किस विकृति को समतल अनुप्रस्थ मोड़ कहा जाता है। सामग्री के बल पर विशिष्ट समस्याओं का समाधान

10.1. सामान्य अवधारणाएं और परिभाषाएं

झुकना- यह एक प्रकार का लोडिंग है जिसमें रॉड को रॉड के अनुदैर्ध्य अक्ष से गुजरने वाले विमानों में क्षणों के साथ लोड किया जाता है।

एक छड़ जो झुकने का काम करती है उसे बीम (या बार) कहा जाता है। भविष्य में, हम सीधे बीम पर विचार करेंगे, जिसके क्रॉस सेक्शन में समरूपता का कम से कम एक अक्ष होता है।

सामग्री के प्रतिरोध में, झुकना सपाट, तिरछा और जटिल होता है।

सपाट मोड़- झुकना, जिसमें बीम को झुकाने वाले सभी बल बीम के समरूपता के विमानों में से एक में होते हैं (मुख्य विमानों में से एक में)।

बीम की जड़ता के मुख्य विमान क्रॉस सेक्शन के मुख्य अक्षों और बीम के ज्यामितीय अक्ष (x अक्ष) से ​​गुजरने वाले विमान हैं।

तिरछा मोड़- झुकना, जिसमें भार एक विमान में कार्य करता है जो जड़ता के मुख्य विमानों से मेल नहीं खाता है।

जटिल मोड़- झुकना, जिसमें भार अलग-अलग (मनमाने ढंग से) विमानों में कार्य करता है।

10.2 आंतरिक झुकने वाले बलों का निर्धारण

आइए हम झुकने के दो विशिष्ट मामलों पर विचार करें: पहले मामले में, ब्रैकट बीम केंद्रित क्षण मो द्वारा मुड़ा हुआ है; दूसरे में, केंद्रित बल द्वारा F.

मानसिक वर्गों की विधि का उपयोग करके और बीम के कटे हुए हिस्सों के लिए संतुलन समीकरणों को संकलित करते हुए, हम दोनों मामलों में आंतरिक बलों का निर्धारण करते हैं:

शेष संतुलन समीकरण स्पष्ट रूप से शून्य के बराबर हैं।

इस प्रकार, बीम खंड में फ्लैट झुकने के सामान्य मामले में, छह आंतरिक बलों में से दो उत्पन्न होते हैं - झुकने का पलएमजेड और बहुत ताकत Qy (या किसी अन्य मुख्य अक्ष के बारे में झुकते समय - झुकने का क्षण My और अनुप्रस्थ बल Qz)।

इस मामले में, लोडिंग के दो माने जाने वाले मामलों के अनुसार, फ्लैट झुकने को शुद्ध और अनुप्रस्थ में विभाजित किया जा सकता है।

शुद्ध मोड़- सपाट झुकना, जिसमें छड़ के वर्गों में छह आंतरिक बलों में से केवल एक उत्पन्न होता है - एक झुकने वाला क्षण (पहला मामला देखें)।

अनुप्रस्थ मोड़- झुकना, जिसमें आंतरिक झुकने के क्षण के अलावा, छड़ के वर्गों में एक अनुप्रस्थ बल भी उत्पन्न होता है (दूसरा मामला देखें)।

कड़ाई से बोलते हुए, केवल शुद्ध झुकने का संबंध सरल प्रकार के प्रतिरोध से है; अनुप्रस्थ झुकने को सशर्त रूप से सरल प्रकार के प्रतिरोध के लिए संदर्भित किया जाता है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में (पर्याप्त रूप से लंबे बीम के लिए) एक अनुप्रस्थ बल की कार्रवाई को ताकत की गणना में उपेक्षित किया जा सकता है।

आंतरिक बलों का निर्धारण करते समय, हम संकेतों के निम्नलिखित नियम का पालन करेंगे:

1) अनुप्रस्थ बल क्यू को सकारात्मक माना जाता है यदि यह बीम तत्व को दक्षिणावर्त घुमाता है;

2) झुकने का क्षण Mz को सकारात्मक माना जाता है, जब बीम तत्व मुड़ा हुआ होता है, तो तत्व के ऊपरी तंतु संकुचित होते हैं, और निचले तंतु खिंच जाते हैं (छाता नियम)।

इस प्रकार, झुकने में आंतरिक बलों को निर्धारित करने की समस्या का समाधान निम्नलिखित योजना के अनुसार बनाया जाएगा: 1) पहले चरण में, संरचना की संतुलन स्थितियों को समग्र रूप से देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं, यदि आवश्यक हो, तो अज्ञात प्रतिक्रियाएं समर्थन (ध्यान दें कि एक ब्रैकट बीम के लिए, एम्बेड में प्रतिक्रियाएं हो सकती हैं और नहीं मिल सकती हैं यदि हम मुक्त छोर से बीम पर विचार करते हैं); 2) दूसरे चरण में, हम बीम के विशिष्ट वर्गों का चयन करते हैं, वर्गों की सीमाओं के रूप में बलों के आवेदन के बिंदु, बीम के आकार या आयामों में परिवर्तन के बिंदु, बीम के बन्धन के बिंदु; 3) तीसरे चरण में, हम प्रत्येक खंड में बीम तत्वों के लिए संतुलन की स्थिति पर विचार करते हुए, बीम अनुभागों में आंतरिक बलों का निर्धारण करते हैं।

