Fonction du formulaire , où s'appelle fonction quadratique.

Graphique de la fonction quadratique − parabole.

Considérez les cas:

CAS I, PARABOLE CLASSIQUE

C'est-à-dire , ,

Pour construire, remplissez le tableau en substituant x valeurs dans la formule :

Marquer des points (0;0); (1;1); (-1;1) etc... sur le plan de coordonnées (plus le pas nous prenons de valeurs x (dans ce cas, pas 1), et plus nous prenons de valeurs x, plus la courbe est lisse), nous obtenons une parabole :

Il est facile de voir que si nous prenons le cas , , , c'est-à-dire, nous obtenons une parabole symétrique autour de l'axe (x). Il est facile de le vérifier en remplissant un tableau similaire :

II CAS, « a » DIFFÉRENT DE UN

Que se passera-t-il si nous prenons , , ? Comment le comportement de la parabole va-t-il changer ? Avec title="(!LANG :Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

La première image (voir ci-dessus) montre clairement que les points du tableau pour la parabole (1;1), (-1;1) ont été transformés en points (1;4), (1;-4), c'est-à-dire avec les mêmes valeurs, l'ordonnée de chaque point est multipliée par 4. Cela arrivera à tous les points clés du tableau d'origine. Nous argumentons de la même manière dans les cas des images 2 et 3.

Et quand la parabole "s'élargit" parabole :

Résumons:

1)Le signe du coefficient est responsable de la direction des branches. Avec title="(!LANG :Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valeur absolue Le coefficient (module) est responsable de "l'expansion", de la "compression" de la parabole. Plus , plus la parabole est étroite, plus |a| est petit, plus la parabole est large.

CAS III, "C" APPARAÎT

Mettons maintenant en jeu (c'est-à-dire que nous considérons le cas où ), nous allons considérer des paraboles de la forme . Il est facile de deviner (vous pouvez toujours vous référer au tableau) que la parabole va monter ou descendre le long de l'axe, selon le signe :

IV CAS, "b" APPARAÎT

Quand la parabole « se détachera-t-elle » de l'axe et « marchera-t-elle » enfin sur tout le plan de coordonnées ? Quand il cesse d'être égal.

Ici, pour construire une parabole, il faut formule pour calculer le sommet : , .

Donc à ce point (comme au point (0; 0) nouveau système coordonnées), nous allons construire une parabole, qui est déjà en notre pouvoir. Si nous traitons le cas, alors du haut nous mettons de côté un seul segment vers la droite, un vers le haut, - le point résultant est le nôtre (de même, un pas vers la gauche, un pas vers le haut est notre point); si nous traitons, par exemple, alors du haut nous mettons de côté un seul segment vers la droite, deux - vers le haut, etc.

Par exemple, le sommet d'une parabole :

Maintenant, la principale chose à comprendre est qu'à ce sommet, nous allons construire une parabole selon le modèle de parabole, car dans notre cas.

Lors de la construction d'une parabole après avoir trouvé les coordonnées du sommet est trèsIl convient de considérer les points suivants :

1) parabole doit passer par le point . En effet, en substituant x=0 dans la formule, on obtient que . C'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy), c'est. Dans notre exemple (ci-dessus), la parabole coupe l'axe des y en , puisque .

2) axe de symétrie paraboles est une droite, donc tous les points de la parabole seront symétriques par rapport à elle. Dans notre exemple, on prend immédiatement le point (0 ; -2) et on construit une parabole symétrique autour de l'axe de symétrie, on obtient le point (4 ; -2), par lequel passera la parabole.

3) Égalant à , nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe (ox). Pour ce faire, nous résolvons l'équation. Selon le discriminant, nous aurons un (, ), deux ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dans l'exemple précédent, nous avons une racine du discriminant - pas un entier, lors de sa construction, cela n'a pas de sens pour nous de trouver les racines, mais nous pouvons clairement voir que nous aurons deux points d'intersection avec le (oh) axis (since title = "(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Alors allons-y

Algorithme de construction d'une parabole si elle est donnée sous la forme

1) déterminer la direction des branches (a>0 - haut, a<0 – вниз)

2) trouver les coordonnées du sommet de la parabole par la formule , .

