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Formules pour réduire les logarithmes. Logarithme naturel, fonction ln x

Le logarithme d'un nombre N Par raison un est appelé exposant X , auquel vous devez élever un pour obtenir le numéro N

À condition que
,
,

Il résulte de la définition du logarithme que
, c'est à dire.
- cette égalité est l'identité logarithmique de base.

Les logarithmes en base 10 sont appelés logarithmes décimaux. À la place de
écrivez
.

logarithmes de base e sont dits naturels et notés
.

Propriétés de base des logarithmes.

    Le logarithme de l'unité pour toute base est zéro

    Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

3) Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes


Facteur
s'appelle le module de transition des logarithmes à la base un aux logarithmes à la base b .

En utilisant les propriétés 2 à 5, il est souvent possible de réduire le logarithme d'une expression complexe au résultat d'opérations arithmétiques simples sur les logarithmes.

Par example,

De telles transformations du logarithme sont appelées logarithmes. Les transformations réciproques des logarithmes sont appelées potentialisation.

Chapitre 2. Éléments de mathématiques supérieures.

1. Limites

limite de fonction
est un nombre fini A si, en cherchant xx 0 pour chaque prédéterminé
, il y a un nombre
que dès que
, alors
.

Une fonction qui a une limite en diffère d'une quantité infinitésimale :
, où - b.m.w., c'est-à-dire
.

Exemple. Considérez la fonction
.

En s'efforçant
, une fonction y va à zéro :

1.1. Théorèmes de base sur les limites.

    La limite d'une valeur constante est égale à cette valeur constante

.

    La limite de la somme (différence) d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme (différence) des limites de ces fonctions.

    La limite d'un produit d'un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions.

    La borne du quotient de deux fonctions est égale au quotient des bornes de ces fonctions si la borne du dénominateur n'est pas égale à zéro.

Limites remarquables

,
, où

1.2. Exemples de calcul de limite

Cependant, toutes les limites ne sont pas calculées aussi facilement. Le plus souvent, le calcul de la limite se réduit à la divulgation de l'incertitude de type : ou alors .

.

2. Dérivée d'une fonction

Soit une fonction
, continue sur le segment
.

Argument j'ai eu un coup de pouce
. Ensuite, la fonction sera incrémentée
.

Valeur des arguments correspond à la valeur de la fonction
.

Valeur des arguments
correspond à la valeur de la fonction .

Ainsi, .

Trouvons la limite de cette relation à
. Si cette limite existe, alors on l'appelle la dérivée de la fonction donnée.

Définition de la dérivée 3 d'une fonction donnée
par argumentation est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, lorsque l'incrément de l'argument tend arbitrairement vers zéro.

Fonction dérivée
peut être noté comme suit :

; ; ; .

Définition 4L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction s'appelle différenciation.

2.1. La signification mécanique de la dérivée.

Considérez le mouvement rectiligne d'un corps rigide ou d'un point matériel.

Laissez à un moment donné point mobile
était à distance depuis la position de départ
.

Après un certain temps
elle s'est éloignée
. Attitude =- vitesse moyenne d'un point matériel
. Trouvons la limite de ce rapport, en tenant compte du fait que
.

Par conséquent, la détermination de la vitesse instantanée d'un point matériel se réduit à trouver la dérivée de la trajectoire par rapport au temps.

2.2. Valeur géométrique de la dérivée

Supposons que nous ayons une fonction définie graphiquement
.

Riz. 1. La signification géométrique de la dérivée

Si un
, alors le point
, se déplacera le long de la courbe, se rapprochant du point
.

Ainsi
, c'est à dire. la valeur de la dérivée compte tenu de la valeur de l'argument est numériquement égal à la tangente de l'angle formé par la tangente en un point donné avec la direction positive de l'axe
.

2.3. Tableau des formules de différenciation de base.

Fonction de puissance

Fonction exponentielle

fonction logarithmique

fonction trigonométrique

Fonction trigonométrique inverse

2.4. Règles de différenciation.

Dérivé de

Dérivée de la somme (différence) des fonctions


Dérivée du produit de deux fonctions


La dérivée du quotient de deux fonctions


2.5. Dérivée d'une fonction complexe.

Laissez la fonction
telle qu'elle peut être représentée comme

et
, où la variable est un argument intermédiaire, alors

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction donnée par rapport à l'argument intermédiaire par la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à x.

