त्रिकोणमिति सूत्र साइन और कोसाइन का योग। उच्च शिक्षा का डिप्लोमा सस्ते में खरीदें

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

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नवीनतम समीक्षा

एलेक्सी:

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दो कोणों α और β के लिए साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्र आपको संकेतित कोणों के योग से कोणों α + β 2 और α - β 2 के गुणनफल तक जाने की अनुमति देते हैं। हम तुरंत ध्यान दें कि आपको योग और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्रों को योग और अंतर के साइन और कोसाइन के सूत्रों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए। नीचे हम इन सूत्रों को सूचीबद्ध करते हैं, उनकी व्युत्पत्ति देते हैं और विशिष्ट समस्याओं के लिए आवेदन के उदाहरण दिखाते हैं।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र

आइए नीचे लिखें कि ज्या और कोज्या के योग और अंतर सूत्र कैसे दिखते हैं

साइन के लिए योग और अंतर सूत्र

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

कोज्या के लिए योग और अंतर सूत्र

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं। कोण α + β 2 और α - β 2 को क्रमशः अल्फा और बीटा कोणों का आधा-योग और आधा-अंतर कहा जाता है। हम प्रत्येक सूत्र के लिए एक सूत्रीकरण देते हैं।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर सूत्रों की परिभाषा

दो कोणों की ज्याओं का योगइन कोणों के आधे योग की ज्या और अर्ध-अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की ज्याओं का अंतरइन कोणों के आधे अंतर के ज्या के गुणनफल और आधे योग के कोज्या के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की कोज्याओं का योगअर्ध-योग की कोज्या और इन कोणों के आधे-अंतर के कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की कोज्याओं का अंतरऋणात्मक चिह्न के साथ लिए गए इन कोणों के आधे-अंतर की ज्या और इन कोणों के आधे-अंतर के कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

दो कोणों की ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए योग सूत्र का उपयोग किया जाता है। हम उन्हें नीचे प्रस्तुत करते हैं

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

हम स्वयं कोणों को अर्ध-राशि और अर्ध-अंतरों के योग के रूप में भी निरूपित करते हैं।

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

हम सीधे पाप और कॉस के योग और अंतर के सूत्रों की व्युत्पत्ति के लिए आगे बढ़ते हैं।

ज्याओं के योग के सूत्र की व्युत्पत्ति

पाप α + sin β के योग में, हम α और β को ऊपर दिए गए इन कोणों के व्यंजकों से प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

पाप α + पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 + पाप α + β 2 - α - β 2

अब हम पहले व्यंजक में योग सूत्र लागू करते हैं, और कोण के अंतर का साइन सूत्र दूसरे व्यंजक पर लागू होता है (उपरोक्त सूत्र देखें)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 पाप α - β 2 + पाप α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 पाप α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 कॉस α - β 2

शेष सूत्र प्राप्त करने के चरण समान हैं।

ज्या के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

पाप α - पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 पाप α - β 2 कॉस α + β 2

कोज्याओं के योग के सूत्र की व्युत्पत्ति

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 कॉस α - β 2

कोज्या अंतर सूत्र की व्युत्पत्ति

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 पाप α + β 2 पाप α - β 2

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के उदाहरण

आरंभ करने के लिए, हम इसमें विशिष्ट कोण मानों को प्रतिस्थापित करके सूत्रों में से एक की जांच करेंगे। मान लीजिए α = 2 , β = π 6 । आइए इन कोणों की ज्याओं के योग के मान की गणना करें। सबसे पहले, आइए बुनियादी मूल्यों की तालिका का उपयोग करें त्रिकोणमितीय कार्य, और फिर ज्या के योग के लिए सूत्र लागू करें।

उदाहरण 1. दो कोणों की ज्याओं के योग के सूत्र की जाँच करना

α \u003d π 2, β \u003d 6 पाप 2 + पाप π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 पाप π 2 + पाप 6 \u003d 2 पाप π 2 + 6 2 cos 2 - 6 2 \u003d 2 पाप 3 कॉस 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

आइए अब उस मामले पर विचार करें जब कोणों के मान तालिका में प्रस्तुत मूल मानों से भिन्न होते हैं। मान लीजिए α = 165°, β = 75°। आइए हम इन कोणों की ज्याओं के बीच के अंतर के मान की गणना करें।

उदाहरण 2. ज्या अंतर सूत्र लागू करना

α = 165 ° , β = 75 ° पाप α - पाप β = पाप 165 ° - पाप 75 ° पाप 165 - पाप 75 = 2 पाप 165 ° - पाप 75 ° 2 cos 165 ° + पाप 75 ° 2 = = 2 पाप 45 ° क्योंकि 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

साइन और कोसाइन के योग और अंतर के लिए सूत्रों का उपयोग करके, आप योग या अंतर से त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद तक जा सकते हैं। अक्सर इन सूत्रों को योग से उत्पाद में संक्रमण के लिए सूत्र कहा जाता है। ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्रों का व्यापक रूप से हल करने में उपयोग किया जाता है त्रिकोणमितीय समीकरणऔर त्रिकोणमितीय भावों को परिवर्तित करते समय।

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दो कोणों के योग और अंतर की कोज्या

इस खंड में, निम्नलिखित दो सूत्र सिद्ध होंगे:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β। (2)

दो कोणों के योग (अंतर) का कोज्या इन कोणों की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है, इन कोणों की ज्याओं का गुणनफल घटा (प्लस)।

हमारे लिए सूत्र (2) के प्रमाण से आरंभ करना अधिक सुविधाजनक होगा। सरलता के लिए, आइए पहले मान लें कि कोण α और β निम्नलिखित शर्तों को पूरा करें:

1) इनमें से प्रत्येक कोण ऋणात्मक नहीं है और से कम है 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

मान लीजिए 0x अक्ष का धनात्मक भाग कोणों का उभयनिष्ठ प्रारंभिक पक्ष है α और β .

