ज्यामितीय आकृतियों की परिधि और क्षेत्रफल की गणना के लिए कैलकुलेटर। आयत

एक आयत का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए सूत्रों को जानें और सबसे महत्वपूर्ण बात - उन्हें लागू करने में सक्षम होंसमस्याओं को हल करने के लिए - क्योंकि वे अलग-अलग जटिलता के हैं।

बहुत बार, एक आसान स्तर की समस्याओं को हल करते समय, बुनियादी सूत्रों को जानना और आवश्यक मूल्यों को प्रतिस्थापित करके उन्हें हल करना पर्याप्त होता है।

यदि कार्य अधिक जटिल हैं और उनकी स्थितियों में सूत्र के लिए आवश्यक डेटा नहीं है, तो उन्हें अन्य बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करके खोजने की आवश्यकता है।

इस मामले में, आप निम्न उदाहरण का उपयोग कर सकते हैं:

आपको एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा यदि उसका परिमाप 120 सेमी है, और भुजाओं का अनुपात 2 से 3 है

सर्वप्रथम एक समीकरण लिखेंपरिमाप सूत्र का उपयोग करके भुजाएँ ज्ञात करने के लिए ( पी=2(ए+बी):

2*(2x+3X)=120 इसे हल करें, x=12 का अर्थ है कि भुजाएं 24 सेमी और 36 सेमी हैं और अब हम क्षेत्र सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं एस = अबऔर इसे S=24*36=864 sq.cm ज्ञात कीजिए।

एक आयत का क्षेत्रफल लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है और इसकी गणना सूत्र a * b द्वारा की जाती है, जहाँ a और b आयत की भुजाएँ हैं। एक आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर होता है और इसकी गणना सूत्र a+b+a+b द्वारा की जाती है।

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करना - आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।

एक आयत का परिमाप ज्ञात करना (सभी भुजाओं की लंबाई का योग) - केवल सभी भुजाओं की लंबाई को जोड़कर, या आयत के अनुदैर्ध्य पक्ष की लंबाई में, अनुप्रस्थ पक्ष की लंबाई जोड़ें और परिणामी राशि को गुणा करें दो से।

यदि आप कल्पना करते हैं कि आपका बगीचा आयताकार है और आपको भूखंड की बाड़ लगाने की आवश्यकता है, तो आपके पास शायद एक सवाल होगा कि निर्माण सामग्री की खपत की सही गणना करने के लिए बाड़ कितनी देर तक होगी। आप परिधि को खोजने के लिए बाड़ के किनारों की लंबाई जोड़ते हैं। यदि आप अपने आप से पूछते हैं कि आपको इस क्षेत्र में कितनी जमीन खोदने की जरूरत है, तो आपको क्षेत्र की तलाश करनी होगी, और इसके लिए आपको क्षेत्र की चौड़ाई से लंबाई को गुणा करना होगा, क्योंकि जैसा कि आप जानते हैं, एक के विपरीत पक्ष आयत जोड़े में बराबर हैं। यह मत भूलो कि एक वर्ग भी एक आयत है, एक वर्ग की परिधि को खोजने के लिए, आपको लंबाई को 4 से गुणा करने की आवश्यकता है, और क्षेत्र - पक्ष की लंबाई, अपने आप से गुणा करें।

हाई स्कूल गणित पर वापस सोचें। तो एक आयत का परिमाप उसके दो पक्षों के योग के सूत्र से 2 से गुणा करके पाया जाता है। यानी, P \u003d 2 * (a + b), जहाँ a और b आयत की भुजाएँ हैं। क्षेत्रफल, क्रमशः, सूत्र S=a*b का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ a और b भी इसकी भुजाएँ हैं।

यदि आप गहरे विवरण में नहीं जाते हैं, तो एक आयत का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करना बहुत सरल है। हम ऐसे आयत की भुजाओं को लैटिन अक्षरों में निरूपित करते हैं: a, b, c और d। मान लीजिए a = c आयत की लंबाई है और b और d आयत की चौड़ाई है।

आयत क्षेत्र:

आयत परिधि:

एस = ए + बी + सी + डी



एक आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई है। इस तथ्य के आधार पर कि इस आंकड़े में चार पक्ष या दो जोड़े हैं, जबकि विपरीत पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभिन्न आकारों के दो पक्षों के मूल्यों को जोड़ना और गुणा करना उचित है दो से परिणामी मूल्य।

क्षेत्र भी सरल है: हम बस विभिन्न आकारों के पक्षों को गुणा करते हैं।

क्षेत्रफल की गणना आयत की लंबी भुजा को छोटी भुजा से गुणा करके की जाती है। और परिमाप है (लंबी भुजा + छोटी भुजा) * 2

आप एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका अपना सकते हैं। अर्थात्, आयत की लंबाई (आमतौर पर a) को आयत की चौड़ाई (आमतौर पर B) से गुणा करें। लेकिन हम सभी पक्षों को जोड़कर परिधि की तलाश कर रहे हैं, या अधिक सरलता से: 2a + 2b

आयतयह एक ज्यामितीय आकृति है, अर्थात् एक चतुर्भुज, जिसमें सभी कोण समकोण हैं। यह पता चला है कि विपरीत पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं।



एक आयत का परिमापआयत के सभी पक्षों की लंबाई का योग है, या लंबाई और चौड़ाई का योग 2 से गुणा किया जाता है।

परिमापआयत के सभी पक्षों की लंबाई है, तो इसे लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है: सेमी, मिमी, मी, डीएम, किमी।

पी=एबी+सीडी+एडी+बीसी या पी=2*(एबी+एडी)।

वर्गलंबाई की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है: एम 2, सेमी 2, डीएम 2 और लैटिन अक्षर एस द्वारा दर्शाया जाता है।

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।

आयत के क्षेत्रफल की गणना परिणामी उत्पाद की चौड़ाई से उसकी लंबाई को गुणा करके की जाती है और यह क्षेत्रफल होगा।

आयत की परिधि लंबाई और चौड़ाई के योग से ज्ञात होती है, परिणामी योग को भी दो से गुणा किया जाना चाहिए, यह वांछित परिधि होगी।

यदि एक आयत में दो विपरीत भुजाएँ हैं, तो हम बस उन्हें गुणा करते हैं और क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं, जोड़ते हैं और दोगुना करते हैं और परिधि प्राप्त करते हैं। हालांकि, अधिक बार पाठ्यपुस्तकों में वे सबसे अधिक असंगति पूछते हैं - पक्ष और परिधि, पक्ष और क्षेत्र, पक्ष और विकर्ण। इन मामलों में कैसे आगे बढ़ें।

यह आदर्श कार्य है।

पक्ष और विकर्ण निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस मामले में, हम पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार दूसरी भुजा पाते हैं - एक त्रिभुज में दूसरे चरण के रूप में जहां कर्ण आयत का विकर्ण है।

परिणामस्वरूप, हमारे पास एक आयत का परिमाप ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र हैं:



और यदि आप इन समान सूत्रों को बस रूपांतरित करते हैं, तो आपको कार्यों के सभी प्रकारों में क्षेत्र खोजने के लिए सूत्र मिलते हैं:

ज्यामितीय आकृतियों की परिधि और क्षेत्र का निर्धारण एक महत्वपूर्ण कार्य है जो कई व्यावहारिक या रोजमर्रा की समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होता है। यदि आपको वॉलपेपर लटकाने, बाड़ लगाने, पेंट या टाइलों की खपत की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको निश्चित रूप से ज्यामितीय गणनाओं से निपटना होगा।

सूचीबद्ध रोज़मर्रा के मुद्दों को हल करने के लिए, आपको विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के साथ काम करने की आवश्यकता होगी। हम आपको ऑनलाइन कैलकुलेटर की एक सूची प्रस्तुत करते हैं जो आपको सबसे लोकप्रिय विमान के आंकड़ों के मापदंडों की गणना करने की अनुमति देता है। आइए उन पर विचार करें।

एक क्षेत्र में

विशेष स्थितियां

समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज। एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज बन जाता है यदि उसके विकर्ण 90 डिग्री पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

