Détermination de la fonction inverse de ses propriétés et graphique. Fonctions mutuellement inverses

Supposons que les ensembles $X$ et $Y$ soient inclus dans l'ensemble des nombres réels. Introduisons le concept de fonction inversible.

Définition 1

Une fonction $f:X\to Y$ associant un ensemble $X$ à un ensemble $Y$ est dite inversible si pour tout élément $x_1,x_2\in X$ il résulte du fait que $x_1\ne x_2$ que $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Nous pouvons maintenant introduire la notion de fonction inverse.

Définition 2

Soit la fonction $f:X\to Y$ mappant l'ensemble $X$ dans l'ensemble $Y$ inversible. Puis la fonction $f^(-1):Y\to X$ mappant l'ensemble $Y$ dans l'ensemble $X$ et définie par la condition $f^(-1)\left(y\right)=x$ est appelé l'inverse de $f( x)$.

Formulons le théorème :

Théorème 1

Soit la fonction $y=f(x)$, monotone croissante (décroissante) et continue dans un certain intervalle $X$. Ensuite, dans l'intervalle correspondant $Y$ de valeurs de cette fonction, elle a une fonction inverse, qui est également monotone croissante (décroissante) et continue sur l'intervalle $Y$.

Introduisons maintenant directement le concept de fonctions mutuellement inverses.

Définition 3

Dans le cadre de la Définition 2, les fonctions $f(x)$ et $f^(-1)\left(y\right)$ sont appelées fonctions mutuellement inverses.

Propriétés des fonctions mutuellement inverses

Soit les fonctions $y=f(x)$ et $x=g(y)$ mutuellement inverses, alors

$y=f(g\gauche(y\droite))$ et $x=g(f(x))$

Le domaine de la fonction $y=f(x)$ est égal au domaine de la valeur de la fonction $\ x=g(y)$. Et le domaine de la fonction $x=g(y)$ est égal au domaine de la valeur de la fonction $\ y=f(x)$.

Les graphes des fonctions $y=f(x)$ et $x=g(y)$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Si l'une des fonctions augmente (diminue), l'autre fonction augmente également (diminue).

Trouver la fonction inverse

L'équation $y=f(x)$ par rapport à la variable $x$ est résolue.

A partir des racines obtenues, on trouve celles qui appartiennent à l'intervalle $X$.

Les $x$ trouvés sont affectés au nombre $y$.

Exemple 1

Trouver la fonction inverse, pour la fonction $y=x^2$ sur l'intervalle $X=[-1,0]$

Puisque cette fonction est décroissante et continue sur l'intervalle $X$, alors sur l'intervalle $Y=$, qui est également décroissante et continue sur cet intervalle (Théorème 1).

Calculez $x$ :

\ \

Choisissez le $x$ approprié :

Répondre: fonction inverse $y=-\sqrt(x)$.

Problèmes pour trouver des fonctions inverses

Dans cette partie, nous considérons des fonctions inverses pour certaines fonctions élémentaires. Les tâches seront résolues selon le schéma donné ci-dessus.

Exemple 2

Trouver la fonction inverse de la fonction $y=x+4$

Trouvez $x$ à partir de l'équation $y=x+4$ :

Exemple 3

Trouver la fonction inverse de la fonction $y=x^3$

Décision.

Puisque la fonction est croissante et continue sur tout le domaine de définition, alors, d'après le théorème 1, elle a une fonction inverse continue et croissante sur elle.

Trouvez $x$ à partir de l'équation $y=x^3$ :

Trouver des valeurs appropriées de $x$

La valeur dans notre cas est appropriée (puisque la portée est tous les nombres)

En redéfinissant les variables, on obtient que la fonction inverse a la forme

Exemple 4

Trouver la fonction inverse de la fonction $y=cosx$ sur l'intervalle $$

Décision.

Considérons la fonction $y=cosx$ sur l'ensemble $X=\left$. Elle est continue et décroissante sur l'ensemble $X$ et applique l'ensemble $X=\left$ sur l'ensemble $Y=[-1,1]$, donc, par le théorème sur l'existence d'une fonction monotone continue inverse, la fonction $y=cosx$ dans l'ensemble $ Y$ il y a une fonction inverse, qui est également continue et augmente dans l'ensemble $Y=[-1,1]$ et mappe l'ensemble $[-1,1]$ à l'ensemble $\left$.