आइए हम इन कोणों की अंतिम भुजाओं को क्रमशः 0A और 0B के रूप में निरूपित करें। जाहिर है कोण α - β कोण के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा बीम 0B को बिंदु 0 वामावर्त के चारों ओर घुमाना आवश्यक है ताकि इसकी दिशा बीम 0A की दिशा के साथ मेल खाती हो।

0A और 0B किरणों पर, हम बिंदुओं M और N को चिह्नित करते हैं, जो निर्देशांक 0 के मूल से 1 की दूरी पर हैं, ताकि 0M = 0N = 1 हो।

x0y निर्देशांक प्रणाली में, बिंदु M के निर्देशांक हैं ( cosα, sinα), और बिंदु N - निर्देशांक ( कॉस β , पाप β) तो उनके बीच की दूरी का वर्ग है:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

गणना में, हमने पहचान का इस्तेमाल किया

sin 2 + cos 2 = 1.

अब एक अन्य समन्वय प्रणाली B0C पर विचार करें, जो 0x और 0y को बिंदु 0 के चारों ओर एक कोण से घुमाकर प्राप्त किया जाता है। β .

इस समन्वय प्रणाली में, बिंदु M के निर्देशांक होते हैं (cos ( α - β ), पाप ( α - β )), और बिंदु N-निर्देशांक (1,0) है। तो उनके बीच की दूरी का वर्ग है:

डी 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d कॉस 2 (α - β) - 2 कॉस (α - β) + 1 +

+ पाप 2 (α - β) \u003d 2।

लेकिन बिंदु M और N के बीच की दूरी इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि हम इन बिंदुओं को किस समन्वय प्रणाली में मानते हैं। इसलिए

घ 1 2 = घ 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

यह वह जगह है जहाँ सूत्र (2) अनुसरण करता है।

अब हमें उन दो प्रतिबंधों को याद करना चाहिए जो हमने कोनों पर प्रस्तुति की सादगी के लिए लगाए हैं α और β .

आवश्यकता है कि प्रत्येक कोने α और β गैर-नकारात्मक था, वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं था। आखिरकार, एक कोण जो 2n का गुणज है, इनमें से किसी भी कोण में जोड़ा जा सकता है, जो किसी भी तरह से सूत्र (2) की वैधता को प्रभावित नहीं करेगा। इसी तरह, दिए गए प्रत्येक कोण से आप एक ऐसा कोण घटा सकते हैं जो का गुणज हो 2π. इसलिए, यह माना जा सकता है कि 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

स्थिति α > β . दरअसल, अगर α < β , तब β >α ; इसलिए, समारोह की समरूपता को ध्यान में रखते हुए क्योंकि एक्स , हम पाते हैं:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

जो अनिवार्य रूप से सूत्र (2) के साथ मेल खाता है। इस प्रकार सूत्र

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

सभी कोणों के लिए सत्य α और β . विशेष रूप से, प्रतिस्थापित करके β पर - β और यह देखते हुए कि समारोह क्योंकिएक्स सम है, और फलन पापएक्स अजीब, हमें मिलता है:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

जो सूत्र (1) को सिद्ध करता है।

इस प्रकार, सूत्र (1) और (2) सिद्ध होते हैं।

उदाहरण।

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

अभ्यास

1 . त्रिकोणमितीय तालिकाओं का उपयोग किए बिना गणना करें:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

ई) cos 3π / 8 cos / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

ई) पाप 3π / 5 पाप 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π/5 ।

2अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

ए)। क्योंकि ( α + / 3 ) + क्योंकि (π / 3 - α ) .

बी)। कॉस (36° + α ) कॉस (24° - α ) + पाप (36° + α ) पाप ( α - 24 डिग्री)।

में)। पाप (π / 4 - α ) पाप (π / 4 + α ) - क्योंकि (π / 4 + α ) क्योंकि (π / 4 - α )

डी) कॉस 2 α +टीजी α पाप 2 α .

3 . गणना :

ए) कॉस (α - β), अगर

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

बी) क्योंकि ( α + / 6) अगर cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . ढूँढ़ने के लिए cos(α + β)और इसलिए (α - β) , यदि यह ज्ञात हो कि पाप α = 7 / 25 cos β = - 5/13 और दोनों कोण ( α और β ) उसी तिमाही में समाप्त होता है।

5 .गणना करें:

ए)। cos [आर्क्सिन 1/3 + आर्ककोस 2/3 ]

बी)। cos [आर्क्सिन 1 / 3 - आर्ककोस (- 2 / 3)] ।

में)। cos [arctg 1/2 + arccos (- 2)]