Exemple 1.

Exemple2.

3. Différentiel de fonction.

Qu'il y ait
, différentiable sur un certain intervalle
Laisser aller à cette fonction admet une dérivée

,

alors tu peux écrire

(1),

où - une quantité infinitésimale,

parce qu'à

En multipliant tous les termes d'égalité (1) par
on a:

Où
- b.m.v. ordre supérieur.

Valeur
s'appelle la différentielle de la fonction
et noté

.

3.1. La valeur géométrique du différentiel.

Laissez la fonction
.

Fig.2. La signification géométrique de la différentielle.

.

Évidemment, la différentielle de la fonction
est égal à l'incrément de l'ordonnée de la tangente au point donné.

3.2. Dérivés et différentiels de divers ordres.

S'il y a
, alors
est appelée la dérivée première.

La dérivée de la dérivée première est appelée dérivée du second ordre et s'écrit
.

Dérivée du nième ordre de la fonction
s'appelle la dérivée de l'ordre (n-1) et s'écrit :

.

La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre.

.

.

3.3 Résoudre des problèmes biologiques par différenciation.

Tache 1. Des études ont montré que la croissance d'une colonie de micro-organismes obéit à la loi
, où N – nombre de micro-organismes (en milliers), t – temps (jours).

b) La population de la colonie augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle durant cette période ?

Répondre. La colonie va grossir.

Tâche 2. L'eau du lac est périodiquement testée pour contrôler la teneur en bactéries pathogènes. Par t jours après le test, la concentration de bactéries est déterminée par le rapport

.

Quand arrivera la concentration minimale de bactéries dans le lac et qu'il sera possible de s'y baigner ?

Solution Une fonction atteint max ou min lorsque sa dérivée est nulle.

,

Déterminons que le maximum ou le minimum sera dans 6 jours. Pour ce faire, on prend la dérivée seconde.


Réponse : Après 6 jours, il y aura une concentration minimale de bactéries.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Expliquons-le plus facilement. Par exemple, \(\log_(2)(8)\) est égal à la puissance à laquelle \(2\) doit être élevé pour obtenir \(8\). Il en ressort clairement que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemples:

\(\log_(5)(25)=2\)

car \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

car \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

car \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument et base du logarithme

Tout logarithme a "l'anatomie" suivante :

L'argument du logarithme est généralement écrit à son niveau, et la base est écrite en indice plus proche du signe du logarithme. Et cette entrée se lit comme ceci : "le logarithme de vingt-cinq à la base de cinq."

Comment calculer le logarithme ?

Pour calculer le logarithme, vous devez répondre à la question : dans quelle mesure la base doit-elle être élevée pour obtenir l'argument ?

par exemple, calculez le logarithme : a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) À quelle puissance faut-il élever \(4\) pour obtenir \(16\) ? Evidemment le deuxième. Alors:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(5)\) pour obtenir \(1\) ? Et quel degré fait d'un nombre une unité ? Zéro, bien sûr !

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(7)\) pour obtenir \(\sqrt(7)\) ? Dans le premier - tout nombre au premier degré est égal à lui-même.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) À quelle puissance faut-il élever \(3\) pour obtenir \(\sqrt(3)\) ? De nous savons que c'est une puissance fractionnaire, et donc la racine carrée est la puissance de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemple : Calcule le logarithme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Décision :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

Nous devons trouver la valeur du logarithme, notons-le par x. Utilisons maintenant la définition du logarithme :
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)

\((4\sqrt(2))^(x)=8\)

Qu'est-ce qui relie \(4\sqrt(2)\) et \(8\) ? Deux, car les deux nombres peuvent être représentés par deux :
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

À gauche, nous utilisons les propriétés de degré : \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) et \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

Les bases sont égales, on procède à l'égalité des indicateurs

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

Multipliez les deux côtés de l'équation par \(\frac(2)(5)\)

La racine résultante est la valeur du logarithme

Répondre : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pourquoi le logarithme a-t-il été inventé ?