Trouvez $x$ à partir de l'équation $y=cosx$ :

Trouver des valeurs appropriées de $x$

En redéfinissant les variables, on obtient que la fonction inverse a la forme

Exemple 5

Trouvez la fonction inverse de la fonction $y=tgx$ sur l'intervalle $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Décision.

Considérons la fonction $y=tgx$ sur l'ensemble $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Elle est continue et croissante sur l'ensemble $X$ et applique l'ensemble $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ sur l'ensemble $Y =R$, donc, d'après le théorème sur l'existence d'une fonction monotone continue inverse, la fonction $y=tgx$ dans l'ensemble $Y$ a une fonction inverse, elle aussi continue et croissante dans l'ensemble $Y=R $ et mappe l'ensemble $R$ sur l'ensemble $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Trouvez $x$ à partir de l'équation $y=tgx$ :

Trouver des valeurs appropriées de $x$

En redéfinissant les variables, on obtient que la fonction inverse a la forme

Qu'est-ce qu'une fonction inverse ? Comment trouver la fonction inverse d'une donnée ?

Définition .

Soit la fonction y=f(x) définie sur l'ensemble D et E l'ensemble de ses valeurs. Fonction inverse par rapport à fonction y=f(x) est une fonction x=g(y), qui est définie sur l'ensemble E et affecte à chaque y∈E une valeur x∈D telle que f(x)=y.

Ainsi, le domaine de la fonction y=f(x) est le domaine de la fonction inverse, et le domaine de y=f(x) est le domaine de la fonction inverse.

Pour trouver la fonction inverse de la fonction donnée y=f(x), il faut :

1) Dans la formule de la fonction, au lieu de y, substituez x, au lieu de x - y :

2) À partir de l'égalité résultante, exprimer y en fonction de x :

Trouvez la fonction inverse de la fonction y=2x-6.

Les fonctions y=2x-6 et y=0,5x+3 sont mutuellement inverses.

Les graphes des fonctions directes et inverses sont symétriques par rapport à la droite directe y=x(bissectrices des quarts de coordonnées I et III).

y=2x-6 et y=0.5x+3 - . Le graphique d'une fonction linéaire est . Pour tracer une droite, on prend deux points.



Il est possible d'exprimer uniquement y en termes de x lorsque l'équation x=f(y) a une solution unique. Ceci peut être fait si la fonction y=f(x) prend chacune de ses valeurs en un seul point de son domaine de définition (une telle fonction est appelée réversible).

Théorème (condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit inversible)

Si la fonction y=f(x) est définie et continue sur un intervalle numérique, alors pour que la fonction soit inversible il faut et il suffit que f(x) soit strictement monotone.

De plus, si y=f(x) augmente sur l'intervalle, alors la fonction inverse de lui augmente également sur cet intervalle ; si y=f(x) est décroissante, alors la fonction inverse est également décroissante.

Si la condition de réversibilité n'est pas satisfaite sur tout le domaine de définition, on peut repérer un intervalle où la fonction ne fait que croître ou ne faire que décroître, et sur cet intervalle trouver une fonction inverse de celle donnée.

L'exemple classique est . Entre

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - fonction impaire, le graphique est symétrique par rapport au point O (0; 0).

arcsin x = 0 à x = 0.

arcsin x > 0 à x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x augmente pour tout x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arc cosinus

La fonction cosinus décroît sur le segment et prend toutes les valeurs de -1 à 1. Ainsi, pour tout nombre a tel que |a|1, il y a une seule racine dans l'équation cosx=a sur le segment. Ce nombre en est appelé l'arccosinus du nombre a et est noté arcos a.

Définition . L'arc cosinus du nombre a, où -1 a 1, est un nombre du segment dont le cosinus est égal à a.

Propriétés.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - la fonction n'est ni paire ni impaire.

   arccos x = 0 à x = 1

   arccos x > 0 à x є [-1 ; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x diminue pour tout x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - décroissant.

Arctangente

La fonction tangente croît sur le segment -
, donc, selon le théorème racine, l'équation tgx \u003d a, où a est n'importe quel nombre réel, a une racine unique x sur l'intervalle -. Cette racine s'appelle l'arc tangente du nombre a et est notée arctga.

Définition. Arc tangente d'un nombre unR ce nombre s'appelle x , dont la tangente est a.