10.3. झुकने में अंतर निर्भरता

आइए हम आंतरिक बलों और बाहरी झुकने वाले भारों के साथ-साथ क्यू और एम आरेखों की विशिष्ट विशेषताओं के बीच कुछ संबंध स्थापित करें, जिनके ज्ञान से आरेखों के निर्माण की सुविधा होगी और आपको उनकी शुद्धता को नियंत्रित करने की अनुमति मिलेगी। अंकन की सुविधा के लिए, हम निरूपित करेंगे: M≡Mz, Q≡Qy।

चलो एक छोटे से तत्व dx को एक बीम के एक खंड में एक मनमाना भार के साथ एक जगह पर आवंटित करते हैं जहां कोई केंद्रित बल और क्षण नहीं होते हैं। चूंकि संपूर्ण बीम संतुलन में है, तत्व dx भी उस पर लागू अनुप्रस्थ बलों की कार्रवाई के तहत संतुलन में होगा, झुकने वाले क्षण और बाहरी भार। चूंकि क्यू और एम आम तौर पर भिन्न होते हैं

बीम की धुरी, फिर तत्व dx के वर्गों में अनुप्रस्थ बल Q और Q + dQ होंगे, साथ ही झुकने वाले क्षण M और M + dM भी होंगे। चयनित तत्व की संतुलन स्थिति से, हम प्राप्त करते हैं

दो लिखित समीकरणों में से पहला शर्त देता है

दूसरे समीकरण से, q dx (dx/2) पद को दूसरे क्रम की एक अपरिमित मात्रा के रूप में नकारते हुए, हम पाते हैं

व्यंजकों (10.1) और (10.2) को मिलाकर हम प्राप्त कर सकते हैं

संबंध (10.1), (10.2) और (10.3) अवकल कहलाते हैं झुकने में D. I. Zhuravsky की निर्भरता।

झुकने में उपरोक्त अंतर निर्भरताओं का विश्लेषण हमें झुकने वाले क्षणों और कतरनी बलों के आरेखों के निर्माण के लिए कुछ विशेषताओं (नियमों) को स्थापित करने की अनुमति देता है: ए - उन क्षेत्रों में जहां कोई वितरित भार q नहीं है, आरेख क्यू समानांतर सीधी रेखाओं तक सीमित हैं आधार और आरेख M झुकी हुई सीधी रेखाएँ हैं; बी - उन खंडों में जहां एक वितरित भार q बीम पर लागू होता है, क्यू आरेख झुकी हुई सीधी रेखाओं द्वारा सीमित होते हैं, और एम आरेख द्विघात परवलय द्वारा सीमित होते हैं।

इस मामले में, यदि हम आरेख M "एक खिंचे हुए फाइबर पर" बनाते हैं, तो परवलय की उत्तलता को q की क्रिया की दिशा में निर्देशित किया जाएगा, और चरम उस खंड में स्थित होगा जहां आरेख Q आधार को काटता है रेखा; सी - उन वर्गों में जहां बीम पर एक केंद्रित बल लगाया जाता है, क्यू आरेख पर मूल्य और इस बल की दिशा में कूदता है, और एम आरेख पर किंक होते हैं, इस दिशा में निर्देशित टिप बल; डी - उन वर्गों में जहां बीम पर एक केंद्रित क्षण लागू होता है, क्यू आरेख में कोई बदलाव नहीं होगा, और एम आरेख पर इस क्षण के मूल्य से कूद जाएगा; ई - उन वर्गों में जहां क्यू> 0, पल एम बढ़ता है, और उन वर्गों में जहां क्यू<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. सीधे बीम के शुद्ध झुकने में सामान्य तनाव

आइए हम एक बीम के शुद्ध तलीय झुकने के मामले पर विचार करें और इस मामले के लिए सामान्य तनावों को निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

ध्यान दें कि लोच के सिद्धांत में शुद्ध झुकने में सामान्य तनाव के लिए सटीक निर्भरता प्राप्त करना संभव है, लेकिन यदि सामग्री के प्रतिरोध के तरीकों से इस समस्या को हल करने के लिए, कुछ मान्यताओं को पेश करना आवश्यक है।

झुकने के लिए ऐसी तीन परिकल्पनाएँ हैं:

a - समतल वर्गों की परिकल्पना (बर्नौली की परिकल्पना) - खंड विरूपण से पहले सपाट होते हैं और विरूपण के बाद सपाट रहते हैं, लेकिन केवल एक निश्चित रेखा के बारे में घूमते हैं, जिसे बीम खंड का तटस्थ अक्ष कहा जाता है। इस मामले में, तटस्थ अक्ष के एक तरफ पड़े बीम के तंतु खिंचे जाएंगे, और दूसरी तरफ, संकुचित; तटस्थ अक्ष पर पड़े तंतु अपनी लंबाई नहीं बदलते हैं;

