"Užitak X. Fascinantno putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu" Stevena Strogatza

Matematika je najtočniji i univerzalniji jezik znanosti, ali je li moguće objasniti ljudske osjećaje uz pomoć brojeva? Ljubavne formule, sjemenke kaosa i romantične diferencijalne jednadžbe - T&P objavljuje poglavlje iz knjige "The Pleasure of X" jednog od najboljih svjetskih učitelja matematike Stevena Strogatza u izdanju Manna, Ivanova i Ferbera.

U proljeće, napisao je Tennyson, mašta Mladić lako se okreće mislima o ljubavi. Jao, potencijalni partner mladog čovjeka može imati svoje ideje o ljubavi, a onda će njihov odnos biti pun turbulentnih uspona i padova koji ljubav čine tako uzbudljivom i tako bolnom. Neki patnici od neuzvraćenih traže objašnjenje tih ljubavnih zamaha u vinu, drugi - u poeziji. I mi ćemo se konzultirati s izračunima.

Analiza u nastavku bit će podrugljivo ironična, ali dotiče se ozbiljnih tema. Štoviše, ako nam razumijevanje zakona ljubavi može izmaknuti, onda su zakoni neživog svijeta sada dobro proučeni. One imaju oblik diferencijalnih jednadžbi koje opisuju kako se međusobno povezane varijable mijenjaju iz trenutka u trenutak ovisno o njihovim trenutnim vrijednostima. Takve jednadžbe možda nemaju puno veze s romantikom, ali barem mogu rasvijetliti zašto, prema riječima drugog pjesnika, "put prave ljubavi nikada nije bio gladak". Da bismo ilustrirali metodu diferencijalnih jednadžbi, pretpostavimo da Romeo voli Juliju, ali u našoj verziji priče Julija je vjetrovita draga. Što je više Romeo voli, ona se više želi sakriti od njega. Ali kada se Romeo ohladi prema njoj, počinje joj se činiti neobično privlačnim. Međutim, mladi ljubavnik nastoji odražavati njezine osjećaje: on blista kada ga ona voli, a hladi se kada ga ona mrzi.

Što se događa s našim nesretnim ljubavnicima? Kako ih ljubav upija i ostavlja s vremenom? Tu u pomoć dolazi diferencijalni račun. Izradom jednadžbi koje sažimaju narastanje i jenjavanje osjećaja Romea i Julije, a zatim ih rješavajući, možemo predvidjeti tijek odnosa para. Konačna prognoza za nju bit će tragično beskonačan ciklus ljubavi i mržnje. Najmanje četvrtinu ovog vremena imat će međusobnu ljubav.

Da bih došao do ovog zaključka, pretpostavio sam da se Romeovo ponašanje može modelirati diferencijalnom jednadžbom,

koji opisuje kako se njegova ljubav ® mijenja u sljedećem trenutku (dt). Prema ovoj jednadžbi, broj promjena (dR) izravno je proporcionalan (s faktorom proporcionalnosti a) Julietinoj ljubavi (J). Ovaj odnos odražava ono što već znamo: Romeova ljubav raste kada ga Julija voli, ali također sugerira da Romeova ljubav raste izravno proporcionalno tome koliko ga Julija voli. Ova pretpostavka o linearnom odnosu emocionalno je nevjerojatna, ali omogućuje uvelike pojednostavljenje rješenja jednadžbe.

Nasuprot tome, Julietino ponašanje može se modelirati pomoću jednadžbe

Negativni predznak ispred konstante b odražava da se njezina ljubav hladi kako se Romeova ljubav pojačava.

Jedino što je preostalo za utvrđivanje su njihovi početni osjećaji (to jest, vrijednosti R i J u trenutku t = 0). Nakon toga će se postaviti svi potrebni parametri. Računalo možemo koristiti za polagano kretanje naprijed, korak po korak, mijenjajući vrijednosti R i J prema gore opisanim diferencijalnim jednadžbama. Zapravo, uz pomoć temeljnog teorema integralnog računa, rješenje možemo pronaći analitički. Budući da je model jednostavan, integralni račun proizvodi nekoliko iscrpnih formula koje nam govore koliko će se Romeo i Julija voljeti (ili mrziti) u bilo kojem trenutku u budućnosti.

