 թիվը աղյուսակում չկա, բայց տրամաբանությունը թելադրում է, որ լոգարիթմը ընկած կլինի հատվածի վրա ինչ-որ տեղ: Քանի որ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ՝ տասնորդական կետից հետո թվերը կարելի է գրել անորոշ ժամանակով, և դրանք երբեք չեն կրկնվում։ Եթե ​​լոգարիթմը պարզվում է, որ իռացիոնալ է, ապա ավելի լավ է թողնել այսպես՝ log 2 5, log 3 8, log 5 100:

Կարևոր է հասկանալ, որ լոգարիթմը երկու փոփոխականներով (հիմք և արգումենտ) արտահայտություն է: Սկզբում շատերը շփոթում են, թե որտեղ է հիմքը և որտեղ է վեճը: Խուսափել ցավալի թյուրիմացություններպարզապես նայեք նկարին.

Մեր առջև ոչ այլ ինչ է, քան լոգարիթմի սահմանումը: Հիշեք. լոգարիթմը ուժ է , որի վրա պետք է հիմք բարձրացնել փաստարկը ստանալու համար:Դա այն հիմքն է, որը բարձրացված է հզորության - նկարում այն ​​ընդգծված է կարմիրով: Ստացվում է, որ հիմքը միշտ ներքևում է: Այս հրաշալի կանոնը ես ասում եմ իմ ուսանողներին հենց առաջին դասին, և ոչ մի շփոթություն չկա:

Մենք պարզեցինք սահմանումը. մնում է սովորել, թե ինչպես հաշվել լոգարիթմները, այսինքն. ազատվել «գերան» նշանից. Սկզբից մենք նշում ենք, որ Սահմանումից բխում է երկու բան. կարևոր փաստեր:

Փաստարկը և հիմքը միշտ պետք է զրոյից մեծ լինեն: Սա բխում է աստիճանի սահմանումից ռացիոնալ ցուցանիշ, որին կրճատվում է լոգարիթմի սահմանումը։

Հիմքը պետք է տարբերվի միասնությունից, քանի որ ցանկացած ուժի միավորը դեռ միավոր է:Դրա համար անիմաստ է «ինչ ուժի վրա պետք է բարձրացնել երկուսը ստանալու համար» հարցը։ Չկա այդպիսի աստիճան!

Նման սահմանափակումներկանչեց վավեր տիրույթ(ՕՁ): Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1:

Ուշադրություն դարձրեք, որ քանակի սահմանափակում չկաբ (լոգարիթմի արժեքը) չի համընկնում: Օրինակ, լոգարիթմը կարող է լինել բացասական. log 2 0,5 = −1, քանի որ 0,5 = 2 −1 .

Այնուամենայնիվ, այժմ մենք դիտարկում ենք միայն թվային արտահայտություններ, որտեղ չի պահանջվում իմանալ լոգարիթմի ODZ-ը։ Բոլոր սահմանափակումներն արդեն իսկ հաշվի են առնվել խնդիրները կազմողների կողմից։ Բայց երբ լոգարիթմական հավասարումները և անհավասարությունները ի հայտ գան, DHS-ի պահանջները կդառնան պարտադիր: Իրոք, հիմքում և փաստարկում կարող են լինել շատ ուժեղ կոնստրուկցիաներ, որոնք պարտադիր չէ, որ համապատասխանեն վերը նշված սահմանափակումներին։

Հիմա հաշվի առեք գեներալը լոգարիթմների հաշվարկման սխեմա. Այն բաղկացած է երեք քայլից.

Ներկայացրեք հիմնադրամը a և արգումենտ x որպես մեկից մեծ հնարավոր ամենափոքր հիմքով հզորություն։ Ճանապարհին ավելի լավ է ազատվել տասնորդական կոտորակներից.

Որոշեք փոփոխականի մասին b հավասարումը՝ x = a b ;

Ստացված համարը b կլինի պատասխանը.