Pour comprendre cela, résolvons l'équation : \(3^(x)=9\). Faites simplement correspondre \(x\) pour que l'égalité fonctionne. Bien sûr, \(x=2\).

Maintenant, résolvez l'équation : \(3^(x)=8\). À quoi x est égal ? C'est le but.

Les plus ingénieux diront : « X c'est un peu moins que deux ». Comment ce nombre doit-il être écrit exactement ? Pour répondre à cette question, ils ont trouvé le logarithme. Grâce à lui, la réponse ici peut s'écrire \(x=\log_(3)(8)\).

Je tiens à souligner que \(\log_(3)(8)\), ainsi que tout logarithme n'est qu'un nombre. Oui, ça a l'air inhabituel, mais c'est court. Parce que si nous voulions l'écrire sous forme décimale, cela ressemblerait à ceci : \(1.892789260714.....\)

Exemple : Résoudre l'équation \(4^(5x-4)=10\)

Décision :

\(4^(5x-4)=10\)

\(4^(5x-4)\) et \(10\) ne peuvent pas être réduits à la même base. Donc ici vous ne pouvez pas vous passer du logarithme.

Utilisons la définition du logarithme :
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

Retournez l'équation pour que x soit à gauche

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

Avant nous. Déplacez \(4\) vers la droite.

Et n'ayez pas peur du logarithme, traitez-le comme un nombre normal.

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

Diviser l'équation par 5

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Voici notre racine. Oui, cela semble inhabituel, mais la réponse n'est pas choisie.

Répondre : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarithmes décimaux et naturels

Comme indiqué dans la définition du logarithme, sa base peut être n'importe quel nombre positif sauf un \((a>0, a\neq1)\). Et parmi toutes les bases possibles, il y en a deux qui se produisent si souvent qu'une courte notation spéciale a été inventée pour les logarithmes avec elles :

Logarithme naturel : un logarithme dont la base est le nombre d'Euler \(e\) (égal à environ \(2,7182818…\)), et le logarithme s'écrit \(\ln(a)\).

C'est à dire, \(\ln(a)\) est identique à \(\log_(e)(a)\)

Logarithme décimal : Un logarithme dont la base est 10 s'écrit \(\lg(a)\).

C'est à dire, \(\lg(a)\) est identique à \(\log_(10)(a)\), où \(a\) est un nombre.

Identité logarithmique de base

Les logarithmes ont de nombreuses propriétés. L'un d'eux s'appelle "Identité logarithmique de base" et ressemble à ceci :

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Cette propriété découle directement de la définition. Voyons comment cette formule est née.

Rappelons la courte définition du logarithme :

si \(a^(b)=c\), alors \(\log_(a)(c)=b\)

Autrement dit, \(b\) est identique à \(\log_(a)(c)\). Ensuite, nous pouvons écrire \(\log_(a)(c)\) au lieu de \(b\) dans la formule \(a^(b)=c\) . Il s'est avéré \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identité logarithmique principale.

Vous pouvez trouver le reste des propriétés des logarithmes. Avec leur aide, vous pouvez simplifier et calculer les valeurs des expressions avec des logarithmes, difficiles à calculer directement.

Exemple : Trouver la valeur de l'expression \(36^(\log_(6)(5))\)

Décision :

Répondre : \(25\)

Comment écrire un nombre sous forme de logarithme ?

Comme mentionné ci-dessus, tout logarithme n'est qu'un nombre. L'inverse est également vrai : n'importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Par exemple, nous savons que \(\log_(2)(4)\) est égal à deux. Ensuite, vous pouvez écrire \(\log_(2)(4)\) au lieu de deux.

Mais \(\log_(3)(9)\) est également égal à \(2\), vous pouvez donc également écrire \(2=\log_(3)(9)\) . De même avec \(\log_(5)(25)\), et avec \(\log_(9)(81)\), etc. C'est-à-dire qu'il s'avère

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Ainsi, si nous en avons besoin, nous pouvons écrire les deux sous forme de logarithme avec n'importe quelle base n'importe où (même dans une équation, même dans une expression, même dans une inégalité) - nous écrivons simplement la base au carré comme argument.