3) on trouve le point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) par le terme libre, on construit un point symétrique à celui donné par rapport à l'axe de symétrie de la parabole (on notera qu'il arrive qu'il soit pas rentable de marquer ce point, par exemple, car la valeur est grande... on saute ce point...)

4) Au point trouvé - le sommet de la parabole (comme au point (0; 0) du nouveau système de coordonnées), nous construisons une parabole. Si title="(!LANG :Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) (s'ils n'ont pas encore "fait surface"), en résolvant l'équation

Exemple 1

Exemple 2

Remarque 1. Si la parabole nous est initialement donnée sous la forme , où sont des nombres (par exemple, ), alors il sera encore plus facile de la construire, car nous avons déjà reçu les coordonnées du sommet . Pourquoi?

Prenons un trinôme carré et sélectionnons-y un carré complet : Regardez, nous avons ici , . Nous avons précédemment appelé le sommet de la parabole, c'est-à-dire maintenant.

Par exemple, . On marque le sommet de la parabole sur le plan, on comprend que les branches sont dirigées vers le bas, la parabole est élargie (relativement). Autrement dit, nous effectuons les étapes 1 ; 3 ; quatre ; 5 de l'algorithme de construction d'une parabole (voir ci-dessus).

Remarque 2. Si la parabole est donnée sous une forme similaire à celle-ci (c'est-à-dire représentée comme un produit de deux facteurs linéaires), alors nous voyons immédiatement les points d'intersection de la parabole avec l'axe (x). Dans ce cas - (0;0) et (4;0). Pour le reste, nous agissons selon l'algorithme, en ouvrant les parenthèses.

Tout le monde sait ce qu'est une parabole. Mais comment l'utiliser correctement, avec compétence pour résoudre divers problèmes pratiques, nous comprendrons ci-dessous.

Notons d'abord les concepts de base que l'algèbre et la géométrie donnent à ce terme. Considérez tout types possibles ce tableau.

Nous apprenons toutes les principales caractéristiques de cette fonction. Comprenons les bases de la construction d'une courbe (géométrie). Apprenons à trouver le sommet, d'autres valeurs de base du graphique de ce type.

Nous découvrirons: comment la courbe requise est correctement construite selon l'équation, à quoi vous devez faire attention. Voyons le principal utilisation pratique cette valeur unique dans la vie humaine.

Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle

Algèbre : Ce terme fait référence au graphique d'une fonction quadratique.

Géométrie : Il s'agit d'une courbe de second ordre qui possède un certain nombre de caractéristiques spécifiques :

Équation de parabole canonique

La figure montre un système de coordonnées rectangulaires (XOY), un extremum, la direction de la fonction dessinant des branches le long de l'axe des abscisses.

L'équation canonique est :

y 2 \u003d 2 * p * x,

où le coefficient p est le paramètre focal de la parabole (AF).

En algèbre, il s'écrit différemment :

y = a x 2 + b x + c (motif reconnaissable : y = x 2).

Propriétés et graphique d'une fonction quadratique

La fonction a un axe de symétrie et un centre (extremum). Le domaine de définition est toutes les valeurs de l'axe des abscisses.

La plage de valeurs de la fonction - (-∞, M) ou (M, +∞) dépend de la direction des branches de la courbe. Le paramètre M signifie ici la valeur de la fonction en haut de la ligne.

Comment déterminer où sont dirigées les branches d'une parabole

Pour trouver la direction de ce type de courbe à partir d'une expression, il faut préciser le signe devant le premier paramètre expression algébrique. Si a ˃ 0, alors elles sont dirigées vers le haut. Sinon, vers le bas.

Comment trouver le sommet d'une parabole en utilisant la formule

Trouver l'extremum est l'étape principale dans la résolution de nombreux problèmes pratiques. Bien sûr, vous pouvez ouvrir des calculatrices en ligne mais il vaut mieux être capable de le faire soi-même.

Comment le définir ? Il existe une formule spéciale. Lorsque b n'est pas égal à 0, il faut chercher les coordonnées de ce point.

Formules pour trouver le sommet :

• x 0 \u003d -b / (2 * un);
• y 0 = y (x 0).

Exemple.

Il existe une fonction y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Trouvons les sommets de cette fonction.

Pour une telle ligne :

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Nous obtenons les coordonnées du sommet (-2, -41).