बी - सामान्य तनाव की स्थिरता की परिकल्पना - तटस्थ अक्ष से समान दूरी पर अभिनय करने वाले तनाव बीम की चौड़ाई में स्थिर होते हैं;

ग - पार्श्व दबावों की अनुपस्थिति के बारे में परिकल्पना - पड़ोसी अनुदैर्ध्य तंतु एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं।

समस्या का स्थिर पक्ष

बीम के क्रॉस सेक्शन में तनाव को निर्धारित करने के लिए, हम सबसे पहले, समस्या के स्थिर पक्षों पर विचार करते हैं। मानसिक वर्गों की विधि को लागू करने और बीम के कटे हुए हिस्से के लिए संतुलन समीकरणों को संकलित करने से, हम झुकने के दौरान आंतरिक बल पाते हैं। जैसा कि पहले दिखाया गया था, शुद्ध झुकने के साथ बार के खंड में अभिनय करने वाला एकमात्र आंतरिक बल आंतरिक झुकने वाला क्षण है, जिसका अर्थ है कि इससे जुड़े सामान्य तनाव यहां उत्पन्न होंगे।

हम बीम खंड में आंतरिक बलों और सामान्य तनावों के बीच संबंध पाते हैं, प्राथमिक क्षेत्र डीए पर तनाव पर विचार करके, बीम के क्रॉस सेक्शन ए में निर्देशांक y और z के साथ एक बिंदु पर चुना जाता है (y अक्ष को आसानी से नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है विश्लेषण के):

जैसा कि हम देख सकते हैं, समस्या आंतरिक रूप से सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है, क्योंकि क्रॉस सेक्शन पर सामान्य तनावों के वितरण की प्रकृति अज्ञात है। समस्या को हल करने के लिए, विकृतियों के ज्यामितीय पैटर्न पर विचार करें।

समस्या का ज्यामितीय पक्ष

समन्वय x के साथ एक मनमाना बिंदु पर झुकने वाली छड़ से चयनित लंबाई dx के बीम तत्व के विरूपण पर विचार करें। फ्लैट सेक्शन की पहले से स्वीकृत परिकल्पना को ध्यान में रखते हुए, बीम सेक्शन को झुकने के बाद, न्यूट्रल एक्सिस (n.r.) के सापेक्ष कोण dϕ से घुमाएं, जबकि फाइबर ab, जो कि न्यूट्रल एक्सिस से y की दूरी पर है, में बदल जाएगा एक गोलाकार चाप a1b1, और इसकी लंबाई कुछ आकार से बदल जाएगी। यहां हम याद करते हैं कि तटस्थ अक्ष पर स्थित तंतुओं की लंबाई नहीं बदलती है, और इसलिए चाप a0b0 (वक्रता की त्रिज्या जिसे हम ρ द्वारा निरूपित करते हैं) की लंबाई खंड a0b0 विरूपण से पहले a0b0=dx के समान होती है।

आइए हम घुमावदार बीम के फाइबर ab के सापेक्ष रैखिक विरूपण x को खोजें।

मोड़ एक प्रकार की विकृति है जिसमें बीम का अनुदैर्ध्य अक्ष मुड़ा हुआ होता है। झुकने पर काम करने वाले सीधे बीम को बीम कहा जाता है। एक सीधा मोड़ एक मोड़ है जिसमें बीम पर अभिनय करने वाले बाहरी बल बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष और क्रॉस सेक्शन की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष से गुजरने वाले एक ही विमान (बल विमान) में होते हैं।

मोड़ को शुद्ध कहा जाता है, यदि बीम के किसी भी क्रॉस सेक्शन में केवल एक झुकने वाला क्षण होता है।

झुकना, जिसमें झुकने का क्षण और अनुप्रस्थ बल एक साथ बीम के क्रॉस सेक्शन में कार्य करते हैं, अनुप्रस्थ कहलाते हैं। बल तल और अनुप्रस्थ-अनुभागीय तल के प्रतिच्छेदन की रेखा को बल रेखा कहा जाता है।

बीम झुकने में आंतरिक बल कारक।

बीम वर्गों में एक फ्लैट अनुप्रस्थ झुकने के साथ, दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: अनुप्रस्थ बल क्यू और झुकने का क्षण एम। अनुभाग विधि का उपयोग उन्हें निर्धारित करने के लिए किया जाता है (व्याख्यान 1 देखें)। बीम खंड में अनुप्रस्थ बल Q विचाराधीन खंड के एक तरफ अभिनय करने वाले सभी बाहरी बलों के खंड तल पर अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

अपरूपण बलों के लिए साइन नियम Q:

