Գործառույթներից որն է օրինակելի: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, դրա հատկությունները և գրաֆիկը - Գիտելիքի հիպերմարկետ

ԷՔՍՊՈՆՑԻԱԼ ԵՎ ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԸ VIII

§ 179 Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Այս բաժնում մենք կուսումնասիրենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

y = ա x (1)

Հիշեցնենք, որ տակ ա (1) բանաձևում մենք նկատի ունենք 1-ից տարբեր ցանկացած հաստատուն դրական թիվ:

Գույք 1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

Իրոք, դրականի համար ա արտահայտություն ա x սահմանված ցանկացած իրական թվի համար X .

Գույք 2. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաընդունում է միայն դրական արժեքներ:

Իսկապես, եթե X > 0, ապա, ինչպես ապացուցվեց § 176-ում,

ա x > 0.

Եթե X <. 0, то

ա x =

որտեղ - X արդեն զրոյից մեծ։ Ահա թե ինչու ա - x > 0. Բայց հետո

ա x = > 0.

Վերջապես, ժամը X = 0

ա x = 1.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի 2-րդ հատկությունն ունի պարզ գրաֆիկական մեկնաբանություն։ Այն կայանում է նրանում, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը (տես նկ. 246 և 247) գտնվում է ամբողջությամբ x առանցքից վեր։

Գույք 3. Եթե ա >1, ապա ժամը X > 0 ա x > 1, և ժամը X < 0 ա x < 1. Եթե ա < 1, тհա, ընդհակառակը, X > 0 ա x < 1, և ժամը X < 0 ա x > 1.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի այս հատկությունը թույլ է տալիս նաև պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն: ժամը ա > 1 (նկ. 246) կորեր y = ա x գտնվում է գծի վերևում ժամը = 1 ժամը X > 0 և ուղիղ գծից ցածր ժամը = 1 ժամը X < 0.

Եթե ա < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = ա x գտնվում է գծի տակ ժամը = 1 ժամը X > 0 և այս ուղիղ գծից բարձր ժամը X < 0.

Եկեք 3-րդ սեփականության խիստ ապացույց տանք։ Թող ա > 1 և X կամայական դրական թիվ է։ Եկեք դա ցույց տանք

ա x > 1.

Եթե ​​համարը X ռացիոնալ ( X = մ / n ), ապա ա x = ա մ / n = n √ա մ .

Քանի որ ա > 1, ապա ա մ > 1, բայց մեկից մեծ թվի արմատն ակնհայտորեն նույնպես մեծ է 1-ից:

Եթե X իռացիոնալ, ապա կան դրական ռացիոնալ թվեր X" և X" , որոնք ծառայում են որպես թվի տասնորդական մոտարկումներ x :

X"< х < х" .

Բայց հետո, ըստ սահմանման աստիճանի գ իռացիոնալ ցուցանիշ

ա x" < ա x < ա x"" .

Ինչպես ցույց է տրված վերևում, թիվը ա x" մեկից ավել. Հետեւաբար, թիվը ա x , ավելի քան ա x" , նույնպես պետք է լինի 1-ից մեծ,

Այսպիսով, մենք դա ցույց ենք տվել ա >1 և կամայական դրական X

ա x > 1.

Եթե ​​համարը X բացասական էր, ապա կունենայինք

ա x =

որտեղ է թիվը X դրական կլիներ: Ահա թե ինչու ա - x > 1. Հետևաբար,

ա x = < 1.

Այսպիսով, ժամը ա > 1 և կամայական բացասական x

ա x < 1.

Դեպք, երբ 0< ա < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Գույք 4. Եթե ​​x = 0, ապա անկախ ա ա x =1.

Սա բխում է զրոյական աստիճանի սահմանումից. զրոյից բացի ցանկացած թվի զրոյական հզորությունը հավասար է 1-ի: Գրաֆիկորեն այս հատկությունն արտահայտվում է նրանով, որ ցանկացած ա կոր ժամը = ա x (տե՛ս նկ. 246 և 247) հատում է առանցքը ժամը 1-ին օրդինատով կետում.

Գույք 5. ժամը ա >1 էքսպոնենցիալ ֆունկցիա = ա x միապաղաղ աճում է, իսկ ա < 1 - միապաղաղ նվազում.