Այսքանը: Եթե ​​լոգարիթմը պարզվի, որ իռացիոնալ է, դա երևում է արդեն առաջին քայլից: Պահանջը, որ բազան մեկից մեծ լինի, շատ տեղին է. սա նվազեցնում է սխալի հավանականությունը և մեծապես հեշտացնում է հաշվարկները: Նմանապես տասնորդական կոտորակների դեպքում. եթե դրանք անմիջապես վերածեք սովորականի, ապա շատ անգամ ավելի քիչ սխալներ կլինեն:

Տեսնենք, թե ինչպես է աշխատում այս սխեման կոնկրետ օրինակներ:

Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 5 25

Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես հինգի հզորություն՝ 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Ստացել է պատասխան՝ 2.

Հաշվեք լոգարիթմը.

Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես երեքի ուժ՝ 3 = 3 1; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Կազմենք և լուծենք հավասարումը.

Ստացա պատասխանը՝ -4.

−4

Հաշվի՛ր լոգարիթմը՝ log 4 64

Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես երկուի ուժ՝ 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Ստացել է պատասխան՝ 3.

Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 16 1

Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես երկուի ուժ՝ 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Ստացել է պատասխան՝ 0.

Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 7 14

Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես յոթի աստիճան՝ 7 = 7 1; 14-ը ներկայացված չէ որպես յոթի ուժ, քանի որ 7 1< 14 < 7 2 ;

Նախորդ պարբերությունից հետևում է, որ լոգարիթմը չի դիտարկվում.

Պատասխանն անփոփոխ է՝ մատյան 7 14:

մատյան 7 14

Մի փոքրիկ նշում վերջին օրինակի վերաբերյալ. Ինչպե՞ս համոզվել, որ թիվը մեկ այլ թվի ճշգրիտ հզորություն չէ: Շատ պարզ. պարզապես տարրալուծեք այն հիմնական գործոնների: Եթե ​​ընդլայնման մեջ կա առնվազն երկու հստակ գործոն, ապա թիվը ճշգրիտ հզորություն չէ:

Պարզեք՝ թվի ճշգրիտ ուժերն են՝ 8; 48; 81; 35; տասնչորս.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ճշգրիտ աստիճանը, քանի որ կա միայն մեկ բազմապատկիչ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ճշգրիտ հզորություն չէ, քանի որ կա երկու գործոն՝ 3 և 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ճշգրիտ աստիճան;
35 = 7 5 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;
14 \u003d 7 2 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;

8, 81 - ճշգրիտ աստիճան; 48, 35, 14 - թիվ.

Նկատի ունեցեք նաև, որ պարզ թվերն իրենք միշտ իրենց ճշգրիտ ուժերն են:

Տասնորդական լոգարիթմ

Որոշ լոգարիթմներ այնքան տարածված են, որ ունեն հատուկ անվանում և նշանակում։

Սահմանում

Տասնորդական լոգարիթմ x փաստարկից 10-ի հիմքի լոգարիթմն է, այսինքն. այն հզորությունը, որին պետք է բարձրացնել 10 թիվը՝ թիվը ստանալու համար x.

Նշանակում

lg x

Օրինակ, log 10 = 1; մատյան 100 = 2; lg 1000 = 3 - և այլն:

Այսուհետ, երբ դասագրքում հայտնվում է «Find lg 0.01» արտահայտությունը, իմացեք, որ սա տառասխալ չէ։ Սա տասնորդական լոգարիթմն է: Այնուամենայնիվ, եթե դուք սովոր չեք նման նշանակմանը, միշտ կարող եք այն վերաշարադրել.
log x = log 10 x

Այն ամենը, ինչ ճշմարիտ է սովորական լոգարիթմների համար, ճիշտ է նաև տասնորդականների համար:

բնական լոգարիթմ

Կա ևս մեկ լոգարիթմ, որն ունի իր սեփական նշումը: Ինչ-որ իմաստով այն նույնիսկ ավելի կարևոր է, քան տասնորդականը: Խոսքը վերաբերում էբնական լոգարիթմի մասին.

Սահմանում

բնական լոգարիթմ x փաստարկից բազային լոգարիթմն էե , այսինքն. այն ուժը, որին պետք է բարձրացնել թիվըե համարը ստանալու համար x.

Նշանակում

n x

Շատերը կհարցնեն՝ ո՞րն է e թիվը։ Սա իռացիոնալ թիվ է ճշգրիտ արժեքանհնար է գտնել և արձանագրել: Ահա միայն առաջին թվերը.
e = 2.718281828459...