बीम खंड में झुकने वाला क्षण एम विचाराधीन खंड के एक तरफ अभिनय करने वाले सभी बाहरी बलों के इस खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बारे में क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

झुकने वाले क्षणों के लिए साइन नियम एम:

ज़ुराव्स्की की अंतर निर्भरता।

वितरित भार की तीव्रता q के बीच, अनुप्रस्थ बल Q और झुकने वाले क्षण M के लिए भाव, अंतर निर्भरता स्थापित की जाती है:

इन निर्भरताओं के आधार पर, अनुप्रस्थ बलों Q और झुकने वाले क्षणों M के आरेखों के निम्नलिखित सामान्य पैटर्न को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

झुकने में आंतरिक बल कारकों के आरेखों की ख़ासियत।

1. बीम के खंड पर जहां कोई वितरित भार नहीं है, प्लॉट क्यू प्रस्तुत किया जाता है सरल रेखा , आरेख के आधार के समानांतर है, और आरेख M एक झुकी हुई सीधी रेखा है (चित्र a)।

2. जिस खंड में सांद्रित बल लगाया जाता है, वहां क्यू आरेख पर होना चाहिए कूदना , इस बल के मान के बराबर और चित्र M पर - अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति (चित्र। ए)।

3. उस खंड में जहां एक केंद्रित क्षण लागू होता है, क्यू का मान नहीं बदलता है, और आरेख एम में है कूदना , इस पल के मूल्य के बराबर, (चित्र 26, बी)।

4. बीम के खंड में तीव्रता q के वितरित भार के साथ, आरेख Q एक रैखिक कानून के अनुसार बदलता है, और आरेख M - एक परवलयिक के अनुसार, और परवलय की उत्तलता वितरित भार की दिशा की ओर निर्देशित होती है (चित्र। सी, डी)।

5. यदि आरेख के विशिष्ट खंड के भीतर Q आरेख के आधार को काटता है, तो उस खंड में जहां Q = 0, झुकने वाले क्षण का चरम मान M अधिकतम या M मिनट (चित्र d) होता है।

सामान्य झुकने तनाव।

सूत्र द्वारा निर्धारित:

झुकने के लिए खंड के प्रतिरोध का क्षण मूल्य है:

खतरनाक खंडझुकते समय, बीम के क्रॉस सेक्शन को कहा जाता है, जिसमें अधिकतम सामान्य तनाव होता है।

प्रत्यक्ष झुकने में स्पर्शरेखा तनाव।

द्वारा निर्धारित ज़ुराव्स्की का सूत्र सीधे बीम झुकने में कतरनी तनाव के लिए:

जहां एस ओट्स - तटस्थ रेखा के सापेक्ष अनुदैर्ध्य तंतुओं की कट-ऑफ परत के अनुप्रस्थ क्षेत्र का स्थिर क्षण।

झुकने की ताकत की गणना।

1. पर सत्यापन गणना अधिकतम डिजाइन तनाव निर्धारित किया जाता है, जिसकी तुलना स्वीकार्य तनाव से की जाती है:

2. पर डिजाइन गणना बीम अनुभाग का चयन इस शर्त से किया जाता है:

3. स्वीकार्य भार का निर्धारण करते समय, स्वीकार्य झुकने का क्षण स्थिति से निर्धारित होता है:

झुकने वाली हरकतें।

झुकने वाले भार की कार्रवाई के तहत, बीम की धुरी मुड़ी हुई है। इस मामले में, उत्तल और संपीड़न पर तंतुओं का खिंचाव होता है - बीम के अवतल भागों पर। इसके अलावा, क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों और तटस्थ अक्ष के सापेक्ष उनके रोटेशन की एक ऊर्ध्वाधर गति होती है। झुकने के दौरान विरूपण को चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है:

बीम विक्षेपण Y- अपनी धुरी के लंबवत दिशा में बीम के क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का विस्थापन।

यदि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ऊपर की ओर बढ़ता है तो विक्षेपण सकारात्मक माना जाता है। विक्षेपण की मात्रा बीम की लंबाई के साथ बदलती रहती है, अर्थात। वाई = वाई (जेड)

अनुभाग रोटेशन कोण- कोण θ जिससे प्रत्येक खंड को उसकी मूल स्थिति के संबंध में घुमाया जाता है। जब खंड को वामावर्त घुमाया जाता है तो रोटेशन के कोण को सकारात्मक माना जाता है। = (z) का एक फलन होने के कारण, घूर्णन कोण का मान बीम की लंबाई के साथ बदलता रहता है।

विस्थापन का निर्धारण करने का सबसे सामान्य तरीका है मोराऔर वीरशैचिन का नियम.

