En se penchant constamment sur eux. Résoudre des problèmes typiques sur la résistance des matériaux

Un coude est un type de déformation dans lequel l'axe longitudinal de la poutre est plié. Les poutres droites travaillant en flexion sont appelées poutres. Un coude droit est un coude dans lequel les forces externes agissant sur la poutre se situent dans le même plan (plan de force) passant par l'axe longitudinal de la poutre et l'axe central principal d'inertie de la section transversale.

Le virage est dit pur, si un seul moment de flexion se produit dans toute section transversale de la poutre.

La flexion, dans laquelle un moment fléchissant et une force transversale agissent simultanément dans la section transversale de la poutre, est dite transversale. La ligne d'intersection du plan de force et du plan de coupe est appelée ligne de force.

Facteurs de force interne en flexion de poutre.

Avec une flexion transversale à plat dans les sections de la poutre, deux facteurs de force internes apparaissent: la force transversale Q et le moment de flexion M. Pour les déterminer, la méthode de la section est utilisée (voir leçon 1). La force transversale Q dans la section de poutre est égale à la somme algébrique des projections sur le plan de section de toutes les forces extérieures agissant sur un côté de la section considérée.

Règle de signe pour les forces de cisaillement Q :

Le moment de flexion M dans la section de poutre est égal à la somme algébrique des moments autour du centre de gravité de cette section de toutes les forces externes agissant sur un côté de la section considérée.

Règle de signe pour les moments fléchissants M :

Les dépendances différentielles de Zhuravsky.

Entre l'intensité q de la charge répartie, les expressions de l'effort transversal Q et du moment fléchissant M, des dépendances différentielles sont établies :

Sur la base de ces dépendances, les schémas généraux suivants de diagrammes d'efforts transversaux Q et de moments fléchissants M peuvent être distingués :

Particularités des diagrammes des facteurs d'efforts internes en flexion.

1. Sur la section de la poutre où il n'y a pas de charge répartie, le tracé Q est présenté ligne droite , parallèle à la base du schéma, et le schéma M est une droite inclinée (Fig. a).

2. Dans la section où la force concentrée est appliquée, sur le diagramme Q, il devrait y avoir saut , égale à la valeur de cette force, et sur le diagramme M - point de rupture (Fig. a).

3. Dans la section où un moment concentré est appliqué, la valeur de Q ne change pas, et le diagramme M a saut , égal à la valeur de ce moment, (Fig. 26, b).

4. Dans la section de la poutre avec une charge répartie d'intensité q, le diagramme Q évolue selon une loi linéaire, et le diagramme M - selon une loi parabolique, et la convexité de la parabole est dirigée vers la direction de la charge répartie (Fig. c, d).

5. Si dans la section caractéristique du diagramme Q coupe la base du diagramme, alors dans la section où Q = 0, le moment de flexion a une valeur extrême M max ou M min (Fig. d).

Contraintes normales de flexion.

Déterminé par la formule :

Le moment de résistance de la section à la flexion est la valeur :

Section dangereuse lors de la flexion, la section transversale de la poutre est appelée, dans laquelle la contrainte normale maximale se produit.

Contraintes tangentielles en flexion directe.

Déterminé par La formule de Zhuravsky pour les contraintes de cisaillement en flexion directe de poutre :

où S ots - moment statique de la zone transversale de la couche de coupure de fibres longitudinales par rapport à la ligne neutre.

Calculs de résistance à la flexion.

1. À calcul de vérification la contrainte de conception maximale est déterminée, qui est comparée à la contrainte admissible :

2. À calcul de conception la sélection de la section de poutre se fait à partir de la condition :

3. Lors de la détermination de la charge admissible, le moment de flexion admissible est déterminé à partir de la condition :

Mouvements de flexion.