Մենք չենք խորանա, թե որն է այս թիվը և ինչու է այն անհրաժեշտ: Պարզապես հիշեք, որ էլ - հիմք բնական լոգարիթմ:
ln x = log e x

Այսպիսով, ln e = 1; մատյան e 2 = 2; 16-ում = 16 - և այլն: Մյուս կողմից, ln 2-ը իռացիոնալ թիվ է: Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած ռացիոնալ թվի բնական լոգարիթմը իռացիոնալ է: Բացառությամբ, իհարկե, միասնությունից՝ ln 1 = 0:

Բնական լոգարիթմների համար վավեր են բոլոր կանոնները, որոնք ճիշտ են սովորական լոգարիթմների համար:

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխարկել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկություններ։

Այս կանոնները պետք է հայտնի լինեն՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր չի կարող լուծվել։ Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ ամեն ինչ կարելի է սովորել մեկ օրում։ Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ՝ լոգ a x և գրանցամատյան a y . Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

գերանկացին +logա յ = մատյանա ( x · y );

գերանկացին −logա յ = մատյանա ( x : y ).

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմը։Նշում: առանցքային պահահա նույն հիմքերը. Եթե ​​հիմքերը տարբեր են, այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս դասը « »): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 6 4 + log 6 9:

Քանի որ լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2:

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 2 48 − log 2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4:

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 3 135 − log 3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3:

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն դիտարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո միանգամայն նորմալ թվեր են ստացվում։ Ելնելով այս փաստից՝ շատերը թեստային փաստաթղթեր. Այո, այդ վերահսկողությունը՝ ամենայն լրջությամբ նմանատիպ արտահայտություններ (երբեմն՝ գործնականում առանց փոփոխության) առաջարկվում են քննության ժամանակ։

Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմից

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքում կամ արգումենտում կա աստիճան: Հետո Այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է դուրս բերել լոգարիթմի նշանից հետևյալ կանոնները:

Դա հեշտ է տեսնել վերջին կանոնըհաջորդում է առաջին երկուսին. Բայց դա ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:

Իհարկե Այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը. a > 0, a ≠ 1, x > 0 Դուք կարող եք լոգարիթմի նշանից առաջ թվերը մուտքագրել հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 7 49 6 .

Եկեք ձերբազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ ըստ առաջին բանաձևի.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը լոգարիթմ է, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 2 4 ; 49 = 72: Մենք ունենք:

Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը պարզաբանման կարիք ունի։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Ամբողջ ճանապարհը վերջին պահըմենք աշխատում ենք միայն հայտարարով. Այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցին աստիճանների տեսքով և ցուցիչները հանեցին՝ ստացան «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչն ու հայտարարն ունեն նույն թիվը՝ log 2 7. Քանի որ log 2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը պատասխանն է՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե հիմքերը տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են հասնում նոր բազայի անցնելու բանաձևերը։ Մենք դրանք ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով.

Թեորեմ

Թող լոգարիթմը գրանցվիկացին . Հետո ցանկացած թվի համար c այնպես, որ c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Մասնավորապես, եթե դնենք c = x, մենք ստանում ենք.

Երկրորդ բանաձևից բխում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտարարի մեջ է.

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամին անցնելուց։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը.

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 5 16 log 2 25:

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների փաստարկները ճշգրիտ ցուցիչներ են: Դուրս բերենք ցուցիչները՝ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Հիմա եկեք շրջենք երկրորդ լոգարիթմը.

Քանի որ արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, իսկ հետո պարզեցինք լոգարիթմները:

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք այն և ազատվենք ցուցանիշներից.

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում պահանջվում է թիվը որպես լոգարիթմ ներկայացնել տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն բանաձևերը.

Առաջին դեպքում համարը n դառնում է փաստարկի արտահայտիչ։ Թիվ n կարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեքն է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այն կոչվում է այսպես.հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Իսկապես, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան, որ այս աստիճանի b թիվը տա a թիվը։ Ճիշտ է, սա նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը՝ շատերը «կախված» են դրանից:

Հիմքի փոխակերպման նոր բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Որոշում

Նկատի ունեցեք, որ log 25 64 = log 5 8 - պարզապես հանեց քառակուսին հիմքից և լոգարիթմի փաստարկը: Հաշվի առնելով ուժերը բազմապատկելու կանոնները նույն հիմքը, ստանում ենք.