यह समकोण वाला एक समांतर चतुर्भुज है। इसके अलावा, एक समांतर चतुर्भुज को एक आयत माना जाता है यदि इसकी भुजाएँ और विकर्ण पाइथागोरस प्रमेय की शर्तों को पूरा करते हैं।

यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं और सभी कोण समान होते हैं। एक वर्ग के विकर्ण एक आयत और एक समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को पूरी तरह से दोहराते हैं, जो वर्ग को एक अद्वितीय आकृति बनाता है जिसकी विशेषता अधिकतम समरूपता है।

बहुभुज

एक नियमित बहुभुज एक समतल पर एक उत्तल आकृति है जिसमें समान भुजाएँ और समान कोण होते हैं। पक्षों की संख्या के आधार पर बहुभुज के अपने नाम होते हैं:

• - पंचकोण;
• - षट्भुज;
• आठ - अष्टकोना;
• बारह - डोडेकागन।

आदि। जियोमीटर मजाक करते हैं कि एक वृत्त एक बहुभुज है जिसमें अनंत कोण होते हैं। हमारे कैलकुलेटर को केवल नियमित बहुभुजों की परिधि और क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए प्रोग्राम किया गया है। यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग करता है। परिधि की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

जहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या है, a भुजा की लंबाई है।

क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है:

एस = एन / 4 × ए 2 × सीटीजी (पीआई / एन)।

उपयुक्त n को प्रतिस्थापित करते हुए, हम किसी भी नियमित बहुभुज के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें एक समबाहु त्रिभुज और एक वर्ग भी शामिल है।

वास्तविक जीवन में बहुभुज बहुत आम हैं। तो एक पेंटागन का आकार अमेरिकी रक्षा विभाग की इमारत है - पेंटागन, एक षट्भुज - मधुकोश या बर्फ के टुकड़े क्रिस्टल, एक अष्टकोण - सड़क के संकेत। इसके अलावा, कई प्रोटोजोआ, जैसे कि रेडिओलेरियन, में नियमित बहुभुज का आकार होता है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

आइए वास्तविक जीवन की गणनाओं में हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

बाड़ पेंटिंग

भूतल पेंटिंग और पेंट गणना कुछ सबसे स्पष्ट रोजमर्रा के कार्य हैं जिनमें न्यूनतम गणितीय गणना की आवश्यकता होती है। अगर हमें 1.5 मीटर ऊंचे और 20 मीटर लंबे बाड़ को पेंट करने की आवश्यकता है, तो हमें पेंट के कितने डिब्बे चाहिए? ऐसा करने के लिए, आपको बाड़ के कुल क्षेत्रफल और 1 वर्ग मीटर में पेंट और वार्निश की खपत का पता लगाने की आवश्यकता है। हम जानते हैं कि तामचीनी की खपत 130 ग्राम प्रति मीटर है। अब आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करके बाड़ के क्षेत्र का निर्धारण करते हैं। यह S = 30 वर्ग मीटर होगा। स्वाभाविक रूप से, हम दोनों तरफ बाड़ को पेंट करेंगे, इसलिए पेंटिंग का क्षेत्र बढ़कर 60 वर्ग हो जाएगा। फिर हमें 60 × 0.13 = 7.8 किलोग्राम पेंट, या 2.8 किलोग्राम के तीन मानक डिब्बे चाहिए।

फ्रिंज ट्रिम

सिलाई एक अन्य उद्योग है जिसके लिए व्यापक ज्यामितीय ज्ञान की आवश्यकता होती है। मान लीजिए हमें एक स्कार्फ को फ्रिंज करने की आवश्यकता है, जो कि 150, 100, 75 और 75 सेमी के पक्षों के साथ एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। फ्रिंज खपत की गणना करने के लिए, हमें समलम्ब चतुर्भुज की परिधि जानने की आवश्यकता है। यहीं पर ऑनलाइन कैलकुलेटर काम आता है। यह सेल डेटा दर्ज करें और उत्तर प्राप्त करें:

इस प्रकार, स्कार्फ को खत्म करने के लिए हमें 4 मीटर फ्रिंज की आवश्यकता होती है।

निष्कर्ष

सपाट आंकड़े आसपास की वास्तविक दुनिया का निर्माण करते हैं। हम अक्सर स्कूल में खुद से सवाल पूछते हैं, क्या भविष्य में ज्यामिति हमारे लिए उपयोगी होगी? उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि दैनिक जीवन में गणित का लगातार उपयोग किया जाता है। और यदि एक आयत का क्षेत्रफल हमें ज्ञात है, तो एक द्विदिशभुज के क्षेत्रफल की गणना करना एक कठिन कार्य हो सकता है। स्कूल के सत्रीय कार्यों या रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने के लिए कैलकुलेटर के हमारे कैटलॉग का उपयोग करें।

गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक आयत का परिमाप है। इस विषय पर कई समस्याएं हैं, जिनका समाधान परिधि सूत्र और इसकी गणना करने के कौशल के बिना नहीं हो सकता।

बुनियादी अवधारणाओं

आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं और विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समान और समानांतर होती हैं। हमारे जीवन में, कई आकृतियाँ एक आयत के आकार की होती हैं, उदाहरण के लिए, एक मेज की सतह, एक नोटबुक, इत्यादि।

एक उदाहरण पर विचार करें:भूमि की सीमाओं के साथ एक बाड़ लगाई जानी चाहिए। प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें मापने की आवश्यकता है।

चावल। 1. एक आयत के आकार में भूमि भूखंड।

भूमि भूखंड की लंबाई 2 मीटर, 4 मीटर, 2 मीटर, 4 मीटर है। इसलिए, बाड़ की कुल लंबाई का पता लगाने के लिए, आपको सभी पक्षों की लंबाई जोड़नी होगी:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 मी.

यह वह मान है जिसे आम तौर पर परिधि कहा जाता है। इस प्रकार, परिधि को खोजने के लिए, आपको आकृति के सभी पक्षों को जोड़ना होगा। P अक्षर का प्रयोग परिमाप को निरूपित करने के लिए किया जाता है।

एक आयताकार आकृति की परिधि की गणना करने के लिए, आपको इसे आयतों में विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल इस आकृति के सभी पक्षों को एक शासक (टेप माप) के साथ मापने और उनका योग खोजने की आवश्यकता है।

एक आयत का परिमाप मिमी, सेमी, मी, किमी आदि में मापा जाता है। यदि आवश्यक हो, तो कार्य में डेटा को उसी माप प्रणाली में परिवर्तित कर दिया जाता है।

एक आयत की परिधि को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है: मिमी, सेमी, मी, किमी, और इसी तरह। यदि आवश्यक हो, तो कार्य में डेटा को माप की एक प्रणाली में बदल दिया जाता है।

आकार परिधि सूत्र

यदि हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ समान हैं, तो हम आयत के परिमाप के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

$P = (a+b) * 2$, जहाँ a, b आकृति की भुजाएँ हैं।

चावल। 2. आयत, विपरीत पक्षों के साथ चिह्नित।

परिधि को खोजने का एक और तरीका है। यदि कार्य केवल एक पक्ष और आकृति का क्षेत्र दिया गया है, तो आप क्षेत्र के माध्यम से दूसरे पक्ष को व्यक्त करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। तब सूत्र इस तरह दिखेगा:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, जहां S आयत का क्षेत्रफल है।

चावल। 3. भुजाओं a, b के साथ आयत।

व्यायाम : एक आयत का परिमाप परिकलित करें यदि उसकी भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं।

फेसला:

हम सूत्र $P = (a+b)*2$ . का उपयोग करते हैं

$P = (4+6)*2=20 सेमी$

अत: आकृति का परिमाप $P = 20 cm$ है।

चूँकि परिमाप किसी आकृति की सभी भुजाओं का योग होता है, अर्ध-परिधि केवल एक लंबाई और चौड़ाई का योग होता है। परिधि प्राप्त करने के लिए अर्ध-परिधि को 2 से गुणा करें।

क्षेत्रफल और परिमाप किसी भी आकृति को मापने की दो बुनियादी अवधारणाएँ हैं। उन्हें भ्रमित नहीं होना चाहिए, हालांकि वे संबंधित हैं। यदि आप क्षेत्रफल बढ़ाते या घटाते हैं, तो, तदनुसार, इसकी परिधि बढ़ेगी या घटेगी।