Sous l'action d'une charge de flexion, l'axe de la poutre est fléchi. Dans ce cas, il y a un étirement des fibres sur le convexe et une compression - sur les parties concaves du faisceau. De plus, il y a un mouvement vertical des centres de gravité des sections transversales et leur rotation par rapport à l'axe neutre. Pour caractériser la déformation en flexion, les notions suivantes sont utilisées :

Déviation du faisceau Y- déplacement du centre de gravité de la section transversale de la poutre dans la direction perpendiculaire à son axe.

La déviation est considérée comme positive si le centre de gravité se déplace vers le haut. La quantité de déviation varie sur la longueur de la poutre, c'est-à-dire y=y(z)

Angle de rotation des sections- l'angle θ dont chaque section est tournée par rapport à sa position d'origine. L'angle de rotation est considéré comme positif lorsque la section est tournée dans le sens antihoraire. La valeur de l'angle de rotation varie le long de la longueur de la poutre, étant une fonction de θ = θ (z).

La méthode la plus courante pour déterminer les déplacements est la méthode mora et La règle de Vereshchagin.

Méthode Mohr.

La procédure de détermination des déplacements selon la méthode Mohr:

1. Un "système auxiliaire" est construit et chargé avec une seule charge au point où le déplacement doit être déterminé. Si un déplacement linéaire est déterminé, une force unitaire est appliquée dans sa direction ; lors de la détermination des déplacements angulaires, un moment unitaire est appliqué.

2. Pour chaque section du système, les expressions des moments de flexion M f de la charge appliquée et M 1 - d'une seule charge sont enregistrées.

3. Les intégrales de Mohr sont calculées et additionnées sur toutes les sections du système, ce qui donne le déplacement souhaité :

4. Si le déplacement calculé a un signe positif, cela signifie que sa direction coïncide avec la direction de la force unitaire. Le signe négatif indique que le déplacement réel est opposé à la direction de la force unitaire.

La règle de Vereshchagin.

Pour le cas où le diagramme des moments de flexion d'une charge donnée a un arbitraire, et d'une seule charge - un contour rectiligne, il est pratique d'utiliser la méthode graphique-analytique, ou la règle de Vereshchagin.

où A f est l'aire du diagramme du moment fléchissant M f d'une charge donnée; y c est l'ordonnée du diagramme à partir d'une seule charge sous le centre de gravité du diagramme M f ; EI x - rigidité de section de la section de poutre. Les calculs selon cette formule sont effectués par sections, sur chacune desquelles le diagramme en ligne droite doit être sans fractures. La valeur (A f *y c) est considérée comme positive si les deux diagrammes sont situés du même côté de la poutre, négative s'ils sont situés sur des côtés opposés. Un résultat positif de la multiplication des diagrammes signifie que la direction du mouvement coïncide avec la direction d'une force (ou moment) unitaire. Un diagramme complexe M f doit être divisé en figures simples (on utilise la stratification dite "epure"), pour chacune desquelles il est facile de déterminer l'ordonnée du centre de gravité. Dans ce cas, l'aire d'une figure est multipliée par l'ordonnée sous son centre de gravité.

pliez appelée déformation de la tige, accompagnée d'une modification de la courbure de son axe. Une tige qui se plie s'appelle rayonner.

Selon les modes d'application de la charge et les modes de fixation de la tige, différents types de flexion peuvent se produire.

Si seul un moment de flexion se produit sous l'action d'une charge dans la section transversale de la tige, la courbure est appelée nettoyer.

Si dans les sections transversales, avec les moments de flexion, des forces transversales apparaissent également, alors la flexion est appelée transversal.

Si les forces externes se situent dans un plan passant par l'un des axes centraux principaux de la section transversale de la barre, la courbure est appelée Facile ou appartement. Dans ce cas, la charge et l'axe déformable se trouvent dans le même plan (Fig. 1).

Riz. une

Pour que la poutre supporte la charge dans le plan, elle doit être fixée à l'aide de supports: articulé-mobile, articulé-fixe, encastrement.