Gore predstavljene diferencijalne jednadžbe trebale bi biti poznate studentima fizike: Romeo i Julija se ponašaju kao jednostavni harmonijski oscilatori. Dakle, model predviđa da će funkcije R (t) i J (t), koje opisuju promjenu njihovog odnosa tijekom vremena, biti sinusoidi, od kojih se svaka povećava i smanjuje, ali njihove maksimalne vrijednosti se ne podudaraju.

„Glupa ideja za opisivanje ljubavni odnos uz pomoć diferencijalnih jednadžbi palo mi je na pamet kad sam se prvi put zaljubio i pokušao shvatiti neshvatljivo ponašanje svoje djevojke "

Model se može učiniti realističnijim na mnogo načina. Na primjer, Romeo može reagirati ne samo na Julijine osjećaje, već i na svoje. Što ako je on jedan od onih tipova koji se toliko boji da će biti napušten da će ohladiti svoje osjećaje. Ili se odnosi na drugu vrstu tipova koji vole patiti - zato on voli nju.

Dodajte ovim scenarijima još dva Romeova ponašanja - on na Julijinu naklonost odgovara bilo jačanjem ili slabljenjem vlastite naklonosti - i vidjet ćete da u ljubavnoj vezi postoje četiri drugačiji stil ponašanje. Moji studenti i studenti grupe Petera Christophera na Politehničkom institutu Worcester predložili su imenovanje ovih tipova na sljedeći način: pustinjak ili zli mizantrop za Romea koji hladi svoje osjećaje i povlači se od Julije, a narcisoidna budala i koketni Fink za onoga koji se zagrijava njegov žar, ali ga je Juliet odbila. (Možete smisliti vlastita imena za sve ove vrste).

Iako su navedeni primjeri fantastični, vrste jednadžbi koje ih opisuju vrlo su informativne. Oni su najmoćnije oruđe koje je čovječanstvo ikad stvorilo za razumijevanje materijalnog svijeta. Sir Isaac Newton koristio je diferencijalne jednadžbe kako bi otkrio tajne gibanja planeta. Uz pomoć ovih jednadžbi kombinirao je zemaljske i nebeske sfere, pokazujući da za oba vrijede isti zakoni gibanja.

Gotovo 350 godina nakon Newtona, čovječanstvo je shvatilo da se zakoni fizike uvijek izražavaju jezikom diferencijalnih jednadžbi. To vrijedi za jednadžbe koje opisuju tokove topline, zraka i vode, za zakone elektriciteta i magnetizma, čak i za atom, gdje vlada kvantna mehanika.

U svim slučajevima teorijska fizika mora pronaći ispravne diferencijalne jednadžbe i riješiti ih. Kada je Newton otkrio ovaj ključ misterija svemira i shvatio njegovo veliko značenje, objavio ga je kao latinski anagram. U slobodnom prijevodu zvuči ovako: "Korisno je rješavati diferencijalne jednadžbe."

Glupa ideja da ljubavne veze opisujem pomoću diferencijalnih jednadžbi pala mi je na pamet kad sam prvi put bio zaljubljen i pokušavao razumjeti neshvatljivo ponašanje svoje djevojke. Bila je to ljetna romansa na kraju moje druge godine na fakultetu. Tada sam jako podsjećao na prvog Romea, a ona je bila prva Julija. Cikličnost našeg odnosa me izluđivala sve dok nisam shvatila da smo oboje djelovali po inerciji, u skladu s jednostavno pravilo"gurni povuci". Ali do kraja ljeta moja se jednadžba počela raspadati, a ja sam bio još više zbunjen. Ispostavilo se da se dogodilo važan događaj, što nisam uzeo u obzir: nju bivši ljubavnik htio ga vratiti.

U matematici takav problem nazivamo problemom tri tijela. Očito je nerješiv, posebno u kontekstu astronomije, gdje je prvi put nastao. Nakon što je Newton riješio diferencijalne jednadžbe za problem dva tijela (što objašnjava zašto se planeti kreću po eliptičnim orbitama oko Sunca), svoju je pozornost usmjerio na problem tri tijela za Sunce, Zemlju i Mjesec. Ni on ni drugi znanstvenici to nisu uspjeli riješiti. Kasnije se pokazalo da problem tri tijela sadrži sjeme kaosa, odnosno da je njihovo ponašanje dugoročno nepredvidivo.

Newton nije znao ništa o dinamici kaosa, ali, prema riječima njegovog prijatelja Edmunda Halleya, žalio se da je problem s tri tijela uzrokovao glavobolja i tako ga često drži budnim da više neće razmišljati o tome.