यह दिलचस्प है कि कई साल पहले गणित की ऐसी शाखा को "ज्यामिति" के रूप में "सर्वेक्षण" कहा जाता था। और परिधि और क्षेत्र को कैसे खोजना है, यह लंबे समय से जाना जाता है। उदाहरण के लिए, वे कहते हैं कि इन दो मात्राओं के पहले कैलकुलेटर मिस्र के निवासी हैं। इस ज्ञान के लिए धन्यवाद, वे आज ज्ञात संरचनाओं का निर्माण करने में सक्षम थे।

क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करने की क्षमता दैनिक जीवन में उपयोगी हो सकती है। रोजमर्रा की जिंदगी में, इन मूल्यों का उपयोग तब किया जाता है जब किसी चीज को पेंट करना, पौधे लगाना या बगीचे की खेती करना, कमरे में गोंद वॉलपेपर आदि की आवश्यकता होती है।

परिमाप

बहुधा, आपको बहुभुजों या त्रिभुजों का परिमाप ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इस मान को निर्धारित करने के लिए, सभी पक्षों की लंबाई जानना पर्याप्त है, और परिधि उनका योग है। यदि क्षेत्रफल ज्ञात हो तो परिमाप ज्ञात करना भी संभव है।

त्रिकोण

यदि आपको त्रिभुज की परिधि जानने की आवश्यकता है, तो इसकी गणना करने के लिए, आपको निम्न सूत्र P \u003d a + b + c लागू करना चाहिए, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं। इस मामले में, समतल पर एक साधारण त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग होता है।

एक क्षेत्र में

एक वृत्त की परिधि को आमतौर पर एक वृत्त की परिधि कहा जाता है। इस मान का पता लगाने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए: L \u003d π * D \u003d 2 * * r, जहाँ L परिधि है, r त्रिज्या है, D व्यास है, और संख्या , जैसा कि आप जानते हैं , लगभग 3.14 के बराबर है।

वर्ग, समचतुर्भुज

एक वर्ग और एक समचतुर्भुज के परिमापों के सूत्र समान होते हैं, क्योंकि एक आकृति के लिए और दूसरी के लिए, सभी भुजाएँ समान होती हैं। चूँकि एक वर्ग और एक समचतुर्भुज की भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए उन्हें (भुजाएँ) एक अक्षर "a" से निरूपित किया जा सकता है। यह पता चला है कि एक वर्ग और एक समचतुर्भुज की परिधि बराबर है:

• पी \u003d ए + ए + ए + ए या पी \u003d 4a

आयत, समांतर चतुर्भुज

एक आयत और एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए उन्हें दो अलग-अलग अक्षरों "ए" और "बी" द्वारा दर्शाया जा सकता है। सूत्र इस तरह दिखता है:

• पी \u003d ए + बी + ए + बी = 2 ए + 2 बी। ड्यूस को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है, और निम्न सूत्र निकलेगा: P \u003d 2 (a + b)

ट्रापेज़

एक ट्रेपेज़ॉइड के अलग-अलग पक्ष होते हैं, इसलिए उन्हें लैटिन वर्णमाला के विभिन्न अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। इस संबंध में, एक समलम्ब चतुर्भुज की परिधि का सूत्र इस तरह दिखता है:

• पी = ए + बी + सी + डी यहां सभी पक्षों को एक साथ जोड़ा जाता है।

वर्ग

क्षेत्रफल - आकृति का वह भाग जो इसके समोच्च के भीतर घिरा होता है।

आयत

एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक पक्ष (लंबाई) के मान को दूसरे (चौड़ाई) के मान से गुणा करना होगा। यदि लंबाई और चौड़ाई मान "ए" और "बी" अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, तो क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

• एस = ए * बी

वर्ग

जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, एक वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप बस एक भुजा को वर्ग में ले सकते हैं:

• एस \u003d ए * ए \u003d ए 2

विषमकोण

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र थोड़ा भिन्न रूप है: S \u003d a * h a, जहाँ h a समचतुर्भुज की ऊँचाई की लंबाई है, जो भुजा की ओर खींची जाती है।