Այս հատկությունը թույլ է տալիս նաև պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն:

ժամը ա > 1 (նկ. 246) կոր ժամը = ա x աճի հետ X բարձրանում է ավելի ու ավելի բարձր, և ա < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Եկեք 5-րդ սեփականության խիստ ապացույցը տանք։

Թող ա > 1 և X 2 > X մեկ . Եկեք դա ցույց տանք

ա x 2 > ա x 1

Քանի որ X 2 > X 1, ապա X 2 = X 1 + դ , որտեղ դ ինչ-որ դրական թիվ է: Ահա թե ինչու

ա x 2 - ա x 1 = ա x 1 + դ - ա x 1 = ա x 1 (ա դ - 1)

Ըստ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի 2-րդ հատկության ա x 1 > 0. Քանի որ դ > 0, ապա էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի 3-րդ հատկությամբ ա դ > 1. Երկու գործոններն էլ ապրանքի մեջ ա x 1 (ա դ - 1) դրական են, հետևաբար այս ապրանքն ինքնին դրական է: Նշանակում է, ա x 2 - ա x 1 > 0, կամ ա x 2 > ա x 1, որը պետք է ապացուցվեր։

Այսպիսով, ժամը ա > 1 ֆունկցիա ժամը = ա x միապաղաղ աճում է. Նմանապես ապացուցված է, որ ա < 1 функция ժամը = ա x միապաղաղ նվազում է.

Հետևանք. Եթե ​​նույն դրական թվի երկու ուժեր, բացի 1-ից, հավասար են, ապա դրանց ցուցանիշները հավասար են:

Այլ կերպ ասած, եթե

ա բ = ա գ (ա > 0 և ա =/= 1),

b = c .

Իսկապես, եթե թվերը բ և Հետ հավասար չէին, ապա ֆունկցիայի միապաղաղության պատճառով ժամը = ա x դրանցից շատերը կհամապատասխանեին ա >1 ավելի մեծ է, և ժամը ա < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или ա բ > ա գ , կամ ա բ < ա գ . Այս երկուսն էլ հակասում են պայմանին ա բ = ա գ . Մնում է գիտակցել, որ b = c .

Գույք 6. Եթե > 1, ապա փաստարկի անսահմանափակ աճով X (X -> ∞ ) ֆունկցիայի արժեքները ժամը = ա x նույնպես աճում է անորոշ ժամանակով (ժամը -> ∞ ). Փաստարկի անսահմանափակ նվազմամբ X (X -> -∞ ) այս ֆունկցիայի արժեքները հակված են զրոյի, մինչդեռ մնում են դրական (ժամը->0; ժամը > 0).

Հաշվի առնելով ֆունկցիայի վերը ապացուցված միապաղաղությունը ժամը = ա x , կարելի է ասել, որ քննարկվող դեպքում ֆունկցիան ժամը = ա x միապաղաղ աճում է 0-ից մինչև ∞ .

Եթե 0 <ա < 1, այնուհետև x (x -> ∞) արգումենտի անսահմանափակ աճով y \u003d a x ֆունկցիայի արժեքները ձգտում են զրոյի, մինչդեռ մնում են դրական (ժամը->0; ժամը > 0). x փաստարկի անսահմանափակ նվազումով (X -> -∞ ) այս ֆունկցիայի արժեքներն աճում են անորոշ ժամանակով (ժամը -> ∞ ).

Ֆունկցիայի միապաղաղության պատճառով y = կացին կարելի է ասել, որ այս դեպքում ֆունկցիան ժամը = ա x միապաղաղ նվազում է ∞ դեպի 0:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի 6-րդ հատկությունը հստակ արտացոլված է 246 և 247 նկարներում: Մենք դա խստորեն չենք ապացուցի:

Մենք միայն պետք է սահմանենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տիրույթը y = կացին (ա > 0, ա =/= 1).

Վերևում մենք ապացուցեցինք, որ գործառույթը y = կացին վերցնում է միայն դրական արժեքներ և կամ միապաղաղ աճում է 0-ից մինչև ∞ (ժամը ա > 1), կամ միապաղաղ նվազում է ∞ մինչև 0 (0-ին< ա <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = կացին երբ փոխում եք որևէ թռիչք: Արդյո՞ք դա որևէ դրական արժեք է պահանջում: Այս հարցին դրական պատասխան է տրվում։ Եթե ա > 0 և ա =/= 1, ապա ինչ էլ որ լինի դրական թիվը ժամը Պետք է գտնել 0 X 0, այնպիսին, որ

ա x 0 = ժամը 0 .