Evo me s vama, Sir Isaac.

Ova knjiga može radikalno promijeniti vaš stav prema matematici. Sastoji se od kratkih poglavlja u svakom od kojih ćete otkriti nešto novo. Naučit ćete koliko su brojevi korisni za proučavanje svijeta oko sebe, razumjeti ljepotu geometrije, upoznati se s elegancijom integralnog računa, uvidjeti važnost statistike i doći u dodir s beskonačnošću. Autor jednostavno i elegantno objašnjava temeljne matematičke ideje, dajući briljantne primjere koje svatko može razumjeti.

Ime: Zadovoljstvo X. Uzbudljivo putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu
Autor:
Godina:
Žanr:

preuzimanje datoteka
izvod

Zadovoljstvo X. Uzbudljivo putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu
Stephen Strogatz

Prvi put objavljeno na ruskom jeziku.

Stephen Strogatz

Zadovoljstvo X. Uzbudljivo putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu

Steven Strogatz

Obilazak matematike s vodičem, od jednog do beskonačnosti

Objavljeno uz dopuštenje Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Sva prava pridržana. Nijedan dio elektroničke verzije ove knjige ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili na bilo koji način, uključujući objavljivanje na Internetu ili u korporativnom...

Stephen Strogatz je 2010. napisao niz članaka o temeljima matematike za The New York Times. Članci su izazvali galamu. Svaka je kolumna postala najpopularniji članak u novinama i prikupila stotine komentara. Čitatelji su tražili više, a Stephen nije razočarao - pojavila se ova knjiga koja je uključivala i već objavljene dijelove i potpuno nova poglavlja.

Matematika prožima sve na ovom svijetu, uključujući i nas same, ali, nažalost, malo ljudi razumije ovaj univerzalni jezik dovoljno dobro da cijeni njegovu mudrost i ljepotu. Steven Strogatz je učitelj matematike o kojem ste sanjali u srednjoj školi. Učitelj koji je u stanju rasplamsati iskru interesa i usaditi cjeloživotnu ljubav prema svom predmetu. U ovoj nevjerojatno jednostavnoj i zabavnoj knjizi svima nam daje drugu priliku da se upoznamo s matematikom. U svakom kratkom poglavlju otkrivate nešto novo, od zašto su brojevi uopće potrebni, do tema poput geometrije, integralnog računa, statistike i beskonačnosti. Autor jednostavno i elegantno objašnjava sjajne matematičke ideje, dajući briljantne primjere koje svatko može razumjeti. Ova knjiga je za svakoga. Oni koji nisu upoznati s matematikom pobliže će je upoznati, a oni koji vole matematiku sa zadovoljstvom će čitati o “kraljici znanosti”.

Predgovor

Imam prijatelja koji je, unatoč zanatu (umjetnik je), strastven za znanost. Kad god se nađemo, on oduševljeno priča o tome nedavna postignuća u području psihologije odn kvantna mehanika. No, čim govorimo o matematici, osjeti drhtavicu u koljenima, što ga jako uznemiri. Žali se da mu ti čudni matematički simboli ne samo da prkose, nego ih ponekad ne zna ni izgovoriti.

Zapravo, razlog njegove nesklonosti matematici je mnogo dublji. Nikada neće razumjeti što matematičari općenito rade i što misle kada kažu da je ovaj dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da bih trebao samo sjesti i početi ga podučavati od samih osnova, doslovno od 1 + 1 = 2, i otići u matematiku koliko god može.

I iako se ova ideja čini suludom, pokušat ću je provesti u ovoj knjizi. Vodit ću vas kroz sve glavne grane znanosti, od aritmetike do viša matematika kako bi je oni koji su željeli drugu priliku konačno mogli iskoristiti. I ovaj put ne morate sjesti za svoj stol. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će razumjeti što ova disciplina proučava i zašto je toliko uzbudljiva za one koji je razumiju.

Naučit ćemo kako zakucavanja Michaela Jordana mogu pomoći objasniti osnove računa. Pokazat ću vam jednostavan i nevjerojatan način razumijevanja temeljnog teorema Euklidove geometrije – Pitagorinog teorema. Pokušat ćemo doći do dna nekih životnih misterija, velikih i malih: je li Jay Simpson ubio svoju ženu; kako pomaknuti madrac da što duže traje; koliko partnera treba promijeniti prije nego što se igra vjenčanje – pa ćemo vidjeti zašto su neke beskonačnosti veće od drugih.