Décalage de la parabole

Le cas classique est celui où dans une fonction quadratique y = a x 2 + b x + c, les deuxième et troisième paramètres sont 0, et = 1 - le sommet est au point (0; 0).

Le mouvement le long des axes d'abscisse ou d'ordonnée est dû à une modification des paramètres b et c, respectivement. Le déplacement de la ligne sur le plan s'effectuera exactement du nombre d'unités, qui est égal à la valeur du paramètre.

Exemple.

Nous avons : b = 2, c = 3.

Cela signifie que la vue classique de la courbe se décalera de 2 segments unitaires le long de l'axe des abscisses et de 3 le long de l'axe des ordonnées.

Comment construire une parabole à l'aide d'une équation quadratique

Il est important que les écoliers apprennent à dessiner correctement une parabole en fonction des paramètres donnés.

En analysant les expressions et les équations, vous pouvez voir les éléments suivants :

1. Le point d'intersection de la ligne désirée avec le vecteur d'ordonnée aura une valeur égale à c.
2. Tous les points du graphique (le long de l'axe des x) seront symétriques par rapport à l'extremum principal de la fonction.

De plus, les intersections avec OX peuvent être trouvées en connaissant le discriminant (D) d'une telle fonction :

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Pour ce faire, vous devez assimiler l'expression à zéro.

La présence de racines de parabole dépend du résultat :

• D ˃ 0, alors x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a) ;
• D \u003d 0, puis x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, alors il n'y a pas de points d'intersection avec le vecteur OX.

On obtient l'algorithme de construction d'une parabole :

• déterminer la direction des branches;
• trouver les coordonnées du sommet ;
• trouver l'intersection avec l'axe y ;
• trouver l'intersection avec l'axe des x.

Exemple 1

Étant donné une fonction y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Il est nécessaire de construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme :

1. a \u003d 1, par conséquent, les branches sont dirigées vers le haut;
2. coordonnées extrêmes : x = - (-5) / 2 = 5/2 ; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4 ;
3. coupe l'axe y à la valeur y = 4 ;
4. trouver le discriminant : D = 25 - 16 = 9 ;
5. à la recherche de racines

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (Dix).

Exemple 2

Pour la fonction y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, vous devez construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme ci-dessus:

1. a \u003d 3, par conséquent, les branches sont dirigées vers le haut;
2. coordonnées extrêmes : x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3 ; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3 ;
3. avec l'axe y se croisera à la valeur y \u003d -1;
4. trouver le discriminant : D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Donc les racines :

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3 ; 0).

A partir des points obtenus, vous pouvez construire une parabole.

Directrice, excentricité, foyer d'une parabole

D'après l'équation canonique, le foyer F a pour coordonnées (p/2, 0).

La droite AB est une directrice (sorte de corde de parabole d'une certaine longueur). Son équation est x = -p/2.

Excentricité (constante) = 1.

Conclusion

Nous avons considéré le sujet que les élèves étudient dans lycée. Maintenant, vous savez, en regardant la fonction quadratique d'une parabole, comment trouver son sommet, dans quelle direction les branches seront dirigées, s'il y a un décalage le long des axes et, avec un algorithme de construction, vous pouvez dessiner son graphique.

La matériel méthodique est à des fins de référence et couvre un large éventail de sujets. L'article donne un aperçu des graphiques des principales fonctions élémentaires et considère le problème le plus important - comment construire correctement et RAPIDEMENT un graphique. Pendant l'étude mathématiques supérieures sans connaître les graphiques des fonctions élémentaires de base, ce sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., rappelez-vous certaines valeurs de fonction. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales.

Je ne prétends pas être des matériaux complets et scientifiquement approfondis, l'accent sera mis, tout d'abord, sur la pratique - ces choses avec lesquelles on doit faire face littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? Vous pouvez le dire.

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Et on commence tout de suite :

Comment construire correctement les axes de coordonnées ?

En pratique, les épreuves sont presque toujours rédigées par les élèves dans des cahiers séparés, alignés dans une cage. Pourquoi avez-vous besoin de marquages ​​à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour la conception précise et de haute qualité des dessins.

Tout dessin d'un graphe de fonction commence par des axes de coordonnées.

Les dessins sont en deux dimensions et en trois dimensions.

Considérons d'abord le cas bidimensionnel système de coordonnées cartésiennes:

1) Nous dessinons des axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x , et l'axe axe y . Nous essayons toujours de les dessiner soigné et non tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.