Le faisceau doit être géométriquement invariable, tandis que le plus petit nombre de connexions est de 3. Un exemple de système géométriquement variable est illustré à la Fig. 2a. Un exemple de systèmes géométriquement invariables est la fig. 2b, ch.

un B C)

Les réactions se produisent dans les supports, qui sont déterminés à partir des conditions d'équilibre de la statique. Les réactions dans les appuis sont des charges externes.

Forces de flexion internes

Une tige chargée de forces perpendiculaires à l'axe longitudinal de la poutre subit une courbure plate (Fig. 3). Il y a deux efforts internes dans les sections transversales : l'effort tranchant Q y et moment de flexion Mz.

Les efforts internes sont déterminés par la méthode de la section. A distance X de ce point MAIS par un plan perpendiculaire à l'axe X, la tige est coupée en deux tronçons. Une des parties de la poutre est rejetée. L'interaction des éléments de poutre est remplacée par des efforts internes : moment de flexion Mz et force transversale Q y(Fig. 4).

Efforts nationaux Mz et Q y dans la section transversale sont déterminés à partir des conditions d'équilibre.

Une équation d'équilibre est établie pour la partie DE:

∑y = RA - P 1 - Q y \u003d 0.

Alors Q y = RA – P1.

Conclusion. La force transversale dans n'importe quelle section de la poutre est égale à la somme algébrique de toutes les forces externes se trouvant d'un côté de la section dessinée. La force transversale est considérée comme positive si elle fait tourner la tige dans le sens des aiguilles d'une montre autour du point de section.

∑M 0 = RA ∙ X – P 1 ∙ (X - un) – Mz = 0

Alors Mz = RA ∙ X – P 1 ∙ (X – un)

1. Définition des réactions RA , R B ;

∑MA = P ∙ un – R B ∙ je = 0

R B =

∑M B = R UNE ∙ e – P ∙ une = 0

2. Tracé sur la première section 0 ≤ X 1 ≤ un

Q y = R UNE =; M z \u003d R UNE ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

X 1 = une M z (une) =

3. Tracé sur la deuxième section 0 ≤ X 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ X 2 ; X 2 = 0 Mz(0) = 0 X 2 = bMz(b) =

Lors de la construction Mz les coordonnées positives seront tracées vers les fibres étirées.

Vérification des parcelles

1. Sur le terrain Q y les discontinuités ne peuvent se trouver qu'aux endroits où des forces externes sont appliquées, et l'amplitude du saut doit correspondre à leur amplitude.

+ = = P

2. Sur le terrain Mz des discontinuités apparaissent aux points d'application des moments concentrés et l'amplitude du saut est égale à leur amplitude.

Dépendances différentielles entreM, Qetq

Entre le moment fléchissant, l'effort transversal et l'intensité de la charge répartie, les dépendances suivantes sont établies :

q = , Q y =

où q est l'intensité de la charge répartie,

Vérification de la résistance des poutres en flexion

Pour évaluer la résistance de la tige en flexion et sélectionner la section de la poutre, les conditions de résistance aux contraintes normales sont utilisées.

Le moment fléchissant est le moment résultant des efforts internes normaux répartis sur la section.

s = × y,

où s est la contrainte normale en tout point de la section transversale,

y est la distance entre le centre de gravité de la section et le point,

Mz- moment de flexion agissant dans la section,

JZ est le moment d'inertie axial de la tige.

Pour assurer la résistance, les contraintes maximales sont calculées qui se produisent aux points de la section les plus éloignés du centre de gravité y = ymax

s max = × ymax,

= Wz et s max = .

Alors la condition de résistance pour les contraintes normales a la forme :

s max = ≤ [s],

où [s] est la contrainte de traction admissible.

virage droit- il s'agit d'un type de déformation dans lequel deux facteurs de force internes apparaissent dans les sections transversales de la tige : un moment de flexion et une force transversale.