मोहर विधि।

मोहर विधि के अनुसार विस्थापन का निर्धारण करने की प्रक्रिया:

1. एक "सहायक प्रणाली" उस बिंदु पर एकल भार के साथ बनाया और लोड किया जाता है जहां विस्थापन निर्धारित किया जाना है। यदि एक रैखिक विस्थापन निर्धारित किया जाता है, तो इसकी दिशा में एक इकाई बल लगाया जाता है, कोणीय विस्थापन का निर्धारण करते समय, एक इकाई क्षण लगाया जाता है।

2. सिस्टम के प्रत्येक खंड के लिए, लागू लोड से M f झुकने के क्षण और एकल लोड से M 1 - के भाव दर्ज किए जाते हैं।

3. मोहर इंटीग्रल्स की गणना और सिस्टम के सभी वर्गों में किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वांछित विस्थापन होता है:

4. यदि परिकलित विस्थापन का धनात्मक चिन्ह है, तो इसका अर्थ है कि इसकी दिशा इकाई बल की दिशा से मेल खाती है। ऋणात्मक चिन्ह इंगित करता है कि वास्तविक विस्थापन इकाई बल की दिशा के विपरीत है।

वीरशैचिन का शासन।

उस स्थिति के लिए जब किसी दिए गए भार से झुकने वाले क्षणों के आरेख में एक मनमाना होता है, और एक एकल भार से - एक रेक्टिलिनियर रूपरेखा, ग्राफिक-विश्लेषणात्मक विधि, या वीरशैचिन के नियम का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

जहाँ A f किसी दिए गए भार से झुकने वाले क्षण M f के आरेख का क्षेत्रफल है; y c आरेख M f के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के तहत एकल भार से आरेख की कोटि है; ईआई एक्स - बीम अनुभाग की अनुभाग कठोरता। इस सूत्र के अनुसार गणना अनुभागों में की जाती है, जिनमें से प्रत्येक पर सीधी रेखा आरेख बिना फ्रैक्चर के होना चाहिए। मान (ए एफ * वाई सी) को सकारात्मक माना जाता है यदि दोनों आरेख बीम के एक ही तरफ स्थित हैं, नकारात्मक अगर वे विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। आरेखों के गुणन के सकारात्मक परिणाम का अर्थ है कि गति की दिशा एक इकाई बल (या क्षण) की दिशा के साथ मेल खाती है। एक जटिल आरेख एम एफ को सरल आंकड़ों में विभाजित किया जाना चाहिए (तथाकथित "एप्योर लेयरिंग" का उपयोग किया जाता है), जिनमें से प्रत्येक के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय को निर्धारित करना आसान होता है। इस मामले में, प्रत्येक आकृति के क्षेत्र को उसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र के नीचे के निर्देशांक से गुणा किया जाता है।

सीधे अनुप्रस्थ मोड़तब होता है जब सभी भार रॉड की धुरी पर लंबवत लागू होते हैं, एक ही विमान में होते हैं, और इसके अलावा, उनकी क्रिया का विमान खंड की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक के साथ मेल खाता है। प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकना प्रतिरोध के एक सरल रूप को संदर्भित करता है और है समतल तनाव अवस्था, अर्थात। दो प्रमुख प्रतिबल शून्य से भिन्न हैं। इस प्रकार की विकृति के साथ, आंतरिक बल उत्पन्न होते हैं: अनुप्रस्थ बल और झुकने का क्षण। प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ मोड़ का एक विशेष मामला है शुद्ध मोड़, इस तरह के प्रतिरोध के साथ कार्गो सेक्शन होते हैं, जिसके भीतर अनुप्रस्थ बल गायब हो जाता है, और झुकने का क्षण गैर-शून्य होता है। सीधे अनुप्रस्थ झुकने के साथ छड़ के क्रॉस सेक्शन में, सामान्य और कतरनी तनाव उत्पन्न होते हैं। तनाव आंतरिक बल का एक कार्य है, इस मामले में सामान्य तनाव झुकने वाले क्षण का एक कार्य है, और स्पर्शरेखा तनाव अनुप्रस्थ बल का एक कार्य है। प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के लिए, कई परिकल्पनाएँ पेश की जाती हैं:

1) बीम के क्रॉस सेक्शन, विरूपण से पहले फ्लैट, विरूपण के बाद तटस्थ परत के लिए फ्लैट और ऑर्थोगोनल रहते हैं (फ्लैट सेक्शन की परिकल्पना या जे। बर्नौली की परिकल्पना)।यह परिकल्पना शुद्ध झुकने के लिए मान्य है और जब एक कतरनी बल, कतरनी तनाव और कोणीय विरूपण प्रकट होता है तो इसका उल्लंघन होता है।

2) अनुदैर्ध्य परतों (फाइबर के गैर-दबाव के बारे में परिकल्पना) के बीच कोई पारस्परिक दबाव नहीं है।इस परिकल्पना से यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुदैर्ध्य तंतु एकअक्षीय तनाव या संपीड़न का अनुभव करते हैं, इसलिए, शुद्ध झुकने के साथ, हुक का नियम मान्य है।