(Ֆունկցիայի միապաղաղության պատճառով y = կացին նշված արժեքը X 0-ն, իհարկե, միակը կլիներ:)

Այս փաստի ապացույցը դուրս է մեր ծրագրի շրջանակներից։ Դրա երկրաչափական մեկնաբանությունն այն է, որ ցանկացած դրական արժեքի համար ժամը 0 ֆունկցիայի գրաֆիկ y = կացին պետք է հատվի գծի հետ ժամը = ժամը 0 և, ընդ որում, միայն մեկ կետում (նկ. 248):

Այստեղից կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը, որը ձևակերպում ենք սեփականության 7 ձևով.

Գույք 7. y \u003d a x էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի փոփոխության տարածքը (ա > 0, ա =/= 1)բոլոր դրական թվերի բազմությունն է։

Զորավարժություններ

1368. Գտե՛ք հետևյալ ֆունկցիաների տիրույթները.

1369. Տրված թվերից ո՞րն է 1-ից մեծ, որը՝ 1-ից փոքր.

1370. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ո՞ր հատկության հիման վրա կարելի է պնդել, որ

ա) (5/7) 2.6 > (5/7) 2.5; բ) (4/3) 1.3 > (4/3) 1.2

1371. Ո՞ր թիվն է ավելի մեծ.

ա) π - √3 կամ (1 / π ) - √3; գ) (2/3) 1 + √6 կամ (2 / 3) √2 + √5 ;

բ) ( π / 4) 1 + √3 կամ ( π / 4) 2; դ) (√3 ) √2 - √5 կամ (√3) √3 - 2 ?

1372. Արդյո՞ք անհավասարությունները համարժեք են.

1373. Ինչ կարելի է ասել թվերի մասին X և ժամը , եթե կացին = և y , որտեղ ա տրված դրական թիվ է?

1374. 1) Հնարավո՞ր է ֆունկցիայի բոլոր արժեքների մեջ ժամը = 2x կարեւորում:

2) Արդյո՞ք դա հնարավոր է բոլոր ֆունկցիաների արժեքների մեջ ժամը = 2 | x| կարեւորում:

ա) ամենաբարձր արժեքը; բ) ամենափոքր արժեքը.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա n թվերի արտադրյալի ընդհանրացումն է, որը հավասար է a-ի.
y (n) = a n = a a a a,
x իրական թվերի բազմությանը.
y (x) = x.
Այստեղ ա ամրագրված է իրական թիվ, որը կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը.
Կոչվում է նաև a հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ցուցիչ հիմքի a.

Ընդհանրացումն իրականացվում է հետևյալ կերպ.
Բնական x = 1, 2, 3,... , էքսպոնենցիալ ֆունկցիան x գործակիցների արտադրյալն է.
.
Ավելին, այն ունի հատկություններ (1,5-8) (), որոնք բխում են թվերի բազմապատկման կանոններից։ զրոյի վրա և բացասական արժեքներամբողջ թվեր, էքսպոնենցիալ ֆունկցիան որոշվում է բանաձևերով (1.9-10): Կոտորակի արժեքների համար x = m/n ռացիոնալ թվեր, , որոշվում է բանաձևով (1.11). Իրականի համար էքսպոնենցիալ ֆունկցիան սահմանվում է որպես հաջորդականության սահմանը:
,
որտեղ կա ռացիոնալ թվերի կամայական հաջորդականություն, որը համընկնում է x-ին:
Այս սահմանմամբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան սահմանվում է բոլորի համար և բավարարում է հատկությունները (1.5-8), ինչպես նաև բնական x-ի համար։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանման և դրա հատկությունների ապացույցի խիստ մաթեմատիկական ձևակերպումը տրված է «Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունների սահմանում և ապացույց» էջում։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները

y = a x էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները իրական թվերի բազմության վրա () .
(1.1) սահմանված է և շարունակական, համար, բոլորի համար;
(1.2) երբ ա ≠ 1 ունի բազմաթիվ իմաստներ;
(1.3) խստորեն աճում է ժամը, խիստ նվազում է,
հաստատուն է;
(1.4) ժամը ;
ժամը ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Այլ օգտակար բանաձևեր
.
Տարբեր հզորության բազայով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի վերածելու բանաձևը.

b = e -ի համար մենք ստանում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի արտահայտությունը ցուցիչով.

Մասնավոր արժեքներ

, , , , .