Matematika je posvuda, samo je trebate naučiti prepoznati. Možete vidjeti sinusoidu na poleđini zebre, možete čuti odjeke Euklidovih teorema u Deklaraciji neovisnosti; što reći, čak i u suhoparnim izvještajima koji su prethodili Prvom svjetskom ratu ima negativnih brojeva. Također možete vidjeti kako nova područja matematike danas utječu na naše živote, na primjer, kada putem računala tražimo restorane ili pokušavamo barem razumjeti, ili još bolje, preživjeti zastrašujuće fluktuacije na burzi.

— Pročitajte online knjigu The Pleasure of X Stephena Strogatza —

Serija od 15 članaka pod uobičajeno ime Osnove matematike pojavile su se na internetu krajem siječnja 2010. Kao odgovor na njihovu objavu, stizala su pisma i komentari čitatelja svih dobnih skupina, među kojima je bilo mnogo učenika i nastavnika. Bilo je i jednostavno radoznalih ljudi koji su iz ovog ili onog razloga “zalutali” u razumijevanju matematičke znanosti; sada se osjećaju kao da su propustili nešto vrijedno truda i da bi željeli pokušati ponovno. Posebno me razveselila zahvalnost mojih roditelja što su uz moju pomoć uspjeli svojoj djeci objasniti matematiku, a i sami su je počeli bolje razumjeti. Činilo se da su čak i moji kolege i suborci, gorljivi štovatelji ove znanosti, uživali čitajući članke, osim u onim trenucima kada su se međusobno natjecali da daju svakojake preporuke za poboljšanje mog potomstva.

Unatoč popularnom uvjerenju, u društvu postoji jasan interes za matematiku, iako se ovoj pojavi posvećuje malo pažnje. O strahu od matematike samo slušamo, a mnogi bi je rado pokušali bolje razumjeti. A kad se to jednom dogodi, bit će ih teško otkinuti.

Ova knjiga će vas upoznati s najsloženijim i najnaprednijim idejama iz svijeta matematike. Poglavlja su kratka, laka za čitanje i zapravo ne ovise jedno o drugom. Među njima su i oni koji su uključeni u onu prvu seriju članaka u New York Timesu. Stoga čim osjetite laganu matematičku glad, nemojte oklijevati krenuti u sljedeće poglavlje. Ako želite detaljnije razumjeti problematiku koja vas zanima, onda se na kraju knjige nalaze bilješke s dodatne informacije i prijedlozi što još o tome pročitati.

The Pleasure of X - Steven Strogatz (preuzmite)

(uvodna verzija)

I na kraju, nudimo vam da pogledate zanimljiv video

Ovu knjigu dobro nadopunjuju:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

moneyball

Michael Lewis

Fleksibilan um

Carol Dweck

Fizika burze

James Weatherall

Radost od x

Obilazak matematike s vodičem, od jednog do beskonačnosti

Stephen Strogatz

zadovoljstvo od x

Uzbudljivo putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu

Informacije od izdavača

Prvi put objavljeno na ruskom jeziku

Objavljeno uz dopuštenje Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

zadovoljstvo od x. Uzbudljivo putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu / Stephen Strogatz; po. s engleskog. - M. : Mann, Ivanov i Ferber, 2014 (monografija).

ISBN 978-500057-008-1

Sva prava pridržana.

Nijedan dio ove knjige ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku bez pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačke kuće pruža odvjetnička tvrtka"Vegas Lex"

Predgovor

Imam prijatelja koji je, unatoč zanatu (umjetnik je), strastven za znanost. Kad god se nađemo, on s entuzijazmom priča o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. No, čim govorimo o matematici, osjeti drhtavicu u koljenima, što ga jako uznemiri. Žali se da mu ti čudni matematički simboli ne samo da prkose, nego ih ponekad ne zna ni izgovoriti.

I iako se ova ideja čini suludom, pokušat ću je provesti u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane znanosti, od aritmetike do napredne matematike, kako bi oni koji su željeli drugu priliku konačno mogli iskoristiti. I ovaj put ne morate sjesti za svoj stol. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će razumjeti što ova disciplina proučava i zašto je toliko uzbudljiva za one koji je razumiju.