200

Եթե ​​ինչ-որ մեկը տեղյակ չէ, սա իսկական առաջադրանք էր քննությունից :)

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք հետևանքներ են լոգարիթմի սահմանումից: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, որքան էլ զարմանալի է, խնդիրներ են ստեղծում անգամ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

log a a = 1 է լոգարիթմական միավոր. Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած հիմքի վրաա հենց այս հիմքից մեկին հավասար.

log a 1 = 0 է լոգարիթմական զրո. Հիմք ա կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե փաստարկը մեկն է, ապա լոգարիթմը զրո է: որովհետեւա 0 = 1-ը սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում:

Գտեք արտահայտության արժեքը x=2 փոփոխականի տարբեր ռացիոնալ արժեքների համար; 0; -3; -

Ուշադրություն դարձրեք, անկախ նրանից, թե որ թիվն ենք փոխարինում x փոփոխականի փոխարեն, դուք միշտ կարող եք գտնել այս արտահայտության արժեքը: Այսպիսով, մենք դիտարկում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիա (y-ը հավասար է x-ի երեքին), որը սահմանված է ռացիոնալ թվերի բազմության վրա.

Կառուցենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ կազմելով դրա արժեքների աղյուսակը:

Այս կետերով անցնող հարթ գիծ գծենք (նկ. 1):

Օգտագործելով այս ֆունկցիայի գրաֆիկը, հաշվի առեք դրա հատկությունները.

3. Աճում է սահմանման ողջ տարածքում:

1. տատանվում է զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

8. Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքեւ:

Եթե ​​մեկ կոորդինատային համակարգում կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկներ. y=(y-ը հավասար է x-ի երկու հզորությանը, y-ը հավասար է x-ի հինգին, y-ը հավասար է յոթի x-ին), կարող եք տեսնել, որ նրանք ունեն նույն հատկությունները, ինչ y=(y-ը հավասար է երեքի x-ի հզորությանը) ( Նկար .2), այսինքն՝ y = ձևի բոլոր ֆունկցիաները (y-ը հավասար է a-ի x-ի հզորությանը, մեկից մեծով) կունենան այդպիսի հատկություններ.

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան.

1. Նրա արժեքների աղյուսակի կազմումը.

Ստացված կետերը նշում ենք կոորդինատային հարթության վրա։

Այս կետերով անցնող հարթ գիծ գծենք (նկ. 3):

Օգտագործելով այս ֆունկցիայի գրաֆիկը, մենք նշում ենք դրա հատկությունները.

1. Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

2. Ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

3. Նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում:

4. Չունի ոչ ամենամեծ, ոչ ամենափոքր արժեքները։

5. Ներքևից սահմանափակված, բայց վերևից չսահմանափակված:

6. Շարունակական սահմանման ողջ տիրույթում:

7. արժեքի միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

8. Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքեւ:

Նմանապես, եթե մեկ կոորդինատային համակարգում կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկներ. y=(y-ը հավասար է x-ի մեկ վայրկյանին, y-ը հավասար է x-ի մեկ հինգերորդին, y-ը հավասար է x-ի մեկ յոթերորդին), կարող եք տեսնել, որ նրանք ունեն նույն հատկությունները, ինչ y=(y-ը հավասար է մեկ երրորդի x-ի հզորությունը). x) (նկ. 4), այսինքն՝ y \u003d ձևի բոլոր ֆունկցիաները (y հավասար է մեկին բաժանված է a-ով x-ի հզորությամբ, զրոյից մեծ, բայց մեկից փոքր) ունեն նման հատկություններ

Եկեք կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում

սա նշանակում է, որ y \u003d y \u003d ֆունկցիաների գրաֆիկները (y-ն հավասար է a-ին x-ի և y-ն հավասար է մեկին, որը բաժանված է a-ով x-ի հզորության վրա) նույնպես սիմետրիկ կլինեն a-ի նույն արժեքի համար: .