Նկարը ցույց է տալիս էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները
y (x) = x
չորս արժեքների համար աստիճանի հիմքերը:a= 2 , ա = 8 , ա = 1/2 և a = 1/8 . Կարելի է տեսնել, որ մի > 1 էքսպոնենցիալ ֆունկցիան միապաղաղ աճում է։ Որքան մեծ է a աստիճանի հիմքը, այնքան ուժեղ է աճը։ ժամը 0 < a < 1 էքսպոնենցիալ ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է։ Ինչպես ավելի քիչ ցուցանիշա աստիճան, այնքան ուժեղ է նվազումը:

Բարձրանալ, իջնել

At-ի էքսպոնենցիալ ֆունկցիան խիստ միապաղաղ է, ուստի այն չունի ծայրահեղություններ: Նրա հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

	y = a x, a > 1	y = x, 0 < a < 1
Դոմեն	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Արժեքների տիրույթ	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Միապաղաղ	միապաղաղ աճում է	միապաղաղ նվազում է
Զրոներ, y= 0	Ոչ	Ոչ
y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Հակադարձ ֆունկցիա

A աստիճանի հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի փոխադարձը լոգարիթմն է a հիմքի նկատմամբ:

Եթե, ապա
.
Եթե, ապա
.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տարբերակում

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան տարբերելու համար նրա հիմքը պետք է կրճատել մինչև e թիվը, կիրառել ածանցյալների աղյուսակը և բարդ ֆունկցիան տարբերելու կանոնը։

Դա անելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել լոգարիթմների հատկությունը
և բանաձևը ածանցյալների աղյուսակից.
.

Թող տրվի էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.
.
Մենք այն բերում ենք հիմք e.

Կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը. Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք փոփոխական

Հետո

Ածանցյալների աղյուսակից ունենք (x փոփոխականը փոխարինել z-ով).
.
Քանի որ հաստատուն է, ապա z-ի ածանցյալը x-ի նկատմամբ է
.
Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի.
.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

.
n-րդ կարգի ածանցյալ.
.
Բանաձևերի ածանցում > > >

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տարբերակման օրինակ

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
y= 35 x

Լուծում

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը արտահայտում ենք e թվով։
3 = e log 3
Հետո
.
Մենք ներկայացնում ենք փոփոխական
.
Հետո

Ածանցյալների աղյուսակից մենք գտնում ենք.
.
Քանի որ 5ln 3հաստատուն է, ապա z-ի ածանցյալը x-ի նկատմամբ հետևյալն է.
.
Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի՝ ունենք.
.

Պատասխանել

Անբաժանելի

Արտահայտություններ բարդ թվերով

Դիտարկենք կոմպլեքս թվերի ֆունկցիան զ:
զ (զ) = ազ
որտեղ z = x + iy; ես 2 = - 1 .
Մենք արտահայտում ենք a կոմպլեքս հաստատունը r մոդուլի և φ արգումենտով.
a = r e i φ
Հետո


.
φ փաստարկը եզակիորեն սահմանված չէ: AT ընդհանուր տեսարան
φ = φ 0 + 2 պն,
որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Հետևաբար, ֆունկցիան f (զ)նույնպես երկիմաստ է. Հաճախ համարվում է դրա հիմնական կարևորությունը
.

Ընդլայնումը շարքով

.

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.

Մաթեմատիկական խնդիրների մեծ մասի լուծումը ինչ-որ կերպ կապված է թվային, հանրահաշվական կամ ֆունկցիոնալ արտահայտությունների փոխակերպման հետ։ Սա վերաբերում է հատկապես լուծմանը։ Մաթեմատիկայի USE տարբերակներում առաջադրանքների այս տեսակը ներառում է, մասնավորապես, առաջադրանք C3: C3 առաջադրանքները լուծելու սովորելը կարևոր է ոչ միայն նպատակի համար հաջող առաքումՊետական ​​միասնական քննություն, բայց նաև այն պատճառով, որ այս հմտությունն օգտակար է բարձրագույն կրթության մաթեմատիկայի դասընթաց սովորելիս:

Կատարելով առաջադրանքները C3, դուք պետք է որոշեք տարբեր տեսակներհավասարումներ և անհավասարություններ. Դրանցից են ռացիոնալ, իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, պարունակող մոդուլներ (բացարձակ արժեքներ), ինչպես նաև համակցված։ Այս հոդվածում քննարկվում են էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների հիմնական տեսակները, ինչպես նաև տարբեր մեթոդներնրանց որոշումները։ Կարդացեք այլ տեսակի հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մասին «» վերնագրի ներքո C3 խնդիրների լուծման մեթոդներին նվիրված հոդվածներում. ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ընտրանքներՄաթեմատիկա.