C'est la même chose avec un triplet - il peut être écrit comme \(\log_(2)(8)\), ou comme \(\log_(3)(27)\), ou comme \(\log_(4)( 64) \) ... Ici nous écrivons la base dans le cube en argument :

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Et avec quatre :

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Et avec moins un :

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Et avec un tiers :

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Tout nombre \(a\) peut être représenté par un logarithme de base \(b\) : \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemple : Trouver la valeur d'une expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Décision :

Répondre : \(1\)

    Commençons avec propriétés du logarithme de l'unité. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire log un 1=0 pour tout a>0 , a≠1 . La preuve est simple : puisque a 0 =1 pour tout a qui satisfait les conditions ci-dessus a>0 et a≠1 , alors l'égalité prouvée log a 1=0 découle immédiatement de la définition du logarithme.

    Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0 , lg1=0 et .

    Passons à la propriété suivante : le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est à dire, log a a=1 pour a>0 , a≠1 . En effet, puisque a 1 =a pour tout a , alors par définition du logarithme log a a=1 .

    Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont log 5 5=1 , log 5.6 5.6 et lne=1 .

    Par exemple, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 et .

    Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y est égal au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Démontrons la propriété du logarithme du produit. En raison des propriétés du degré un log a x+log a y =un log a x un log a y, et puisque par l'identité logarithmique principale a log a x =x et a log a y =y , alors a log a x a log a y =x y . Ainsi, a log a x + log a y = x y , d'où l'égalité requise découle de la définition du logarithme.

    Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme du produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et .

    La propriété du logarithme du produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Cette égalité se prouve facilement.

    Par exemple, le logarithme naturel d'un produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4 , e et .

    Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y est égal à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme quotient correspond à une formule de la forme , où a>0 , a≠1 , x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule se prouve comme la formule du logarithme du produit : puisque , puis par la définition du logarithme .

    Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : .

    Passons à propriété du logarithme de degré. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Nous écrivons cette propriété du logarithme du degré sous la forme d'une formule : log a b p =p log a |b|, où a>0 , a≠1 , b et p sont des nombres tels que le degré de b p a un sens et b p >0 .

    Nous montrons d'abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme a log a b , puis b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p log a b , d'où, par la définition du logarithme, on conclut que log a b p =p log a b .

    Il reste à prouver cette propriété pour moins b . On remarque ici que l'expression log a b p pour moins b n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Puis b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, d'où log a b p =p log a |b| .

    Par example, et ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la racine du nième degré est égal au produit de la fraction 1/n et du logarithme de l'expression de la racine, c'est-à-dire , où a>0 , a≠1 , n est un entier naturel supérieur à un, b>0 .

    La preuve est basée sur l'égalité (voir ), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme du degré : .

    Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : .

    Prouvons maintenant formule de conversion vers la nouvelle base du logarithme type . Pour cela, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b log c a . L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , puis log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : log c a log a b = log a b log c a. Ainsi, l'égalité log c b = log a b log c a est prouvée, ce qui signifie que la formule de passage à une nouvelle base du logarithme est également prouvée.

    Montrons quelques exemples d'application de cette propriété des logarithmes : et .

    La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer à travailler avec des logarithmes qui ont une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour passer aux logarithmes naturels ou décimaux afin de pouvoir calculer la valeur du logarithme à partir du tableau des logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base du logarithme permet également dans certains cas de retrouver la valeur d'un logarithme donné, lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.

    On utilise souvent un cas particulier de la formule de passage à une nouvelle base du logarithme pour c=b de la forme . Cela montre que log a b et log b a – . Par example, .

    On utilise aussi souvent la formule , ce qui est utile pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment la valeur du logarithme de la forme est calculée à l'aide de celle-ci. Nous avons . Pour prouver la formule il suffit d'utiliser la formule de passage à la nouvelle base du logarithme a : .

    Il reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.

    Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2 , b 1 log a b 2 , et pour a>1, l'inégalité log a b 1

    Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées des logarithmes. On se borne à prouver sa première partie, c'est-à-dire que si a 1 >1 , a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les déclarations restantes de cette propriété des logarithmes sont prouvées par un principe similaire.

    Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour a 1 >1 , a 2 >1 et a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b est vrai. Par les propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme et respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, par les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥ b log b a 2 et b log b a 1 ≥ b log b a 2 doivent être satisfaites, c'est-à-dire a 1 ≥ a 2 . Ainsi, nous sommes arrivés à une contradiction avec la condition a 1

Bibliographie.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques).

Logarithme de b (b > 0) en base a (a > 0, a ≠ 1) est l'exposant auquel vous devez élever le nombre a pour obtenir b.

Le logarithme en base 10 de b peut s'écrire log(b), et le logarithme de la base e (logarithme népérien) - ln(b).

Souvent utilisé lors de la résolution de problèmes avec les logarithmes :

Propriétés des logarithmes

Il y a quatre principaux propriétés des logarithmes.

Soit a > 0, a ≠ 1, x > 0 et y > 0.

Propriété 1. Logarithme du produit

Logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes :

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Propriété 2. Logarithme du quotient

Logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes :

log a (x / y) = log a x – log a y

Propriété 3. Logarithme du degré

Logarithme de degré est égal au produit du degré et du logarithme :

Si la base du logarithme est dans l'exposant, alors une autre formule s'applique :

Propriété 4. Logarithme de la racine

Cette propriété peut être obtenue à partir de la propriété du logarithme du degré, puisque la racine du nième degré est égale à la puissance de 1/n :

La formule pour passer d'un logarithme dans une base à un logarithme dans une autre base

Cette formule est également souvent utilisée lors de la résolution de diverses tâches pour les logarithmes :

Cas particulier:

Comparaison des logarithmes (inégalités)

Supposons que nous ayons 2 fonctions f(x) et g(x) sous logarithmes avec les mêmes bases et qu'il y ait un signe d'inégalité entre elles :

Pour les comparer, il faut d'abord regarder la base des logarithmes a :

  • Si a > 0, alors f(x) > g(x) > 0
  • Si 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Comment résoudre les problèmes avec les logarithmes : exemples

Tâches avec logarithmes inclus dans le USE en mathématiques pour la 11e année dans la tâche 5 et la tâche 7, vous pouvez trouver des tâches avec des solutions sur notre site Web dans les sections pertinentes. De plus, les tâches avec logarithmes se retrouvent dans la banque de tâches en mathématiques. Vous pouvez trouver tous les exemples en cherchant sur le site.

Qu'est-ce qu'un logarithme

Les logarithmes ont toujours été considérés comme un sujet difficile dans le cours de mathématiques à l'école. Il existe de nombreuses définitions différentes du logarithme, mais pour une raison quelconque, la plupart des manuels utilisent la plus complexe et la plus malheureuse d'entre elles.

Nous allons définir le logarithme simplement et clairement. Créons un tableau pour cela :

Donc, nous avons des puissances de deux.

Logarithmes - propriétés, formules, comment résoudre

Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devez élever un deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatre. Et pour obtenir 64, vous devez élever deux à la sixième puissance. Cela se voit sur le tableau.

Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :

la base a de l'argument x est la puissance à laquelle le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre x.

Notation: log a x \u003d b, où a est la base, x est l'argument, b est en fait ce à quoi le logarithme est égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Autant enregistrer 2 64 = 6, car 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre dans une base donnée est appelée. Ajoutons donc une nouvelle ligne à notre tableau :

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
bûche 2 2 = 1 bûche 2 4 = 2 bûche 2 8 = 3 bûche 2 16 = 4 bûche 2 32 = 5 bûche 2 64 = 6

Malheureusement, tous les logarithmes ne sont pas considérés aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule décimale peuvent être écrits indéfiniment, et ils ne se répètent jamais. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre que le logarithme est une expression à deux variables (base et argument). Au début, beaucoup de gens confondent où se trouve la base et où se trouve l'argument. Pour éviter les malentendus gênants, il suffit de regarder l'image :

Devant nous n'est rien de plus que la définition du logarithme. Se souvenir: le logarithme est la puissance, auquel vous devez élever la base pour obtenir l'argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - sur l'image, elle est surlignée en rouge. Il s'avère que la base est toujours en bas ! Je dis cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et il n'y a pas de confusion.