झुकने वाली पट्टी को कहा जाता है खुशी से उछलना. झुकते समय, तंतुओं का एक भाग खिंच जाता है, दूसरा भाग संकुचित हो जाता है। खिंचे हुए और संकुचित रेशों के बीच रेशों की परत कहलाती है तटस्थ परत, यह वर्गों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। बीम के अनुप्रस्थ काट के साथ इसके प्रतिच्छेदन की रेखा कहलाती है तटस्थ अक्ष. शुद्ध झुकने के लिए शुरू की गई परिकल्पना के आधार पर, सामान्य तनावों को निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाता है, जिसका उपयोग प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के लिए भी किया जाता है। रैखिक संबंध (1) का उपयोग करके सामान्य तनाव पाया जा सकता है, जिसमें झुकने वाले क्षण का अनुपात जड़ता के अक्षीय क्षण से होता है (
) किसी विशेष खंड में एक स्थिर मान है, और दूरी ( आप) अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से उस बिंदु तक, जिस पर तनाव निर्धारित किया जाता है, कोटि अक्ष के साथ 0 से भिन्न होता है
.

. (1)

1856 में झुकने के दौरान अपरूपण प्रतिबल का निर्धारण करना। पुलों के रूसी इंजीनियर-निर्माता डी.आई. ज़ुराव्स्की ने निर्भरता प्राप्त की

. (2)

किसी विशेष खंड में कतरनी तनाव अनुप्रस्थ बल के अनुपात पर जड़ता के अक्षीय क्षण पर निर्भर नहीं करता है (
), क्योंकि यह मान एक खंड के भीतर नहीं बदलता है, लेकिन कट-ऑफ भाग के क्षेत्र के स्थिर क्षण के कट-ऑफ भाग के स्तर पर अनुभाग की चौड़ाई के अनुपात पर निर्भर करता है (
).

प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने में, होते हैं आंदोलनों: विक्षेपण (वी ) और रोटेशन कोण (Θ ) . उन्हें निर्धारित करने के लिए, प्रारंभिक मापदंडों (3) की विधि के समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जो बीम के तुला अक्ष के अंतर समीकरण को एकीकृत करके प्राप्त किए जाते हैं (
).

यहां वी 0 , Θ 0 ,एम 0 , क्यू 0 - प्रारंभिक पैरामीटर, एक्स – निर्देशांक की उत्पत्ति से उस खंड तक की दूरी जिसमें विस्थापन को परिभाषित किया गया है , एनिर्देशांक की उत्पत्ति से आवेदन के स्थान या लोड की शुरुआत तक की दूरी है।

ताकत और कठोरता की गणना ताकत और कठोरता की स्थितियों का उपयोग करके की जाती है। इन शर्तों का उपयोग करके, कोई सत्यापन समस्याओं को हल कर सकता है (शर्त की पूर्ति का सत्यापन कर सकता है), क्रॉस सेक्शन का आकार निर्धारित कर सकता है, या लोड पैरामीटर के स्वीकार्य मान का चयन कर सकता है। ताकत की कई शर्तें हैं, उनमें से कुछ नीचे दी गई हैं। सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

, (4)

यहाँ
– जेड-अक्ष के सापेक्ष खंड मापांक, आर सामान्य तनाव के लिए डिजाइन प्रतिरोध है।

कतरनी तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

, (5)

यहाँ अंकन ज़ुरावस्की सूत्र के समान है, और आर एस - डिजाइन कतरनी प्रतिरोध या डिजाइन कतरनी तनाव प्रतिरोध।

तीसरी शक्ति परिकल्पना के अनुसार शक्ति की स्थितिया सबसे बड़े अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

. (6)

कठोरता की स्थितिके लिए लिखा जा सकता है विक्षेपण (वी ) और घूर्णन कोण (Θ ) :

जहां वर्ग कोष्ठक में विस्थापन मान मान्य हैं।

व्यक्तिगत कार्य संख्या 4 . को पूरा करने का एक उदाहरण (अवधि 2-8 सप्ताह)

रॉड के झुकने के प्रकारों का वर्गीकरण

झुकनाइस प्रकार की विकृति कहलाती है, जिसमें छड़ के अनुप्रस्थ काटों में झुकने के क्षण आते हैं। झुकने में कार्य करने वाली छड़ कहलाती है खुशी से उछलना।यदि क्रॉस सेक्शन में झुकने वाले क्षण ही आंतरिक बल कारक हैं, तो रॉड का अनुभव होता है साफ मोड़।यदि झुकने के क्षण अनुप्रस्थ बलों के साथ होते हैं, तो ऐसे मोड़ को कहा जाता है अनुप्रस्थ।