इसके अलावा, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्रों द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

• एस \u003d ए 2 * पाप α, जबकि ए आकृति का पक्ष है, और कोण α पक्षों के बीच का कोण है;
• S \u003d 4r 2 / sin α, जहाँ r समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है, और कोण α पक्षों के बीच का कोण है।

एक क्षेत्र में

एक वृत्त का क्षेत्रफल भी आसानी से पहचाना जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• एस \u003d R 2, जहां आर त्रिज्या है।

ट्रापेज़

एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• एस \u003d 1/2 * ए * बी * एच, जहां ए, बी ट्रेपोजॉइड के आधार हैं, एच ऊंचाई है।

त्रिकोण

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, कई सूत्रों में से एक का उपयोग करें:

• S \u003d 1/2 * a * b sin α (जहाँ a, b त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α उनके बीच का कोण है);
• एस \u003d 1/2 ए * एच (जहां ए त्रिकोण का आधार है, एच इसकी ऊंचाई कम है);
• S \u003d abc / 4R (जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है);
• S \u003d p * r (जहाँ p अर्ध-परिधि है, r अंकित वृत्त की त्रिज्या है);
• S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (जहाँ p अर्ध-परिधि है, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं)।

चतुर्भुज

इस आंकड़े के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको किसी एक सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना होगा:

• एस \u003d ए * बी * पाप α (जहां ए, बी समांतर चतुर्भुज के आधार हैं, α पक्षों के बीच का कोण है);
• S \u003d a * h a (जहाँ a समांतर चतुर्भुज की भुजा है, h a समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है, जिसे भुजा a तक उतारा जाता है);
• S = 1/2 *d*D* sin α (जहाँ d और D समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, α उनके बीच का कोण है)।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एक आयत की परिधि और क्षेत्रफल"

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एक आयत और एक वर्ग क्या है

आयतसभी समकोणों वाला एक चतुर्भुज है। तो विपरीत पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं।

वर्गसमान भुजाओं और कोणों वाला एक आयत है। इसे नियमित चतुर्भुज कहते हैं।

चतुर्भुज, जिसमें आयत और वर्ग शामिल हैं, को 4 अक्षरों - शीर्षों द्वारा दर्शाया जाता है। शीर्षकों को निर्दिष्ट करने के लिए लैटिन अक्षरों का उपयोग किया जाता है: ऐ बी सी डी...

उदाहरण।

यह इस तरह पढ़ता है: चतुर्भुज ABCD; वर्ग ईएफजीएच।

एक आयत का परिमाप क्या है? परिधि की गणना के लिए सूत्र

एक आयत का परिमापआयत के सभी पक्षों की लंबाई का योग है, या लंबाई और चौड़ाई का योग 2 से गुणा किया जाता है।

परिधि को लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है पी. चूंकि परिधि आयत के सभी पक्षों की लंबाई है, इसलिए परिधि लंबाई की इकाइयों में लिखी जाती है: मिमी, सेमी, मी, डीएम, किमी।

उदाहरण के लिए, एक आयत ABCD के परिमाप को इस प्रकार दर्शाया गया है पी ABCD, जहाँ A, B, C, D आयत के शीर्ष हैं।

आइए चतुर्भुज ABCD की परिधि के लिए सूत्र लिखें:

पी एबीसीडी = एबी + बीसी + सीडी + एडी = 2 * एबी + 2 * बीसी = 2 * (एबी + बीसी)

उदाहरण।
एक आयत ABCD जिसकी भुजाएँ हैं: AB=CD=5 सेमी और AD=BC=3 सेमी।
आइए P ABCD को परिभाषित करें।

फेसला:
1. आइए आरंभिक आंकड़ों के साथ एक आयत ABCD बनाएं।
2. आइए इस आयत की परिधि की गणना के लिए एक सूत्र लिखें:

पीएबीसीडी = 2 * (एबी + बीसी)

पी ABCD=2*(5cm+3cm)=2*8cm=16cm

उत्तर: पी एबीसीडी = 16 सेमी।

एक वर्ग की परिधि की गणना के लिए सूत्र

हमारे पास एक आयत का परिमाप ज्ञात करने का एक सूत्र है।

पीएबीसीडी=2*(एबी+बीसी)