Comment compter les logarithmes

Nous avons compris la définition - il reste à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du signe "log". Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

  1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition du degré par un exposant rationnel, à laquelle se réduit la définition du logarithme.
  2. La base doit être différente de l'unité, car une unité pour n'importe quelle puissance est toujours une unité. De ce fait, la question « à quelle puissance faut-il élever un pour en avoir deux » n'a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées Plage valide(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a pas de restrictions sur le nombre b (la valeur du logarithme) n'est pas imposée. Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1 .

Cependant, nous ne considérons maintenant que les expressions numériques, où il n'est pas nécessaire de connaître l'ODZ du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les compilateurs des problèmes. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences du DHS deviendront obligatoires. En effet, dans la base et l'argument, il peut y avoir des constructions très fortes, qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Considérons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

  1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la plus petite base possible supérieure à un. En cours de route, il vaut mieux se débarrasser des fractions décimales ;
  2. Résolvez l'équation pour la variable b : x = a b ;
  3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est tout! Si le logarithme s'avère irrationnel, cela se verra déjà à la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très pertinente : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. De même avec les fractions décimales : si vous les convertissez immédiatement en fractions ordinaires, il y aura beaucoup moins d'erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne avec des exemples spécifiques :

Tâche. Calculer le logarithme : log 5 25

  1. Représentons la base et l'argument sous la forme d'une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 52 ;

    2. Faisons et résolvons l'équation :
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

  2. Réponse reçue : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

Tâche. Calculer le logarithme : log 4 64

  1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 26 ;
  2. Faisons et résolvons l'équation :
    log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3 ;
  3. Réponse reçue : 3.

Tâche. Calculer le logarithme : log 16 1

  1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 20 ;
  2. Faisons et résolvons l'équation :
    log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0 ;
  3. Réponse reçue : 0.

Tâche. Calculer le logarithme : log 7 14

  1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 n'est pas représenté comme une puissance de sept, car 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme n'est pas considéré ;
  3. La réponse est inchangée : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment s'assurer qu'un nombre n'est pas une puissance exacte d'un autre nombre ? Très simple - il suffit de le décomposer en facteurs premiers. S'il y a au moins deux facteurs distincts dans l'expansion, le nombre n'est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les puissances exactes du nombre sont : 8 ; 48 ; 81 ; 35; Quatorze.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - le degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 n'est pas une puissance exacte car il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - degré exact;
35 = 7 5 - encore une fois pas un degré exact ;
14 \u003d 7 2 - encore une fois pas un degré exact;

Notez également que les nombres premiers eux-mêmes sont toujours des puissances exactes d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu'ils ont un nom et une désignation spéciaux.

de l'argument x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire la puissance à laquelle 10 doit être élevé pour obtenir x. Désignation : lgx.

Par exemple, log 10 = 1 ; log 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

À partir de maintenant, lorsqu'une phrase comme "Find lg 0.01" apparaît dans le manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. C'est le logarithme décimal. Cependant, si vous n'êtes pas habitué à une telle désignation, vous pouvez toujours la réécrire :
log x = log 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires est également vrai pour les décimaux.

un algorithme naturel

Il existe un autre logarithme qui a sa propre notation. En un sens, il est encore plus important que le nombre décimal. C'est le logarithme naturel.

de l'argument x est le logarithme de la base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle il faut élever le nombre e pour obtenir le nombre x. Désignation : lnx.

Beaucoup se demanderont : quel est le nombre e ? C'est un nombre irrationnel, sa valeur exacte ne peut pas être trouvée et écrite. Voici juste les premiers chiffres :
e = 2,718281828459…

Nous n'approfondirons pas ce qu'est ce nombre et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme naturel :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1; log e 2 = 2; En e 16 = 16 - etc. Par contre, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme naturel de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf, bien sûr, l'unité : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles valables pour les logarithmes ordinaires sont valables.