Courbure pure- il s'agit d'un cas particulier de flexion directe, dans lequel seul un moment de flexion se produit dans les sections transversales de la tige, et la force transversale est nulle.

Exemple de courbure pure - Tracé CD sur la tige UN B. Moment de flexion est la valeur Pennsylvanie paire de forces externes provoquant la flexion. De l'équilibre de la partie de la tige à gauche de la section transversale mn il s'ensuit que les efforts internes répartis sur cette section sont statiquement équivalents au moment M, égal et opposé au moment de flexion Pennsylvanie.

Pour trouver la répartition de ces efforts internes sur la section transversale, il est nécessaire de considérer la déformation de la barre.

Dans le cas le plus simple, la tige présente un plan de symétrie longitudinal et est soumise à l'action de couples d'efforts de flexion extérieurs situés dans ce plan. Ensuite, le virage se produira dans le même plan.

axe de tige nn 1 est une droite passant par les centres de gravité de ses sections transversales.

Soit la section transversale de la tige soit un rectangle. Tracez deux lignes verticales sur ses faces millimètre et pp. Lorsqu'elles sont pliées, ces lignes restent droites et tournent de manière à rester perpendiculaires aux fibres longitudinales de la tige.

Une autre théorie de la flexion est basée sur l'hypothèse que non seulement les lignes millimètre et pp, mais toute la section plane du jonc reste plane après flexion et normale aux fibres longitudinales du jonc. Par conséquent, lors de la flexion, les sections transversales millimètre et pp tourner les uns par rapport aux autres autour d'axes perpendiculaires au plan de pliage (plan de dessin). Dans ce cas, les fibres longitudinales du côté convexe subissent une tension et les fibres du côté concave subissent une compression.

surface neutre est une surface qui ne subit pas de déformation lors de la flexion. (Maintenant, il est situé perpendiculairement au dessin, l'axe déformé de la tige nn 1 appartient à cette surface).

Axe de coupe neutre- c'est l'intersection d'une surface neutre avec n'importe quelle section transversale (maintenant également située perpendiculairement au dessin).

Soit une fibre arbitraire à une distance y d'une surface neutre. ρ est le rayon de courbure de l'axe courbe. Point O est le centre de courbure. Traçons une ligne n 1 s 1 parallèle millimètre.ss 1 est l'allongement absolu de la fibre.

Extension relative ε x fibres

Il s'ensuit que déformation des fibres longitudinales proportionnel à la distance y de la surface neutre et inversement proportionnel au rayon de courbure ρ .

L'allongement longitudinal des fibres du côté convexe de la tige s'accompagne de constriction latérale, et le raccourcissement longitudinal du côté concave - extension latérale, comme dans le cas d'un étirement et d'une contraction simples. De ce fait, l'apparence de toutes les coupes transversales change, les côtés verticaux du rectangle deviennent inclinés. Déformation latérale z:

μ - Coefficient de Poisson.

En raison de cette distorsion, toutes les lignes droites en coupe parallèles à l'axe z, sont courbés de manière à rester perpendiculaires aux côtés de la section. Le rayon de courbure de cette courbe R sera plus que ρ de la même façon que ε x est supérieur en valeur absolue à ε z , et on obtient

Ces déformations des fibres longitudinales correspondent à des contraintes

La tension dans toute fibre est proportionnelle à sa distance par rapport à l'axe neutre. n 1 n 2. Position de l'axe neutre et rayon de courbure ρ sont deux inconnues dans l'équation de σ x - peut être déterminé à partir de la condition que les forces réparties sur toute section transversale forment une paire de forces qui équilibre le moment externe M.

Tout ce qui précède est également vrai si la tige n'a pas de plan de symétrie longitudinal dans lequel le moment de flexion agit, tant que le moment de flexion agit dans le plan axial, qui contient l'un des deux axes principaux la Coupe transversale. Ces avions sont appelés plans de flexion principaux.