Նախքան կոնկրետի վերլուծությանը անցնելը էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններ, որպես մաթեմատիկայի դասավանդող, ես առաջարկում եմ ձեզ խորացնել որոշները տեսական նյութորը մեզ պետք կգա։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

Ի՞նչ է էքսպոնենցիալ ֆունկցիան:

Դիտել գործառույթը y = կացին, որտեղ ա> 0 և ա≠ 1, կոչ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

Հիմնական էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները y = կացին:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկն է ցուցադրող:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկներ (ցուցանիշներ)

Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում

ցուցիչկոչվում են հավասարումներ, որոնցում անհայտ փոփոխականը գտնվում է միայն ցանկացած հզորության ցուցիչներում:

Լուծումների համար էքսպոնենցիալ հավասարումներդուք պետք է իմանաք և կարողանաք օգտագործել հետևյալ պարզ թեորեմը.

Թեորեմ 1.էքսպոնենցիալ հավասարում ա զ(x) = ա է(x) (որտեղ ա > 0, ա≠ 1) համարժեք է հավասարմանը զ(x) = է(x).

Բացի այդ, օգտակար է հիշել հիմնական բանաձևերը և գործողությունները աստիճաններով.

Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Օրինակ 1Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:օգտագործել վերը նշված բանաձևերը և փոխարինումը.

Այնուհետև հավասարումը դառնում է.

Ստացել է խտրական քառակուսի հավասարումդրական:

Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Սա նշանակում է, որ այս հավասարումն ունի երկու արմատ։ Մենք գտնում ենք դրանք.

Վերադառնալով փոխարինմանը, մենք ստանում ենք.

Երկրորդ հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան խիստ դրական է սահմանման ողջ տիրույթում: Եկեք լուծենք երկրորդը.

Հաշվի առնելով թեորեմ 1-ում ասվածը՝ անցնում ենք համարժեք հավասարմանը. x= 3. Սա կլինի առաջադրանքի պատասխանը:

Պատասխան. x = 3.

Օրինակ 2Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:հավասարումը չունի թույլատրելի արժեքների տարածքի սահմանափակումներ, քանի որ արմատական ​​արտահայտությունը իմաստ ունի ցանկացած արժեքի համար x(էքսպոնենցիալ ֆունկցիա y = 9 4 -xդրական և ոչ զրոյի):

Հավասարումը լուծում ենք համարժեք փոխակերպումներով՝ օգտագործելով ուժերի բազմապատկման և բաժանման կանոնները.

Վերջին անցումը կատարվել է 1-ին թեորեմի համաձայն:

Պատասխան.x= 6.

Օրինակ 3Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:սկզբնական հավասարման երկու կողմերը կարելի է բաժանել 0,2-ի x. Այս անցումը կլինի համարժեք, քանի որ ցանկացած արժեքի համար այս արտահայտությունը զրոյից մեծ է x(էքսպոնենցիալ ֆունկցիան իր տիրույթում խիստ դրական է): Այնուհետև հավասարումը ստանում է ձև.

Պատասխան. x = 0.

Օրինակ 4Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:մենք պարզեցնում ենք տարրականի հավասարումը համարժեք փոխակերպումների միջոցով՝ օգտագործելով հոդվածի սկզբում տրված ուժերի բաժանման և բազմապատկման կանոնները.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 4-ի x, ինչպես նախորդ օրինակում, համարժեք փոխակերպում է, քանի որ այս արտահայտությունը ոչ մի արժեքի համար հավասար չէ զրոյի x.

Պատասխան. x = 0.

Օրինակ 5Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:ֆունկցիան y = 3x, որը կանգնած է հավասարման ձախ կողմում, աճում է: Գործառույթ y = —x-2/3-ը, կանգնած հավասարման աջ կողմում, նվազում է: Սա նշանակում է, որ եթե այս ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են, ապա առավելագույնը մեկ կետում։ Այս դեպքում հեշտ է կռահել, որ գրաֆիկները հատվում են կետում x= -1. Ուրիշ արմատներ չեն լինի։

Պատասխան. x = -1.