बीम, एक्सल, शाफ्ट और अन्य संरचनात्मक विवरण झुकने पर काम करते हैं।

आइए कुछ अवधारणाओं का परिचय दें। खंड के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक और छड़ के ज्यामितीय अक्ष से गुजरने वाले तल को कहा जाता है मुख्य विमान।वह तल जिसमें बाह्य भार कार्य करता है, जिससे बीम झुक जाती है, कहलाती है बल विमान।छड़ के अनुप्रस्थ काट के तल के साथ बल तल के प्रतिच्छेदन की रेखा कहलाती है विद्युत लाइन।बीम की शक्ति और मुख्य विमानों की सापेक्ष स्थिति के आधार पर, एक सीधा या तिरछा मोड़ प्रतिष्ठित किया जाता है। यदि बल तल मुख्य तलों में से एक के साथ मेल खाता है, तो छड़ का अनुभव होता है सीधा मोड़(चित्र 5.1, ए), अगर यह मेल नहीं खाता - परोक्ष(चित्र 5.1, बी)।

चावल। 5.1. रॉड मोड़: ए- सीधा; बी- तिरछा

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, रॉड का झुकना रॉड अक्ष की वक्रता में परिवर्तन के साथ होता है। रॉड का प्रारंभ में सीधा अक्ष जब मुड़ा हुआ होता है तो वक्रतापूर्ण हो जाता है। सीधे झुकने के साथ, रॉड की मुड़ी हुई धुरी बल तल में, तिरछी झुकने के साथ, बल तल के अलावा किसी अन्य तल में स्थित होती है।

रबर की छड़ के झुकने को देखकर, कोई यह देख सकता है कि इसके अनुदैर्ध्य तंतुओं का एक हिस्सा फैला हुआ है, जबकि दूसरा भाग संकुचित है। जाहिर है, रॉड के खिंचे हुए और संकुचित तंतुओं के बीच तंतुओं की एक परत होती है जो न तो तनाव का अनुभव करती है और न ही संपीड़न, तथाकथित तटस्थ परत।रॉड की तटस्थ परत और उसके अनुप्रस्थ काट के तल के प्रतिच्छेदन की रेखा कहलाती है तटस्थ खंड रेखा।

एक नियम के रूप में, बीम पर अभिनय करने वाले भार को तीन प्रकारों में से एक के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है: केंद्रित बल आर,केंद्रित क्षण एमवितरित भार तीव्रता सी(चित्र 5.2)। समर्थन के बीच स्थित बीम के भाग I को कहा जाता है अवधि,समर्थन के एक तरफ स्थित बीम का भाग II, - सांत्वना देना।

बीम की धुरी के लंबवत कार्य करने वाले और इस अक्ष से गुजरने वाले तल में स्थित बल एक विकृति का कारण बनते हैं जिसे कहा जाता है अनुप्रस्थ मोड़. यदि उल्लिखित बलों की कार्रवाई का विमान – मुख्य विमान, फिर एक सीधा (सपाट) अनुप्रस्थ मोड़ होता है। अन्यथा, मोड़ को तिरछा अनुप्रस्थ कहा जाता है। वह बीम जो मुख्य रूप से झुकने के अधीन होती है, कहलाती है खुशी से उछलना 1 .

अनिवार्य रूप से अनुप्रस्थ झुकना शुद्ध झुकने और कतरनी का एक संयोजन है। ऊंचाई के साथ कैंची के असमान वितरण के कारण क्रॉस सेक्शन की वक्रता के संबंध में, सामान्य तनाव सूत्र को लागू करने की संभावना पर सवाल उठता है एक्सफ्लैट वर्गों की परिकल्पना के आधार पर शुद्ध झुकने के लिए व्युत्पन्न।

1 एक सिंगल-स्पैन बीम, जिसके सिरों पर क्रमशः एक बेलनाकार स्थिर समर्थन और एक बेलनाकार बीम की धुरी की दिशा में चलने योग्य होता है, कहलाता है सरल. एक बीम जिसके एक निश्चित सिरे और दूसरे मुक्त सिरे होते हैं, कहलाते हैं सांत्वना देना. एक साधारण बीम जिसमें एक या दो भाग किसी सहारे पर लटके होते हैं, कहलाते हैं सांत्वना देना.

यदि, इसके अलावा, वर्गों को लोड के आवेदन के बिंदुओं से दूर ले जाया जाता है (बीम अनुभाग की आधी ऊंचाई से कम दूरी पर नहीं), तो, शुद्ध झुकने के मामले में, यह माना जा सकता है कि फाइबर एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक फाइबर एक अक्षीय तनाव या संपीड़न का अनुभव करता है।

एक वितरित भार की कार्रवाई के तहत, दो आसन्न वर्गों में अनुप्रस्थ बल बराबर मात्रा में भिन्न होंगे क्यूडीएक्स. इसलिए, वर्गों की वक्रता भी कुछ भिन्न होगी। इसके अलावा, फाइबर एक दूसरे पर दबाव डालेंगे। मुद्दे के सावधानीपूर्वक अध्ययन से पता चलता है कि यदि बीम की लंबाई मैंइसकी ऊंचाई की तुलना में काफी बड़ा एच (मैं/ एच> 5), फिर वितरित भार के साथ भी, इन कारकों का क्रॉस सेक्शन में सामान्य तनाव पर महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता है और इसलिए, व्यावहारिक गणनाओं में ध्यान नहीं दिया जा सकता है।

ए बी सी

चावल। 10.5 अंजीर। 10.6

केंद्रित भार के तहत और उनके पास के वर्गों में, वितरण σ एक्सरैखिक नियम से विचलन। यह विचलन, जो एक स्थानीय प्रकृति का है और सबसे बड़े तनाव (चरम तंतुओं में) में वृद्धि के साथ नहीं है, आमतौर पर व्यवहार में ध्यान नहीं दिया जाता है।

इस प्रकार, अनुप्रस्थ झुकने के साथ (विमान में हू) सामान्य तनावों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

σ एक्स= – [मज़ू(एक्स)/इज़ू]आप.