Lorsqu'il existe un plan de symétrie et que le moment de flexion agit dans ce plan, la déviation se produit dans celui-ci. Moments d'efforts internes autour de l'axe zéquilibrer le moment extérieur M. Moments d'effort par rapport à l'axe y sont mutuellement détruits.

Coude transversal droit se produit lorsque toutes les charges sont appliquées perpendiculairement à l'axe de la tige, se trouvent dans le même plan et, de plus, le plan de leur action coïncide avec l'un des principaux axes centraux d'inertie de la section. La flexion transversale directe fait référence à une forme simple de résistance et est état de contrainte plane, c'est à dire. les deux contraintes principales sont différentes de zéro. Avec ce type de déformation, des forces internes apparaissent : une force transversale et un moment de flexion. Un cas particulier de coude transversal direct est virage pur, avec une telle résistance, il existe des sections de cargaison, dans lesquelles la force transversale disparaît et le moment de flexion est non nul. Dans les sections transversales des tiges avec une flexion transversale directe, des contraintes normales et de cisaillement apparaissent. Les contraintes sont fonction de l'effort interne, dans ce cas les contraintes normales sont fonction du moment de flexion et les contraintes tangentielles sont fonction de l'effort transversal. Pour la flexion transversale directe, plusieurs hypothèses sont introduites :

1) Les sections transversales de la poutre, planes avant déformation, restent planes et orthogonales à la couche neutre après déformation (hypothèse des sections planes ou hypothèse de J. Bernoulli). Cette hypothèse est valable pour la flexion pure et est violée lorsqu'un effort tranchant, des contraintes de cisaillement et une déformation angulaire apparaissent.

2) Il n'y a pas de pression mutuelle entre les couches longitudinales (hypothèse de non-pression des fibres). De cette hypothèse, il s'ensuit que les fibres longitudinales subissent une tension ou une compression uniaxiale, donc, avec une flexion pure, la loi de Hooke est valide.

Une barre en flexion est appelée rayonner. Lors de la flexion, une partie des fibres est étirée, l'autre partie est comprimée. La couche de fibres entre les fibres étirées et comprimées est appelée couche neutre, il passe par le centre de gravité des profilés. La ligne de son intersection avec la section transversale de la poutre est appelée axe neutre. Sur la base des hypothèses introduites pour la flexion pure, une formule de détermination des contraintes normales est obtenue, qui est également utilisée pour la flexion transversale directe. La contrainte normale peut être trouvée à l'aide de la relation linéaire (1), dans laquelle le rapport du moment de flexion au moment d'inertie axial (
) dans une section particulière est une valeur constante, et la distance ( y) le long de l'axe des ordonnées du centre de gravité de la section au point où la contrainte est déterminée, varie de 0 à
.

. (1)

Pour déterminer la contrainte de cisaillement lors de la flexion en 1856. Ingénieur-constructeur russe de ponts D.I. Zhuravsky a obtenu la dépendance

. (2)

La contrainte de cisaillement dans une section particulière ne dépend pas du rapport de la force transversale au moment d'inertie axial (
), car cette valeur ne change pas dans une section, mais dépend du rapport du moment statique de la zone de la partie coupée à la largeur de la section au niveau de la partie coupée (
).

En flexion transversale directe, il y a mouvements : déviations (v ) et les angles de rotation (Θ ) . Pour les déterminer, on utilise les équations de la méthode des paramètres initiaux (3), qui sont obtenues en intégrant l'équation différentielle de l'axe plié de la poutre (
).

Ici v 0 , Θ 0 ,M 0 , Q 0 – paramètres initiaux, X – distance entre l'origine des coordonnées et la section dans laquelle le déplacement est défini , un est la distance entre l'origine des coordonnées et le lieu d'application ou le début de la charge.