Propriétés.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - la fonction est impaire, le graphe est symétrique par rapport au point O (0; 0).

arctg x = 0 à x = 0

La fonction augmente pour tout x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arc tangente

La fonction cotangente sur l'intervalle (0;) diminue et prend toutes les valeurs de R. Par conséquent, pour tout nombre a dans l'intervalle (0;), il existe une seule racine de l'équation ctg x = a. Ce nombre a est appelé l'arc tangente du nombre a et est noté arcctg a.

Définition. L'arc tangente d'un nombre a, où a R, est un tel nombre de l'intervalle (0;) , dont la cotangente est a.

Propriétés.

E(y) = (0 ; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - la fonction n'est ni paire ni impaire.

arcctg x = 0- n'existe pas.

Une fonction y = arcctg x diminue pour tout х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

La fonction est continue pour tout x є R.

2.3 Transformations identitaires d'expressions contenant des fonctions trigonométriques inverses

Exemple 1 . Simplifiez l'expression :

un)
où

Décision. Mettons
. Puis
et
Trouver
, on utilise la relation
On a
Mais . Sur ce segment, le cosinus ne prend que des valeurs positives. Ainsi,
, c'est à dire
où
.

b)

Décision.

dans)

Décision. Mettons
. Puis
et
Trouvons d'abord, pour lequel nous utilisons la formule
, où
Puisque le cosinus ne prend que des valeurs positives sur cet intervalle, alors
.

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

• former des connaissances sur un nouveau sujet conformément au matériel du programme;
• étudier la propriété d'inversibilité d'une fonction et apprendre à trouver une fonction inverse d'une fonction donnée ;

Développement:

• développer des compétences de maîtrise de soi, sujet de la parole;
• maîtriser le concept d'une fonction inverse et apprendre les méthodes de recherche d'une fonction inverse ;

Éducatif: pour former la compétence communicative.

Équipement: ordinateur, projecteur, écran, tableau blanc interactif SMART Board, polycopié (travail indépendant) pour le travail en groupe.

Pendant les cours.

1. Moment organisationnel.

Cibler – préparer les élèves au travail en classe :

Définition de absent,

Attitude des étudiants au travail, organisation de l'attention;

Message sur le sujet et le but de la leçon.

2. Mise à jour des connaissances de base des étudiants. premier sondage.

Cibler - établir l'exactitude et la conscience du matériel théorique étudié, la répétition du matériel couvert.<Приложение 1 >

Un graphique de la fonction est affiché sur le tableau blanc interactif pour les étudiants. L'enseignant formule la tâche - considérer le graphique de la fonction et énumérer les propriétés étudiées de la fonction. Les élèves énumèrent les propriétés d'une fonction selon le plan de recherche. L'enseignant, à droite du graphique de la fonction, note les propriétés nommées avec un marqueur sur le tableau blanc interactif.

Propriétés de la fonction :

À la fin de l'étude, l'enseignant rapporte qu'aujourd'hui, lors de la leçon, ils se familiariseront avec une autre propriété de la fonction - la réversibilité. Pour une étude significative du nouveau matériel, l'enseignant invite les enfants à se familiariser avec les principales questions auxquelles les élèves doivent répondre à la fin de la leçon. Les questions sont écrites sur un tableau ordinaire et chaque élève a un document (distribué avant la leçon)

1. Qu'est-ce qu'une fonction réversible ?
2. Toutes les fonctions sont-elles réversibles ?
3. Quelle est la fonction inverse donnée ?
4. Comment le domaine de définition et l'ensemble des valeurs d'une fonction et de sa fonction inverse sont-ils liés ?
5. Si la fonction est donnée analytiquement, comment définir la fonction inverse avec une formule ?
6. Si une fonction est donnée graphiquement, comment tracer sa fonction inverse ?

3. Explication du nouveau matériel.

Cibler - former des connaissances sur un nouveau sujet conformément au matériel du programme; étudier la propriété d'inversibilité d'une fonction et apprendre à trouver une fonction inverse d'une fonction donnée ; développer la matière.

L'enseignant procède à une présentation de la matière conformément à la matière du paragraphe. Sur le tableau interactif, l'enseignant compare les graphiques de deux fonctions dont les domaines de définition et les ensembles de valeurs sont les mêmes, mais l'une des fonctions est monotone et l'autre ne l'est pas, amenant ainsi les élèves sous le concept d'une fonction inversible .

L'enseignant formule ensuite la définition d'une fonction inversible et effectue une démonstration du théorème de la fonction inversible à l'aide du graphique de la fonction monotone sur le tableau blanc interactif.

Définition 1 : La fonction y=f(x), x X est appelée réversible, s'il ne prend l'une de ses valeurs qu'en un point de l'ensemble X.