2) Nous signons les axes majuscules"x" et "y". N'oubliez pas de signer les haches.

3) Réglez l'échelle le long des axes : tirer zéro et deux uns. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus courante est : 1 unité = 2 cellules (dessin de gauche) - respectez-la si possible. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne tienne pas sur une feuille de cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin de droite). Rarement, mais il arrive que l'échelle du dessin doive encore être réduite (ou augmentée)

NE PAS griffonner avec une mitrailleuse ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Car le plan de coordonnées n'est pas un monument à Descartes, et l'étudiant n'est pas une colombe. nous mettons zéro et deux unités le long des axes. quelquefois à la place de unités, il est pratique de "détecter" d'autres valeurs, par exemple, "deux" sur l'axe des abscisses et "trois" sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.

Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT que le dessin ne soit dessiné.. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devez mesurer quinze centimètres vers le bas, et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite 1 unité = 1 cellule.

Soit dit en passant, environ des centimètres et des cellules de cahier. Est-il vrai qu'il y a 15 centimètres dans 30 cellules de cahier ? Mesurez dans un cahier d'intérêt 15 centimètres avec une règle. En URSS, c'était peut-être vrai... Il est intéressant de noter que si vous mesurez ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, alors les résultats (en cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, à de tels moments, vous commencez à penser à l'exactitude du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, de la chute d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.

En parlant de qualité, ou courte recommandation par papeterie. À ce jour, la plupart des cahiers en vente, sans dire de gros mots, sont des gobelins complets. Pour la raison qu'ils se mouillent, et pas seulement avec les stylos gel, mais aussi avec les stylos à bille ! Économisez sur le papier. Pour le dédouanement travaux de contrôle Je recommande d'utiliser les cahiers de l'usine de pâtes et papiers d'Arkhangelsk (18 feuilles, cage) ou Pyaterochka, bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel, même la recharge de gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul stylo à bille "compétitif" dans ma mémoire est le Erich Krause. Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière stable - soit avec une tige pleine, soit avec une tige presque vide.

En outre: la vision d'un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est couverte dans l'article (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle, des informations détaillées sur les quarts de coordonnées peuvent être trouvés dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.

cas 3D

C'est presque pareil ici.

1) Nous dessinons des axes de coordonnées. Standard: appliquer l'axe – dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.

2) Nous signons les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes. Échelle le long de l'axe - deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite, j'ai utilisé un "serif" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été mentionnée ci-dessus). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - vous n'avez pas besoin de chercher le milieu de la cellule sous un microscope et de "sculpter" l'unité jusqu'à l'origine.

Lorsque vous refaites un dessin 3D - donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin de gauche).

A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont là pour être enfreintes. Qu'est-ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel, et les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c'est vraiment effrayant de les dessiner, car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.

Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires

La fonction linéaire est donnée par l'équation . Le graphique de la fonction linéaire est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.

Exemple 1

Tracez la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.

Si donc

Prenons un autre point, par exemple, 1.

Si donc

Lors de la préparation des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :

Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, calculatrice.

Deux points sont trouvés, dessinons:

Lors de l'élaboration d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.

Il ne sera pas superflu de rappeler des cas particuliers d'une fonction linéaire :

Remarquez comment j'ai placé les légendes, les signatures ne doivent pas être ambiguës lors de l'étude du dessin. Dans ce cas, il était hautement indésirable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.

1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Le graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une droite est simplifiée - il suffit de trouver un seul point.

2) Une équation de la forme définit une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphe de la fonction est construit immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : "y est toujours égal à -4, pour toute valeur de x".

3) Une équation de la forme définit une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphe de la fonction est également construit immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : "x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1."

Certains se demanderont, eh bien, pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est ainsi, peut-être, seulement pendant les années de pratique j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants déconcertés par la tâche de construire un graphe comme ou .

Dessiner une ligne droite est l'action la plus courante lors de la réalisation de dessins.

La droite est discutée en détail dans le cours de géométrie analytique, et ceux qui le souhaitent peuvent se reporter à l'article Équation d'une droite sur un plan.

Graphique de fonction quadratique, graphique de fonction cubique, graphique polynomial

Parabole. Graphique d'une fonction quadratique () est une parabole. Prenons le fameux cas :

Rappelons quelques propriétés de la fonction.

Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. Pourquoi il en est ainsi peut être appris de l'article théorique sur la dérivée et de la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, nous calculons la valeur correspondante de "y":

Donc le sommet est au point

Maintenant, nous trouvons d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il est à noter que la fonction – n'est même pas, mais, néanmoins, personne n'a annulé la symétrie de la parabole.

Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :

Cet algorithme la construction peut être appelée au sens figuré une "navette" ou le principe du "va-et-vient" avec Anfisa Chekhova.

Faisons un dessin :

D'après les graphiques considérés, une autre fonctionnalité utile vient à l'esprit :

Pour une fonction quadratique () ce qui suit est vrai :

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Une connaissance approfondie de la courbe peut être obtenue dans la leçon Hyperbole et parabole.

La parabole cubique est donnée par la fonction . Voici un dessin familier de l'école :

On liste les principales propriétés de la fonction

Graphique de fonction

Il représente l'une des branches de la parabole. Faisons un dessin :

Les principales propriétés de la fonction :

Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale pour le graphique hyperbole à .

Ce sera une GRANDE erreur si, lors de l'élaboration d'un dessin, par négligence, vous laissez le graphe se croiser avec l'asymptote.

Aussi limites unilatérales, dites-nous qu'une hyperbole pas limité d'en haut et non limité par le bas.

Explorons la fonction à l'infini: , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les «jeux» seront un pas élancé infiniment proche s'approchent de zéro, et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.

Donc l'axe est asymptote horizontale pour le graphique de la fonction, si "x" tend vers plus ou moins l'infini.

La fonction est étrange, ce qui signifie que l'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine. Ce fait est évident d'après le dessin, de plus, il peut être facilement vérifié analytiquement : .

Le graphe d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.

Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quadrants de coordonnées(voir photo ci-dessus).

Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quadrants de coordonnées.

Il n'est pas difficile d'analyser la régularité spécifiée du lieu de résidence de l'hyperbole du point de vue des transformations géométriques des graphiques.

Exemple 3

Construire la branche droite de l'hyperbole

Nous utilisons la méthode de construction ponctuelle, alors qu'il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles se divisent complètement :

Faisons un dessin :

Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole, ici l'étrangeté de la fonction aidera juste. En gros, dans le tableau de la construction ponctuelle, ajoutez mentalement un moins à chaque nombre, mettez les points correspondants et dessinez la deuxième branche.

Des informations géométriques détaillées sur la ligne considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.

Graphique d'une fonction exponentielle

Dans ce paragraphe, je vais immédiatement considérer la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95% des cas, c'est l'exposant qui se produit.

Je vous rappelle que c'est nombre irrationnel: , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphique, que, en fait, je vais construire sans cérémonie. Trois points suffisent probablement :

Laissons le graphique de la fonction seul pour l'instant, à ce sujet plus tard.

Les principales propriétés de la fonction :

Fondamentalement, les graphiques des fonctions se ressemblent, etc.

Je dois dire que le deuxième cas est moins courant dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.

Graphique d'une fonction logarithmique

Considérons une fonction avec un algorithme naturel.
Faisons un dessin au trait:

Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, veuillez vous référer aux manuels scolaires.

Les principales propriétés de la fonction :

Domaine:

Plage de valeurs : .

La fonction n'est pas limitée par le haut : , bien que lentement, mais la branche du logarithme monte à l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite : . Donc l'axe est asymptote verticale pour le graphique de la fonction avec "x" tendant vers zéro à droite.

Assurez-vous de connaître et de vous souvenir de la valeur typique du logarithme: .

Fondamentalement, le tracé du logarithme à la base est le même : , , (logarithme décimal en base 10), etc. Dans le même temps, plus la base est large, plus le graphique sera plat.

Nous ne considérerons pas le cas, quelque chose dont je ne me souviens pas la dernière fois que j'ai construit un graphique avec une telle base. Oui, et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.

En conclusion du paragraphe, je dirai un fait de plus: Fonction exponentielle et fonction logarithmiquesont deux mutuelles fonctions inverses . Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu'il s'agit du même exposant, juste qu'il est situé un peu différemment.