यदि हम भार रहित बीम के एक खंड पर दो आसन्न खंड खींचते हैं, तो दोनों खंडों में अनुप्रस्थ बल समान होगा, जिसका अर्थ है कि वर्गों की वक्रता समान होगी। इस मामले में, फाइबर का कोई भी टुकड़ा अब(चित्र 10.5) एक नई स्थिति में चला जाएगा ए "बी", अतिरिक्त बढ़ाव के बिना, और इसलिए सामान्य तनाव के परिमाण को बदले बिना।

आइए हम बीम के अनुदैर्ध्य खंड में अभिनय करने वाले उनके युग्मित तनावों के माध्यम से क्रॉस सेक्शन में कतरनी तनावों का निर्धारण करें।

बार से लंबाई वाले तत्व का चयन करें डीएक्स(चित्र। 10.7 ए)। आइए कुछ दूरी पर एक क्षैतिज खंड बनाएं परतटस्थ अक्ष से जेड, तत्व को दो भागों में विभाजित करना (चित्र 10.7) और ऊपरी भाग के संतुलन पर विचार करें, जिसका आधार है

चौड़ाई बी. अपरूपण प्रतिबलों के युग्मन के नियम के अनुसार, अनुदैर्ध्य खंड में कार्य करने वाले प्रतिबल अनुप्रस्थ काट में कार्य करने वाले प्रतिबलों के बराबर होते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, इस धारणा के तहत कि कतरनी साइट पर जोर देती है बीसमान रूप से वितरित, हम ΣX = 0 की स्थिति का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है:

एन * - (एन * +डीएन *)+

जहां: एन * "कट-ऑफ" क्षेत्र ए * (छवि। 10.7 डी) के भीतर तत्व डीएक्स के बाएं क्रॉस सेक्शन में सामान्य बलों σ का परिणाम है:

कहा पे: एस \u003d - क्रॉस सेक्शन के "कट ऑफ" भाग का स्थिर क्षण (चित्र 10.7 सी में छायांकित क्षेत्र)। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

तब आप लिख सकते हैं:

यह सूत्र 19वीं शताब्दी में रूसी वैज्ञानिक और इंजीनियर डी.आई. ज़ुरावस्की और उसका नाम भालू। और यद्यपि यह सूत्र अनुमानित है, क्योंकि यह अनुभाग की चौड़ाई पर तनाव को औसत करता है, इसका उपयोग करके गणना के परिणाम प्रयोगात्मक डेटा के साथ अच्छे समझौते में हैं।

z अक्ष से y की दूरी पर स्थित खंड के एक मनमाना बिंदु पर अपरूपण तनावों को निर्धारित करने के लिए, किसी को यह करना चाहिए:

आरेख से अनुभाग में अभिनय करने वाले अनुप्रस्थ बल Q का परिमाण निर्धारित करें;

पूरे खंड की जड़ता I z के क्षण की गणना करें;

इस बिंदु के माध्यम से विमान के समानांतर एक विमान बनाएं xzऔर खंड की चौड़ाई निर्धारित करें बी;

मुख्य केंद्रीय अक्ष के संबंध में कट-ऑफ क्षेत्र एस के स्थिर क्षण की गणना करें जेडऔर पाए गए मानों को ज़ुरावस्की के सूत्र में बदलें।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, एक आयताकार अनुप्रस्थ काट में अपरूपण प्रतिबल को परिभाषित करें (चित्र 10.6, ग)। अक्ष के बारे में स्थिर क्षण जेडरेखा 1-1 के ऊपर के खंड के भाग, जिस पर तनाव निर्धारित किया जाता है, हम इस रूप में लिखते हैं:

यह वर्ग परवलय के नियम के अनुसार बदलता है। खंड की चौथाई मेंएक आयताकार बीम के लिए स्थिर है, तो खंड में स्पर्शरेखा तनाव के परिवर्तन का नियम भी परवलयिक होगा (चित्र। 10.6, सी)। y = और y = - के लिए स्पर्शरेखा तनाव शून्य के बराबर होते हैं, और तटस्थ अक्ष पर जेडवे अपने उच्चतम बिंदु पर पहुंच जाते हैं।

तटस्थ अक्ष पर एक गोलाकार क्रॉस सेक्शन वाले बीम के लिए, हमारे पास है