Théorème : Si la fonction y=f(x) est monotone sur l'ensemble X , alors elle est inversible.

Preuve:

1. Laissez la fonction y=f(x) augmente de X Laisser aller x 1 ≠ x 2- deux points du set X.
2. Pour plus de précision, laissez x1< x2.
   Alors de quoi x1< x2 s'ensuit que f(x 1) < f(x 2).
3. Ainsi, différentes valeurs de l'argument correspondent à différentes valeurs de la fonction, c'est-à-dire la fonction est réversible.

(Pendant la preuve du théorème, l'enseignant fait toutes les explications nécessaires sur le dessin au feutre)

Avant de formuler la définition d'une fonction inverse, l'enseignant demande aux élèves de déterminer laquelle des fonctions proposées est réversible ? Le tableau blanc interactif affiche des graphiques de fonctions et plusieurs fonctions définies analytiquement sont écrites :

B)

G) y = 2x + 5

RÉ) y = -x 2 + 7

L'enseignant introduit la définition d'une fonction inverse.

Définition 2 : Soit une fonction inversible y=f(x) défini sur le plateau X et E(f)=Y. Associons chacun y depuis Oui alors le seul sens X, auquel f(x)=y. On obtient alors une fonction définie sur Oui, un X est le domaine de la fonction

Cette fonction est notée x=f -1 (y) et s'appelle l'inverse de la fonction y=f(x).

Les étudiants sont invités à tirer une conclusion sur la relation entre le domaine de définition et l'ensemble des valeurs des fonctions inverses.

Pour examiner la question de savoir comment trouver la fonction inverse d'une donnée, l'enseignant a impliqué deux élèves. La veille, les enfants ont reçu une tâche de l'enseignant pour analyser indépendamment les méthodes analytiques et graphiques pour trouver la fonction inverse donnée. L'enseignant a agi en tant que consultant dans la préparation des élèves pour la leçon.

Message du premier étudiant.

Remarque : la monotonie d'une fonction est suffisant condition d'existence d'une fonction inverse. Mais il n'est pas condition nécessaire.

L'élève a donné des exemples de situations diverses où la fonction n'est pas monotone, mais réversible, où la fonction n'est pas monotone et non réversible, où elle est monotone et réversible

Ensuite, l'élève initie les élèves à la méthode de recherche de la fonction inverse donnée analytiquement.

Algorithme de recherche

1. Assurez-vous que la fonction est monotone.
2. Exprimer x en fonction de y.
3. Renommer les variables. Au lieu de x \u003d f -1 (y) ils écrivent y \u003d f -1 (x)

Résout ensuite deux exemples pour trouver la fonction de l'inverse de la donnée.

Exemple 1: Montrez qu'il existe une fonction inverse pour la fonction y=5x-3 et trouvez son expression analytique.

Décision. La fonction linéaire y=5x-3 est définie sur R, augmente sur R et sa portée est R. Par conséquent, la fonction inverse existe sur R. Pour trouver son expression analytique, nous résolvons l'équation y=5x-3 par rapport à X; nous obtenons C'est la fonction inverse désirée. Il est défini et augmente de R.

Exemple 2 : Montrer qu'il existe une fonction inverse pour la fonction y=x 2 , x≤0, et trouver son expression analytique.

La fonction est continue, monotone dans son domaine de définition, donc elle est inversible. Après avoir analysé les domaines de définition et l'ensemble des valeurs de la fonction, une conclusion correspondante est tirée sur l'expression analytique de la fonction inverse.

Le deuxième étudiant fait une présentation sur graphique comment trouver la fonction inverse. Au cours de son explication, l'élève utilise les capacités du tableau blanc interactif.

Pour obtenir le graphe de la fonction y=f -1 (x), inverse de la fonction y=f(x), il faut transformer le graphe de la fonction y=f(x) symétriquement par rapport à la droite y=x.

Pendant l'explication sur le tableau blanc interactif, la tâche suivante est effectuée :

Construire un graphique d'une fonction et un graphique de sa fonction inverse dans le même système de coordonnées. Écrivez une expression analytique pour la fonction inverse.

4. Fixation primaire du nouveau matériau.

Cibler - établir l'exactitude et la conscience de la compréhension du matériel étudié, identifier les lacunes dans la compréhension primaire du matériel, les corriger.