Օրինակ 6Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:մենք պարզեցնում ենք հավասարումը համարժեք փոխակերպումների միջոցով՝ ամենուր նկատի ունենալով, որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան խիստ մեծ է զրոյից ցանկացած արժեքի համար։ xև օգտագործելով հոդվածի սկզբում տրված արտադրանքի և մասնակի հզորությունների հաշվարկման կանոնները.

Պատասխան. x = 2.

Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում

ցուցիչկոչվում են անհավասարություններ, որոնցում անհայտ փոփոխականը պարունակվում է միայն որոշ հզորությունների ցուցիչներում:

Լուծումների համար էքսպոնենցիալ անհավասարություններՊահանջվում է հետևյալ թեորեմի իմացությունը.

Թեորեմ 2.Եթե ա> 1, ապա անհավասարությունը ա զ(x) > ա է(x) համարժեք է նույն նշանակության անհավասարությանը. զ(x) > է(x): Եթե ​​0< ա < 1, то էքսպոնենցիալ անհավասարություն ա զ(x) > ա է(x) համարժեք է հակառակ նշանակության անհավասարությանը. զ(x) < է(x).

Օրինակ 7Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում:ներկայացնել սկզբնական անհավասարությունը ձևով.

Այս անհավասարության երկու կողմերը բաժանեք 3 2-ի x, և (գործառույթի դրականության շնորհիվ y= 3 2x) անհավասարության նշանը չի փոխվի.

Եկեք օգտագործենք փոխարինում.

Այնուհետև անհավասարությունը ստանում է ձև.

Այսպիսով, անհավասարության լուծումը միջակայքն է.

անցնելով հակադարձ փոխարինմանը, մենք ստանում ենք.

Ձախ անհավասարությունը, պայմանավորված էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի դրականությամբ, կատարվում է ավտոմատ կերպով։ Օգտվել առավելությունից հայտնի գույքլոգարիթմ, մենք անցնում ենք համարժեք անհավասարության.

Քանի որ աստիճանի հիմքը մեկից մեծ թիվ է, համարժեք (2-րդ թեորեմով) կլինի անցումը հետևյալ անհավասարությանը.

Այսպիսով, մենք վերջապես ստանում ենք պատասխանել:

Օրինակ 8Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում:օգտագործելով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման հատկությունները, մենք անհավասարությունը վերագրում ենք ձևով.

Ներկայացնենք նոր փոփոխական.

Այս փոխարինմամբ անհավասարությունը ստանում է ձև.

Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք 7-ով, ստանում ենք հետևյալ համարժեք անհավասարությունը.

Այսպիսով, անհավասարությունը բավարարված է հետեւյալ արժեքներըփոփոխական տ:

Այնուհետև, վերադառնալով փոխարինմանը, մենք ստանում ենք.

Քանի որ այստեղ աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, այն համարժեք է (2-րդ թեորեմով) անհավասարությանը անցնելը.

Վերջապես մենք ստանում ենք պատասխանել:

Օրինակ 9Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում:

Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք արտահայտությամբ.

Այն միշտ զրոյից մեծ է (քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան դրական է), ուստի անհավասարության նշանը պետք չէ փոխել։ Մենք ստանում ենք.

t, որոնք գտնվում են միջակայքում.

Անցնելով հակադարձ փոխարինմանը, մենք գտնում ենք, որ սկզբնական անհավասարությունը բաժանվում է երկու դեպքի.

Առաջին անհավասարությունը լուծումներ չունի՝ պայմանավորված էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի դրականությամբ։ Եկեք լուծենք երկրորդը.

Օրինակ 10Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Լուծում:

Պարաբոլայի ճյուղեր y = 2x+2-x 2-ն ուղղված են դեպի ներքև, հետևաբար այն վերևից սահմանափակված է այն արժեքով, որը հասնում է իր գագաթին.

Պարաբոլայի ճյուղեր y = x 2 -2x+2-ը, որը ցուցիչում է, ուղղված են դեպի վեր, ինչը նշանակում է, որ այն ներքևից սահմանափակվում է այն արժեքով, որը հասնում է իր վերևում.

Միևնույն ժամանակ, ստացվում է, որ ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից y = 3 x 2 -2x+2 հավասարման աջ կողմում: Նա հասնում է նրան ամենափոքր արժեքընույն կետում, ինչ պարաբոլան ցուցիչում, և այս արժեքը 3 1 = 3 է: Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը կարող է ճշմարիտ լինել միայն այն դեպքում, եթե ձախ և աջ ֆունկցիան մի կետում վերցնեն 3 արժեքը (ըստ այս ֆունկցիաների տիրույթների հատումը միայն այս թիվն է): Այս պայմանը բավարարվում է մեկ կետով x = 1.