Serija od 15 članaka pod općim naslovom "Osnove matematike" pojavila se na internetu krajem siječnja 2010. godine. Kao odgovor na njihovu objavu, stizala su pisma i komentari čitatelja svih dobnih skupina, među kojima je bilo mnogo učenika i nastavnika. Bilo je i jednostavno radoznalih ljudi koji su iz ovog ili onog razloga “zalutali” u razumijevanju matematičke znanosti; sada se osjećaju kao da su nešto propustili. oko i želio bih pokušati ponovno. Posebno me razveselila zahvalnost mojih roditelja što su uz moju pomoć uspjeli svojoj djeci objasniti matematiku, a i sami su je počeli bolje razumjeti. Činilo se da su čak i moji kolege i suborci, gorljivi štovatelji ove znanosti, uživali čitajući članke, osim u onim trenucima kada su se međusobno natjecali da daju svakojake preporuke za poboljšanje mog potomstva.

Ova knjiga će vas upoznati s najsloženijim i najnaprednijim idejama iz svijeta matematike. Poglavlja su kratka, laka za čitanje i zapravo ne ovise jedno o drugom. Među njima su i oni koji su uključeni u onu prvu seriju članaka u New York Timesu. Stoga čim osjetite laganu matematičku glad, nemojte oklijevati krenuti u sljedeće poglavlje. Želite li detaljnije razumjeti problematiku koja vas zanima, onda se na kraju knjige nalaze bilješke s dodatnim informacijama i preporukama što još možete pročitati o tome.

Radi praktičnosti čitatelja koji preferiraju pristup korak po korak, podijelio sam materijal u šest dijelova u skladu s tradicionalnim redoslijedom tema.

Prvi dio "Brojevi" započinje naše putovanje s aritmetikom u Dječji vrtić i osnovna škola. Pokazuje koliko brojevi mogu biti korisni i kako su čarobno učinkoviti u opisivanju svijeta oko nas.

Drugi dio "Omjeri" prebacuje pozornost sa samih brojeva na odnose među njima. Ove ideje su u srcu algebre i prvi su alati za opisivanje kako jedno utječe na drugo, pokazujući uzročno-posljedičnu vezu raznih stvari: ponude i potražnje, poticaja i reakcije - ukratko, svih vrsta odnosa koji čine svijet tako raznolika i bogata..

Treći dio „Slike“ ne govori o brojevima i simbolima, već o figurama i prostoru – domeni geometrije i trigonometrije. Ove teme, uz opis svih vidljivih objekata kroz forme, uz pomoć logičkog zaključivanja i dokaza, podižu matematiku na nova razina točnost.

U IV. dijelu "Vrijeme promjene" pogledat ćemo račun - najimpresivnije i najrazličitije područje matematike. Račun omogućuje predviđanje putanja planeta, ciklusa plime i oseke, te omogućuje razumijevanje i opisivanje svih periodično promjenjivih procesa i pojava u Svemiru i u nama. Važno mjesto u ovom dijelu posvećeno je proučavanju beskonačnosti, čije je smirivanje predstavljalo proboj koji je omogućio proračunima da rade. Računalstvo je pomoglo u rješavanju mnogih problema koji su se pojavili u antičkom svijetu, a to je u konačnici dovelo do revolucije u znanosti i modernom svijetu.

V. dio "Mnoga lica podataka" bavi se vjerojatnošću, statistikom, mrežama i obradom podataka - to su još uvijek relativno mlada polja, generirana ne uvijek uređenim aspektima naših života, kao što su prilike i sreća, neizvjesnost, rizik, volatilnost, slučajnost , međuovisnost. Koristeći prave matematičke alate i prave vrste podataka, naučit ćemo uočiti uzorke u nizu slučajnosti.

Na kraju našeg putovanja, u dijelu VI "Granice mogućeg", približit ćemo se granicama matematičkog znanja, graničnom području između onoga što je već poznato i onoga što je još nedostižno i nepoznato. Ponovno ćemo proći kroz teme onim redoslijedom koji nam je već poznat: brojevi, omjeri, oblici, promjene i beskonačnost - ali u isto vrijeme razmotrit ćemo svaku od njih dublje, u njezinoj modernoj inkarnaciji.

Također preporučujemo

Učitavam...

Dom > Testovi

"Užitak X. Fascinantno putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu" Stevena Strogatza

Predgovor

— Pročitajte online knjigu The Pleasure of X Stephena Strogatza —

The Pleasure of X - Steven Strogatz (preuzmite)

Također preporučujemo