Voir également:

Logarithme. Propriétés du logarithme (puissance du logarithme).

Comment représenter un nombre sous forme de logarithme ?

Nous utilisons la définition d'un logarithme.

Le logarithme est une mesure de la puissance à laquelle la base doit être élevée pour obtenir le nombre sous le signe du logarithme.

Ainsi, pour représenter un certain nombre c en logarithme de base a, il faut mettre un degré sous le signe du logarithme de même base que la base du logarithme, et écrire ce nombre c dans l'exposant :

Sous la forme d'un logarithme, vous pouvez représenter absolument n'importe quel nombre - positif, négatif, entier, fractionnaire, rationnel, irrationnel :

Afin de ne pas confondre a et c dans les conditions stressantes d'un test ou d'un examen, vous pouvez utiliser la règle suivante à retenir :

ce qui est en bas descend, ce qui est en haut monte.

Par exemple, vous souhaitez représenter le nombre 2 sous forme de logarithme en base 3.

Nous avons deux nombres - 2 et 3. Ces nombres sont la base et l'exposant, que nous écrirons sous le signe du logarithme. Il reste à déterminer lequel de ces nombres doit être écrit, dans la base du degré, et lequel - en haut, dans l'exposant.

La base 3 dans l'enregistrement du logarithme est en bas, ce qui signifie que lorsque nous représentons le deux comme un logarithme à la base de 3, nous écrirons également 3 à la base.

2 est supérieur à 3. Et dans la notation du degré, on écrit le deux au-dessus du trois, c'est-à-dire dans l'exposant :

Logarithmes. Premier niveau.

Logarithmes

logarithme nombre positif b Par raison un, où une > 0, une ≠ 1, est l'exposant auquel le nombre doit être élevé. un, Obtenir b.

Définition du logarithme peut être brièvement écrit comme ceci:

Cette égalité vaut pour b > 0, a > 0, a ≠ 1. Il est généralement appelé identité logarithmique.
L'action de trouver le logarithme d'un nombre s'appelle logarithme.

Propriétés des logarithmes :

Le logarithme du produit :

Logarithme du quotient de la division :

Remplacement de la base du logarithme :

Logarithme degré :

logarithme racine :

Logarithme à base puissance :





Logarithmes décimaux et naturels.

Logarithme décimal les nombres appellent le logarithme en base 10 de ce nombre et écrivent   lg b
un algorithme naturel les nombres appellent le logarithme de ce nombre à la base e, où e est un nombre irrationnel, approximativement égal à 2,7. En même temps, ils écrivent dans b.

Autres notes sur l'algèbre et la géométrie

Propriétés de base des logarithmes

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme n'importe quel nombre, peuvent être additionnés, soustraits et convertis de toutes les manières possibles. Mais puisque les logarithmes ne sont pas des nombres tout à fait ordinaires, il y a des règles ici, qui s'appellent propriétés de base.

Ces règles doivent être connues - aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu sans elles. De plus, il y en a très peu - tout peut être appris en une journée. Alors, commençons.

Addition et soustraction de logarithmes

Considérons deux logarithmes de même base : log a x et log a y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

  1. log a x + log a y = log a (x y);
  2. log a x - log a y = log a (x: y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est le logarithme du quotient. Veuillez noter : le point clé ici est - mêmes motifs. Si les bases sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules aideront à calculer l'expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon "Qu'est-ce qu'un logarithme"). Jetez un oeil aux exemples et voyez:

bûche 6 4 + bûche 6 9.

Puisque les bases des logarithmes sont les mêmes, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
bûche 2 48 - bûche 2 3 = bûche 2 (48 : 3) = bûche 2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.

Encore une fois, les bases sont les mêmes, nous avons donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.

Comme vous pouvez le voir, les expressions originales sont constituées de "mauvais" logarithmes, qui ne sont pas considérés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux se révèlent. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, le contrôle - des expressions similaires en toute sincérité (parfois - avec pratiquement aucun changement) sont proposés à l'examen.