Պատասխան. x= 1.

Սովորելու, թե ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարումներ,պետք է անընդհատ մարզվել դրանց լուծման մեջ: Այս դժվարին հարցում տարբեր ուսումնական նյութեր, տարրական մաթեմատիկայի խնդրագրքեր, մրցակցային խնդիրների ժողովածուներ, մաթեմատիկայի պարապմունքներ դպրոցում, ինչպես նաև. անհատական ​​նիստերպրոֆեսիոնալ դաստիարակի հետ։ Անկեղծորեն հաջողություն եմ մաղթում նախապատրաստական ​​աշխատանքներում և փայլուն արդյունքներքննության վրա։

Սերգեյ Վալերիևիչ

P.S. Հարգելի հյուրեր: Խնդրում ենք մեկնաբանություններում մի գրեք ձեր հավասարումները լուծելու հարցումներ։ Ցավոք սրտի, ես ընդհանրապես ժամանակ չունեմ սրա համար։ Նման հաղորդագրությունները կջնջվեն: Խնդրում ենք կարդալ հոդվածը։ Միգուցե դրա մեջ դուք կգտնեք հարցերի պատասխաններ, որոնք թույլ չեն տվել ինքնուրույն լուծել ձեր խնդիրը։

Գտեք արտահայտության արժեքը x=2 փոփոխականի տարբեր ռացիոնալ արժեքների համար; 0; -3; -

Ուշադրություն դարձրեք, անկախ նրանից, թե որ թիվն ենք փոխարինում x փոփոխականի փոխարեն, դուք միշտ կարող եք գտնել այս արտահայտության արժեքը: Այսպիսով, մենք դիտարկում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիա (y-ը հավասար է x-ի երեքին), որը սահմանված է ռացիոնալ թվերի բազմության վրա.

Կառուցենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ կազմելով դրա արժեքների աղյուսակը:

Այս կետերով անցնող հարթ գիծ գծենք (նկ. 1):

Օգտագործելով այս ֆունկցիայի գրաֆիկը, հաշվի առեք դրա հատկությունները.

3. Աճում է սահմանման ողջ տարածքում:

1. տատանվում է զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

8. Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքեւ:

Եթե ​​մեկ կոորդինատային համակարգում կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկներ. y=(y-ը հավասար է x-ի երկու հզորությանը, y-ն հավասար է հինգին x-ին, y-ը հավասար է յոթի x-ին), կարող եք տեսնել, որ նրանք ունեն նույն հատկությունները, ինչ y=(y-ը հավասար է երեք x-ի հզորությանը) ( Նկար .2), այսինքն՝ y = ձևի բոլոր ֆունկցիաները (y-ը հավասար է a-ի x-ի հզորությանը, մեկից մեծով) կունենան այդպիսի հատկություններ.

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան.

1. Նրա արժեքների աղյուսակի կազմումը.

Ստացված կետերը նշում ենք կոորդինատային հարթության վրա։

Այս կետերով անցնող հարթ գիծ գծենք (նկ. 3):

Օգտագործելով այս ֆունկցիայի գրաֆիկը, մենք նշում ենք դրա հատկությունները.

1. Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

2. Ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

3. Նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում:

4. Չունի ոչ ամենամեծ, ոչ ամենափոքր արժեքները։

5. Ներքևից սահմանափակված, բայց վերևից չսահմանափակված:

6. Շարունակական սահմանման ողջ տիրույթում:

7. արժեքի միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

8. Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքեւ:

Նմանապես, եթե մեկ կոորդինատային համակարգում կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկներ. y=(y-ը հավասար է x-ի մեկ վայրկյանին, y-ը հավասար է x-ի մեկ հինգերորդին, y-ը հավասար է x-ի մեկ յոթերորդին), կարող եք տեսնել, որ նրանք ունեն նույն հատկությունները, ինչ y=(y-ը հավասար է մեկ երրորդի x-ի հզորությունը). x) (Նկար 4), այսինքն՝ y \u003d ձևի բոլոր ֆունկցիաները (y հավասար է մեկին բաժանված է a-ով x-ի հզորությամբ, զրոյից մեծ, բայց մեկից փոքր) ունեն նման հատկություններ

Եկեք կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում

սա նշանակում է, որ y=y= ֆունկցիաների գրաֆիկները նույնպես սիմետրիկ կլինեն (y-ը հավասար է a-ի x-ի և y-ի հզորությանը. մեկին հավասարբաժանվում է a-ով x) հզորությանը a-ի նույն արժեքի համար.