Մենք ամփոփում ենք ասվածը՝ տալով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանում և նշելով դրա հիմնական հատկությունները.

Սահմանում: y \u003d ձևի ֆունկցիան, որտեղ (y-ը հավասար է a-ին x-ի ուժին, որտեղ a-ն դրական է և տարբերվում է մեկից), կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։

Պետք է հիշել y= էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի և y=, a=2,3,4,… հզորության ֆունկցիայի տարբերությունները։ ինչպես լսողական, այնպես էլ տեսողական: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա Xաստիճան է, և հզորության գործառույթ Xհիմքն է։

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը (x-ի երեքը հավասար է ինը)

(y-ը հավասար է երեք x-ի և y-ը ինը) նկ.7

Նկատի ունեցեք, որ նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ M (2; 9) (em երկու կոորդինատներով; ինը), ինչը նշանակում է, որ կետի աբսցիսան կլինի այս հավասարման արմատը: Այսինքն, հավասարումն ունի մեկ արմատ x = 2:

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կկառուցենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ (y-ը հավասար է հինգի x-ի հզորությանը, իսկ y-ն հավասար է մեկ քսանհինգերորդի) Նկ.8: Գրաֆիկները հատվում են մի կետում T (-2; (te կոորդինատներով մինուս երկու, մեկ քսանհինգերորդ): Այսպիսով, հավասարման արմատը x \u003d -2 է (թիվ հանած երկու):

Օրինակ 3. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ

(y-ը հավասար է երեք x-ի և y-ը քսանյոթ):

Նկ.9 Ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y=when ֆունկցիայի գրաֆիկի վերևում

x Հետևաբար, անհավասարության լուծումը միջակայքն է (մինուս անսահմանությունից մինչև երեք)

Օրինակ 4. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կկառուցենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ (y-ը հավասար է x-ի մեկ չորրորդին, իսկ y-ը տասնվեցի): (նկ. 10): Գրաֆիկները հատվում են մեկ կետում K (-2;16): Սա նշանակում է, որ անհավասարության լուծումը միջակայքն է (-2; (մինուս երկուսից մինչև գումարած անվերջություն), քանի որ y \u003d ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է x-ում ֆունկցիայի գրաֆիկից ներքև։

Մեր հիմնավորումը թույլ է տալիս ստուգել հետևյալ թեորեմների վավերականությունը.

Եզրակ 1. Եթե ճիշտ է, եթե և միայն, եթե m=n:

Թեորեմ 2. Եթե ճշմարիտ է, եթե և միայն եթե, ապա անհավասարությունը ճշմարիտ է, եթե և միայն, եթե (նկ. *)

Թեորեմ 4. Եթե ճշմարիտ է, եթե և միայն եթե (նկ.**), անհավասարությունը ճշմարիտ է, եթե և միայն այն դեպքում, թեորեմ 3. Եթե ճշմարիտ է, եթե և միայն եթե m=n:

Օրինակ 5. Գրեք y= ֆունկցիան

Մենք փոփոխում ենք ֆունկցիան՝ կիրառելով աստիճանի հատկությունը y=

Եկեք կառուցենք լրացուցիչ համակարգկոորդինատները և նոր կոորդինատային համակարգում կկառուցենք y \u003d ֆունկցիայի գրաֆիկ (y-ը հավասար է x-ի երկուսի) Նկ.11.

Օրինակ 6. Լուծե՛ք հավասարումը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ

(Y-ը հավասար է յոթի x-ի հզորությանը, իսկ Y-ը հավասար է ութին հանած x) Նկ.12.

Գրաֆիկները հատվում են E մի կետում (1; (e կոորդինատներով մեկ; յոթ): Այսպիսով, հավասարման արմատը x = 1 է (x հավասար է մեկի):

Օրինակ 7. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ

(Y-ը հավասար է x-ի մեկ քառորդին, իսկ Y-ը հավասար է x-ին գումարած հինգ): y \u003d ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y \u003d x + 5 at ֆունկցիայի գրաֆիկից ներքև, անհավասարության լուծումը x միջակայքն է (մինուս մեկից մինչև անվերջություն գումարած):