आइए इसका उपयोग एक वर्ग का परिमाप ज्ञात करने के लिए करते हैं। यह देखते हुए कि वर्ग की सभी भुजाएँ समान हैं, हम प्राप्त करते हैं:

पीएबीसीडी = 4 * एबी

उदाहरण।
एक वर्ग ABCD दिया है जिसकी भुजा 6 सेमी है। वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए।

फेसला।
1. मूल आँकड़ों के साथ एक वर्ग ABCD खींचिए।

2. वर्ग के परिमाप की गणना के सूत्र को याद करें:

पीएबीसीडी = 4 * एबी

3. हमारे डेटा को सूत्र में बदलें:

पी ABCD=4*6cm=24cm

उत्तर: पी एबीसीडी = 24 सेमी।

एक आयत का परिमाप ज्ञात करने में समस्या

1. आयतों की चौड़ाई और लंबाई मापें। उनकी परिधि निर्धारित करें।

2. 4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला एक आयत ABCD खींचिए। आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए।

3. 5 सेमी भुजा वाला एक सीईओएम वर्ग खींचिए। वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए।

आयत की परिधि की गणना का उपयोग कहाँ किया जाता है?

1. जमीन का एक टुकड़ा दिया जाता है, इसे एक बाड़ से घिरा होना चाहिए। बाड़ कब तक होगी?

इस कार्य में, साइट की परिधि की सटीक गणना करना आवश्यक है ताकि बाड़ के निर्माण के लिए अतिरिक्त सामग्री न खरीदें।

2. माता-पिता ने बच्चों के कमरे में मरम्मत करने का फैसला किया। वॉलपेपर की संख्या की सही गणना करने के लिए आपको कमरे की परिधि और उसके क्षेत्र को जानना होगा।
आप जिस कमरे में रहते हैं उसकी लंबाई और चौड़ाई निर्धारित करें। अपने कमरे की परिधि निर्धारित करें।

एक आयत का क्षेत्रफल कितना होता है?

वर्ग- यह आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता है। क्षेत्रफल को लंबाई की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है: सेमी 2, मी 2, डीएम 2, आदि। (सेंटीमीटर वर्ग, मीटर वर्ग, डेसीमीटर वर्ग, आदि)
गणना में, इसे लैटिन अक्षर . द्वारा दर्शाया जाता है एस.

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।
आयत के क्षेत्रफल की गणना AK की लंबाई को KM की चौड़ाई से गुणा करके की जाती है। आइए इसे एक सूत्र के रूप में लिखें।

एस AKMO=AK*KM

उदाहरण।
आयत AKMO का क्षेत्रफल क्या है यदि इसकी भुजाएँ 7 सेमी और 2 सेमी हैं?

एस AKMO \u003d AK * KM \u003d 7 सेमी * 2 सेमी \u003d 14 सेमी 2.

उत्तर: 14 सेमी 2.

एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा को स्वयं से गुणा करके निर्धारित किया जा सकता है।

उदाहरण।
इस उदाहरण में, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना भुजा AB को चौड़ाई BC से गुणा करके की जाती है, लेकिन चूंकि वे बराबर हैं, भुजा AB को AB से गुणा किया जाता है।

एसएबीसीओ = एबी * बीसी = एबी * एबी

उदाहरण।
8 सेमी भुजा वाले वर्ग AKMO का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एसएकेएमओ = एके * केएम = 8 सेमी * 8 सेमी = 64 सेमी 2

उत्तर : 64 सेमी 2.

एक आयत और एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्या

1. 20 मिमी और 60 मिमी की भुजाओं वाला एक आयत दिया गया है। इसके क्षेत्रफल की गणना कीजिए। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में लिखें।

2. एक उपनगरीय क्षेत्र को 20 मीटर से 30 मीटर के आकार के साथ खरीदा गया था। ग्रीष्मकालीन कुटीर का क्षेत्र निर्धारित करें, वर्ग सेंटीमीटर में उत्तर लिखें।