Մենք ամփոփում ենք ասվածը՝ տալով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանում և նշելով դրա հիմնական հատկությունները.

Սահմանում: y \u003d ձևի ֆունկցիան, որտեղ (y-ը հավասար է a-ին x-ի ուժին, որտեղ a-ն դրական է և տարբերվում է մեկից), կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։

Պետք է հիշել y= էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի և y=, a=2,3,4,… հզորության ֆունկցիայի տարբերությունները։ ինչպես լսողական, այնպես էլ տեսողական: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա Xաստիճան է, և հզորության գործառույթ Xհիմքն է։

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը (x-ի երեքը հավասար է ինը)

(y-ը հավասար է երեք x-ի և y-ը ինը) նկ.7

Նկատի ունեցեք, որ նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ M (2; 9) (em երկու կոորդինատներով; ինը), ինչը նշանակում է, որ կետի աբսցիսան կլինի արմատը: տրված հավասարումը. Այսինքն, հավասարումն ունի մեկ արմատ x = 2:

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կկառուցենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ (y-ը հավասար է հինգի x-ի հզորությանը, իսկ y-ն հավասար է մեկ քսանհինգերորդի) Նկ.8. Գրաֆիկները հատվում են մի կետում T (-2; (te կոորդինատներով՝ մինուս երկու, մեկը՝ քսանհինգերորդ): Այսպիսով, հավասարման արմատը x \u003d -2 է (թիվ հանած երկու):

Օրինակ 3. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ

(y-ը հավասար է երեք x-ի և y-ը քսանյոթ):

Նկ.9 Ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y=when ֆունկցիայի գրաֆիկի վերևում

x Հետևաբար, անհավասարության լուծումը միջակայքն է (մինուս անսահմանությունից մինչև երեք)

Օրինակ 4. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կկառուցենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ (y-ը հավասար է x-ի մեկ չորրորդին, իսկ y-ը տասնվեցի): (նկ. 10): Գրաֆիկները հատվում են մեկ կետում K (-2;16): Սա նշանակում է, որ անհավասարության լուծումը միջակայքն է (-2; (մինուս երկուսից մինչև գումարած անվերջություն), քանի որ y \u003d ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է x-ում ֆունկցիայի գրաֆիկից ներքև։

Մեր հիմնավորումը թույլ է տալիս ստուգել հետևյալ թեորեմների վավերականությունը.

Եզրակ 1. Եթե ճիշտ է, եթե և միայն, եթե m=n:

Թեորեմ 2. Եթե ճշմարիտ է, եթե և միայն եթե, ապա անհավասարությունը ճշմարիտ է, եթե և միայն, եթե (նկ. *)

Թեորեմ 4. Եթե ճշմարիտ է, եթե և միայն եթե (նկ.**), անհավասարությունը ճշմարիտ է, եթե և միայն այն դեպքում, թեորեմ 3. Եթե ճշմարիտ է, եթե և միայն եթե m=n:

Օրինակ 5. Գրեք y= ֆունկցիան

Մենք փոփոխում ենք ֆունկցիան՝ կիրառելով աստիճանի հատկությունը y=

Եկեք կառուցենք լրացուցիչ համակարգկոորդինատները և մեջ նոր համակարգկոորդինատները, մենք գծելու ենք y \u003d ֆունկցիան (y-ը հավասար է x-ի երկուսի) Նկ.11:

Օրինակ 6. Լուծե՛ք հավասարումը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ

(Y-ը հավասար է յոթի x-ի հզորությանը, իսկ Y-ը հավասար է ութին հանած x) Նկ.12.

Գրաֆիկները հատվում են E մի կետում (1; (e կոորդինատներով մեկ; յոթ): Այսպիսով, հավասարման արմատը x = 1 է (x հավասար է մեկի):

Օրինակ 7. Լուծե՛ք անհավասարությունը

Մեկ կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք y \u003d ֆունկցիայի երկու գրաֆիկ

(Y-ը հավասար է x-ի մեկ քառորդին, իսկ Y-ը հավասար է x-ին գումարած հինգ): y= ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y=x+5 at ֆունկցիայի գրաֆիկից ներքև, անհավասարության լուծումը x միջակայքն է (մինուս մեկից մինչև անվերջություն գումարած):