Les élèves sont répartis en binômes. On leur donne des fiches avec des tâches dans lesquelles ils travaillent en binôme. Le temps pour terminer le travail est limité (5-7 minutes). Une paire d'élèves travaille sur l'ordinateur, le projecteur est éteint pour cette fois et le reste des enfants ne peut pas voir comment les élèves travaillent sur l'ordinateur.

À la fin du temps (on suppose que la majorité des élèves ont terminé le travail), le tableau blanc interactif (le projecteur se rallume) montre le travail des élèves, où il est précisé pendant le test que la tâche a été complétée en paires. Si nécessaire, l'enseignant effectue un travail correctif et explicatif.

Travail indépendant en binôme<Annexe 2 >

5. Le résultat de la leçon. Sur les questions qui ont été posées avant la conférence. Annonce des notes pour la leçon.

Devoirs §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algèbre et débuts de l'analyse. 10e année En 2 parties pour les établissements d'enseignement (niveau profil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova et autres ; éd. AG Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Fonctions mutuellement inverses.

Soit la fonction strictement monotone (croissante ou décroissante) et continue sur le domaine de définition, la plage de cette fonction, puis sur l'intervalle une fonction continue strictement monotone avec une plage de valeurs est définie, qui est inverse pour .

En d'autres termes, il est logique de parler de la fonction inverse d'une fonction sur un intervalle spécifique si elle augmente ou diminue sur cet intervalle.

Les fonctions F et g sont dits réciproques.

Pourquoi considérer le concept de fonctions inverses du tout ?

Ceci est causé par le problème de la résolution d'équations. Les solutions sont simplement écrites en termes de fonctions inverses.

Considérer quelques exemples de recherche de fonctions inverses .

Commençons par les fonctions linéaires mutuellement inverses.

Trouvez la fonction inverse de.

Cette fonction est linéaire, son graphique est une droite. La fonction est donc monotone sur tout le domaine de définition. On cherchera donc la fonction inverse de celle-ci sur tout le domaine de définition.

.

Exprimer X par y (en d'autres termes, résolvez l'équation pour X ).

- c'est la fonction inverse, la vérité est ici y est un argument, et X est la fonction de cet argument. Afin de ne pas casser les habitudes de notation (ce n'est pas d'une importance fondamentale), réarranger les lettres X et y , écrirai .

Ainsi, et sont des fonctions mutuellement inverses.

Donnons une illustration graphique des fonctions linéaires mutuellement inverses.

Évidemment, les graphiques sont symétriques par rapport à la droite. (bissectrices des premier et troisième trimestres). C'est l'une des propriétés des fonctions mutuellement inverses, qui sera discutée ci-dessous.

Trouvez la fonction inverse.

Cette fonction est carrée, le graphe est une parabole dont le sommet est en un point.

.

La fonction croît comme et décroît comme . Cela signifie que l'on peut rechercher la fonction inverse pour un donné sur l'un des deux intervalles.

Soit donc et, en intervertissant x et y, on obtient une fonction inverse sur un intervalle donné : .

Trouvez la fonction inverse.

Cette fonction est cubique, le graphe est une parabole cubique dont le sommet est en un point.

.

La fonction augmente à. Cela signifie qu'il est possible de rechercher une fonction inverse pour une fonction donnée sur tout le domaine de définition.

, et en intervertissant x et y, on obtient la fonction inverse.

Illustrons cela sur un graphique.

listons propriétés des fonctions mutuellement inverses et.

et.

On peut voir à partir de la première propriété que la portée d'une fonction coïncide avec la portée de la fonction et vice versa.

Les graphiques de fonctions mutuellement inverses sont symétriques par rapport à une droite.

S'il augmente, il augmente, s'il diminue, il diminue.

Pour une fonction donnée, trouvez la fonction inverse :

Pour une fonction donnée, trouvez l'inverse et tracez les fonctions données et inverses : Découvrez s'il existe une fonction inverse pour la fonction donnée. Si oui, définissez la fonction inverse analytiquement, tracez la fonction donnée et inverse : Trouvez le domaine et la plage de la fonction inverse de la fonction si :

1. Trouvez la plage de chacune des fonctions mutuellement inverses et, si leurs plages sont données :

Les fonctions sont-elles mutuellement inverses si :

1. Trouver la fonction inverse de celle donnée. Tracez sur le même système de coordonnées les graphiques de ces fonctions mutuellement inverses :

   Cette fonction est-elle inverse d'elle-même : Définissez une fonction inverse de celle donnée et tracez son graphique :