Graphiques de fonctions trigonométriques

Comment commence le tourment trigonométrique à l'école ? Correctement. Du sinus

Traçons la fonction

Cette ligne s'appelle sinusoïde.

Je vous rappelle que "pi" est un nombre irrationnel :, et en trigonométrie il éblouit les yeux.

Les principales propriétés de la fonction :

Cette fonction est périodique avec une période. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons la coupe. À gauche et à droite de celui-ci, exactement le même morceau du graphique se répète à l'infini.

Domaine: , c'est-à-dire que pour toute valeur de "x", il existe une valeur sinusoïdale.

Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les "jeux" se situent strictement dans le segment .
Cela ne se produit pas : ou, plus précisément, cela se produit, mais ces équations n'ont pas de solution.

Notes IMPORTANTES!
1. Si au lieu de formules vous voyez abracadabra, videz le cache. Comment le faire dans votre navigateur est écrit ici:
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Pour comprendre ce qui va être écrit ici, il faut bien savoir ce qu'est une fonction quadratique et avec quoi on la mange. Si vous vous considérez comme un pro des fonctions quadratiques, bienvenue. Mais sinon, vous devriez lire le fil.

Commençons par un petit chèques:

1. À quoi ressemble une fonction quadratique sous forme générale (formule) ?
2. Comment s'appelle le graphe d'une fonction quadratique ?
3. Comment le coefficient dominant affecte-t-il le graphique d'une fonction quadratique ?

Si vous pouvez répondre à ces questions dès le départ, continuez à lire. Si au moins une question a causé des difficultés, allez à.

Ainsi, vous savez déjà manipuler une fonction quadratique, analyser son graphe et construire un graphe par points.

Eh bien, c'est ici : .

Voyons rapidement ce qu'ils font. chances.

1. Le coefficient principal est responsable de la "pente" de la parabole, ou, en d'autres termes, de sa largeur : plus la parabole est grande, plus la parabole est étroite (plus raide) et plus la parabole est petite, plus elle est large (plus plate).
2. Le terme libre est la coordonnée de l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.
3. Et le coefficient est en quelque sorte responsable du déplacement de la parabole du centre des coordonnées. Voici plus à ce sujet maintenant.

Pourquoi commence-t-on toujours à construire une parabole ? Quel est son point distinctif ?

ce sommet. Et comment trouver les coordonnées du sommet, tu te souviens ?

L'abscisse est recherchée par la formule suivante :

Comme ça : quoi Suite, les sujets À gauche le sommet de la parabole se déplace.

L'ordonnée d'un sommet peut être trouvée en substituant dans la fonction :

Remplacez-vous et comptez. Qu'est-il arrivé?

Si vous faites tout correctement et simplifiez autant que possible l'expression résultante, vous obtenez :

Il s'avère que plus modulo, les sujets au dessus sera sommet paraboles.

Passons enfin au tracé.
Le plus simple est de construire une parabole en partant du haut.

Exemple:

Tracez la fonction.

La solution:

Définissons d'abord les coefficients : .

Calculons maintenant les coordonnées des sommets :

Et maintenant rappelez-vous : toutes les paraboles avec le même coefficient directeur se ressemblent. Donc, si nous construisons une parabole et déplaçons son sommet vers un point, nous obtenons le graphe dont nous avons besoin :

Simple, non ?

Il ne reste plus qu'une question : comment dessiner rapidement une parabole ? Même si on dessine une parabole avec un sommet à l'origine, il faut quand même la construire point par point, ce qui est long et peu pratique. Mais toutes les paraboles se ressemblent, peut-être existe-t-il un moyen d'accélérer leur dessin ?

Quand j'étais à l'école, mon professeur de mathématiques a dit à tout le monde de découper un pochoir en forme de parabole dans du carton pour qu'ils puissent le dessiner rapidement. Mais vous ne pourrez pas vous promener partout avec un pochoir, et ils ne seront pas autorisés à l'apporter à l'examen. Donc, nous n'utiliserons pas d'objets étrangers, mais nous chercherons un modèle.