Suppression de l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et s'il y a un degré dans la base ou l'argument du logarithme ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes:

Il est facile de voir que la dernière règle suit leurs deux premières. Mais il vaut mieux s'en souvenir quand même - dans certains cas, cela réduira considérablement la quantité de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont un sens si le logarithme ODZ est respecté : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa, c'est-à-dire vous pouvez entrer les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même.

Comment résoudre les logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .

Débarrassons-nous du degré dans l'argument selon la première formule :
bûche 7 49 6 = 6 bûche 7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression :

Notez que le dénominateur est un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nous avons:

Je pense que le dernier exemple mérite d'être clarifié. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous ne travaillons qu'avec le dénominateur. Ils ont présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de degrés et ont sorti les indicateurs - ils ont obtenu une fraction «à trois étages».

Regardons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur ont le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 restera au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, les quatre peuvent être transférés au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat est la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

Parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les bases sont différentes ? Et si ce ne sont pas des puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle base viennent à la rescousse. Nous les formulons sous la forme d'un théorème :

Donnons le logarithme log a x. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Il découle de la deuxième formule que la base et l'argument du logarithme peuvent être interchangés, mais l'expression entière est "retournée", c'est-à-dire le logarithme est au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer à quel point ils sont pratiques uniquement lors de la résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques.

Cependant, il y a des tâches qui ne peuvent être résolues qu'en passant à une nouvelle fondation. Considérons quelques-uns de ceux-ci :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes sont des exposants exacts. Retirons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5 ;

Inversons maintenant le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas à partir de la permutation des facteurs, nous avons multiplié calmement quatre et deux, puis avons calculé les logarithmes.

Tâche. Trouver la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons-le et débarrassons-nous des indicateurs:

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme par rapport à une base donnée.

Dans ce cas, les formules nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l'exposant de l'argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car c'est juste la valeur du logarithme.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. Ça s'appelle comme ça :

En effet, que se passera-t-il si le nombre b est élevé à un degré tel que le nombre b dans ce degré donne le nombre a ? C'est vrai : c'est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe - beaucoup de gens "s'y accrochent".

Comme les nouvelles formules de conversion de base, l'identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression :

Notez que log 25 64 = log 5 8 - vient de retirer le carré de la base et l'argument du logarithme. Etant donné les règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un n'est pas au courant, c'était une vraie tâche de l'examen d'État unifié 🙂

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qu'il est difficile d'appeler des propriétés - ce sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils se retrouvent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants "avancés".

  1. log a a = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de toute base a à partir de cette base elle-même est égal à un.
  2. log un 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument est un, le logarithme est zéro ! Parce que a 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez la feuille de triche au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

découle de sa définition. Et donc le logarithme du nombre b Par raison un défini comme l'exposant auquel un nombre doit être élevé un pour obtenir le numéro b(le logarithme n'existe que pour les nombres positifs).

De cette formulation, il résulte que le calcul x=log a b, équivaut à résoudre l'équation ax=b. Par example, bûche 2 8 = 3 car 8 = 2 3 . La formulation du logarithme permet de justifier que si b=un c, alors le logarithme du nombre b Par raison unéquivaut à avec. Il est également clair que le sujet du logarithme est étroitement lié au sujet de la puissance d'un nombre.

Avec les logarithmes, comme avec tous les nombres, vous pouvez effectuer opérations d'addition, de soustraction et transformer de toutes les manières possibles. Mais étant donné que les logarithmes ne sont pas des nombres tout à fait ordinaires, leurs propres règles spéciales s'appliquent ici, appelées propriétés de base.

Addition et soustraction de logarithmes.

Prenons deux logarithmes de même base : journal x et se connecter. Ensuite supprimer il est possible d'effectuer des opérations d'addition et de soustraction :

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

enregistrer un(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = journal x 1 + journal x 2 + journal x 3 + ... + log a x k.

Depuis théorèmes du logarithme du quotient une autre propriété du logarithme peut être obtenue. Il est bien connu que le journal un 1= 0, donc,

Journal un 1 /b= journal un 1 - journal un B= -log un B.

Il existe donc une égalité :

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmes de deux nombres mutuellement réciproques sur la même base ne différeront les uns des autres que par le signe. Alors:

Journal 3 9= - Journal 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

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