Le calcul de la résistance et de la rigidité est effectué en utilisant les conditions de résistance et de rigidité. En utilisant ces conditions, on peut résoudre des problèmes de vérification (effectuer la vérification du respect de la condition), déterminer la taille de la section transversale ou sélectionner la valeur admissible du paramètre de charge. Il existe plusieurs conditions de résistance, dont certaines sont données ci-dessous. Condition de résistance pour les contraintes normales ressemble à:

, (4)

ici
– module de section par rapport à l'axe z, R est la résistance de calcul pour les contraintes normales.

Condition de résistance pour les contraintes de cisaillement ressemble à:

, (5)

ici la notation est la même que dans la formule Zhuravsky, et R s - la résistance de calcul au cisaillement ou la résistance de calcul à la contrainte de cisaillement.

Condition de force selon la troisième hypothèse de force soit l'hypothèse des plus grandes contraintes de cisaillement peut s'écrire sous la forme suivante :

. (6)

Conditions de rigidité peut être écrit pour déviations (v ) et angles de rotation (Θ ) :

où les valeurs de déplacement entre crochets sont valides.

Un exemple de réalisation d'une tâche individuelle n ° 4 (terme 2-8 semaines)

Avec une flexion pure directe dans la section transversale de la tige, il n'y a qu'un seul facteur de force - le moment de flexion M x(Fig. 1). Car Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, alors Mx=const et une flexion directe pure peut être réalisée lorsque la barre est chargée avec des paires de forces appliquées dans les sections d'extrémité de la barre. Depuis le moment de flexion M x est par définition égal à la somme des moments des efforts internes autour de l'axe Oh il est relié aux contraintes normales par l'équation de la statique qui découle de cette définition

Formulons les prémisses de la théorie de la flexion directe pure d'une tige prismatique. Pour ce faire, nous analysons les déformations d'un modèle de tige en matériau à faible module, sur la surface latérale duquel est appliquée une grille de rayures longitudinales et transversales (Fig. 2). Puisque les risques transversaux, lorsque la tige est fléchie par des couples d'efforts appliqués dans les sections d'extrémité, restent rectilignes et perpendiculaires aux risques longitudinaux courbes, cela nous permet de conclure que hypothèses de section plane, qui, comme le montre la solution de ce problème par les méthodes de la théorie de l'élasticité, cesse d'être une hypothèse, devenant un fait exact - la loi des sections planes. En mesurant l'évolution des distances entre les risques longitudinaux, nous arrivons à la conclusion sur la validité de l'hypothèse de non-pression des fibres longitudinales.

L'orthogonalité des rayures longitudinales et transversales avant et après déformation (en tant que reflet de l'action de la loi des méplats) indique également l'absence de décalages, de contraintes de cisaillement dans les sections transversales et longitudinales de la tige.

Fig. 1. Relation entre l'effort interne et le stress

Fig.2. Modèle de flexion pure

Ainsi, la flexion directe pure d'une tige prismatique est réduite à une tension uniaxiale ou à une compression des fibres longitudinales par des contraintes (indice g omis plus tard). Dans ce cas, une partie des fibres est dans la zone de tension (sur la figure 2, ce sont les fibres inférieures), et l'autre partie est dans la zone de compression (fibres supérieures). Ces zones sont séparées par une couche neutre (p-p), ne changeant pas sa longueur, dont les contraintes sont égales à zéro. En tenant compte des conditions préalables formulées ci-dessus et en supposant que le matériau de la tige est linéairement élastique, c'est-à-dire que la loi de Hooke a dans ce cas la forme : , nous dérivons des formules pour la courbure de la couche neutre (-rayon de courbure) et les contraintes normales . On note tout d'abord que la constance de la section transversale de la tige prismatique et le moment fléchissant (M x = const), assure la constance du rayon de courbure de la couche neutre sur la longueur de la tige (Fig. 3, un), couche neutre (n—n) décrit par un arc de cercle.