Considérons la parabole la plus simple. Construisons par points :

La règle ici est la suivante. Si nous nous déplaçons du haut vers la droite (le long de l'axe) vers, et vers le haut (le long de l'axe) vers, alors nous arriverons au point de la parabole. Plus loin: si à partir de ce point nous nous déplaçons vers la droite et vers le haut, nous arriverons à nouveau au point de la parabole. Suivant : à droite et à gauche. Et après? À droite et à gauche. Et ainsi de suite : se déplacer vers la droite, et au suivant nombre impair en haut. Ensuite, nous faisons de même avec la branche gauche (après tout, la parabole est symétrique, c'est-à-dire que ses branches se ressemblent) :

Génial, cela aidera à construire n'importe quelle parabole à partir du sommet avec le coefficient le plus élevé égal à. Par exemple, nous avons appris que le sommet d'une parabole est en un point. Construis (seul, sur papier) cette parabole.

Construit?

Ça devrait se passer comme ça :

Maintenant, nous connectons les points obtenus :

C'est tout.

OK, eh bien, construisez maintenant uniquement des paraboles avec ?

Bien sûr que non. Voyons maintenant quoi faire avec eux, si.

Considérons quelques cas typiques.

Super, nous avons appris à dessiner une parabole, maintenant pratiquons sur de vraies fonctions.

Alors, dessinez des graphiques de telles fonctions:

Réponses:

3. Haut : .

Vous souvenez-vous de ce qu'il faut faire si le coefficient senior est inférieur ?

On regarde le dénominateur de la fraction : il est égal. Alors on va bouger comme ça :

• droite - haut
• droite - haut
• droite - haut

et aussi à gauche :

4. Haut : .

Ah, qu'en faire ? Comment mesurer les cellules si le sommet est quelque part entre les lignes ?..

Et nous trichons. Dessinons d'abord une parabole, puis déplaçons son sommet vers un point. Même pas, faisons-le encore plus délicat : dessinons une parabole, puis déplacer les axes :- sur le descente, un - sur droit:

Cette technique est très pratique dans le cas de n'importe quelle parabole, souvenez-vous en.

Rappelons que nous pouvons représenter la fonction sous cette forme :

Par exemple: .

Qu'est-ce que cela nous donne ?

Le fait est que le nombre qui est soustrait entre parenthèses () est l'abscisse du sommet de la parabole, et le terme à l'extérieur des parenthèses () est l'ordonnée du sommet.

Cela signifie qu'après avoir construit une parabole, il vous suffit de déplacer l'axe vers la gauche et l'axe vers le bas.

Exemple : traçons un graphe de fonctions.

Sélectionnons un carré complet :

Quel nombre soustrait entre parenthèses ? Ceci (et non comment vous pouvez décider sans réfléchir).

Donc, on construit une parabole :

Maintenant, nous déplaçons l'axe vers le bas, c'est-à-dire vers le haut :

Et maintenant - à gauche, c'est-à-dire à droite:

C'est tout. C'est la même chose que de déplacer une parabole avec son sommet de l'origine à un point, seul l'axe droit est beaucoup plus facile à déplacer qu'une parabole tordue.

Maintenant, comme d'habitude, moi-même :

Et n'oubliez pas d'effacer les anciens axes avec une gomme !

je suis comme réponses pour vérification, je vous écrirai les ordonnées des sommets de ces paraboles :

Est-ce que tout correspondait ?

Si oui, alors vous êtes super ! Savoir manipuler une parabole est très important et utile, et ici nous avons constaté que ce n'est pas difficile du tout.

GRAPHIQUE D'UNE FONCTION QUADRATIQUE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

fonction quadratique est une fonction de la forme, où, et sont des nombres (coefficients), est un membre libre.

Le graphe d'une fonction quadratique est une parabole.

Haut de la parabole :
, c'est à dire. plus \displaystyle b est grand, plus le haut de la parabole se déplace vers la gauche.
Remplacez dans la fonction et obtenez :
, c'est à dire. plus \displaystyle b modulo est grand, plus le sommet de la parabole sera élevé

Le terme libre est la coordonnée de l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.

Bon, le sujet est clos. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.

Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !

Maintenant la chose la plus importante.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...

Pour quelle raison?

Pour réussir réussir l'examen, pour l'admission à l'institut sur le budget et, SURTOUT, à vie.

Je ne vous convaincrai de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation, gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l'ont pas reçu. Ce sont des statistiques.

Mais ce n'est pas l'essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que beaucoup plus d'opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pense par toi-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen et d'être finalement... plus heureux ?

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À l'examen, on ne vous demandera pas de théorie.

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