Considérons une tige prismatique dans des conditions de flexion pure directe (Fig. 3, a) avec une section transversale symétrique par rapport à l'axe vertical UO. Cette condition n'affectera pas le résultat final (pour qu'un virage droit soit possible, la coïncidence de l'axe Ah avec axe principal d'inertie de la section droite, qui est l'axe de symétrie). Axe Bœuf mettre la couche neutre, positionner qui non connu à l'avance.

un) schéma de calcul, b) déformations et contraintes

Fig.3. Fragment d'un coude pur d'une poutre

Considérons un élément découpé dans une tige de longueur dz, qui est représenté sur une échelle avec des proportions déformées dans un souci de clarté sur la Fig. 3, b. Les déformations de l'élément, déterminées par le déplacement relatif de ses points, étant intéressantes, l'une des sections d'extrémité de l'élément peut être considérée comme fixe. Compte tenu de la petitesse, nous supposons que les points de la section transversale, lorsqu'ils sont tournés de cet angle, ne se déplacent pas le long d'arcs, mais le long des tangentes correspondantes.

Calculons la déformation relative de la fibre longitudinale UN B, séparé de la couche neutre par à:

De la similitude des triangles C00 1 et 0 1 BB 1 s'ensuit que

La déformation longitudinale s'est avérée être une fonction linéaire de la distance à la couche neutre, ce qui est une conséquence directe de la loi des sections planes

Cette formule n'est pas adaptée à une utilisation pratique, car elle contient deux inconnues : la courbure de la couche neutre et la position de l'axe neutre Oh, à partir de laquelle la coordonnée est comptée y. Pour déterminer ces inconnues, on utilise les équations d'équilibre de la statique. Le premier exprime l'exigence que la force longitudinale soit égale à zéro

En remplaçant l'expression (2) dans cette équation

et compte tenu de cela, nous obtenons que

L'intégrale du côté gauche de cette équation est le moment statique de la section transversale de la tige autour de l'axe neutre Oh, qui ne peut être égal à zéro que par rapport à l'axe central. Par conséquent, l'axe neutre Oh passe par le centre de gravité de la section transversale.

La deuxième équation d'équilibre statique est celle qui relie les contraintes normales au moment de flexion (qui peut être facilement exprimé en termes de forces extérieures et est donc considéré comme une valeur donnée). Remplacer l'expression par dans l'équation du faisceau. tension, on obtient :

et étant donné que où J x est le moment d'inertie central principal autour de l'axe Oh, pour la courbure de la couche neutre, on obtient la formule

Fig.4. Répartition normale des contraintes

qui a été obtenu pour la première fois par S. Coulomb en 1773. Pour faire correspondre les signes du moment de flexion M x et contraintes normales, le signe moins est placé à droite de la formule (5), car à M x >0 contraintes normales à y> 0 s'avèrent contractifs. Cependant, dans les calculs pratiques, il est plus commode, sans respecter la règle formelle des signes, de déterminer les contraintes modulo, et de mettre le signe en fonction du sens. Les contraintes normales en flexion pure d'une barre prismatique sont une fonction linéaire de la coordonnée à et atteindre les valeurs les plus élevées dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre (Fig. 4), c'est-à-dire

Ici, une caractéristique géométrique est introduite, qui a la dimension m 3 et est appelée moment de résistance en flexion. Puisque pour un donné M x tension maximum ? le moins le plus W x , moment de résistance est caractéristique géométrique de la résistance à la flexion transversale. Donnons des exemples de calcul des moments de résistance pour les formes les plus simples de sections transversales. Pour une section rectangulaire (Fig. 5, un) Nous avons J x \u003d bh 3 / 12, y max = h/2 et L x = J x /y max = bh 2/6. De même pour un cercle (Fig. 5 ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) on a L x =d3/32, pour une section annulaire circulaire (Fig. 5, dans), lequel